专题06 分式章末70道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 分式章末70道题型专训（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程压轴 题型七 分式方程解的情况求值压轴 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 题型十 分式方程综合运算 【经典例题一 分式的求值】 1．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 3．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 6．（24-25七年级上·上海静安·期中）一个四位自然数t，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位自然数t为“公能数”．“公能数”t的十位数字的3倍与百位数字及个位数字的和记为；“公能数”t的千位数字与3的差记为，记． 例如：∵对9574，，；∴9574是“公能数”． ∵， ∴． 又如：∵对4061，，；∴4061不是“公能数”． (1)请判断8430，6352是否为“公能数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值； (2)若一个“公能数”t，它的百位数字不超过3，且能被11整除时，求出所有满足条件的t的值． 7．（25-26七年级上·上海松江·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 【经典例题二 分式规律性计算】 8．（24-25七年级上·上海金山·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 9．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为， 解答下列问题： (1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________； (2)根据这类方程的特征，写出第个方程为________，其解为________； 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）探索发现：，，… (1)填空：______；______； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出；第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水还是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水可以倒完吗？为什么？ 11．（24-25七年级上·上海金山·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 12．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 13．（24-25七年级上·上海金山·期中）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明； (3)若的值为，求正整数n的值． 14．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 15．（24-25七年级上·上海松江·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 16．（24-25七年级上·上海闵行·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 17．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 18．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 19．（24-25七年级上·上海长宁·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 20．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题 我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如 ． (1)下列分式中，属于真分式的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)将假分式，化成整式和真分式的和的形式． (3)当m取哪些整数时，分式的值也是整数？ 21．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【经典例题四 分式混合运算压轴】 22．（2025·上海闵行·模拟预测）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 23．（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 24．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)第7个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； (3)计算：； 25．（25-26七年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读材料，解答下列问题：神奇的等式当时，一般来说会有，然而当a和b是特殊的分数时，这个等式却是成立的！例如：… (1)特例验证：请再写出一个具有上述特征的等式______； (2)猜想结论：用为正整数表示分数的分母，上述等式可表示为______； (3)证明推广：中得到的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由． 26．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 解：原式 (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________． (2)请选择一名同学的解法，写出完整的解答过程． 27．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ： ⋯第一步 第二步 第三步 第四步 ＝第五步 第六步 任务：填空 (1)以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　　 ； A．整式乘法 B．因式分解 (2)以上化简步骤中，第 　　 步是进行分式的通分，其依据是 　　 ； (3)第 　　 步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　　 ． (4)请直接写出正确结果 　　 ． 28．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）现要在边长为a米的方亭外围种植一圈草坪（如图①空白部分所示），并在如图②所示的空地上播撒相同数量的草籽． (1)求甲、乙两块正方形土地的播撒密度的比值（播撒密度）； (2)如果，求甲、乙两地播撒密度的大小关系． 【经典例题五 分式中的最值问题】 29．（24-25七年级上·上海金山·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 30．（24-25七年级上·上海青浦·期中）在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似的，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：＝＝，＝＝＝． 参考上面的方法解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)求分式的最大值；（其中n为正整数） (3)已知分式的值是整数，求t的整数值． 31．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 32．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 33．（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读下列材料：我们知道分数中有真分数、假分数、带分数，类似的，在分式中，也规定真分式、假分式、带分式．在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：分式是真分式，分式是假分式．一个假分式可以化为带分式，即化为一个整式与一个真分式的和，例如：，（注意带分式中整式与真分式之间的符号不能省略） 请根据以上方法，解决下列问题； (1)请根据以上信息，判断为____________分式（填“真”或“假”）； (2)已知：，试把化为含有的带分式； (3)已知：，，请计算；设，问：当为何值时，有最小值？求该最小值． 34．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如： ，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式． 解决问题： (1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　； (2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ (3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 35．（24-25七年级上·上海金山·期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读：材料 1：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式． 材料 2：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，例如：． 类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是 ______ 分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：____________________． (2)若分式的值为非负整数，则整数的值为 ____________________． (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【经典例题六 解分式方程压轴】 36．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）解方程：． 37．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）（1）计算： ①； ②； ③ （2）解方程： ①； ② 38．（24-25七年级上·上海松江·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 39．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）学习材料：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，则 ， ； (2)方程的两个解分别为，求的值； (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 40．（25-26七年级上·上海宝山·单元测试）阅读下列材料： ， ， ． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)在和式中，第6项为______，第n项为_______； (2)受此启发，请你解下面的分式方程： ． 41．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）（1）解方程： （2）先化简，再求值：，其中 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （I）甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （II）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 42．（25-26七年级上·上海奉贤 ·阶段练习）阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） ； （2）当时，最后一项 ． 【经典例题七 分式方程解的情况求值压轴】 43．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 44．（24-25七年级上·上海青浦·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 45．（24-25七年级上·上海青浦·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为： ______， _______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 46．（24-25七年级上·上海宝山·期末）学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行． (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______； (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 47．（24-25七年级上·上海金山·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 48．（24-25七年级上·上海静安·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 49．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）关于的方程：的解为； 的解为或； 的解为； 的解为； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是___________； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于的方程：． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 50．（25-26七年级上·上海长宁·期中）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 51．（25-26七年级上·上海金山·期中）为迎接上海宝山文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 52．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）在国庆黄金周中，熊猫基地游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用2400元购进A款产品，1440元购进B款产品，B款产品购进单价比A款产品购进单价高20％，B款产品的购进数量比A款产品的购进数量少40个． (1)该商店A款产品的购进单价为多少元？ (2)第一批A款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，A款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件A产品，当A款产品降价多少元时，每天可获利192元． 53．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）太原市某校教务处主任让采购员小李查询最近学校购买篮球和足球的单价，却发现订货单已被墨水污染，下面是被墨水污染了的订货单及采购员小李和保管员小康的对话． 商品 进价/（元/个） 数量 总金额/元 足球 5000 篮球 4000 请根据表格及他俩的对话求出篮球和足球的单价． 54．（2025·上海奉贤·模拟预测）下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由七年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 55．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 56．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）铁人三项包括游泳、自行车、跑步三个项目，运动员需按顺序连续完成，中间无停顿，有两个换项区用于转换装备．总成绩包含游泳、自行车、跑步三个项目的比赛时间以及在两个换项区所花费的时间． 此次厦门铁人三项比赛有短距离组、半程组、全程组等六组．其中，全程组各项的距离分别为游泳、自行车、跑步． (1)甲、乙两人参加全程组比赛．该组在自行车项目中的平均速度为，甲的速度是乙的1.25倍，且甲比乙用时少．请判断甲、乙两人的速度能否超过平均速度，并说明理由； (2)小陈今年参加男子全程组比赛．他对自己这次的成绩不满意，为了明年比赛取得更好的成绩，他收集了该组总成绩最好的18位运动员各个项目的成绩，并算出他们的平均成绩与自己进行对比，如下表所示： 游泳 自行车 跑步 总成绩 18位运动员的平均成绩（单位：s） 2070 4400 3200 10190 小陈的成绩（单位：s） 2277 4950 3720 11394 ①你认为三个项目中，小陈哪一项成绩最不理想？结合以上数据说明理由． ②跑步项目通常有两种参赛策略． 策略一：全程匀速，速度为； 策略二：在跑步初期阶段适当放慢速度，中期阶段匀速前进，后期阶段加速完成比赛． 在策略二中，中期匀速前进的路程通常为，且此阶段速度与策略一中全程速度相同；初期路程为，速度比中期速度慢；后期速度比中期速度快． 请根据所给材料帮助他判断应选择哪一种策略． 【经典例题九 分式的新定义问题】 57．（24-25七年级上·上海金山·期末）定义一种新运算“”，规则如下：，，这里等式右边是实数运算，例如：．求中的值． 58．（25-26七年级上·上海青浦·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)分式是分式的“雅中式”，则关于的“雅中值”为 ． (2)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (3)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 59．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 60．（2025七年级上·上海杨浦·模拟预测）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 61．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 62．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 63．（24-25七年级上·上海宝山·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【经典例题十 分式方程综合运算】 64．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 65．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 66．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 67．（24-25七年级上·上海松江·期末）【观察思考】： 【发现运用】 （1） ． （2） ． 【拓展提高】 （3）若，试求出n的值 68．（25-26七年级上·上海闵行·期中）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：第一步：方程两边同乘，得， 第二步：， 第三步：． 第四步：检验，当时，， 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 69．（2025·上海闵行·模拟预测）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式…①， …②， …③． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是 （填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值． 70．（24-25七年级上·上海静安·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式章末70道题型专训（10大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程压轴 题型七 分式方程解的情况求值压轴 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 题型十 分式方程综合运算 【经典例题一 分式的求值】 1．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）已知分式M=+． （1）若x=6且分式M的值等于4，求y的值； （2）若y=4，当x取哪些整数时，M的值是整数？ （3）若x、y均为正整数，写出使M的值等于2的所有x、y的值． 【答案】（1）y=6；（2）x=0、2、4、6；（3）x=2，y=4；x=4，y=2；x=1，y=5；x=5，y=1． 【分析】（1）直接将x，M的值代入，进而化简求出答案； （2）利用y=4时，代入进而利用整数的定义求出答案； （3）利用M=2，分别得出符合题意的答案． 【详解】解：（1）∵x=6且分式M的值等于4， ∴4=+ ， 整理得：2= 解得：y=6； （2）∵y=4， ∴M=+4， 当x=0时，M=4， 当x=2时，M=2， 当x=4时，M=0， 当x=6时，M=6； （3）∵x、y均为正整数，使M的值等于2， ∴2=+， ∴所有x、y的值为：x=2，y=4；x=4，y=2；x=1，y=5；x=5，y=1． 【点睛】此题主要考查了分式的值，正确把握整数的定义是解题关键． 2．（24-25七年级上·上海闵行·期中）对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 3．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． （1）按照例子解题即可； （2）设，，，，三式相加得：，求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：设， ，，， 三式相加得：， ， ， ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以：， 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你仿照上述方法解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求解，倒数，根据题意理解叫“倒数法”是解题的关键． （1）先求出，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， ， ， ∴ ， ； （2）解：， ∴， ， ，即， ， ． 5．（24-25七年级上·上海宝山·期中）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程． 已知，求的值． 解：由，知， ，即， ， 的值为． 【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题 已知，求的值； 【拓展延伸】已知，，，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键． 类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解； 拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可． 【详解】解：类比探究：由，知， ，即， ， ， ． 拓展延伸：∵，，， ，且， ． ， ． 6．（24-25七年级上·上海静安·期中）一个四位自然数t，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位自然数t为“公能数”．“公能数”t的十位数字的3倍与百位数字及个位数字的和记为；“公能数”t的千位数字与3的差记为，记． 例如：∵对9574，，；∴9574是“公能数”． ∵， ∴． 又如：∵对4061，，；∴4061不是“公能数”． (1)请判断8430，6352是否为“公能数”？并说明理由；如果是，请求出对应的的值； (2)若一个“公能数”t，它的百位数字不超过3，且能被11整除时，求出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)8430是“公能数”，；6352不是“公能数” (2)， 【分析】（1）根据功能数的定义进行判断即可，根据题意求出的值即可； （2）设（，，且a，b为整数），则，，，然进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵对8430，，， ∴8430是“公能数”． ∵，， ∴， ∵对6352，， ∴6352不是“公能数”； （2）解：设（，，且a，b为整数） ∵，， ∴， ∵，，且a，b为整数 ∴ 由题意  当时，，解得， ∴ 由题意  当时，，解得， ∴ 由题意  当时，，解得（舍）， 由题意  当时，不合题意舍去， 综上，． 【点睛】此题为新定义题型，根据题干中所给的新定义及运算规则来完成相关计算．该类题型主要考查学生对新知识的接受和应用能力．难度较大，要善于把新知识转化为常规知识来解决问题，方能突破难点． 7．（25-26七年级上·上海松江·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的求值，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的求值方法是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，再进一步利用完全平方公式计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 ∴， ∴． （2）解：设， 则， ． 【经典例题二 分式规律性计算】 8．（24-25七年级上·上海金山·期末）已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 9．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列方程的特征及其解的特点． ①的解为，； ②的解为，； ③的解为， 解答下列问题： (1)请你写出一个符合上述特征的方程为________，其解为________； (2)根据这类方程的特征，写出第个方程为________，其解为________； 【答案】(1)；， (2)；， 【分析】本题考查分式方程的解，理解方程的解，并根据题意总结归纳出一般规律是解题关键． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； 【详解】（1）解：如：， 其解为：， （2）解：∵，． ∴第个方程为， 其解为：， 10．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）探索发现：，，… (1)填空：______；______； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出；第1次倒出水，第2次倒出的水量是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水还是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水可以倒完吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不能倒完，理由见解析 【分析】（1）观察各等式，找出分子分母中的数与序号的关系求解即可； （2）根据题意求出前n次倒水量之和，再与1进行比较即可． 【详解】（1）；， 故答案为：；； （2）由题意可得： 第次倒出水量：， ∴前次总共倒出水量： ， ∵， ∴这1L水不能倒完． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律的问题，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解题的关键是发现分子分母中的数与序号的关系． 11．（24-25七年级上·上海金山·期末）我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 【答案】(1)①④ (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了分式的定义、分式的加减运算等知识点，灵活运用分式的加减运算法则成为解题的关键． （1）根据真分式的定义逐一判断即可； （2）先对原式变形，然后逆用分式加法并约分即可解答； （3）由（2）的信息可得：是整数，可得或，然后再解方程即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， ∴①是真分式，②是假分数，③是假分数，④是真分式． 故答案为：①④． （2）解：． （3）解：∵假分式的值是整数， ∴，即是整数． ∴或，解得：或或0或， ∵x的值为整数， ∴x的值为0或． 故答案为：0或． 12．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）观察各等式，根据每个等式中的分数的分子都是1，分母分别是序号数、序号数加1，求解即可； （2）根据探究出的式子存在的规律写出第n个等式并证明，即可； （3）先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简． 本题主要考查了数字变化规律的问题，观察、分析、归纳并发现分母与序号的关系的规律，熟练掌握发现的规律，列出代数式，裂项求和，是解决本题的关键． 【详解】（1）∵第一个式子是，， 第二个式子是，， 第三个式子是，， ∴第四个式子是， ， 第五个式子是，； 故答案为： （2）由（1）中归纳的规律知，第n个式子是， ， 证明： ∵左边， 右边 ∴左边=右边， ∴原式成立； 故答案为：； （3） （L）． 故倒n次倒出的总水量有L． 13．（24-25七年级上·上海金山·期中）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含正整数n的等式表示），并加以证明； (3)若的值为，求正整数n的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)7 【分析】（1）根据前四个式子的规律，写出第5个式子，即可求解； （2）由（1）中的式子得到规律，即可求解； （3）根据题意把原式变形为，可得，再化简可得到，然后得到关于n的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 第5个等式： 故答案为： （2）由（1）得：第n个等式： 证明： 右边 =左边； （3） ∵的值为， ∴， 整理得： 解得：， 检验：当n=7时，， ∴是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，分式加减的应用，解分式方程，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 14．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)3 【分析】（1）根据题中材料所给变化情况即可得到变化情况； （2）按照材料中的恒等变形方式将表示为，令，则，根据题中材料所给变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中材料可知，对于： 当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小； 中值的变化只与值的变化有关， 当时，随着的值的增大，的值随之减小；当时，随着的值的增大，的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：， 令，则， 当时，即，随着的值的增大，值也增大，则值随之减小，并无限接近0，则的值随之减小，并无限接近0， 的值无限接近3． 【点睛】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 15．（24-25七年级上·上海松江·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 16．（24-25七年级上·上海闵行·期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如这样的分式就是假分式，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)真 (2)答案见详解 (3)或或或 【分析】本题考查了分式的真分式与假分式的定义、假分式化为带分式的方法以及分式值为整数的求解，熟练掌握分式次数的判断、多项式变形技巧是解答本题的关键． （1）利用真分式与假分式的定义，比较分子和分母的次数确定分式类型； （2）通过多项式配方法将假分式化为整式与真分式的和的形式（带分式）； （3）先将分式化为带分式，再根据分式值为整数的条件，分析分母的约数情况求解整数的值． 【详解】（1）解：分式的分子可以看作，次数为，而分母次数为， 故分式是真分式． （2）解：． （3）解：， 为整数，分式的值为整数， 或， 或或或． 17．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【答案】(1)分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 (2) (3)8 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）参照例题材料，设−，然后求出a、b的值，从而即可得出答案； （2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立， ， ，． ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． （2）解：， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵x为整数， ∴，， ∴ （3）解：由（1）得， 当时，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为8． 18．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 19．（24-25七年级上·上海长宁·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 20．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）阅读下列材料，然后解答后面的问题 我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，对于只含有一个字母的分式，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如 ． (1)下列分式中，属于真分式的是（    ） A．    B．    C．    D． (2)将假分式，化成整式和真分式的和的形式． (3)当m取哪些整数时，分式的值也是整数？ 【答案】(1)A (2) (3)-1或0或2或3 【分析】（1）根据真分式的定义可得答案； （2）把分子化为 再逆用分式的加法运算，约分后可得答案； （3）由，m为整数，可得或或或 再解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式． ∴是真分式，， ，是假分式， 故选A （2） （3）解：∵，m为整数， ∴或或或 解得：或或或 【点睛】本题考查的是对新定义的理解，以及新定义的运用，分式的加减运算的逆用，分式的值，掌握“分式加减运算的逆用”是解本题的关键． 21．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)如果分式的值为整数，求x的整数值； (4)当时，直接写出代数式值的取值范围是_______． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3)或； (4) 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和是解题的关键． （1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料整理得即可求解； （3）根据材料整理得，由题意得，据此求解即可； （4）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵分式的值为整数， ∴， ∴或； （4）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【经典例题四 分式混合运算压轴】 22．（2025·上海闵行·模拟预测）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 23．（25-26七年级上·上海松江·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 【答案】(1) (2)，时，整数为1 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）根据同分母分式加法将各分式变形； （2）先根据分式的四则混合运算法则化简，再变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 要使得该式的值为整数， 则， ∴或（为满足分母不为0，故舍）， ∴该式子的值为． 24．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)第7个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式，并证明其正确性（用含n的式子表示）； (3)计算：； 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性． （1）结合题目所给等式即可求得答案； （2）结合所给等式猜想第n个等式，然后进行证明即可； （3）根据（2）总结得规律将化简为，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题干中所给等式可得第7个等式为：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为：，证明如下： ； （3）解： ． 25．（25-26七年级上·上海徐汇·阶段练习）阅读材料，解答下列问题：神奇的等式当时，一般来说会有，然而当a和b是特殊的分数时，这个等式却是成立的！例如：… (1)特例验证：请再写出一个具有上述特征的等式______； (2)猜想结论：用为正整数表示分数的分母，上述等式可表示为______； (3)证明推广：中得到的等式一定成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)等式成立，理由见解析 【分析】（1）根据已知等式的规律即可得； （2）用含n的是式子表示所得规律； （3）根据分式的混合运算计算等式左右两边即可得． 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出规律及分式的混合运算顺序和运算法则． 【详解】（1）解：具有上述特征的等式可以是， 故答案为：； （2）上述等式可表示为， 故答案为：； （3）等式成立， 证明：左边， 右边， 左边=右边， 等式成立． 26．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 解：原式 (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________． (2)请选择一名同学的解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)分式的基本性质，乘法分配律 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先通分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． （2）根据所给的解题过程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：分式的基本性质，乘法分配律； （2）解∶ 甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 27．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ： ⋯第一步 第二步 第三步 第四步 ＝第五步 第六步 任务：填空 (1)以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　　 ； A．整式乘法 B．因式分解 (2)以上化简步骤中，第 　　 步是进行分式的通分，其依据是 　　 ； (3)第 　　 步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　　 ． (4)请直接写出正确结果 　　 ． 【答案】(1)B (2)三，分式的基本性质 (3)四，第二个括号去括号时后两项没有变号 (4) 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分、几种常见的分解因式的方法和完全平方公式． （1）观察分式中的分子和分母进行判断即可； （2）观察第二步的过程，然后进行判断即可； （3）观察化简过程，然后根据去括号法则进行判断即可； （4）按照化简分式的一般步骤，进行化简即可． 【详解】（1）解：第一步将原式中的这一项变形为属于分解因式， 故选：B； （2）解：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：三，分式的基本性质； （3）解：第四步开始出现错误，出现错误的具体原因是：第二个括号去括号时后两项没有变号， 故答案为：四，第二个括号去括号时后两项没有变号； （4）解： ， 故答案为：． 28．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）现要在边长为a米的方亭外围种植一圈草坪（如图①空白部分所示），并在如图②所示的空地上播撒相同数量的草籽． (1)求甲、乙两块正方形土地的播撒密度的比值（播撒密度）； (2)如果，求甲、乙两地播撒密度的大小关系． 【答案】(1) (2)甲、乙两地的播撒密度相同 【分析】本题考查了分式的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）设草籽数量为，分别求出甲地和乙地的播撒密度，再求出比值即可得解； （2）将代入（1）中所求的式子即可得解． 【详解】（1）解：设草籽数量为， ∴甲地的播撒密度， 乙地的播撒密度， ∴甲地的播撒密度：乙地的播撒密度． （2）解：若将代入，得， ∴甲地的播撒密度：乙地的播撒密度， ∴甲、乙两地的播撒密度相同． 【经典例题五 分式中的最值问题】 29．（24-25七年级上·上海金山·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 30．（24-25七年级上·上海青浦·期中）在分式中，对于只含一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，这样的分式就是真分式.我们知道，假分数可以化为带分数，类似的，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式），例如：＝＝，＝＝＝． 参考上面的方法解决下列问题： (1)将分式化为带分式； (2)求分式的最大值；（其中n为正整数） (3)已知分式的值是整数，求t的整数值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的加减法，分式的值，能够根据分式的值为整数求出t是解题的关键． （1）按照阅读材料的例子模仿即可； （2）先化简分式，再求最大值； （3）先化简分式，然后根据分式的值为整数求出t． 【详解】（1）解： （2）解：原式 ∵n为正整数 ∴当时，分式有最大值，最大值为 （3）解：原式 ∵分式的值是整数， ∴ ∴或 31．（25-26七年级上·上海闵行·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如（1） （2） ，则和都是和谐分式 (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分式有意义， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数 32．（24-25七年级上·上海闵行·期中）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 33．（24-25七年级上·上海松江·期中）阅读下列材料：我们知道分数中有真分数、假分数、带分数，类似的，在分式中，也规定真分式、假分式、带分式．在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：分式是真分式，分式是假分式．一个假分式可以化为带分式，即化为一个整式与一个真分式的和，例如：，（注意带分式中整式与真分式之间的符号不能省略） 请根据以上方法，解决下列问题； (1)请根据以上信息，判断为____________分式（填“真”或“假”）； (2)已知：，试把化为含有的带分式； (3)已知：，，请计算；设，问：当为何值时，有最小值？求该最小值． 【答案】(1)假 (2) (3)；当，有最小值，最小值为 【分析】（1）根据真分式和假分式的定义分析判断即可； （2）根据带分式的定义将化为一个整式与一个真分式的和即可； （3）首先根据分式加减运算法则计算出；进而将整理为真分式得到，然后利用非负数的性质得到的最小值． 【详解】（1）解：∵分子的次数高于分母的次数，故为假分式． 故答案为：假； （2）； （3）∵，， ∴； ∵， 又∵， ∴， ∴的最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了真分式、假分式和带分式的定义，整式运算，非负数的性质等知识，理解题意，熟练掌握分式运算法则是解题关键． 34．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：，再如： ，这样，分式就被拆分成了带分式（即一个整式与一个分式的差）的形式． 解决问题： (1)判断：是真分式还是假分式：　　　（填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：　　　　； (2)思考：当x取什么整数时，分式的值为整数？ (3)探索：当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式； (2)当时，原式为整数 (3)，5 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）分式若为整数，则真分式的值要为整数，即可求解； （3）分式拆分成带分式即的形式．利用完全平方公式将分母变形，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等， 故答案为：假分式； （2）解：原式， 当时，原式为整数； （3）解：， ， 时，有最小值，值最大， ，即时，， 当a为2，分式有最大值，最大值是5. 35．（24-25七年级上·上海金山·期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读：材料 1：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式． 材料 2：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，例如：． 类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是 ______ 分式（填“真”或“假”）； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：____________________． (2)若分式的值为非负整数，则整数的值为 ____________________． (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【答案】(1)①真；② (2)或或 (3) 【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式．正确理解题意、掌握分式的变形方法，是解题的关键． （1）①根据材料1中定义判断即可；②根据题干中的方法，将分式进行变形即可； （2）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可； （3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最小值即可． 【详解】（1）解：①分式中分子的次数小于分母的次数，则分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：； （2）解：∵的值为非负整数， ∴， ∴； 故答案为：或或； （3）解：∵， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴； ∴的最小值为． 【经典例题六 解分式方程压轴】 36．（2025七年级上·上海宝山·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． 方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】解：∵ ∴， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故原方程的根是． 37．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）（1）计算： ①； ②； ③ （2）解方程： ①； ② 【答案】（1）①；②；③；（2）①无解；② 【分析】本题考查分式的计算、解分式方程： （1）①直接根据分式的乘法法则进行计算即可； ②直接根据分式的除法法则进行计算即可； ③根据分式的加法法则进行计算即可； （2）①方程两边同乘，可去分母，得到关于x的一元一次方程，求解并检验即可；②方程两边同乘，可去分母，得到关于x的一元一次方程，求解并检验即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③ （2）①， 去分母，得， 解得：． 检验：时，， 原分式方程无解； ②， 方程两边同乘得：， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为． 38．（24-25七年级上·上海松江·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与为“3阶分式”． (1)当满足条件______时，分式与为“5阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与为“2阶分式”； (3)若分式与为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减，因式分解，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）根据提议，计算与的和即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：∵分式与为“5阶分式”， ∴， ∴， ∴， 即当满足，时，分式与为“5阶分式”； （2）解：∵正数互为倒数， ， ， ∴分式与互为“2 阶分式”； （3）解：∵分式与互为“1 阶分式”， ， 去分母，得， 则， ， ， ∴， ∵为正数， ， 解得：． 39．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）学习材料：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，则 ， ； (2)方程的两个解分别为，求的值； (3)关于x的方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1)，3 (2)82 (3)1 【分析】本题考查分式方程的解等，根据题意求分式方程的解是本题的关键． （1）根据“学习材料”，得； （2）根据“学习材料”，得；将等号两边同时平方，求得，将它的等号两边同时平方，可求得的值； （3）将原方程整理成为“学习材料”中的形式，从而求得的值，进而求得x的2个值，根据二者的大小关系确定和，再将和代入计算即可． 【详解】（1）解：方程可化为， 根据“学习材料”，得，， 故答案为：，3； （2）解：方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：方程可化为， ∵令， ∴可化为， ∵， ∴分别是方程的两个解， ∴或． ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 40．（25-26七年级上·上海宝山·单元测试）阅读下列材料： ， ， ． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)在和式中，第6项为______，第n项为_______； (2)受此启发，请你解下面的分式方程： ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题是规律探究题，解特殊分式方程． （1）以序号为前提，依次观察每个分数，可以发现，每个分母是两个连续奇数乘积，其中最小奇数为，据此求解即可； （2）参考（1）中规律得到，再解分式方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴在和式中，第6项为，第n项为； 故答案为：；； （2）解：原方程可变形为， 整理，得． 方程两边乘，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解． 41．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）（1）解方程： （2）先化简，再求值：，其中 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （I）甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （II）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）无解；（2）（I）②，③；（II）见解析． 【分析】本题考查了解分式方程，分式的混合运算． （1）解分式方程需通过去分母化为整式方程求解，并检验增根； （2）（I）化简分式时，甲同学使用通分，依据分式的基本性质；乙同学使用分配律，依据乘法分配律； （II）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得， 经检验，当时，分母，所以是增根， ∴原方程无解； （2）（I）解：甲同学解法的依据是分式的基本性质；乙同学解法的依据是乘法分配律； 故答案为：②，③； （II）解：甲同学的解法： 原式 ， 当时，原式； 乙同学的解法： 原式 ， 当时，原式． 42．（25-26七年级上·上海奉贤 ·阶段练习）阅读下面计算的过程，然后填空 解： ，，…， ∴ 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1） ； （2）当时，最后一项 ． 【答案】 【分析】此题考查的是阅读材料和解分式方程，根据材料给出的方法解决类似计算和和根据求和规律列方程求解是解决此题的关键． （1）根据题中方法计算即可； （2）设，根据题中方法，解方程即可. 【详解】解：（1）由题可知：， ∴ （2）设 ∵ ∴ 解得：，经检验是原方程的解. ∴， 故答案为：，． 【经典例题七 分式方程解的情况求值压轴】 43．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：解方程． (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）把？代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可； （2）设？为，去分母后把增根代入整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：设？为，则分式方程为， 方程两边同时乘以得 由于是原分式方程的增根， 所以把代入上面的等式得，解得， 所以，原分式方程中“？”代表的数是． 44．（24-25七年级上·上海青浦·期中）小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 (1)她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 (3)小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； （3）解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 45．（24-25七年级上·上海青浦·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为： ______， _______； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)3， (2)21 (3) 【分析】本题主要考查了分式方程的解、完全平方公式、代数式求值等知识点，理解阅读材料的方法是解题的关键． （1）根据材料所给的结论解答即可； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得，然后代入计算即可； （3）由可得,令，则， 进而得到，即，然后验证其符合题意，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程的解为， ∴，即的解为：． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 令，则， ∵关于x的方程的解为， ∴方程的解为：，即， ∴， ∵， ∴符合题意， ∴． 46．（24-25七年级上·上海宝山·期末）学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须才行． (1)请回答：______的说法是正确的，正确的理由是______； (2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； (3)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根） (2)且 (3)当或时原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况． （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． 故答案为：小聪，分式的分母不能为零（分式方程的解不能是增根）； （2）解方程，得， 方程的解为非负数， ， ， ， ， 且； （3）原方程化简为： 原方程无解， 或 ①当时，解得； ②当时，解得 当或时原方程无解． 47．（24-25七年级上·上海金山·期末）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设，，可得，是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现，，容易检验，是该方程的解．根据以上材料回答下列问题： (1)求分式方程的解为 ； (2)若，是分式方程的两个解，求的值； (3)设n为自然数，若关于x的分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查分式方程；理解“阅读材料”中的答题方法，能够将所求分式方程转化为，求解是解题的关键． （1）类比题目中“阅读材料”的答题方法即可求解； （2）结合运用“阅读材料”即可求出和的值，并代数运算即可求解； （3）善于观察并分析方程，即可求出和的值，代入运算即可求解． 【详解】（1）解：可化为， ∴，． 经检，是该方程的解． 故答案为：，； （2）由已知得，， ∴ ． （3）原方程变为， ∴，， ∴，， ∴． 48．（24-25七年级上·上海静安·期中）给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 49．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）关于的方程：的解为； 的解为或； 的解为； 的解为； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是___________； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只有把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解．请用这个结论解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)方程的解为：或 (3)或 【分析】此题考查了分式方程的解，解题的关键是：将方程转化为：的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为：的形式，然后得到：和，然后解得即可． 【详解】（1）解：由可得， ∴该方程的解为：或； （2）方程的解为：或， 检验：当时，左边右边， 故是方程的解， 当时，左边右边， 故也是方程的解； （3）原方程可化为：， 所以或， 解得：或， 经检验，或是原方程的解， 故答案为：或． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 50．（25-26七年级上·上海长宁·期中）中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 51．（25-26七年级上·上海金山·期中）为迎接上海宝山文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． (1)求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ (2)若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 【答案】(1)甲队每天施工千米，乙队每天施工千米 (2)千米 【分析】本题考查了是分式方程的应用，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米，根据“甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的”列方程求解即可． （2）设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米，根据“两个工程队施工的总费用为万元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米．根据题意得： ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ． 答：甲队每天施工千米，乙队每天施工千米． （2）解：设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米， 由题意得：， 解得， 答：甲工程队需要施工千米． 52．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）在国庆黄金周中，熊猫基地游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用2400元购进A款产品，1440元购进B款产品，B款产品购进单价比A款产品购进单价高20％，B款产品的购进数量比A款产品的购进数量少40个． (1)该商店A款产品的购进单价为多少元？ (2)第一批A款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，A款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件A产品，当A款产品降价多少元时，每天可获利192元． 【答案】(1)款产品的购进单价为30元 (2)款产品降价2元时，每天可获利192元 【分析】本题考查一元二次方程的应用和分式方程的应用，找出等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设商店A款产品的购进单价为元，则商店B款产品的购进单价为元，根据购进数量的关系建立分式方程，求解即可； （2）设A款产品降价元，则每日多售出件，根据每天利润为192元建立一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设款产品的购进单价为元，则款产品的购进单价为元 解得： 经检验，是原分式方程的解． 答：款产品的购进单价为30元． （2）解：设款产品降价元． ， 不符合题意，应舍去． 答：款产品降价2元时，每天可获利192元． 53．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）太原市某校教务处主任让采购员小李查询最近学校购买篮球和足球的单价，却发现订货单已被墨水污染，下面是被墨水污染了的订货单及采购员小李和保管员小康的对话． 商品 进价/（元/个） 数量 总金额/元 足球 5000 篮球 4000 请根据表格及他俩的对话求出篮球和足球的单价． 【答案】篮球的单价为80元，足球的单价为50元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设购买篮球的数量为，则购买足球的数量为．根据篮球的单价比足球的单价贵30元列出关于x的分式方程，解之经检验后，可求出x的值即可解答问题． 【详解】解：设购买篮球的数量为个，则购买足球的数量为个．根据题意可得： ， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 篮球的单价（元）， 足球的单价（元）． 答：篮球的单价为80元，足球的单价为50元． 54．（2025·上海奉贤·模拟预测）下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由七年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 【答案】(1)每个小组学生的人数；原计划每名学生做的彩旗数 (2)每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系，列出方程． （1）根据所列出方程结合题意和等量关系即可判定未知数所表示的量； （2）选择一个方程进行求解即可． 【详解】（1）解：冰冰同学所列方程为，则表示每个小组学生的人数； 庆庆同学所列方程为，则原计划每名学生做的彩旗数； 故答案为：表示每个小组学生的人数； 表示原计划每名学生做的彩旗数； （2）解：方法一：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（个）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗； 方法二：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（人）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗． 55．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 56．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）铁人三项包括游泳、自行车、跑步三个项目，运动员需按顺序连续完成，中间无停顿，有两个换项区用于转换装备．总成绩包含游泳、自行车、跑步三个项目的比赛时间以及在两个换项区所花费的时间． 此次厦门铁人三项比赛有短距离组、半程组、全程组等六组．其中，全程组各项的距离分别为游泳、自行车、跑步． (1)甲、乙两人参加全程组比赛．该组在自行车项目中的平均速度为，甲的速度是乙的1.25倍，且甲比乙用时少．请判断甲、乙两人的速度能否超过平均速度，并说明理由； (2)小陈今年参加男子全程组比赛．他对自己这次的成绩不满意，为了明年比赛取得更好的成绩，他收集了该组总成绩最好的18位运动员各个项目的成绩，并算出他们的平均成绩与自己进行对比，如下表所示： 游泳 自行车 跑步 总成绩 18位运动员的平均成绩（单位：s） 2070 4400 3200 10190 小陈的成绩（单位：s） 2277 4950 3720 11394 ①你认为三个项目中，小陈哪一项成绩最不理想？结合以上数据说明理由． ②跑步项目通常有两种参赛策略． 策略一：全程匀速，速度为； 策略二：在跑步初期阶段适当放慢速度，中期阶段匀速前进，后期阶段加速完成比赛． 在策略二中，中期匀速前进的路程通常为，且此阶段速度与策略一中全程速度相同；初期路程为，速度比中期速度慢；后期速度比中期速度快． 请根据所给材料帮助他判断应选择哪一种策略． 【答案】(1)甲的平均速度超过该项目组的平均速度，乙的平均速度不超过该项目组的平均速度 (2)①跑步，理由见解析；②选择策略二理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是：根据题意正确列式． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据题意列出方程，即可求解， （2）①跑分别算出小陈跑步、游泳、自行车的成绩与平均成绩的差占平均成绩的比例，即可求解；②记策略一所用时间为，策略二所用时间为，利用作差法比较两种策略的时间，即可求解． 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 则，解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为：， 此时， ∴甲的速度为：，乙的速度为：， ∵，， ∴甲的平均速度超过该项目组的平均速度，乙的平均速度不超过该项目组的平均速度， （2）解：①跑步，理由如下： ∵， ， ， 且， ∴小陈成绩最不理想的是跑步项目， ②记策略一所用时间为，策略二所用时间为， 则：， 整理得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，，， ∴， 即：， 又， ∴， ∴， 答：策略二所用时间小于策略一，因此选择策略二． 【经典例题九 分式的新定义问题】 57．（24-25七年级上·上海金山·期末）定义一种新运算“”，规则如下：，，这里等式右边是实数运算，例如：．求中的值． 【答案】x的值为5． 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：，即， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 58．（25-26七年级上·上海青浦·阶段练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”． 如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)分式是分式的“雅中式”，则关于的“雅中值”为 ． (2)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (3)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 【答案】(1) (2)不是的“雅中式”，理由见解析； (3)所代表的代数式为，所有符合条件的的值之和为． 【分析】本题考查新定义情境下的分式的运算，分式的化简． （1）根据新定义计算即可； （2）化简，根据新定义计算，判断即可； （3）由定义可得，可得，结合已知，以及分式有意义的条件，可得所有符合条件的的值，相加即可． 【详解】（1）解：， ∴关于的“雅中值”为3． 故答案为：． （2）解：不是的“雅中式”， ∵，， ∴ ， ∴不是的“雅中式”． （3）解：∵关于的“雅中值”是2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且“雅中式”的值也为整数， ∴是的因数， ∴的值可能是，，，， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 由，解得， 根据分式的意义可知， ∴， ∴的值为，，，，，，， ∴． ∴所代表的代数式为，所有符合条件的的值之和为． 59．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是的“雅中式”，关于的“雅中值”为 (2)，的值为 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）由定义可得，即得，进而可得，根据为整数，且的值也为整数可得可能是，， 据此解答即可求解； 本题考查了分式的加减运算，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为； （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且的值也为整数， ∴是的因数， ∴可能是，， ∴的值为． 60．（2025七年级上·上海杨浦·模拟预测）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； （2）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 61．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 【答案】(1)假 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解； （2）依据题意得，结合题意可得从而求出结果； （3）根据题意化简即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， ∴分式是假分式． 故答案为：假； （2）由题意得：， 分式的值为整数， ． 或； （3）． 62．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√ (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，解得：， ∵ 故①的答案为：×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案为：√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或． 63．（24-25七年级上·上海宝山·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键． （1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十 分式方程综合运算】 64．（25-26七年级上·上海松江·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 65．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）关于的方程有增根，对于该方程的增根有如下说法： 嘉嘉 增根为 淇淇 增根为或 你认为___________（填“嘉嘉”或“淇淇”）的说法正确，请说明理由并求出的值． 【答案】嘉嘉，理由见解析， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解． 【详解】解：嘉嘉的说法正确 理由如下： 将的两边同时乘约去分母化简得． 若分式方程有增根，增根可能是或． 当时，． 当时，得到，该式子不成立，则该分式方程的增根不可能为． 故嘉嘉的说法正确，并求得． 故答案为：嘉嘉． 66．（25-26七年级上·上海宝山·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 67．（24-25七年级上·上海松江·期末）【观察思考】： 【发现运用】 （1） ． （2） ． 【拓展提高】 （3）若，试求出n的值 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算、数字的变化规律，分式的加减运算，分式方程的解法，根据题意找出数字的变化规律是解题的关键． （1）根据题意找出规律，根据规律解答． （2）根据（1）中的规律计算即可． （3）根据计算即可． 【详解】解：（1）由题目中的式子归纳可得：， 故答案为：； （2） ． 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意． 68．（25-26七年级上·上海闵行·期中）对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：第一步：方程两边同乘，得， 第二步：， 第三步：． 第四步：检验，当时，， 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)无解，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）小叶的解答在去分母时，第一步去分母时方程右边的常数项1没有乘以公分母，导致错误，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：小叶的解法从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的常数项1没有乘以公分母． 故答案为：一； （2）解：方程两边同乘，得， 简化得： 解得 检验：当时，分母， 所以是增根，原方程无解． 69．（2025·上海闵行·模拟预测）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式…①， …②， …③． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是 （填序号），请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的x的值． 【答案】(1)②；见解析 (2) 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤②错了，根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）根据题意得，然后解分式方程，并检验即可． 【详解】（1）解：根据异分母分式的加减运算法则可判断出步骤②错了， 正确的化简过程如下： 原式 ； （2）解：根据题意得， ， 经检验，是原分式方程的解， 则题目中被墨水遮住的x的值为． 70．（24-25七年级上·上海静安·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)七（2）班每天植树棵数；七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数） (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）七（2）班每天植树棵数； 七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数）． （2）选欣欣的方程，所用等量关系：七（1）班植树150棵所用时间七（2）班植树120棵所用时间． 选兰兰的方程，所用等量关系：七（1）班每天植树的棵数-七（2）班每天植树的棵数＝10（棵）．（选择一个即可） （3）选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 学科网（北京）股份有限公司 $