2.4圆的方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕圆的一般方程展开，涵盖方程形式、成立条件、待定系数法求方程及轨迹方程求解等内容。通过复习圆的标准方程，以追问“是否有其他形式”引发探究，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是问题驱动与素养融合，通过配方推导方程成立条件培养数学思维，用待定系数法解过三点的圆（例1）、相关点法求中点轨迹（例2）强化数学语言表达。助力学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学范例。

圆的一般方程 1 问题1 圆心为，半径为r的圆的标准方程是什么？ 追问 直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他表示形式呢？ 1 复习巩固，提出问题 2 展开得 令 ，可得 2 深入探究，获得新知 3 问题2 形如的方程一定表示圆吗？ 配方得 追问 满足什么条件时，上述方程可以表示圆呢？ 4 配方得 (1) 当0时， 方程表示圆心为，半径为的圆； 5 (2) 当时，方程表示点； (3) 当 0时，方程无实数解，不表示任何图形. 因此，当0时，我们把方程叫做圆的一般方程. 6 问题3 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？ 首先，圆的标准方程2明确地表现出了圆的几何要素，即圆心坐标与半径. 而圆的一般方程0是一种特殊的二元二次方程，和前系数相同，无交叉项，它表现出明显的代数结构形式 . 7 3 应用举例，巩固提高 例1 求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. 解：设圆的方程是， 带入三个点的坐标可得 解得 圆的方程为，圆心(4,3)，半径5. 8 问题4 求圆的方程常用到待定系数法，其步骤是怎样的呢？ (1) 根据题意，选择圆的标准方程或一般方程； (2) 根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3) 解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程. 追问 运用待定系数法求圆的方程时，何时选用标准方程？何时选用一般方程呢？ 9 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或已知条件中涉及到圆心的某些信息，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r . 如果已知条件与圆心或半径均无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F，因为此时得到的方程组为三元一次，更加容易求解. 10 例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆 4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 11 问题5 什么是轨迹？什么又是轨迹方程呢？ 轨迹就是某动点运动所形成的图形； 轨迹方程是动点横坐标x与纵坐标y所满足的关系式. 12 例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆 4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 定点： B(4,3)， 定圆： 4. 13 14 例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆 4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 分析： 点A运动 点M运动 引起 被动点 主动点 15 解： 设M(x，y)，A(x0，y0)，则有 于是有 ① 由于点A在圆上，则4， 把①带入得，4， 整理得1. 16 解： 设M(x，y)，A(x0，y0)，则有 于是有 ① 由于点A在圆上，则4， 把①带入得，4， 整理得1. (1) 求谁设谁； (2) 找关系，用x,y表示x0,y0； (3) 利用x0,y0满足的关系，得到所求轨迹方程. 17 问题6 这节课学习了哪些知识？ (1) 圆的一般方程的形式； (2) 用待定系数法求圆的一般方程； (3) 运用相关点法求解动点的轨迹方程. 18 课后作业 1. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由. (1) +； (2) +. 2. 圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，1)和B(1，3)两点，求圆C的方程. 3. 已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(4，2)，底边的一个端点为B(3，5)，求底边另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形. 19 $