易错04 万有引力及其应用（6易错点错因剖析）（易错专练）（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

易错04 万有引力及其应用 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 误认为对不同的中心天体可以运用开普勒第三定律 易错点2 混淆不同天体的重力加速度 易错点3 估算天体质量和密度的易错点 易错点4 对第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度理解不清 易错点5 混淆近地卫星、同步卫星和赤道上物体这三种模型 易错点6 卫星变轨时不知是加速还是减速且卫星变轨时物理量的变化比较错误 第二部分 易错题闯关 易错点1 小船渡河混淆 “船头方向” 与 “实际运动方向” 易错典题 【例1】 （2025·河南焦作·二模）下面的表格是行星围绕太阳运动、木星的卫星围绕木星运动、地球的卫星围绕地球运动的轨道半长轴、周期及半长轴三次方与周期平方之比的数据信息。其中，行星、卫星称为转动天体，太阳、木星和地球称之为中央天体。已知引力常量为，下列说法正确的有（　　） 半长轴 公转周期（天） 值 水星 57.9 87.9 金星 108.2 224.7 地球 149.6 365.0 木卫一 0.42 1.8 木卫二 0.67 3.6 地球同步卫星 0.0427 1.0 月球 0.3844 27.3 A．开普勒三定律只适用于行星围绕太阳运动的天体系统 B．半长轴三次方与周期平方之比跟转动天体有关 C．半长轴三次方与周期平方之比只跟中央天体有关 D．根据题目已知条件和表格信息，可估算月球的质量 【错因分析】误认为开普勒三定律只适用于行星围绕太阳运动的天体系统而错选A；开普勒第三定律只对绕同一中心天体运转的星体适用,中心天体不同的星体不能使用该定律，误认为开普勒第三定律可以对于不同的中心天体而错选D 【答案】C 【详解】A．从表格给定信息来看，开普勒三定律规律可推广到木星系、地球系等其他星系统中， 错误； BC．分析表格数据可推断，半长轴三次方与周期平方之比跟转动天体无关，只跟中央天体有关，错误，正确； D．若根据题目已知条件和表格信息，可计算中央天体的质量，月球不是中央天体，所以无法计算月球的质量，D错误。 故选C。 避错攻略 【知识链接】（1）行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 （2）行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。半径等于半长轴。 （3）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 （4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 举一反三 【变式1-1】.（2025·安徽·高考真题） 2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。 故选BC。 ．【变式1-2】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道运行时，根据开普勒第三定律 同理，对地球的同步卫星根据开普勒第三定律 又开普勒常量与中心天体的质量成正比，所以 联立可得 故选D。 【变式1-3】.（2025·广东·高考真题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A. 公转周期约6年 B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D. 在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 【答案】D 【解析】 【详解】A．根据题意，设地球与太阳间距离为，则小行星公转轨道的半长轴为 由开普勒第三定律有 解得年 故A错误； B．从远日点到近日点，小行星与太阳间距离减小，由万有引力定律可知，小行星受太阳引力增大，故B错误； cC．由开普勒第二定律可知，从远日点到近日点，小行星线速度逐渐增大，故C错误。 D．由牛顿第二定律有 解得 可知 即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的，故D正确； 故选D。 易错点2 混淆不同天体的重力加速度 易错典题 【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有 …… 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。 【错因分析】题中所列关于g的表达式并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星做匀速圆周运动的向心加速度。 【答案】0.16g0 【解析】卫星表面＝g 行星表面=g0 即= 即g =0.16g0。 避错攻略 【知识链接】星体表面上的重力加速度的计算方法 (1)在星体表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝G，得g＝. (2)在星体上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝，所以＝. 举一反三 【变式2-1】（2025·山西吕梁·三模）2024年科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星Gliese12b，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。Gliese12b体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。将某物体分别在Gliese12b表面与地球表面水平抛出，若水平抛出的高度和初速度均相同，则物体第一次落地时水平距离之比约为（　　） A．4∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶4 【答案】C 【详解】根据万有引力提供向心力，得 可得星体表面的重力加速度 Gliese12b和地球的质量之比约为4∶1，半径之比约为1∶1，则Gliese12b表面和地球表面的重力加速度大小之比约为4∶1 又根据 可得在Gliese12b表面和地球表面相同高度做平抛运动的时间之比为1∶2， 根据 可得相同初速度时平抛的水平距离之比为1∶2。 故选C。 【变式2-2】若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是(　 ) A．g1＝g　　　　 B．g2＝g C．g1＝g2 D．g1＝g2 【答案】C　 【解析】：对于中国空间站，根据万有引力提供向心力可得＝mg1，解得g1＝，在地球表面＝mg，因此g1＝g，A错误；设地球密度为ρ，在地球表面万有引力等于重力，即＝m1g，又因为m地＝ρV＝，代入得g＝，由于质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零，因此g2＝＝g，B错误；由以上各式联立可得＝，C正确，D错误。 【变式2-3】已知某行星的平均密度与地球的平均密度相等，分别在地球表面上和该行星表面上做竖直上抛实验，如图中甲，乙曲线分别是在地球上和该行星上以不同初速度竖直上抛的物体的位移一时间图像，不计空气阻力和星球自转，已知地球重力加速度为，地球半径，引力常量，则下列说法正确的是（    ） A．该行星表面的重力加速度为 B．该行星表面的重力加速度为 C．该行星的半径为 D．该行星的半径为 【答案】BD 【详解】AB．图像可知在地球、某行星上竖直上抛物体到最高点用时分别为，逆向思维法可知，在地球和该行星上分别有， 联立解得 故A错误，B正确； CD．对地球，根据黄金代换式有 又因为密度 联立解得 由于该行星的平均密度与地球的平均密度相等，同理，对该行星有 联立以上解得 故C错误，D正确。 故选BD。 易错点3 估算天体质量和密度的易错点 易错典题 【例3】（2026湖北重点中学联考）2025年1月13日，“微厘空间01组”的10颗卫星在山东海阳附近海域成功发射升空并顺利进入预定轨道。该组网卫星的轨道离地高度大都在695km~708km之间，可以近似为圆轨道。已知卫星组中标识符为“2025-007E”的04星的轨道半径为，绕地球做圆周运动的周期为，地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A． B．由、和G能求地球的密度 C．地球质量与太阳质量的比值为 D．地球质量与太阳质量的比值为 【错因分析】（1）误认为能估算环绕天体的质量。利用万有引力提供天体做圆周运动所需的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。 （2）混淆天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的“R”只能是中心天体的半径。 【答案】C 【详解】A．开普勒第三定律仅适用于同一中心天体的系统，标识符为“2025-007E”的04星的中心天体是地球，地球的中心天体是太阳，因此半径和周期不满足开普勒第三定律，故A错误； B．地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径，周期和引力常量为G只能求太阳的质量，无法求地球的密度，故B错误； CD．对于卫星绕地球运动 对于地球绕太阳运动 两式联立可得，故D错误，C正确。 故选C。 避错攻略 【知识链接】 天体质量和密度的估算的思想方法 1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行时，由上式可知只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 举一反三 【变式3-1】（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【答案】B 【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 故选B。 【变式3-2】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 【变式3-3】16迄今已知的公转周期最短的行星是一颗编号为PSR1719-14b的系外行星，它围绕一脉冲星（恒星）公转，公转周期约为小时。已知地球与太阳距离约为该行星与脉冲星距离的倍。根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．该脉冲星质量约为太阳质量的倍 B．该脉冲星质量约为太阳质量的倍 C．该行星质量约为地球质量的倍 D．该行星质量约为地球质量的倍 【答案】A 【详解】AB．设中心天体质量为M，环绕天体质量为m，根据 解得 对地球有 对系外行星有 联立解得 故A正确，B错误； CD．根据以上分析可知，行星质量被约去了，故无法求出行星质量之比，故CD错误。 故选A。 易错点四 对第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度理解不清 易错典题 【例4】（2022·浙江·高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 【错因分析】误选A的原因：对第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度理解不清而错 选A项；不会应用开普勒第三定律判断椭圆轨道和圆形轨道的周期的关系而错选B 项；对变轨过程中速度的变化，万有引力做功情况不清晰导致误选D项 【答案】C 【解析】A．因发射的卫星要能变轨到绕太阳转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2km/s与16.7km/s之间，故A错误； B．因P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期（1年共12个月），则从P点转移到Q点的时间为轨道周期的一半时间应大于6个月，故B错误； C．因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； D．卫星从Q点变轨时，要加速增大速度，即在地火转移轨道Q点的速度小于火星轨道的速度，而由 可得 可知火星轨道速度小于地球轨道速度，因此可知卫星在Q点速度小于地球轨道速度，故D错误； 故选C。 。避错攻略 【知识链接】 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9km/s。 (2)第一宇宙速度是人造卫星在_地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 2．第二宇宙速度(脱离速度) 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值11.2km/s。 3．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km/s。 4．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 举一反三 【变式4-1】(2023·北京卷)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是( ) A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1° B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 【答案】A 【解析】因为“夸父一号”轨道要始终保持要太阳光照射到，则在一年之内转动360°角，即轨道平面平均每天约转动1°，故A正确；第一宇宙速度是所有绕地球做圆周运动的卫星的最大环绕速度，则“夸父一号”的速度小于7.9 km/s，故B错误；根据G＝ma，可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C错误；“夸父一号”绕地球转动，地球绕太阳转动，中心天体不同，则根据题中信息不能求解地球与太阳的距离，故D错误。故选A。 【变式4-2】我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( A ) A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 【答案】A 【解析】火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A正确，B错误；由G＝m得，v火＝＝＝v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C错误；由＝mg得，g火＝＝G＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D错误。 【变式4-3】(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( ) A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 【答案】B 【解析】　恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度。恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度物理意义可得＝m，整理得v＝，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝R3ρ得R＝，已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，则v′＝v＝，联立整理得v′2＝2v2＝＝2G，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。故选B。 易错点五 混淆近地卫星、同步卫星和赤道上物体这三种模型 易错典题 【例5】（2025.·湖南娄底模拟）同步卫星离地心距离为r，运行速率v，加速度为a，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a，第一宇宙速度为v，地球的半径为R，则下列比值正确的是（） A． = B =（） C = D = 【错因分析】解决本题的关键是要明确研究对象，抓住受力这一本质。有的同学这样求解：设地球质量为M，同步卫星的质量为m，地球赤道上的物体的质量为m，根据万有引力定律G= ma G= m a 所以=（） 再由 得= 所以选项BC正确，，上述错解的原因研究对象混淆，乱乱套公式． 【答案】AD 【解析】设地球质量为M，同步卫星的质量为m，地球赤道上的物体的质量为m，在地球表面附近的物体质量为m。根据向心加速度和角速度的关系有 a=r a=R = 故=，得正确选项A． 由万有引力定律有 G= G= 由以上两式解得 =，得正确选项为D。 避错攻略 【知识链接】】近地卫星、静止卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体 图示 　　 项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r静＞r物＝r近 角速度 ω近＞ω静＝ω物 线速度 v近＞v静＞v物 向心加速度 a近＞a静＞a物 举一反三 【变式5-1】 （2025·广东深圳·一模）如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度，线速度，下列描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．由题意，根据 得 由于，可知 根据，， 可得 所以 故AB错误； CD．由题意，根据 得 由于，可知 根据，， 可得 所以 故C错误，D正确。 故选D。 【变式5-2】如图，物块P位于纬度为的地球表面上，与地球保持相对静止，人造地球卫星Q、R均做匀速圆周运动，卫星R为地球静止卫星。若某时刻P、Q、R与地心O在同一平面内，其中O、P、Q在一条直线上，且，下列说法正确的是（　　） A．Q、P的周期之比为 B．Q、R的线速度之比为 C．物块P的角速度大于卫星Q的角速度 D．物块P的向心加速度大于卫星Q的向心加速度 【答案】A 【详解】A．由 得 则、的周期之比为 又因卫星为地球静止卫星，所以，则，A正确； B．由 得， 则、的线速度之比为，B错误； C．由 得 由，则，又，则，C错误； D．由，，，故 由 得 由，有，故，D错误。 故选A。 【变式5-3】 （2025·江西·模拟预测）图为科幻电影中的太空电梯示意图，超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转，超级缆绳对固定基地的作用力可以忽略。为太空电梯，电梯可通过超级缆绳自由穿梭于同步空间站与配重空间站之间，已知同步空间站比地球同步卫星的轨道低，配重空间站比地球同步卫星的轨道高，忽略空间站的自转，下列说法正确的是（　　） A．航天员站在配重空间站内看到地球在下方 B．航天员站在同步空间站内看到地球在上方 C．航天员在配重空间站向外自由释放一物块，物块将做离心运动 D．航天员在同步空间站向外自由释放一物块，物块将相对空间站静止 【答案】C 【详解】A．在同步轨道时，万有引力刚好提供向心力，由于配重空间站比地球同步卫星的轨道高，因此航天员站在配重空间站时受到配重空间站指向地球的支持力作用，航天员站在配重空间站内看到地球在上方，故A错误； B．同步空间站比地球同步卫星的轨道低，所以航天员站在同步空间站时受到同步空间站指向配重空间站的支持力作用，航天员站在同步空间站内看到地球在下方，故B错误； C．物块在配重空间站内受到指向地球的支持力作用，万有引力加上支持力提供向心力，在配重空间站向外自由释放一物块，所受的万有引力将小于向心力，物块将做离心运动，故C正确； D．物块在同步空间站内受到向外的支持力作用，万有引力减去支持力提供向心力，将物体移到同步空间站向外自由释放时，所受的万有引力会大于向心力，则物块将做近心运动，故D错误。 故选C。 易错点6 卫星变轨时不知是加速还是减速且卫星变轨时物理量的变化比较错误 易错典题 【例6】（2025·广东深圳·一模）在系列科幻电影《流浪地球》中，由于太阳寿命将尽，人类计划建造“行星发动机”将地球推离太阳系。太阳系中行星的公转运动可视为匀速圆周运动。如图所示，现计划使用行星发动机进行两次变轨，经过椭圆转移轨道，以最短时间将地球转移到木星轨道上，已知木星公转周期为K年，则（　　） A．从地球轨道进入转移轨道，行星发动机需要加速 B．地球在转移轨道上运行时，速度不断增大 C．地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变 D．地球在转移轨道上运行的时间为年 【错因分析】误认为地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度发生改变而错选B项，不能用开普勒第三定律求椭圆转移轨道的时间而错选D项。椭圆转移轨道 【答案】AC 【详解】A．从地球轨道进入转移轨道，做离心运动，行星发动机需要加速，故A正确； B．地球在转移轨道上向远日点运动中，速度不断减小，故B错误； C．根据可知，地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变，故C正确； D．设地球轨道半径为r，木星轨道半径为R，满足 解得 轨道的半长轴为两轨道半径的平均值 地球在转移轨道上运行的周期为T，则 解得年 地球在转移轨道上运行的时间为 故D错误。 故选AC。 避错攻略 【知识链接】 1.变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2.对接 航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。 3.变轨过程各物理量比较 速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ，在B点加速：vⅢ＞vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB (向心)加速度关系 aⅢ＝aⅡB aⅡA＝aⅠ 周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ 机械能 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ 举一反三 【变式6-1】 （2025·湖北·三模）中国首次火星探测任务工程总设计师表示，我国将在2028年实施“天问三号”火星探测与取样返回任务。“天问三号”探测器从地球发射后第一次变轨进入地火转移轨道，逐渐远离地球，成为一颗人造行星，运行轨迹简化如图所示，Ⅰ是地球运行圆轨道，Ⅱ是地火转移椭圆轨道，Ⅲ是火星运行圆轨道，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点。已知火星密度为地球密度的火星自身半径为地球自身半径的，地球表面重力加速度大小为g，则（　　） A．P点处，“天问三号”在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度 B．Q点处，“天问三号”在轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向前喷气 C．“天问三号”在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道Ⅱ上P点处运行速度最大 D．火星表面的重力加速度大小约为 【答案】C 【详解】A.  根据 可知 在点处，“天问三号”在轨道I上的加速度等于轨道II上的加速度，故A错误； B.“天问三号”在轨道II上的点做近心运动，需加速才能进入轨道III做圆周运动，需要向后喷气，故B错误； C.根据开普勒第二定律可知，在近日点的速度大于远日点的速度，可知“天问三号”在轨道II上点速度小于点速度，“天问三号”在轨道I上的点做圆周运动，需加速才能进入轨道II做离心运动，可知“天问三号”在轨道I上点速度小于在轨道II上点速度，“天问三号”在轨道I和轨道III上均绕太阳做圆周运动，其线速度满足 轨道III半径大，故“天问三号”在轨道III上运行速度小于在轨道I上运行速度，综上，“天问三号”在轨道II上点处运行速度最大； D．天体表面的重力加速度 又 代入得 因此 选项D错误； 故选C。 【变式6-2】（2025·海南海口·模拟预测）2024年6月25日，经过53天的太空漫游，“嫦娥六号”返回器顺利着陆，并给地球带回了一份珍贵的“礼物”——来自月背的月球样品，这也是人类首次实现月背采样及返回。如图为“嫦娥六号”返回轨迹示意图，忽略“嫦娥六号”在轨道转移过程中的质量变化。下列说法中正确的是（　　） A．“嫦娥六号”从月球取回的“礼物”到达地球后重力变小 B．“嫦娥六号”的发射速度大于第三宇宙速度 C．“嫦娥六号”在近月轨道a的运行周期小于在轨道b的运行周期 D．“嫦娥六号”在近月轨道a上经过Q点时的动能大于在轨道b上经过Q点时的动能 【答案】C 【详解】A．同一物体在月球上受到的重力大约是地球上重力的六分之一，“快递”到达地球后重力变大，故A错误； B．“嫦娥六号”的运动仍在地球引力范围内，所以“嫦娥六号”的发射速度应大于地球的第一宇宙速度，小于地球的第二宇宙速度，故B错误； C．因近月轨道a的半径小于椭圆轨道b的半长轴，根据开普勒第三定律可得“嫦娥六号”在近月轨道a的运行周期小于在椭圆轨道b的运行周期，故C正确； D．“嫦娥六号”在椭圆轨道b上的Q点点火减速，使万有引力大于向心力做近心运动，进入近月轨道a，则“嫦娥六号”在近月轨道a上经过Q点时的动能小于在轨道b上经过Q点时的动能，故D错误。 故选C。 【变式6-3】（2025·北京丰台·一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度 B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力 C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小 D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加 【答案】D 【详解】A．径向交会对接是指飞船沿与空间站运动方向垂直的方向和空间站完成对接。飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方200米的轨迹半径较小，根据可知，它的运动速度小于空间站运动速度，故A错误； B．飞船维持在“停泊点”的状态时，以空间站为研究对象，根据万有引力提供向心力有 飞船维持在“停泊点”的状态时，即飞船与空间站角速度相同，飞船在空间站正下方，轨迹半径较小，分析可知 需要开动发动机给飞船提供一个背离地心的推力使飞船能与空间站保持相对静止，故B错误； C．对接稳定后空间站的轨道半径不变，质量增大，根据万有引力提供向心力有 解得 对接稳定后空间站速度与质量无关，保持不变，故C错误； D．对接稳定过程中，外力对飞船做正功，相比于“停泊点”，飞船的机械能增加，故D正确； 1.（2025·江西景德镇·三模）科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图为地球绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，已知，，且地球绕太阳一周的时间为T，椭圆面积为。下列说法正确的是（　　）    A．地球在A点和C点的速度相同 B．地球从B点运动到D点的过程中太阳对地球的引力做负功 C．根据题中条件可知，太阳的质量为 D．地球从A运动到B所用时间为 【答案】BCD 【详解】A．地球在A点和C点到太阳的间距相等，根据对称性可知，地球在A点和C点的速度大小相等，但速度方向不同，则地球在A点和C点的速度不相同，故A错误； B．地球从B点运动到D点的过程中，万有引力方向与速度方向夹角为钝角，可知，太阳对地球的引力做负功，故B正确； C．根据开普勒第三定律有 若绕太阳轨迹为圆，则有 则有 解得 故C正确； D．椭圆面积为 地球位移椭圆的焦点位置，令地球到椭圆中心的距离为c，则有 令地球从A运动到B所用时间为t，该时间内地球与太阳连线扫过的面积 根据开普勒第二定律有 解得 故D正确。 故选BCD。 2. （2021·天津·高考真题）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　） A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 【答案】D 【解析】A．天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速圆周运动，受力不平衡，故A错误； B．根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误； C．天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力要小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误； D．在轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，故速度增大，故D正确。 故选D。 3. （2022·江苏·扬州中学模拟预测）如图所示，“鹊桥”中继星处于地月拉格朗日点L2上时，会和月球、地球两个大天体保持相对静止的状态。设地球的质量为M，“鹊桥”中继星的质量为m，地月间距为L，拉格朗日L2点与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”中继星均可视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，忽略“鹊桥”中继星对月球的影响。则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列选项正确的是（　　） A．月球与地球质量之比为 B．“鹊桥”中继星与月球的线速度之比为 C．“鹊桥”中继星与月球的向心加速度之比 D．地球对月球的引力和“鹊桥”中继星对月球的引力之比为1∶1 【答案】A 【解析】A．对月球，地球对它的万有引力提供向心力 对“鹊桥”中继星，地球引力和月球引力的合力提供向心力，故 联立解得 故A正确； B．“鹊桥”中继星与月球绕地球运动的角速度相等，根据可得“鹊桥”中继星与月球的线速度之比为,故B错误； C．根据可得“鹊桥”中继星与月球的向心加速度之比为，故C错误； D．月球所受的合外力方向指向地球，故地球对月球的引力大于“鹊桥”中继星对月球的引力，故D错误。 故选A。 4．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有 可得 可得 设某球体天体的半径为，在星球表面，有 联立可得 故选C。 5.（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球绕地球运动的轨道半径为r₁，地球绕太阳运动的轨道半径为r₂，根据 可得 其中 联立可得 故选D。 6. （2022·山东·高考真题）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得 解得 根据题意可知，卫星的运行周期为 根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有 联立解得 故选C。 7.（2025·云南·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设卫星转动的周期为，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 可得 代入 可得 故选A。 8.（2025·海南·高考真题）载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是（　　） A. 火箭加速升空失重 B. 宇航员在空间站受到的万有引力小于在地表受到万有引力 C. 空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度 D. 空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度 【答案】B 【解析】 【详解】A．火箭加速升空过程，加速度方向竖直向上，则处于超重状态，故A错误； B．根据，宇航员与地球的质量不变，宇航员在空间站离地心更远，则受到的万有引力小于在地表受到万有引力，故B正确； C．根据可得，可知空间站绕地球做匀速圆周运动角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转角速度，故C错误； D．根据可得，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度大于地球同步卫星的加速度，故D错误。 故选B 。 8.（2025·湖北·高考真题）2. 甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（ ） A. ．甲运动的周期比乙的小 B. 甲运动的线速度比乙的小 C. 甲运动的角速度比乙的小 D. 甲运动的向心加速度比乙的小 【答案】A 【解析】 【详解】根据卫星做圆周运动的向心力等于万有引力可知 可得，，， 因，可知卫星甲、乙运动的周期 线速度关系 角速度关系 向心加速度关系 故选A。 9.（2025·甘肃·高考真题） 如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 若，小星球做匀速圆周运动 B. 若，小星球做抛物线运动 C. 若，小星球做椭圆运动 D. 若，小星球可能与恒星相撞 【答案】A 【解析】 【详解】A．根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确； B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误； C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误； D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。 故选A。 10.（2025·河南·高考真题）3. 2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese122b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese122b绕其母恒星的运动周期约为（　　） A. 13天 B. 27天 C. 64天 D. 128天 【答案】A 【解析】 【详解】地球绕太阳运行的周期约为365天，根据万有引力提供向心力得 已知，，同理得 整理得 带入数据得 故选A。 故选BC。 11．（2025·湖南·高考真题）4. 我国研制“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（　　） A. a为为为 B. a为为为 C. a为为为 D. a为为为 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为。 故选A。 12．（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R，小行星乙的近日点到太阳的距离为R，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误； B．根据 小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比 故C错误； D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比 ≈ 故D正确。 故选D。 13．（2024·湖北·高考真题）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 【答案】A 【详解】A．在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确； B．因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误； C．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误； D．由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 故选A。 14．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 【答案】B 【详解】A．冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得 整理得 A错误； B．根据开普勒第二定律得，近月点的速度大于远月点的速度，B正确； C．近月点从捕获轨道到冻结轨道鹊桥二号进行近月制动，捕获轨道近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误； D．两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。 故选B。 15．（2024·江西·高考真题）两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为、，则动能和周期的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，则月球对卫星的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，卫星的质量为m，则半径为r1的卫星有 半径为r2的卫星有 再根据动能，可得两卫星动能和周期的比值分别为 ， 故选A。 16．（多选）（2024·河北·高考真题）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（   ） A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 【答案】BD 【详解】A．鹊桥二号围绕月球做椭圆运动，根据开普勒第二定律可知，从A→C→B做减速运动，从B→D→A做加速运动，则从C→B→D的运动时间大于半个周期，即大于12h，故A错误； B．鹊桥二号在A点根据牛顿第二定律有 同理在B点有 带入题中数据联立解得 aA：aB = 81：1 故B正确； C．由于鹊桥二号做曲线运动，则可知鹊桥二号速度方向应为轨迹的切线方向，则可知鹊桥二号在C、D两点的速度方向不可能垂直于其与月心的连线，故C错误； D．由于鹊桥二号环绕月球运动，而月球为地球的“卫星”，则鹊桥二号未脱离地球的束缚，故鹊桥二号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2km/s，故D正确。 故选BD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 易错04 万有引力及其应用 目录 第一部分 易错点剖析 易错典题 避错攻略 举一反三 易错点1 误认为对不同的中心天体可以运用开普勒第三定律 易错点2 混淆不同天体的重力加速度 易错点3 估算天体质量和密度的易错点 易错点4 对第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度理解不清 易错点5 混淆近地卫星、同步卫星和赤道上物体这三种模型 易错点6 卫星变轨时不知是加速还是减速且卫星变轨时物理量的变化比较错误 第二部分 易错题闯关 易错点1 小船渡河混淆 “船头方向” 与 “实际运动方向” 易错典题 【例1】 （2025·河南焦作·二模）下面的表格是行星围绕太阳运动、木星的卫星围绕木星运动、地球的卫星围绕地球运动的轨道半长轴、周期及半长轴三次方与周期平方之比的数据信息。其中，行星、卫星称为转动天体，太阳、木星和地球称之为中央天体。已知引力常量为，下列说法正确的有（　　） 半长轴 公转周期（天） 值 水星 57.9 87.9 金星 108.2 224.7 地球 149.6 365.0 木卫一 0.42 1.8 木卫二 0.67 3.6 地球同步卫星 0.0427 1.0 月球 0.3844 27.3 A．开普勒三定律只适用于行星围绕太阳运动的天体系统 B．半长轴三次方与周期平方之比跟转动天体有关 C．半长轴三次方与周期平方之比只跟中央天体有关 D．根据题目已知条件和表格信息，可估算月球的质量 避错攻略 【知识链接】（1）行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。 （2）行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。半径等于半长轴。 （3）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。 （4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 举一反三 【变式1-1】.（2025·安徽·高考真题） 2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A. B. C. D. ．【变式1-2】（2024·山东·高考真题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】.（2025·广东·高考真题）一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是（　　） A. 公转周期约6年 B. 从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小 C. 从远日点到近日点线速度大小逐渐减小 D. 在近日点加速度大小约为地球公转加速度的 易错点2 混淆不同天体的重力加速度 易错典题 【例2】一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为g0，行星的质量M与卫星的质量m之比M/m=81，行星的半径R0与卫星的半径R之比R0/R＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R0之比r/R0＝60。设卫星表面的重力加速度为g，则在卫星表面有 …… 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的1/3600。上述结果是否正确？若正确，列式证明；若有错误，求出正确结果。 避错攻略 【知识链接】星体表面上的重力加速度的计算方法 (1)在星体表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)；mg＝G，得g＝. (2)在星体上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝，所以＝. 举一反三 【变式2-1】（2025·山西吕梁·三模）2024年科学家发现了一颗距离地球40光年的类地行星Gliese12b，这颗行星的发现引发了全球对“第二颗地球”的热议。Gliese12b体积和地球差不多，质量约为地球的4倍。将某物体分别在Gliese12b表面与地球表面水平抛出，若水平抛出的高度和初速度均相同，则物体第一次落地时水平距离之比约为（　　） A．4∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．1∶4 【变式2-2】若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知质量分布均匀的球壳对球内任一质点的万有引力为零。中国空间站轨道距离地面高度为h，所在处的重力加速度为g1；“蛟龙”号载人潜水器下潜深度为d，所在处的重力加速度为g2；地表处重力加速度为g，不计地球自转影响，下列关系式正确的是(　 ) A．g1＝g　　　　 B．g2＝g C．g1＝g2 D．g1＝g2 【变式2-3】已知某行星的平均密度与地球的平均密度相等，分别在地球表面上和该行星表面上做竖直上抛实验，如图中甲，乙曲线分别是在地球上和该行星上以不同初速度竖直上抛的物体的位移一时间图像，不计空气阻力和星球自转，已知地球重力加速度为，地球半径，引力常量，则下列说法正确的是（    ） A．该行星表面的重力加速度为 B．该行星表面的重力加速度为 C．该行星的半径为 D．该行星的半径为 易错点3 估算天体质量和密度的易错点 易错典题 【例3】（2026湖北重点中学联考）2025年1月13日，“微厘空间01组”的10颗卫星在山东海阳附近海域成功发射升空并顺利进入预定轨道。该组网卫星的轨道离地高度大都在695km~708km之间，可以近似为圆轨道。已知卫星组中标识符为“2025-007E”的04星的轨道半径为，绕地球做圆周运动的周期为，地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为，周期为，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A． B．由、和G能求地球的密度 C．地球质量与太阳质量的比值为 D．地球质量与太阳质量的比值为 避错攻略 【知识链接】 天体质量和密度的估算的思想方法 1．“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行时，由上式可知只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 举一反三 【变式3-1】（2024·全国·高考真题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【变式3-2】（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】16迄今已知的公转周期最短的行星是一颗编号为PSR1719-14b的系外行星，它围绕一脉冲星（恒星）公转，公转周期约为小时。已知地球与太阳距离约为该行星与脉冲星距离的倍。根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．该脉冲星质量约为太阳质量的倍 B．该脉冲星质量约为太阳质量的倍 C．该行星质量约为地球质量的倍 D．该行星质量约为地球质量的倍 易错点四 对第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度理解不清 易错典题 【例4】（2022·浙江·高考真题）“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号（　　） A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间 B．从P点转移到Q点的时间小于6个月 C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度 。避错攻略 【知识链接】 1．第一宇宙速度 (1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9km/s。 (2)第一宇宙速度是人造卫星在_地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。 (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 2．第二宇宙速度(脱离速度) 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值11.2km/s。 3．第三宇宙速度(逃逸速度) 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km/s。 4．宇宙速度与运动轨迹的关系 (1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。 (2)7.9 km/s<v发<11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 (3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。 (4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 举一反三 【变式4-1】(2023·北京卷)2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720 km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”，下列说法正确的是( ) A．“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1° B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s C．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度 D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离 【变式4-2】我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是( A ) A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 【变式4-3】(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( ) A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同 B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大 C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度 易错点五 混淆近地卫星、同步卫星和赤道上物体这三种模型 易错典题 【例5】（2025.·湖南娄底模拟）同步卫星离地心距离为r，运行速率v，加速度为a，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a，第一宇宙速度为v，地球的半径为R，则下列比值正确的是（） A． = B =（） C = D = 避错攻略 【知识链接】】近地卫星、静止卫星与地球赤道上物体的比较 项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体 图示 　　 项目 近地卫星 静止卫星 地球赤道上物体 向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r静＞r物＝r近 角速度 ω近＞ω静＝ω物 线速度 v近＞v静＞v物 向心加速度 a近＞a静＞a物 举一反三 【变式5-1】 （2025·广东深圳·一模）如图所示，a为静止在赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。以地心为参考系，关于它们的向心加速度，线速度，下列描述正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，物块P位于纬度为的地球表面上，与地球保持相对静止，人造地球卫星Q、R均做匀速圆周运动，卫星R为地球静止卫星。若某时刻P、Q、R与地心O在同一平面内，其中O、P、Q在一条直线上，且，下列说法正确的是（　　） A．Q、P的周期之比为 B．Q、R的线速度之比为 C．物块P的角速度大于卫星Q的角速度 D．物块P的向心加速度大于卫星Q的向心加速度 【变式5-3】 （2025·江西·模拟预测）图为科幻电影中的太空电梯示意图，超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，它们随地球同步旋转，超级缆绳对固定基地的作用力可以忽略。为太空电梯，电梯可通过超级缆绳自由穿梭于同步空间站与配重空间站之间，已知同步空间站比地球同步卫星的轨道低，配重空间站比地球同步卫星的轨道高，忽略空间站的自转，下列说法正确的是（　　） A．航天员站在配重空间站内看到地球在下方 B．航天员站在同步空间站内看到地球在上方 C．航天员在配重空间站向外自由释放一物块，物块将做离心运动 D．航天员在同步空间站向外自由释放一物块，物块将相对空间站静止 易错点6 卫星变轨时不知是加速还是减速且卫星变轨时物理量的变化比较错误 易错典题 【例6】（2025·广东深圳·一模）在系列科幻电影《流浪地球》中，由于太阳寿命将尽，人类计划建造“行星发动机”将地球推离太阳系。太阳系中行星的公转运动可视为匀速圆周运动。如图所示，现计划使用行星发动机进行两次变轨，经过椭圆转移轨道，以最短时间将地球转移到木星轨道上，已知木星公转周期为K年，则（　　） A．从地球轨道进入转移轨道，行星发动机需要加速 B．地球在转移轨道上运行时，速度不断增大 C．地球在第二次变轨点，变轨前后向心加速度不会改变 D．地球在转移轨道上运行的时间为年 避错攻略 【知识链接】 1.变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G<m，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。 2.对接 航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。 3.变轨过程各物理量比较 速度关系 在A点加速：vⅡA＞vⅠ，在B点加速：vⅢ＞vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB (向心)加速度关系 aⅢ＝aⅡB aⅡA＝aⅠ 周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ 机械能 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ 举一反三 【变式6-1】 （2025·湖北·三模）中国首次火星探测任务工程总设计师表示，我国将在2028年实施“天问三号”火星探测与取样返回任务。“天问三号”探测器从地球发射后第一次变轨进入地火转移轨道，逐渐远离地球，成为一颗人造行星，运行轨迹简化如图所示，Ⅰ是地球运行圆轨道，Ⅱ是地火转移椭圆轨道，Ⅲ是火星运行圆轨道，轨道Ⅰ与轨道Ⅱ相切于P点，轨道Ⅱ与轨道Ⅲ相切于Q点。已知火星密度为地球密度的火星自身半径为地球自身半径的，地球表面重力加速度大小为g，则（　　） A．P点处，“天问三号”在轨道Ⅰ上的加速度小于在轨道Ⅱ上的加速度 B．Q点处，“天问三号”在轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要向前喷气 C．“天问三号”在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的全过程中，在轨道Ⅱ上P点处运行速度最大 D．火星表面的重力加速度大小约为 【变式6-2】（2025·海南海口·模拟预测）2024年6月25日，经过53天的太空漫游，“嫦娥六号”返回器顺利着陆，并给地球带回了一份珍贵的“礼物”——来自月背的月球样品，这也是人类首次实现月背采样及返回。如图为“嫦娥六号”返回轨迹示意图，忽略“嫦娥六号”在轨道转移过程中的质量变化。下列说法中正确的是（　　） A．“嫦娥六号”从月球取回的“礼物”到达地球后重力变小 B．“嫦娥六号”的发射速度大于第三宇宙速度 C．“嫦娥六号”在近月轨道a的运行周期小于在轨道b的运行周期 D．“嫦娥六号”在近月轨道a上经过Q点时的动能大于在轨道b上经过Q点时的动能 【变式6-3】（2025·北京丰台·一模）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船与跬地表约400km 的空间站顺利完成径向对接。对接前，飞船在空间站正下方200m 的“停泊点”处调整为垂直姿态，并保持相对静止；随后逐步上升到“对接点”，与空间站完成对接形成组合体，组合体在空间站原轨道上做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　） A．飞船在“停泊点”时，其运动速度大于空间站运动速度 B．飞船在“停泊点”时，万有引力提供向心力 C．相比于对接前，对接稳定后空间站速度会变小 D．相比于“停泊点”，对接稳定后飞船的机械能增加 1.（2025·江西景德镇·三模）科学家通过研究发现，行星绕恒星的运动轨迹其实并不是正圆，而是一个椭圆。如图为地球绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，已知，，且地球绕太阳一周的时间为T，椭圆面积为。下列说法正确的是（　　）    A．地球在A点和C点的速度相同 B．地球从B点运动到D点的过程中太阳对地球的引力做负功 C．根据题中条件可知，太阳的质量为 D．地球从A运动到B所用时间为 2. （2021·天津·高考真题）2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器（　　） A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 3. （2022·江苏·扬州中学模拟预测）如图所示，“鹊桥”中继星处于地月拉格朗日点L2上时，会和月球、地球两个大天体保持相对静止的状态。设地球的质量为M，“鹊桥”中继星的质量为m，地月间距为L，拉格朗日L2点与月球间距为d，地球、月球和“鹊桥”中继星均可视为质点，忽略太阳对“鹊桥”中继星的引力，忽略“鹊桥”中继星对月球的影响。则“鹊桥”中继星处于L2点上时，下列选项正确的是（　　） A．月球与地球质量之比为 B．“鹊桥”中继星与月球的线速度之比为 C．“鹊桥”中继星与月球的向心加速度之比 D．地球对月球的引力和“鹊桥”中继星对月球的引力之比为1∶1 4．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 5.（2023·辽宁·高考真题）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T₁，地球绕太阳运动的周期为T₂，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）    A． B． C． D． 6. （2022·山东·高考真题）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为（       ） A． B． C． D． 7.（2025·云南·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（ ） A. B. C. D. 8.（2025·海南·高考真题）载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是（　　） A. 火箭加速升空失重 B. 宇航员在空间站受到的万有引力小于在地表受到万有引力 C. 空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度 D. 空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度 8.（2025·湖北·高考真题）2. 甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是（ ） A. ．甲运动的周期比乙的小 B. 甲运动的线速度比乙的小 C. 甲运动的角速度比乙的小 D. 甲运动的向心加速度比乙的小 9.（2025·甘肃·高考真题） 如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A. 若，小星球做匀速圆周运动 B. 若，小星球做抛物线运动 C. 若，小星球做椭圆运动 D. 若，小星球可能与恒星相撞 10.（2025·河南·高考真题）3. 2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese122b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese122b绕其母恒星的运动周期约为（　　） A. 13天 B. 27天 C. 64天 D. 128天 11．（2025·湖南·高考真题）4. 我国研制“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理得到。下列选项正确的是（　　） A. a为为为 B. a为为为 C. a为为为 D. a为为为 12．（2024·浙江·高考真题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R，小行星乙的近日点到太阳的距离为R，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 13．（2024·湖北·高考真题）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 14．（2024·安徽·高考真题）2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9900km，周期约为24h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时（    ） A．周期约为144h B．近月点的速度大于远月点的速度 C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度 D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度 15．（2024·江西·高考真题）两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为、，则动能和周期的比值为（   ） A． B． C． D． 16．（多选）（2024·河北·高考真题）2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通讯。鹊桥二号采用周期为24h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为2.0 × 103km，远月点B距月心约为1.8 × 104km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（   ） A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为81：1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9km/s且小于11.2km/s 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $