重难点突破专题01 有理数与数轴2025-2026学年湘教版数学七年级上册

重难点突破专题01 有理数与数轴 （4知识梳理+14题型解读+15拓展训练） 题型一 相反意义的量 题型二 正负数的定义 题型三 正负数的应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 数轴上的平移（动点） 题型十三 数轴上的整点问题 题型十四 应用数轴解决实际问题 必备知识 知识01 具有相反意义的量： 1．一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 2．注意： （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利100元与向东走100米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升200米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降150米、下降200米等. 知识02 正数和负数的概念： 1. 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，0既不是正数也不是负数．正数是大于0的数，负数是小于0的数。 2. 注意： （1）、一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； （2）、0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3、判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数. 知识03 有理数的概念及其分类： 1.有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 2.有理数的分类 有理数按性质符号分类： 知识04 数轴： 1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2.数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 3.数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； ②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 题型解读 【题型一 相反意义的量】 【例1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（    ） A．前进米和后退米 B．零上℃和下降℃ C．收入元和亏损元 D．向南走千米和向东走千米 【答案】A 【分析】本题考查了具有相反意义的量，明确什么是相反意义的量是解题的关键； 具有相反意义的量必须满足两个条件：①同一属性的量；②意义相反，据此分析各选项即可． 【详解】解：A、前进和后退是相反方向的移动，且都是距离，符合条件，故此选项正确； B、零上℃是温度值，下降℃是温度变化量，属性不同，不符合条件，故此选项错误； C、收入与亏损不是直接相反的财务概念（收入与支出相反），不符合条件，故此选项错误； D、向南和向东是不同方向，但不相反，不符合条件，故此选项错误； 故选：A． 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各项中具有相反意义的量的是（    ） A．盈利50元和超支80元 B．身高增加2cm和体重减少2kg C．得4分和失2分 D．前进5米和左移5米 【答案】C 【分析】本题考查相反意义的量的概念．相反意义的量必须针对同一类量，且意义相反． 选项C中的“得4分”和“失2分”都是关于分数的量，且“得”与“失”意义相反，因此符合要求．其他选项要么不是同一类量，要么意义不相反． 【详解】∵ 相反意义的量需满足：①同一类量；②意义相反． A项：盈利与超支不是严格相反（盈利与亏损相反，超支与节约相反），不符合． B项：身高与体重是不同类量（单位不同），不符合． C项：得与失都是分数量，意义相反，符合． D项：前进与左移是不同方向量（前进与后退相反，左移与右移相反），不符合． 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组量中，具有相反意义的是（  ） A．账户余额增加元与账户余额减少元 B．个老师与个学生 C．走了米与跑了米 D．向东行米与向北行米 【答案】A 【分析】本题考查相反意义的量的概念，关键是熟练应用知识点； 相反意义的量是指在同一属性上方向相反的量，如增加与减少、向东与向西等． 【详解】选项A中，“账户余额增加”与“账户余额减少”表示同一属性（余额）的相反变化方向，具有相反意义，符合题意； 选项B中“个老师”与“个学生”是不同类别，不构成相反意义，不符合题意； 选项C中“走了100米”与“跑了100米”是运动方式不同，并非方向相反，不符合题意； 选项D中“向东行30米”与“向北行30米”是方向不同但不相反（相反方向应为向东与向西或向北与向南），不符合题意． 故答案为：A． 【变式训练3】（25-26七年级上·安徽六安·期中）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是(     )． A．收入2000元与支出200元 B．超过与不足 C．增大与减少 D．上升和下降 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、收入2000元与支出200元，是一组互为相反意义的量，故A不符合题意； B、超过与不足，是一组互为相反意义的量，故B不符合题意； C、增大与减少，不是相反意义的量，故C符合题意； D、上升与下降，是一组互为相反意义的量，故D不符合题意； 故选：C． 【变式训练4】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下面每组中的两个量不是具有相反意义的量是（   ） A．收入100元与支出100元 B．盈利500元与亏损500元 C．增产2吨与减产2吨 D．体重下降3千克与身高增长3厘米 【答案】D 【分析】本题考查相反意义的量的概念．相反意义的量必须是在同一类量中，方向相反．选项A、B、C都是同一类量且方向相反，而选项D中体重和身高是不同类量，因此不是相反意义的量． 【详解】解：A．收入与支出都是金钱量，意义相反； B．盈利与亏损都是金钱量，意义相反； C．增产与减产都是生产量，意义相反； D．体重下降（质量单位）与身高增长（长度单位），量纲不同，不是同一类量，因此不是相反意义的量． 故选：D． 【题型二 正负数的定义】 【例2】（湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）有关负数的记载，最早出现在我国《九章算术》中．下列各数中：5，，0，，，，负数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】小于零的数是负数，根据每个数的符号判断其正负性即可；本题考查负数的概念，熟练掌握负数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵负数是指小于零的数， ∴在5，，0，，，中， ，是正数； ，是负数； 0 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ∴负数有，，共3个． 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任一个正数，前面加上“”号，就是一个负数； ③0是最小的正数； ④正数和负数统称为有理数； ⑤所有的有理数都能够化为分数的形式． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题主要考查了有关正、负数方面的知识．正确理解正、负数的概念是解题的关键．根据数的正负性，可将数分为正数、0、负数．在正数前面加上“”号，即为负数，而0既不是正数，也不是负数．数的大小关系：正数负数．因此，也可说大于0的数是正数，小于0的数是负数．逐一判断各命题的正误，结合有理数、正负数等基本概念进行分析． 【详解】解：① 错误．加正号的数不一定是正数，例如，仍是负数；同理，加负号的数也不一定是负数，如，是正数． ② 正确．正数前加“”号必为负数，如5变为． ③ 错误．0既不是正数也不是负数，不存在“最小的正数”． ④ 错误．有理数包含正有理数、负有理数和0． ⑤ 正确．有理数均可表示为分数（整数可视为分母为1的分数，有限小数和无限循环小数也可化成分数）． 综上，正确的命题是②和⑤，共2个， 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川德阳·月考）有下列各数：3，，，0，，其中负数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了对正数和负数定义，掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键． 根据正数和负数的定义逐个判断即可． 【详解】解：，是正数；，是负数；，是负数；0既不是正数，也不是负数；，是负数；负数共有3个． 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）指出5，，，，，，，，各数中正数和负数的个数分别为（   ） A．5个，4个 B．4个，5个 C．5个，5个 D．4个，6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，据此求解即可． 【详解】解：在数5，，，，，，，，中，正数有5，，，，共4个，负数有，，，，，共5个， 故选：B． 【变式训练4】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的括号内： ，，，0，，，，，，，． (1)正数：{             }． (2)整数：{             }． (3)负分数：{             }． (4)负数：{             }． 【答案】(1)，，，，， (2)，0， ， (3)， (4)， ， ，． 【分析】本题主要考查了有理数分类，掌握正数、整数、负分数、负数的定义是解题的关键． 根据正数、整数、负分数、负数的定义分类即可． 【详解】（1）解：正数有： ，，，，，； （2）解：整数有： ，0， ， ； （3）解：负分数有：， ． （4）解：负数：， ， ，． 【题型三 正负数的应用】 【例3】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）中国是最早系统提出正负数运算法则的国家．在《九章算术》的“方程”章中，明确记载了“正负术”，即“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”．在进行方程组的“直除法”消元时，若用算筹表示，正数用红色算筹，负数用黑色算筹．若在计算中，收入5贯钱记为“正五”，那么支出3贯钱应记为（   ） A．负三 B．正三 C．负五 D．正五 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正负数的记法规则，收入记为正数，支出记为负数．题干中收入5贯钱记为“正五”，因此支出3贯钱应记为负数，即“负三”． 【详解】解：∵收入记为“正”，支出记为“负”， ∴支出3贯钱应记为“负三”． 故选：A． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆·期中）2025年上半年，国际金价波动较大，若元/克表示当日金价比前一天上涨了12元/克，则元/克表示（   ） A．当日金价比前一天下跌了 B．当日金价为4元/克 C．当日金价比前一天下跌了8元/克 D．当日金价比前一天上涨了8元/克 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的定义，关键在于理解正数和负数的定义． 根据正负数的定义即可解答． 【详解】解：∵题干中元/克表示当日金价比前一天上涨12元/克， ∴元/克表示表示当日金价比前一天下跌8元/克。 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）某种零件标明要求是（表示直径），则下面4个零件不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正负数的实际运用，理解正负数的意义，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．根据有理数的加减法，计算出零件标准范围，进行比较即可求解． 【详解】解：∵某种零件标明要求是， ∴标准的最小值为，标准的最大值为， ∴零件在之间的是合格的，除此为不合格， ∵， ∴的零件不合格， 故选：D． 【变式训练3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）在表示某地的高度时，通常以海平面为基准，用0m表示海平面的海拔、如果甲地海拔高于海平面25m，记为m，那么乙地海拔低于海平面12m记为（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，以海平面为基准，高于海平面记为正数，低于海平面记为负数，据此即可求解． 【详解】解：∵甲地高于海平面25m记为m， ∴乙地低于海平面12m应记为m． 故选：B 【变式训练4】（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)4千米 (2)他能完成上面的行程，理由见解析 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正负数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把行程中的正负数相加即可解答； （2）求出所行驶的路程后进行比较即可． 【详解】（1）解：， 答：当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为4千米． （2）解：， 因此他能完成上面的行程． 【题型四 有理数的定义】 【例4】．（25-26七年级上·云南昆明·期中）下列各数0，，，，，（每两个2之间增加一个0），其中有理数的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：0，，，，，（每两个2之间增加一个0），其中是有理数的有0，，，，共4个数． 故选B． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，注意区分无限循环小数与无限不循环小数．根据有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，而无限不循环小数是无理数，不属于有理数． 【详解】解：有理数是能表示为两个整数之比的数， ①有限小数可以写成分母为10的幂的分数，是有理数，正确； ②有理数不一定是有限小数，如无限循环小数（如）是有理数但不是有限小数，原说法错误； ③无限循环小数可以化成分数，正确； ④分数的分子除以分母必得小数（有限或无限循环），正确； ⑤无限小数包括无限不循环小数（如π），是无理数，不是有理数，原说法错误． ∴正确的有①③④，共3个． 故选：B． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．1和2之间没有有理数 C．0.5是正有理数 D．既是整数，也是负数 【答案】B 【分析】本题考查有理数、整数等基本概念．通过逐一判断各选项是否符合数学定义，即可找出错误说法． 【详解】解：∵ 0既不是正数也不是负数，符合定义，∴ A正确； ∵ 1和2之间存在无数有理数，如1.5（即），∴ B错误； ∵且可表示为分数，∴ C正确； ∵是负整数，∴ D正确． 故选：B． 【变式训练3】（25-26七年级上·四川德阳·阶段练习）下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数不是有理数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正有理数、0、负有理数统称为有理数 D．非负整数即为正整数 【答案】C 【分析】本题考查有理数的定义和分类．有理数包括整数和分数，其中分数可化为有限小数或无限循环小数；整数包括正整数、0、负整数；非负整数包括正整数和0．根据这些概念依次判断即可． 【详解】因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，属于有理数， 所以选项A错误； 因为整数包括正整数、0、负整数，选项B遗漏了0， 所以选项B错误； 因为有理数按符号分为正有理数、0、负有理数， 所以选项C正确； 因为非负整数包括正整数和0，选项D忽略了0， 所以选项D错误． 故选：C． 【变式训练4】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是小数，所以不是有理数．其中错误的说法有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 根据有理数的分类及定义依次判断即可． 【详解】解：0不是最小的整数，没有最小的整数， ∴①不正确； ∵有理数包括正有理数、负有理数和0， ∴②不正确． ∵正整数、负整数和零、正分数、负分数统称为有理数， ∴③不正确． ∵非负数包括正数和0， ∴④不正确. ∵不仅是有理数，而且是分数， ∴⑤正确． ∵是小数可化成分数，所以是有理数， ∴⑥不正确． ∴综上，①②③④⑥不正确，共5个，故B正确． 故选：B． 【题型五 0的意义】 【例5】（上海市黄浦区2025-2026学年上学期期中考六年级数学试卷）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）下列叙述中错误的是（   ） A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．海拔表示没有海拔 D．是零上温度和零下温度的分界点 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的相关定义，正确理解0的意义是解题的关键． 根据0的特殊性质逐项判断即可． 【详解】解：A．0既不是正数也不是负数，故A是正确的，不符合题意； B．0是最小的自然数，故B选项正确，不符合题意； C．海拔表示海平面，不是没有海拔，故C是错误的，符合题意； D．是零上温度和零下温度的分界点，故D是正确的，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，“0”的意义，0既不是正数也不是负数，整数分为正整数，负整数和0，有理数分为整数和分数，有理数也分为正有理数，负有理数和0，据此逐一判断即可． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，原说法正确； ②整数包括正整数、负整数和0，原说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，原说法错误； ④整数中有负整数小于0，原说法错误； ⑤负分数是有理数，原说法正确； ∴ 正确的有①⑤，共2个， 故选：B． 【变式训练3】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列说法：①是负分数；②1.5不是整数；③0不是非负有理数；④0是最小的自然数．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键；因此此题可根据有理数的分类进行排除选项． 【详解】解：①是负分数，说法正确；②1.5不是整数，说法正确；③0是非负有理数，原说法错误；④0是最小的自然数，说法正确； 故选C． 【变式训练4】（25-26七年级上·河南商丘·阶段练习）下列叙述中错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．0℃是零上温度和零下温度的分界点 D．海拔表示没有海拔 【答案】D 【分析】本题考查0的意义．充分理解0的意义是解题关键． 根据0的意义和所表示的实际意义逐项判断即可． 【详解】A、0既不是正数，也不是负数，正确，不符合题意； B、0是最小的自然数，正确，不符合题意； C、是零上温度和零下温度的分界线点，正确，不符合题意； D、海拔是人为规定的基准高度，通常指平均海平面的高度，它是一个具体的海拔高度，而不是没有海拔，故该说法错误，符合题意； 故选：D． 【题型六 有理数的分类】 【例6】25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ；；0；；；；；；；；；…（每两个2之间的0不断增加）． 整数集合：{________________ …}； 分数集合：{________________…}； 有理数集合：{________________…}； 非负整数集合：{________________…}． 【答案】整数集合：{，0，，，} 分数集合：{，，，，} 有理数集合：{，，0，，，，，，，} 非负整数集合：{0，，} 【分析】本题考查了整数、分数、有理数、非负整数的定义．熟练掌握整数、分数、有理数、非负整数的定义是解题的关键． 根据整数、分数、有理数、非负整数的定义进行分类即可． 【详解】解：整数集合：{，0，，，}； 分数集合：{，，，，}； 有理数集合：{，，0，，，，，，，}； 非负整数集合：{0，，}． 【变式训练1】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列各有理数：中（   ） A．只有是整数 B．只有是负分数 C．非负数有 D．其中有三个数是正整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正整数、整数（正整数、零和负整数）、非负数和负分数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、整数包括：，故本选项错误； B、负分数包括，故本选项正确； C、非负数包括，故本选项错误； D、正整数只有两个，即和，故本选项错误． 故选：B． 【变式训练2】（25-26七年级上·天津·期中）对于下列各数：，，0，，，下列说法错误的是（   ） A．和0都是整数 B．以上各数中没有正整数 C．正数有，， D．是负有理数，但不能写成分数的形式 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类和表示．根据有理数的定义，整数包括正整数、0、负整数，有理数都可以写成分数形式． 【详解】A、和0都是整数，该选项说法正确； B、各数中无正整数，该选项说法正确； C、正数有、、（均大于0），该选项说法正确； D、是整数，也是有理数，可以写成分数形式，该选项说法错误． 故选：D． 【变式训练3】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段练习）下列7个数：、、、0、、、，其中有理数有（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数．根据每个数的特征判断其是否属于有理数即可得到答案． 【详解】解：在数、、、0、、、中，有理数有、、、0、，共5个， 故选：B． 【变式训练4】（25-26七年级上·江苏南京·期中）把下列各数填入相应的括号内： ，，，，，，，，，，． 正数： ； 整数： ； 负分数： ； 非负数： ． 【答案】正数：{；；；；；…}；整数：{；；；；…}；负分数：{；；；…}；非负数：{；；；；；；…} 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的分类即可解答． 【详解】由，； 正数：{；；；；；…}； 整数：{；；；；…}； 负分数：{；；；…}； 非负数：{；；；；；；…}． 【题型七 带“非”字的有理数】 【例7】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类．需要先对题目中给出的数进行化简，再根据非正有理数(即负有理数和0)的定义来判断这些数中非正有理数的个数． 【详解】解：是非正有理数； ，是负有理数，非正； ，是正有理数，不符合； 是无理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是正有理数，不符合； ，是负有理数，非正； 是有限小数，是有理数，且为负数，非正． 符合的非正有理数有：0、、、，共4个． 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·四川泸州·阶段练习）在，，，，，7中，非负有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了负有理数的定义，根据非负有理数包括正有理数和零，解答即可． 【详解】解：根据非负有理数包括正有理数和零， 故非负有理数有，，7，共有3个， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 【变式训练3】（25-26七年级上·安徽安庆·阶段练习）在1，0，，，2025，中，非负数有（   ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握非负数的概念是解题的关键，根据非负数是正数和0求解即可． 【详解】解：非负数有1，0，，2025，共4个， 故选：． 【变式训练4】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩． 正有理数集合：{                                                  …}； 非负数集合：{                                                  …}； 非正整数集合：{                                                  …}； 分数集合：{                                                  …}． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正有理数就是大于的有理数；非负数就是正数和；非正整数包括负整数和；分数包括正分数和负分数． 【详解】解：正有理数包括：②，③，⑩， 正有理数集合：； 非负数包括：②，③，⑦，⑨，⑩， 非负数集合：； 非正整数包括：⑤，⑦，⑧， 非正整数集合：； 分数包括：①，②，③，④，⑥， 分数集合：． 【题型八 数轴的三要素及画法】 【例8】（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）下列各图中，表示数轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟练地掌握数轴的三要素． 根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、缺少正方向，不是数轴，不符合题意； B、单位长度不一致，不是数轴，不符合题意； C、缺少原点，不是数轴，不符合题意； D、是数轴，符合题意， 故选：D． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）下列各图表示的数轴，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴的定义，熟练掌握数轴定义是关键． 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，且数轴的单位长度相同，据此即可判断． 【详解】解：A、没有原点，故本选项错误，不符合题意； B、数轴上的点与数字不相符，故本选项错误，不符合题意； C、所画数轴正确，故本选项正确，符合题意； D、没有正方向，故本选项错误，不符合题意； 故选：C. 【变式训练2】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的定义即可解答． 【详解】解：A、没有正方向，不是数轴，不符合题意； B、不是直线，不是数轴，不符合题意； C、单位长度不一致，不是数轴，不符合题意； D、是数轴，符合题意． 故选：D． 【变式训练3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司． (1)以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置： (2)C店离A店有多远？ 【答案】(1)见解析 (2)C店离A店3千米 【分析】本题主要考查正负数，数轴，有理数的加减运算的综合，掌握数轴的特点是解题的关键． （1）根据骑行的路程，在数轴表示即可； （2）根据数轴上点的特点进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：根据图示可得，C店离A店3千米． 【变式训练4】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有下列各数：①，②，③，④0，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}． (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【答案】(1)①②⑤；①④⑥ (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，画数轴并在数轴上表示有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． （1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）补充数轴，然后标出所有的整数，即可求解． 【详解】（1）解：①，②，③，④0，⑤，⑥． 负数集合：{①②⑤…}； 整数集合：{①④⑥…}． 故答案为：①②⑤；①④⑥． （2）解：如图所示． 【题型九 用数轴上的点表示有理数】 【例9】（25-26七年级上·广东广州·月考）在数轴上，与表示数的距离为个单位长度的点所表示的数是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间距离的表示等知识，熟记数轴相关知识、掌握绝对值的几何意义是解决问题的关键． 根据数轴上点的距离表示方法，直接计算与距离为的点即可得到答案． 【详解】解：设点表示的数为， 则， 即， 或， 解得或， 故选：D． 【变式训练1】（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，数轴上点表示的有理数可能是（   ） A． B． C． D．0.3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数．根据点A在数轴上的位置，先确定A的大致范围，再确定符合条件的数． 【详解】解：因为点A在与之间，且更靠近， 所以点A表示的数可能是． 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点落在点C的右侧，且，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或-7 D．1或 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离. 设点C表示的数为x，根据点A表示的数为，点B表示的数为6，得到，，根据，或，分类讨论即可． 【详解】解：设点C表示的数为x，由条件可知，， ∵， ∴，即，解得； 或，即，解得． 故选：D． 【变式训练3】（25-26七年级上·山西朔州·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示4和8的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是． 故选：D． 【变式训练4】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了数轴上的数、比较有理数的大小等知识点，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． （1）根据数轴直接解答即可； （2）根据单位长度，在数轴上表示点和点=即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）解：如图：点和点即为所求． 【题型十 利用数轴比较有理数的大小】 【例10】（25-26六年级上·上海嘉定·期中）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，绝对值的意义，数形结合是解答本题的关键．观察数轴可知：，，从而得到，且，，即可得解． 【详解】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． 【变式训练1】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，根据点在数轴上的位置，以及数轴上的数右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：b<−1<0<a<1； 故选C． 【变式训练2】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点表示的数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，根据点P在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：由数轴可知点P表示的数在−3和−2之间， ∵−72<−3<−52<−2<−32<−12， ∴四个选项中的数只有−52在−3和−2之间， 故选B． 【变式训练3】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数． ，，， （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： 　　． 【答案】（1）见解析；−3<−1.5<+1<212；（2）负有理数 【分析】本题考查了数轴上的点表示数的应用，根据数轴上的点表示的数，比较数的大小，掌握数轴上的点表示数是解题的关键． （1）首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”号连接起来即可； （2）根据数轴的特征，在数轴上，原点左边的点表示负有理数． 【详解】解：（1）数轴表示如下： ． ∴−3<−1.5<+1<212． （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答：负有理数． 故答案为：负有理数． 【变式训练4】（25-26七年级上·广东中山·期中）已知下列各数，按要求完成各题：，0，，，． (1)指出题中所有的负有理数：_____； (2)将这些数在所给数轴上表示出来． (3)把这些数按从小到大的顺序排列，并用“<”把它们连接起来． 【答案】(1)， (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，比较有理数的大小，正确的在数轴上表示出各数，是解题的关键： （1）化简多重符号，去绝对值，根据有理数的分类，进行作答即可； （2）在数轴上表示出各数即可； （3）根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】（1）解：，0，，，中， ∴负有理数的是，； （2）解：在数轴上表示各数如图： （3）解：由数轴可知：． 【题型十一 数轴上两点之间的距离】 【例11】（25-26七年级上·山西临汾·阶段练习）已知点、是数轴上的两个点，点在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度；点与点相距2个单位长度，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．1或5 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴和绝对值的概念及应用． 根据点A在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度，可知点A是，点B与点A相距2个单位长度，点B可在点A左侧或右侧，分情况计算即可． 【详解】解：点A在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度， 点A表示的数是， 点B与点A相距2个单位长度， 点B可能在点A左侧或右侧， 当点B在点A左侧时，点B表示的数是， 当点B在点A右侧时，点B表示的数是， 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·四川广元·阶段练习）数轴上点与点的距离是3，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2 B． C．4或 D．或2 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离，熟练掌握数轴的性质和两点间的距离公式是解题关键． 分类讨论：点B在点A的左侧和点B在点A的右侧两种情况，根据数轴的性质列出式子进行计算即可． 【详解】解：∵点与点的距离是3，若点表示的数是， ∴当点B在点A的左侧时，点B为， 当点B在点A的右侧时，点B为， 故选：D． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知与2互为相反数，且它们在数轴上分别对应，两点，则，两点的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，数轴上两点之间的距离，利用相反数的定义求出的值，再根据数轴上两点距离公式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， ∵它们在数轴上分别对应，两点， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴，两点的距离为， 故选：B． 【变式训练3】（24-25七年级上·陕西·期末）已知数轴上的、两点表示的数分别为与5，且，则的值为（   ） A．或6 B．2或11 C．2或6 D．6或11 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离得到，求解即可解答． 【详解】解：∵数轴上的、两点表示的数分别为与5，且， ∴ ∴， 解得或． 故选：C 【变式训练4】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）点O、A、B、C，在数轴上的位置如图所示，已知点O为原点，AC=3,OA=OB,若点C表示的数为a,则点B表示的数为（    ） A. ﹣a＋3 B.a＋3 C. ﹣a﹣3 D.a﹣3 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点间的距离. 【详解】解：∵C点所表示的数为a,且位于原点左侧， ∴OC长为﹣a, ∵AC=3, ∴OA=OC＋AC＝﹣a＋3 ∵OA=OB, ∴OB＝ ﹣a＋3,且点B位于原点右侧， ∴点B表示的数为﹣a＋3, 故选A 【题型十二 数轴上的平移（动点）】 【例12】（25-26七年级上·浙江湖州·期中）点在数轴的负半轴上且距离原点2个单位长度．将点沿数轴向左平移3个单位长度后得到点，那么点表示的数为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的位置，熟练掌握数轴上点移动距离的意义是解题的关键． 先根据点A的位置求出点A表示的数，再根据向左平移的规则求出点B表示的数即可． 【详解】解：点A在负半轴上且距离原点2个单位长度， 则点A表示的数为， 将点A向左平移3个单位长度得到点B， 则点B表示的数为 故选：B． 【变式训练1】在数轴上，将表示2的点沿数轴向右移动4个单位长度得到的数是______． 【答案】6 【分析】根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：将表示2的点向右移动4个单位后，对应点表示的数为2+4=6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查数轴，掌握点在数轴上的平移规律：左减右加是解决问题的关键． 【变式训练2】（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）数轴上有一点P从原点出发向正方向移动3个单位恰好与点重合，此时数轴上的点与点的距离是6个单位长度，则点表示的数是（   ） A．9 B． C．或9 D．或0 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，绝对值的几何意义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据数轴表示数的方法，点A的坐标由点P移动确定，点B与点A的距离为6，利用数轴上两点距离的几何意义求解． 【详解】解：∵点P从原点向正方向移动3个单位与点A重合， ∴点A表示的数为3， ∵点B与点A的距离是6个单位长度， ∴点B表示的数为或， 故选：C． 【变式训练3】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）数轴上一点沿数轴向右移动5个单位长度后到达点，且点到原点的距离为1，若点到点和点到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．2或3 B．或 C．或3 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先根据点B到原点的距离为1，确定点B表示的数，再根据点A向右移动5个单位到点B，求出点A表示的数，最后根据点C到点A和点C到原点的距离相等，可得点C是点A和原点的中点，即可求出点C表示的数． 【详解】解：∵点B到原点的距离为1， ∴点B表示的数为1或， ∵点A向右移动5个单位到达点B， ∴点A表示的数为或， ∵点到点和点到原点的距离相等， ∴点C是点A和原点的中点， ∴点C表示的数为或． 故选：B． 【变式训练4】（25-26七年级上·吉林白山·阶段练习）如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15，．若点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)探究： 的长度为________；的长度为________． (2)应用： ①当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ②当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ③当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ④用含t的式子填空：点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ 【答案】(1)5，20 (2)①2，；②5，5；③7，9；④， 【分析】本题主要考查了数轴两点间距离公式、数轴上的动点问题、列代数式等知识点，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①②③根据题意表示出点P、Q表示的数即可；④根据题意用代数式表示P、Q表示的数即可． 【详解】（1）解：的长度为个单位长度；的长度为个单位长度． 故答案为：5；20． （2）解：①当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：2，． ②当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：5，5． ③当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：7，9． ④点P对应的有理数为t，点Q对应的有理数为． 故答案为：，． 【题型十三 数轴上的整点问题】 【例13】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时． 【详解】解：、起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整点包括起点到终点共个； 、起点不在整点： 若线段起点在两个整点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整点从到，共个； 综上，线段盖住的整点个数为或． 故选：A． 【变式训练1】（2024春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个. 【答案】 70 53 【详解】由数轴可知，−7212和−4115 之间的整数点有：-72，-71，……，-41，共32个；−2134和1623之间的整数点有：-21，-20，……，15，16，共38个，所以被淹没的整数点有70个，负整数点有个53. 【变式训练2】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数轴上表示和之间的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．根据题意找出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：如图所示： 在数轴上表示2.5和−1.13两点之间的整数有−1，0，1，2，共4个． 故选：A． 【变式训练3】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据数轴上有理数的表示求解即可． 【详解】解：由数轴可知，墨迹盖住的整数有−2、−1、0，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题关键． 【变式训练4】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为、、、，点落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和周期规律，正确理解数轴的相关知识是解题关键． 根据圆的周长为4个单位长度，且、、、为圆的四等分点，可得、、、四点依次循环出现，求得2025到2的距离，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得，点的运动规律是循环的，循环周期为4， ∴， ∴落在数轴上2025的点是， 故选：B． 【题型十四 应用数轴解决实际问题】 【例14】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)作图见解析，C村离A村有 (2)邮递员一共骑行了20千米； 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用； （1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答； （2）列出加法算式计算即可； 【详解】（1）解：如下图： 答：C村离A村有； （2）解：， 答：邮递员一共骑行了20千米 【变式训练1】（2024秋•公安县期末）小聪在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为10，且A，B两点经上述折叠后重合，则B点表示的数为 　 　． 【分析】折叠后数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，点﹣2和点5的中点是1.5，数轴上A，B两点经上述折叠后重合，且A，B两点之间的距离为10，则A点与B点到1.5的距离都是5，进而求出B点表示的数即可． 【解答】解：折叠后数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合， 折叠点为﹣2和5的中点：1.5． ∵数轴上A，B两点经上述折叠后重合，且A，B两点之间的距离为10， ∴A点与B点到1.5的距离都是5， 当B点在中点右侧时，对应的数为1.5+5＝6.5， 当B点在中点左侧时，对应的数是1.5﹣5＝﹣3.5． 故答案为：6.5或﹣3.5． 【变式训练2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【答案】(1)西边；14； (2)16 (3)货车一共行驶了38千米，共用了19升油 【分析】（1）以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家在数轴上的位置所表示的数的绝对值之和； （3）注意要用绝对值来表示距离，求出路程的和，然后求用的油即可． 【详解】（1）解：根据题意在数轴上表示如下： 小英家在超市西边方向，小英家距离超市14千米， 故答案为：西边；14； （2）小英家距小刚家有km， 故答案为：16； （3）根据题意得： 千米， 升． 货车一共行驶了38千米，货车共用了19升油． 【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键． 【变式训练3】（2024春·吉林长春·七年级校考期中）甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.6米．相持一会儿后，标志物向乙队方向移动了0.5米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的加油声中，标志物又向甲队方向移动了0.9米．若规定标志物向某队方向移动2米以上该队即可获胜，通过计算说明最后哪队获胜？ 【答案】甲队胜，见解析 【分析】根据题目内容建立数轴模型，规定原点、正方向、单位长度后，利用数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数，由此判断即可． 【详解】解：把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数＝−0.2＋0.6−0.5＋1.3＋0.9＝2.1米＞2米． 即标志物向正方向移了2.1m，而规定标志物向某队方向2米该队即可获胜，所以甲获胜． 【点睛】本题主要考查数轴的相关知识，解题的关键是规定正方向，灵活变化，能说明问题是否成立的理由． 【变式训练4】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，再向左移动，当点移动到处时运动停止，点与点重合，此时点对应的数为． （1）由此可得，__________，的值为__________． （2）图中点所表示的数是__________，点所表示的数是__________． （3）若木棒以每秒个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？ 【拓展应用】 （4）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经是岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）， ；（2），；（3）秒钟；（4）小华现在的年龄岁，奶奶现在的年龄岁，思路见解析． 【分析】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论进行应用是解本题的关键． （1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）根据点的运动轨迹，得到点的运动路程，再利用时间路程速度，求解即可； （4）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可． 【详解】（1）点到点的距离、点到点的距离、点到的距离相等，都等于木棒的长度， ，的值为， 故答案为：，； （2），点所表示的数是， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：，； （3）由题可知，点的运动路程为， 运动时间为， 故共需秒钟； （4）点表示小华现在的年龄，点表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当点移动到点时此时点所对应的数为， 奶奶比小华大（岁． ，， 点对应的数为，点对应的数为． 拓展训练 一、选择题 1、（25-26七年级上·湖南长沙·期中）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果向西15米记作米，那么向东20米记作（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义，根据相反意义的量，向西记为负，则向东记为正． 【详解】解：∵向西15米记作米， ∴向东表示相反意义，应记为正， ∴向东20米记作米，故选项A正确， 故选：A． 2、（25-26七年级上·广东珠海·期中）国际乒联规定：正式乒乓球比赛中使用直径是，质量是（单位：克）的白色或橙色乒乓球，则下列乒乓球质量不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正负数的应用，准确分析乒乓球质量的合格范围是解题的关键．根据质量标注克，得出合格质量的上限和下限，进而判断每个选项是否在合格范围内． 【详解】由题意得，乒乓球质量合格的范围是克，所以乒乓球质量不合格的为克． 故选：D． 3、（25-26七年级上·山西临汾·月考）下列各数0，，，，（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：0，，，，（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中是有理数的有0，，，，共4个数． 故选B． 4、（25-26七年级上·广东江门·月考）如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数，找出算筹和数字的对应关系是关键．根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【详解】解 ∶依题意得 “”所表示的数是． 故选∶ D． 5、（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【详解】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． 2、 填空题 6、（24-25七年级上·湖北恩施·期中）武汉冬季某一天的最高气温为零上，记作，那么这天的最低气温零下可以记作 ． 【答案】 【分析】考查的是有关正数、负数在生活中应用，熟练掌握考查的是有关正数、负数在生活中应用的知识是解题的关键； 根据正数、负数在生活中应用即可求解； 【详解】解：某一天的最高气温为零上，记作， 最低气温零下可以记作， 故答案为： 7、（2024七年级上·江苏·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 8、（24-25七年级上·西藏林芝·期中）数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 【答案】 2 6 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离的计算方法的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题可以采用两种方法：第一种方法在数轴上直接表示出、和的数，然后即可求出两点之间的距离；第二种方法就是直接用较大的数减去较小的数，在数轴上越靠右的数越大，然后即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； ∵点表示的数为，点表示的数为， ∴根据较大的数减去较小的数得： ， ∴点，之间的距离为； 故答案为：2；6． 9、（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为 ． 【答案】5或 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解决此题的关键．先由点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称得出点A表示的数为，点C表示的数为，，再根据得出，进而即可得解． 【详解】解：∵将点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称， ∴点A表示的数为，点C表示的数为，， 设点B表示的数为b， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：5或 ． 10、（25-26七年级上·北京丰台·期中）如图，是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次． 例如，按逆时针方向旋转7个小格记为“”．此时标记线对准的数是7，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示的数是 ； 如果有一组开锁密码为“”，则锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是 ． 【答案】 8 25 【分析】本题考查了正负数的意义，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键．根据开锁密码的意义即可得解， 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是7．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，”，此时标记线对准的数是8， ∴开锁密码为“”，表示先按顺时针方向转10格，再按逆时针方向转15格，再按顺时针方向转20格， 所以标记线按顺时针转了15格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为25． 三、解答题 11、（25-26七年级上·广东广州·月考）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，，． (1)负有理数集合：｛______…}； (2)整数集合：｛______…}； (3)非负整数集合：｛______…}． 【答案】(1)，，， (2)，0，2006， (3)0，2006 【分析】本题考查有理数分类，熟记有理数分类是解决问题的关键． （1）由负有理数定义逐项判断即可得到答案； （2）由整数定义逐项判断即可得到答案； （3）由非负整数定义逐项判断即可得到答案． 【详解】（1）解：，，0，，，2006，，， 负有理数集合：｛，，，…}； （2）解：，，0，，，2006，，， 整数集合：｛，0，2006，…}； （3）解：，，0，，，2006，，， 非负整数集合：｛0，2006…}． 12、（25-26六年级上·上海杨浦·期中）（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 【答案】（1）见解析；（2）或． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离． （1）用数轴上的点表示各数即可； （2）根据数轴上两点间的距离作答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度， 则点表示的数是或． 13、（24-25七年级下·浙江·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是．    (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______． (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1)数轴见解析；4 (2)2或6 (3)数轴见解析； 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图，为原点，点所表示的数是4，    故答案为：4； （2）解：点表示的数为或． 即点C表示的数为：2或6； （3）解：，， 在数轴上表示，如图所示：    由数轴可知：． 14、（25-26七年级上·江西·阶段练习）10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 【答案】(1)质量最大的是54千克，质量最小的是45千克 (2)500 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是正确理解正负数的意义． （1）根据正负的含义，求出各袋小麦的质量对比求解即可； （2）先计算总的10袋小麦超过或不足的情况，再计算总质量即可． 【详解】（1）解： 第一袋：； 第二袋：； 第三袋：； 第四袋：； 第五袋：； 第六袋：； 第七袋：； 第八袋：； 第九袋：； 第十袋：； ， 所以质量最大的是，质量最小的是； 答：质量最大的是54千克，质量最小的是45千克； （2）解：（千克）， 所以总质量为． 答：这10袋小麦总质量是500千克． 15、（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，数轴上的点三点分别表示． 【初探】 （）请在数轴上标出三个点； （）两点之间的距离是_______； 【操作】 （）折叠纸面，使两点重合，则表示的点与表示_______（填写数字）的点重合．若数轴上两点之间的距离为，且两点经过折叠后重合（点在点的左侧），求两点分别表示的数． 【答案】（）数轴表示见解析；（）；（），点表示的数为，点表示的数为 【分析】（）根据题意画出数轴即可； （）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）求出折痕点表示的数，进而根据中点坐标公式和两点间距离公式解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，数轴上的折叠问题，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：（）数轴表示如下： （）两点之间的距离为， 故答案为：； （）折叠纸面，使两点重合，则折痕点表示的数为， 设表示的点与表示的点重合，则， ∴，即表示的点与表示的点重合， ∵两点之间的距离为，且两点折叠后重合， ∴点表示的数与的距离为，点表示的数与的距离为， ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破专题01 有理数与数轴 （4知识梳理+14题型解读+15拓展训练） 题型一 相反意义的量 题型二 正负数的定义 题型三 正负数的应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 数轴上的平移（动点） 题型十三 数轴上的整点问题 题型十四 应用数轴解决实际问题 必备知识 知识01 具有相反意义的量： 1．一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示． 2．注意： （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利100元与向东走100米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升200米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降150米、下降200米等. 知识02 正数和负数的概念： 1. 大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，0既不是正数也不是负数．正数是大于0的数，负数是小于0的数。 2. 注意： （1）、一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； （2）、0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3、判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数. 知识03 有理数的概念及其分类： 1.有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 2.有理数的分类 有理数按性质符号分类： 知识04 数轴： 1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 2.数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，……. 3.数轴上的点与有理数之间的关系：①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点； ②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度. 题型解读 【题型一 相反意义的量】 【例1】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列具有相反意义的量的是（    ） A．前进米和后退米 B．零上℃和下降℃ C．收入元和亏损元 D．向南走千米和向东走千米 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列各项中具有相反意义的量的是（    ） A．盈利50元和超支80元 B．身高增加2cm和体重减少2kg C．得4分和失2分 D．前进5米和左移5米 【变式训练2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组量中，具有相反意义的是（  ） A．账户余额增加元与账户余额减少元 B．个老师与个学生 C．走了米与跑了米 D．向东行米与向北行米 【变式训练3】（25-26七年级上·安徽六安·期中）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是(     )． A．收入2000元与支出200元 B．超过与不足 C．增大与减少 D．上升和下降 【变式训练4】（25-26七年级上·山东临沂·期中）下面每组中的两个量不是具有相反意义的量是（   ） A．收入100元与支出100元 B．盈利500元与亏损500元 C．增产2吨与减产2吨 D．体重下降3千克与身高增长3厘米 【题型二 正负数的定义】 【例2】（湖北省武汉市东湖高新区2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）有关负数的记载，最早出现在我国《九章算术》中．下列各数中：5，，0，，，，负数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【变式训练1】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的个数是（    ） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任一个正数，前面加上“”号，就是一个负数； ③0是最小的正数； ④正数和负数统称为有理数； ⑤所有的有理数都能够化为分数的形式． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2】（25-26七年级上·四川德阳·月考）有下列各数：3，，，0，，其中负数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段练习）指出5，，，，，，，，各数中正数和负数的个数分别为（   ） A．5个，4个 B．4个，5个 C．5个，5个 D．4个，6个 【变式训练4】（25-26七年级上·安徽亳州·阶段练习）把下列各数分别填入相应的括号内： ，，，0，，，，，，，． (1)正数：{             }． (2)整数：{             }． (3)负分数：{             }． (4)负数：{             }． 【题型三 正负数的应用】 【例3】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）中国是最早系统提出正负数运算法则的国家．在《九章算术》的“方程”章中，明确记载了“正负术”，即“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”．在进行方程组的“直除法”消元时，若用算筹表示，正数用红色算筹，负数用黑色算筹．若在计算中，收入5贯钱记为“正五”，那么支出3贯钱应记为（   ） A．负三 B．正三 C．负五 D．正五 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆·期中）2025年上半年，国际金价波动较大，若元/克表示当日金价比前一天上涨了12元/克，则元/克表示（   ） A．当日金价比前一天下跌了 B．当日金价为4元/克 C．当日金价比前一天下跌了8元/克 D．当日金价比前一天上涨了8元/克 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）某种零件标明要求是（表示直径），则下面4个零件不合格的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）在表示某地的高度时，通常以海平面为基准，用0m表示海平面的海拔、如果甲地海拔高于海平面25m，记为m，那么乙地海拔低于海平面12m记为（   ） A．m B．m C．m D．m 【变式训练4】（25-26七年级上·广东广州·期中）外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【题型四 有理数的定义】 【例4】．（25-26七年级上·云南昆明·期中）下列各数0，，，，，（每两个2之间增加一个0），其中有理数的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下列说法正确的有（    ） ①有限小数一定是有理数；②有理数一定是有限小数；③任何一个无限循环小数都可以化成分数；④任何一个分数都可以化成小数；⑤任何一个无限小数都是有理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．1和2之间没有有理数 C．0.5是正有理数 D．既是整数，也是负数 【变式训练3】（25-26七年级上·四川德阳·阶段练习）下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有限小数和无限循环小数不是有理数 B．正整数与负整数统称为整数 C．正有理数、0、负有理数统称为有理数 D．非负整数即为正整数 【变式训练4】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是小数，所以不是有理数．其中错误的说法有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【题型五 0的意义】 【例5】（上海市黄浦区2025-2026学年上学期期中考六年级数学试卷）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）下列叙述中错误的是（   ） A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．海拔表示没有海拔 D．是零上温度和零下温度的分界点 【变式训练2】（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【变式训练3】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列说法：①是负分数；②1.5不是整数；③0不是非负有理数；④0是最小的自然数．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练4】（25-26七年级上·河南商丘·阶段练习）下列叙述中错误的是（    ）． A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．0℃是零上温度和零下温度的分界点 D．海拔表示没有海拔 【题型六 有理数的分类】 【例6】25-26七年级上·江苏镇江·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ；；0；；；；；；；；；…（每两个2之间的0不断增加）． 整数集合：{________________ …}； 分数集合：{________________…}； 有理数集合：{________________…}； 非负整数集合：{________________…}． 【变式训练1】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段练习）下列各有理数：中（   ） A．只有是整数 B．只有是负分数 C．非负数有 D．其中有三个数是正整数 【变式训练2】（25-26七年级上·天津·期中）对于下列各数：，，0，，，下列说法错误的是（   ） A．和0都是整数 B．以上各数中没有正整数 C．正数有，， D．是负有理数，但不能写成分数的形式 【变式训练3】（25-26七年级上·宁夏固原·阶段练习）下列7个数：、、、0、、、，其中有理数有（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练4】（25-26七年级上·江苏南京·期中）把下列各数填入相应的括号内： ，，，，，，，，，，． 正数： ； 整数： ； 负分数： ； 非负数： ． 【题型七 带“非”字的有理数】 【例7】（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）下列数中：，非正有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1】（25-26七年级上·四川泸州·阶段练习）在，，，，，7中，非负有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式训练2】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】（25-26七年级上·安徽安庆·阶段练习）在1，0，，，2025，中，非负数有（   ）个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练4】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩． 正有理数集合：{                                                  …}； 非负数集合：{                                                  …}； 非正整数集合：{                                                  …}； 分数集合：{                                                  …}． 【题型八 数轴的三要素及画法】 【例8】（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）下列各图中，表示数轴的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）下列各图表示的数轴，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知快递公司坐落在一条东西走向的街道上，某快递员从快递公司取件后在这条街道上送快递，他先向东骑行1千米到达A店，继续向东骑行2千米到达B店，然后向西骑行5千米到达C店，最后回到快递公司． (1)以快递公司为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出A，B，C三个店的位置： (2)C店离A店有多远？ 【变式训练4】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）现有下列各数：①，②，③，④0，⑤，⑥． (1)把上列各数序号填入相应的大括号里： 负数集合：{____________…}； 整数集合：{____________…}． (2)请把下面不完整的数轴（图）补充完整，并在数轴上标出上列各数中的所有整数． 【题型九 用数轴上的点表示有理数】 【例9】（25-26七年级上·广东广州·月考）在数轴上，与表示数的距离为个单位长度的点所表示的数是（    ） A． B． C．和 D．和 【变式训练1】（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图，数轴上点表示的有理数可能是（   ） A． B． C． D．0.3 【变式训练2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点落在点C的右侧，且，则C点表示的数是（　　） A．1 B． C．1或-7 D．1或 【变式训练3】（25-26七年级上·山西朔州·期中）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示4和8的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【变式训练4】（2024七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等． (1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______． (2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． 【题型十 利用数轴比较有理数的大小】 【例10】（25-26六年级上·上海嘉定·期中）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024·广东佛山·三模）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24七年级上·广东清远·期末）如图，数轴上的点表示的数可能是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3】（2024七年级下·上海·专题练习）（1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数． ，，， （2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答： 　　． 【变式训练4】（25-26七年级上·广东中山·期中）已知下列各数，按要求完成各题：，0，，，． (1)指出题中所有的负有理数：_____； (2)将这些数在所给数轴上表示出来． (3)把这些数按从小到大的顺序排列，并用“<”把它们连接起来． 【题型十一 数轴上两点之间的距离】 【例11】（25-26七年级上·山西临汾·阶段练习）已知点、是数轴上的两个点，点在原点左侧，且到原点的距离为3个单位长度；点与点相距2个单位长度，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．1或5 【变式训练1】（25-26七年级上·四川广元·阶段练习）数轴上点与点的距离是3，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2 B． C．4或 D．或2 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知与2互为相反数，且它们在数轴上分别对应，两点，则，两点的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练3】（24-25七年级上·陕西·期末）已知数轴上的、两点表示的数分别为与5，且，则的值为（   ） A．或6 B．2或11 C．2或6 D．6或11 【变式训练4】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）点O、A、B、C，在数轴上的位置如图所示，已知点O为原点，AC=3,OA=OB,若点C表示的数为a,则点B表示的数为（    ） A. ﹣a＋3 B.a＋3 C. ﹣a﹣3 D.a﹣3 【题型十二 数轴上的平移（动点）】 【例12】（25-26七年级上·浙江湖州·期中）点在数轴的负半轴上且距离原点2个单位长度．将点沿数轴向左平移3个单位长度后得到点，那么点表示的数为（   ） A． B． C．3 D．5 【变式训练1】在数轴上，将表示2的点沿数轴向右移动4个单位长度得到的数是______． 【变式训练2】（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）数轴上有一点P从原点出发向正方向移动3个单位恰好与点重合，此时数轴上的点与点的距离是6个单位长度，则点表示的数是（   ） A．9 B． C．或9 D．或0 【变式训练3】（25-26七年级上·甘肃武威·期中）数轴上一点沿数轴向右移动5个单位长度后到达点，且点到原点的距离为1，若点到点和点到原点的距离相等，则点表示的数是（   ） A．2或3 B．或 C．或3 D．2或 【变式训练4】（25-26七年级上·吉林白山·阶段练习）如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15，．若点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)探究： 的长度为________；的长度为________． (2)应用： ①当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ②当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ③当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ④用含t的式子填空：点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ 【题型十三 数轴上的整点问题】 【例13】（25-26七年级上·河南南阳·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【变式训练1】（2024春·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个. 【变式训练2】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）在数轴上表示和之间的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式训练3】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）如图，一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（　　）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练4】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为、、、，点落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（   ） A． B． C． D． 【题型十四 应用数轴解决实际问题】 【例14】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【变式训练1】（2024秋•公安县期末）小聪在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣2的点与表示5的点重合，若数轴上A，B两点之间的距离为10，且A，B两点经上述折叠后重合，则B点表示的数为 　 　． 【变式训练2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【变式训练3】（2024春·吉林长春·七年级校考期中）甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.6米．相持一会儿后，标志物向乙队方向移动了0.5米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的加油声中，标志物又向甲队方向移动了0.9米．若规定标志物向某队方向移动2米以上该队即可获胜，通过计算说明最后哪队获胜？ 【变式训练4】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为的木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端，分别落在点，处，将木棒在数轴上水平移动，先向右移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为，再向左移动，当点移动到处时运动停止，点与点重合，此时点对应的数为． （1）由此可得，__________，的值为__________． （2）图中点所表示的数是__________，点所表示的数是__________． （3）若木棒以每秒个单位长度的速度运动，从运动开始到结束共需要几秒钟？ 【拓展应用】 （4）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经是岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 拓展训练 一、选择题 1、（25-26七年级上·湖南长沙·期中）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果向西15米记作米，那么向东20米记作（    ）米． A． B． C． D． 2、（25-26七年级上·广东珠海·期中）国际乒联规定：正式乒乓球比赛中使用直径是，质量是（单位：克）的白色或橙色乒乓球，则下列乒乓球质量不合格的是（    ） A． B． C． D． 3、（25-26七年级上·山西临汾·月考）下列各数0，，，，（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4、（25-26七年级上·广东江门·月考）如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是（  ） A． B． C． D． 5、（25-26七年级上·北京西城·期中）如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2、 填空题 6、（24-25七年级上·湖北恩施·期中）武汉冬季某一天的最高气温为零上，记作，那么这天的最低气温零下可以记作 ． 7、（2024七年级上·江苏·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 8、（24-25七年级上·西藏林芝·期中）数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则点，之间的距离为 ，点，之间的距离为 ． 9、（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为 ． 10、（25-26七年级上·北京丰台·期中）如图，是一种转盘型密码锁，每次开锁时需要先把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次． 例如，按逆时针方向旋转7个小格记为“”．此时标记线对准的数是7，再顺时针旋转2个小格记为“”，再逆时针旋转3个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“”，此时标记线对准的刻度线表示的数是 ； 如果有一组开锁密码为“”，则锁打开时，标记线对准的刻度线表示的数是 ． 三、解答题 11、（25-26七年级上·广东广州·月考）把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，，． (1)负有理数集合：｛______…}； (2)整数集合：｛______…}； (3)非负整数集合：｛______…}． 12、（25-26六年级上·上海杨浦·期中）（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 13、（24-25七年级下·浙江·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是．    (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是______． (2)在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为_____； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 14、（25-26七年级上·江西·阶段练习）10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 15、（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，数轴上的点三点分别表示． 【初探】 （）请在数轴上标出三个点； （）两点之间的距离是_______； 【操作】 （）折叠纸面，使两点重合，则表示的点与表示_______（填写数字）的点重合．若数轴上两点之间的距离为，且两点经过折叠后重合（点在点的左侧），求两点分别表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $