2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系及一元二次不等式解法。通过矩形养鸡场面积问题导入，衔接初中二次函数、方程基础与高中集合、不等式知识，搭建递进式学习支架。 以实际情境激发兴趣，借助数形结合分析二次函数图象与解集关系，分Δ三种情况归纳解法并以框图呈现流程，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象素养。帮助学生建立“方程—函数—不等式”联系，提升解题能力，为教师提供实用的教学互动设计与反思建议。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计 教材分析 本节课通过矩形面积问题引入一元二次不等式的实际背景，借助二次函数图象分析不等式的解集，揭示了一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程之间的内在联系，进而归纳出求解一元二次不等式的规律方法，并用框图形式呈现求解流程。教学过程遵循“问题情境—数学建模—图象分析—归纳结论”的逻辑线索展开。本节内容承接二次函数的学习，是函数知识的具体应用，有助于学生理解函数零点、方程根与不等式解集之间的关系，提升数形结合能力，为后续学习函数综合应用及高中阶段其他不等式问题奠定基础。 学情分析 针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已在初中学习了一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质，并掌握了函数零点的概念及“数形结合”研究函数的基本方法，具备利用图象分析函数符号变化的初步能力，进入高中后进一步学习了集合、不等式的基本性质和函数的单调性等内容，逻辑思维能力和抽象概括能力有所提升，但对不等式与函数、方程之间的内在联系理解尚不深刻，本节课要求学生通过探究一元二次不等式与二次函数图象、一元二次方程根的关系，理解对图象与轴位置的影响，掌握解一元二次不等式的基本步骤，帮助学生建立“方程—函数—不等式”三者统一的思想，提升数形结合与分类讨论的能力。 教学目标 1. 理解一元二次不等式的概念及其与二次函数的关系，能够解释数学概念和规则的含义，达到数学抽象核心素养水平一的要求。 2. 掌握利用二次函数图像求解一元二次不等式的方法，能够在关联的情景中抽象出一般的数学概念和规则，达到数学抽象核心素养水平二的要求。 3. 能够根据判别式Δ的不同情况，分析一元二次不等式的解集，达到逻辑推理和数学运算核心素养水平二的要求。 4. 能够运用一元二次不等式解决实际问题，如矩形面积问题，达到数学建模核心素养水平一的要求。 5. 理解并能够运用框图表示一元二次不等式的求解过程，达到直观想象核心素养水平一的要求。 重点难点 教学重点：一元二次不等式的解法，二次函数与一元二次不等式解集的关系，对图象与轴交点的影响。 教学难点：根据二次函数图象确定不等式解集，含参不等式的讨论。 课堂导入 同学们，假设咱们要建一个靠墙的矩形养鸡场，墙长16米，现有32米长的篱笆，要使围成的养鸡场面积不小于120平方米，那么与墙垂直的边长该是多少呢？设与墙垂直的边长为米，则与墙平行的边长为米，依题意可得不等式，整理后就是 。像这样只含一个未知数且未知数最高次数是2的不等式，就是今天要学习的一元二次不等式。如何求解它呢？这就需要借助我们熟悉的二次函数与一元二次方程的知识，下面就让我们一起探究其中的奥秘。 二次函数与一元二次方程、不等式 探究新知 （一）知识精讲 我们从实际问题出发，引出一类新的不等式——一元二次不等式。例如，在围建矩形花坛的问题中，设矩形的一条边长为 m，则另一条边长为 m，由面积大于 20 m² 的条件，得到不等式： 整理后可得： 这个不等式只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2，我们称这样的不等式为一元二次不等式。其一般形式为： 其中 是常数，且 。 为了求解这类不等式，我们可以借助对应的二次函数图像进行分析。考虑一元二次不等式 与其对应的二次函数 的关系。 如图所示，在平面直角坐标系中画出该二次函数的图像。图像是一条开口向上的抛物线，与 轴有两个交点。这两个交点的横坐标是方程 的两个实数根。解这个方程： 利用因式分解法得： 所以 , 。因此，函数图像与 轴的交点为 和 。 我们把使二次函数值为零的实数 称为这个函数的零点。因此，函数 的两个零点是 和 。这两个零点将 轴分成三个区间：、、。观察图像可知： 当 或 时，图像位于 轴上方，即 ，也就是 ； 当 时，图像位于 轴下方，即 ，也就是 。 因此，不等式 的解集是： 又因为原问题中 表示矩形的边长，必须满足 ，而 是 的子集，所以最终解集无需进一步限制。 这一方法可以推广到一般情形。对于形如 或 （其中 ）的一元二次不等式，我们可以通过以下步骤求解： 1. 解对应的一元二次方程 ，求出其根（即函数的零点）； 2. 根据判别式 的符号，判断方程根的情况，从而确定二次函数图像与 轴的位置关系； 3. 结合图像，分析函数值的正负区间，进而写出不等式的解集。 具体可分为三种情况（对应教材表 2.3-1）： 若 ，方程有两个不相等的实根 （），则： 的解集为 ； 的解集为 。 若 ，方程有一个重根 ，则： 无解（解集为空集）； 的解集为 。 若 ，方程无实根，图像始终在 轴上方，则： 无解； 的解集为全体实数 。 上述规律建立在 的前提下。若 ，通常先将不等式两边同乘 ，并改变不等号方向，转化为 的标准形式再求解。 （二）师生互动 教师提问：刚才我们通过函数图像找到了不等式 的解集，那么如果我把这个不等式改成 ，它的解集应该怎么确定？你能结合图像说明吗？ 学生回答：根据图像，当 或 时，函数值大于零，所以解集应该是 。 教师追问：很好！那如果我们不知道图像，只给出方程的两个根和开口方向，能不能直接写出解集？比如已知一个二次函数有两个零点 、，且 ，那么它对应的不等式 的解集是什么？ 学生思考后回答：因为开口向上，函数值在两个零点之间小于零，所以解集是 。 教师继续引导：那么如果这个函数只有一个零点呢？比如说 ，图像刚好与 轴相切，这时候 还有解吗？为什么？ 学生回答：没有解，因为图像除了切点外都在 轴上方，函数值非负，不可能小于零。 （三）设计意图 通过实际问题引入一元二次不等式的概念，使学生理解数学模型来源于生活情境，增强学习的现实意义；借助函数图像研究不等式的解集，体现“数形结合”的思想方法，帮助学生直观理解抽象的代数关系；通过对零点、判别式与图像位置的系统分析，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提升逻辑推理素养；师生互动环节围绕图像特征与解集的关系展开递进式提问，既巩固了对图像信息的读取能力，又促使学生在已有认知基础上主动建构知识体系；整个过程强调定义的准确性、推理的严密性以及数学语言的规范表达，引导学生以探究的方式理解数学本质，发展理性思维，同时渗透函数与方程、不等式之间的内在联系，为后续学习奠定基础。 板书设计 二次函数与一元二次方程、不等式 实际问题建模 矩形面积问题：设边长为，则另一条边为 不等式模型： ⟹ 概念定义 一元二次不等式：形如 或 （） 二次函数零点：使 的实数 图象法解不等式 关联函数： 求根：解方程 ⟹ ， 零点分段：将 轴分为 、、 符号判断： 当 时，图象在 轴下方 ⟹ 解集： 一般情况分类讨论（） 判别式 ：两不等实根，图象与 轴有两个交点 解集： 解集： ：一实根（重根），图象与 轴相切 解集： 解集： ：无实根，图象在 轴上方 解集： 解集： 求解流程图（框图思想） 化标准式： 或 （） 求对应方程的根 画函数草图（结合开口与零点） 写解集（根据图象位置确定符号区间） 教学反思 本教学设计以实际问题引入一元二次不等式概念，通过探究一元二次不等式与二次函数关系得出解集求解方法，再分情况讨论一般一元二次不等式解集，还给出求解过程框图。本课程较好完成教学任务，多数学生能掌握基本内容。成功之处在于从实际问题出发，激发学生兴趣，借助函数图象帮助学生理解；不足之处在于课堂练习时间有限，部分学生对不同情况的不等式求解熟练度不够，小组讨论深度可进一步加强，以更好地让学生自主探究归纳。 学科网（北京）股份有限公司 $