精品解析：宁夏回族自治区银川市第十五中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

银川十五中九年级第一学期数学期中试卷 （时间：120分钟 满分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最优可能的是（ ） A. 暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 D. 从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心” 5. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边为（ ） A. 12cm B. 8cm C. 6cm D. 5cm 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 7. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（ ） A. 14 B. 15.6 C. 14.6 D. 15 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程化为一般形式后的二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________． 10. 若，则_________． 11. 承天寺塔，位于银川古城西南部，为宁夏现存唯一有文献可考始建年代的西夏古塔．如图是承天寺塔及其部分示意图，已知，若，则的值为__________． 12. 为响应环保理念，学校在校园周边共种下800棵花苗．环保社团的同学随机选取20棵进行观察记录，发现其中有5棵是月季花苗，由此可估计月季花苗的数量为__________棵． 13. 如图，在一块长为，宽为的矩形地面上修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽度为米，则可列方程为__________ 14. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________ 15. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 16. 如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个矩形，使，则__________． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，并求出的坐标． 19. 已知：关于x的方程kx2-（4k-3）x+3k-3=0． （1）求证：无论k取何值，方程都有实根． （2）若x=-1是该方程的一个根，求k的值； 20. 为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（1）班的4名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查：按（骑自行车）、（乘公交车）、（步行）、（乘私家车）、（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中任选一项，并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是__________人，并把条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，选择“其他方式”的人数所在扇形的圆心角度数是__________度； （3）已知这4名同学中恰好有两男两女，要从中选两名同学汇报调查结果，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率． 21. 如图，是矩形的一条对角线，延长至点E，使得，延长至点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 如图．在ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G． （1）求证：BD∥EF ． （2）若，BE=4，求EC的长． 23. 已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长度． 24. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 25. 在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示 ， ； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 26. 综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川十五中九年级第一学期数学期中试卷 （时间：120分钟 满分120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不合题意； B、是一元三次方程，故本选项不合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、是二元二次方程，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2. 下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】A．，，，不成比例，故本选项不符合题意； B．，，，不成比例，故本选项不符合题意； C．，，，，不成比例，故本选项不符合题意； D．，，两者相等，成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最优可能的是（ ） A. 暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2 D. 从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心” 【答案】A 【解析】 【分析】由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即左右，计算各项的概率即可得到正确答案． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即p=， A、暗箱中有1个红球和2个黄球，从中任取一球是红球的概率为，符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是2的概率为，不符合题意； D、从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是“红心”的概率为，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了求事件的概率，正确理解各事件求出其概率并结合折线图解答是解题的关键． 5. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边为（ ） A. 12cm B. 8cm C. 6cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图：在矩形ABCD中，AC=BD， ∵AC+BD=24， ∴AC=BD=12， ∵∠AOB=60°， 在矩形ABCD中，OA=OB， ∴是等边三角形， ∴OA=OB=AB=6， 故选：C． 6. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由四边形是正方形，是正三角形，得到，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：C． 8. 《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，则树高的长为（ ） A. 14 B. 15.6 C. 14.6 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：如图， 据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ∴树高为． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 一元二次方程化为一般形式后的二次项系数为__________，一次项系数为__________，常数项为__________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握概念是解题关键． 需将方程化为标准形式，再确定各项系数． 【详解】解：由原方程，移项得， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 10. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 11. 承天寺塔，位于银川古城西南部，为宁夏现存唯一有文献可考始建年代的西夏古塔．如图是承天寺塔及其部分示意图，已知，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由，得，再通过比例的性质即可解答本题． 【详解】，， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 为响应环保理念，学校在校园周边共种下800棵花苗．环保社团的同学随机选取20棵进行观察记录，发现其中有5棵是月季花苗，由此可估计月季花苗的数量为__________棵． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查根据样本比例估计总体比例，根据题意，可知月季花苗的样本比例为，据此，可估计月季花苗的总数量为棵，从而求得答案． 【详解】解：随机选取20棵花苗中有5棵月季花苗， 月季花苗的样本比例为， 学校在校园周边共种下800棵花苗， 月季花苗的总数量为棵， 故答案为：200． 13. 如图，在一块长为，宽为的矩形地面上修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，设道路的宽度为米，则可列方程为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（矩形面积问题），解题的关键是利用平移思想将草坪拼接成新矩形． 设道路宽度为米，通过平移道路，将草坪拼接成一个长为米、宽为米的矩形，再根据草坪面积为平方米，结合矩形面积公式列方程． 【详解】解：设道路的宽度为米． 由题意得 故答案为：． 14. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再通过恒等式 计算所求值． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中，，， 根据根与系数的关系，有： ， ， 则， 故答案为：． 15. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，是一张锐角三角形的硬纸片，是边上的高，，，从这张硬纸片上剪下一个矩形，使，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据矩形的性质得出相等角，证明，然后利用对应边成比例即可． 【详解】解：如图所示， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：15． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． （1）先确定一元二次方程各项的系数，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解方程的根； （2）通过因式分解法将方程转化为两个一元一次方程即可求解． 【小问1详解】 解：由得，， 这里，，， ， ， ，； 【小问2详解】 由得，， 或， ，． 18. 已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在网格中画出，并求出的坐标． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2） 如图所示：即为所求． 由图可知坐标为 【解析】 【分析】本题考查了几何的轴对称变换和位似变换，解决本题的关键是准确找到变换后的对应点． （1）找到、、关于轴对称的点，再连接相应的点； （2）将、、绕点旋转，再将对应点到点的距离扩大倍，得到、、，连接、、． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知：关于x的方程kx2-（4k-3）x+3k-3=0． （1）求证：无论k取何值，方程都有实根． （2）若x=-1是该方程的一个根，求k的值； 【答案】 （1）证明：当k≠0时， ∵方程kx2-（4k-3）x+3k-3=0， ∴Δ=（4k-3）2-4k（3k-3）=4k2-12k+9=（2k-3）2， ∴Δ=（2k-3）2≥0， 当k=0时，3x-3=0， 解得x=1． ∴无论k取何值，方程都有实根； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到Δ=（2k-3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论； （2）把x=-1代入方程求解即可． 【详解】（1） 略 （2）把x=-1代入方程得k+4k-3+3k-3=0， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 20. 为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（1）班的4名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查：按（骑自行车）、（乘公交车）、（步行）、（乘私家车）、（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中任选一项，并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是__________人，并把条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，选择“其他方式”的人数所在扇形的圆心角度数是__________度； （3）已知这4名同学中恰好有两男两女，要从中选两名同学汇报调查结果，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）300，图见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式，列表法求概率，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据上学方式为“骑自行车”的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总数；根据总学生数求出上学方式为“步行”的学生数，补全条形统计图即可； （2）求得“其他方式”所占的百分比，进而求得“其他方式”所在扇形的圆心角度数； （3）根据题意画出表格，得出所有等情况数和恰好选出1名男生和1名女生的情况，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次接受调查的总人数是：（人）， 步行的人数有：（人）， 补图如下： 故答案 ：300； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，其他方式”所在扇形的圆心角度数是：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 得到所有可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，则恰好选出1名男生和1名女生的概率为． 21. 如图，是矩形的一条对角线，延长至点E，使得，延长至点F，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质： （1）根据对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，即可得证； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵矩形，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 22. 如图．在ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．EF与CD交于点G． （1）求证：BD∥EF ． （2）若，BE=4，求EC的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∵DF=BE， ∴四边形BEFD是平行四边形， ∴BD∥EF； （2）6． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边的判定与性质，可得答案； （2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形BEFD是平行四边形， ∴DF=BE=4． ∵DF∥EC， ∴△DFG∽CEG， ∴， ∴CE===6． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 23. 已知：如图，在边长为12的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长度． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由已知可得，由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形的边长为12，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 24. 某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． （1）求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； （2）该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】（1）这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 （2）当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【小问1详解】 解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 25. 在中，，现有动点P从点C出发，沿向点A方向运动，动点Q从点B出发，沿向点C方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： （1）用含t的代数式表示 ， ； （2）当t为多少时，的长度等于？ （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）， （2）为0．2或3秒 （3）为2或 【解析】 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据题意列代数式即可． （2）利用勾股定理求解即可． （3）分情况讨论，和，代入求解即可． 【小问1详解】 解：用含的代数式表示，； 故答案为，． 【小问2详解】 解：在中，根据勾股定理得，， ， 解得：或， 当为0．2或3秒时，的长度等于． 【小问3详解】 解：以点为顶点的三角形与相似，且， ①， ， ， ， ②， ， ， ， 即当为2或时，以点为顶点的三角形与相似． 26. 综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是原分式方程的解． ∴； 拓展应用： 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可； （2）证明，利用相似比进行求解即可得出； 拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵将折叠，使边落在边上， ∴，， ∴，； 故答案为：； （2）略 拓展应用： 如图，连接，延长至点，使，连接， ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为黄金三角形， ∴， ∴．即菱形的较长的对角线的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $