精品解析：福建省漳州市第三中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

漳州三中2025-2026学年上学期期中考高一数学试卷 命卷人：连舒敏 审核人：郭嘉祥 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列各组中的函数，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若是奇函数，则一定有 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若，则 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则_______. 14. 已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知二次函数对都有成立，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最小值. 17. 阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 18. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）用单调性的定义证明函数在其定义域上是增函数； （3）若，求的取值范围． 19. 定义：若函数对于定义域内的任意，都有，则称函数为 “下凸函数”；反之，若，则称函数为 “上凸函数”.已知函数（）. （1）当，，时，判断函数是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由. （2）若函数是 “下凸函数”，求的取值范围. （3）若函数在区间上是 “下凸函数”， 在区间上不单调，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2025-2026学年上学期期中考高一数学试卷 命卷人：连舒敏 审核人：郭嘉祥 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】由可得，故， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，改变量词并否定结论即可. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. “”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】由或，即， 因是的真子集， 故“”是“成立”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 下列各组中的函数，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用同一函数的定义逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，而函数的定义域为，故两函数不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，而函数的定义域为，故两函数不是同一函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为，而函数的定义域为，故两函数不是同一函数，故C错误； 对于D，因，则，的定义域和对应关系均分别相同，故是同一函数，即D正确. 故选：D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的原则可确定答案. 【详解】由得或. 令，则. 幂函数在上单调递减， 二次函数对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性可得函数的单调递增区间为. 故选：A. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图像，可知先判断函数的奇偶性进行排除，再利用特值法，分析的函数值与的大小和的函数值与的大小，从而得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状． 故选：B． 7. 若偶函数在上单调递增，且， ， ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可知在的单调性，再根据幂函数性质和指数函数性质判断出，根据函数的单调性即可判断大小. 【详解】为偶函数且在上单调递增，则在上单调递减. 根据幂函数在上单调递增，得，再 由指数函数单调递增可知，，则， 故，即. 故选：B. 8. 若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行分情况讨论，再借助二次函数的图象即可求解. 【详解】因为， 所以当时，恒成立； 当时，，则需； 当时，，则需. 设，则解得或， 所以，当时，取得最小值，且最小值为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若是奇函数，则一定有 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据指数函数的性质易得；对于B，根据奇函数对定义域的要求，即可排除；对于C，根据抽象函数的定义域的求法即可判断；对于D，先求，再求即可判断. 【详解】对于A，，，则函数的值域为，故A正确； 对于B，是奇函数，但在时不一定有定义，如，是奇函数，但不满足，故B错误； 对于C，由的定义域为可得，对于，需使， 解得，即的定义域为，故C正确； 对于D，由可知，则，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】A.利用基本不等式求解判断；B.转化为二次函数求解判断；C.由，求解判断；D.由利用基本不等式求解判断. 【详解】由题，且， A.，则，当且仅当等号成立，即，故A错误； B.， 因为，所以有，故， 所以当时，取得最小值，故B正确； C.因为， 所以，当且仅当等号成立，即，故C正确； D.，当且仅当即时等号成立，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的定义域是，对任意的实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. 函数为上的增函数 D. 函数为奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求出的值，可判断A正确；令，求得的值，再令，求得的值，可判断B错误；根据题意，得到时，，结合函数单调性的定义，可判断C正确；令，由，令，结合函数奇偶性的定义，可判断D选项. 【详解】对于A，对任意的实数满足， 令可得，解得，所以A正确； 对于B，令可得， 即，解得， 再令，可得，所以B错误； 对于C，由题意知：当时，， 当时，则时，， 故当时，， 任取且， 则， 所以函数在上为增函数，所以C正确； 对于D，令，因为， 可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分数指数幂的运算性质和根式的性质计算即得. 【详解】 . 故答案为：. 13. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数求参数，结合幂函数奇偶性及已知确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当，为偶函数，不符题设； 当，为奇函数，符合题设. 所以. 故答案为： 14. 已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ，； ②. 【解析】 【分析】（1）先将代入，考虑时，配方求出函数的单调递减区间，考虑时，函数单调递减，从而求出函数的单调递减区间； （2）考虑在取得最小值为，且，从而得到，再考虑的定义域，得到，因为时，值域为，不合题意，从而，得到，与比较后，得到不等式求出实数的取值范围. 【详解】时，， 当时，， 故单调递减区间为， 当时，单调递减， 故单调递减区间是，； 因为函数在上单调递减，而函数的值域是， 若，显然不符合题意，所以． 当时，函数单调递减，所以，即有， 所以，故函数在时的值域为. 因为在处取得最小值， 令，解得：或，所以函数在处取得最大值， 当时，，解得：． 综上：，即实数的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】已知分段函数值域，求解参数的取值范围问题，要充分考虑分段函数的特征，结合每段函数的定义域，单调性和最值，数形结合对参数的取值范围一步步进行缩小，直至求解出答案. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，再由并集的定义计算即得； （2）根据条件推得，列出不等式组，求解即得实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以， 故； 【小问2详解】 由， 因为，所以不能为， 则有，解得. 故实数m的取值范围为. 16. 已知二次函数对都有成立，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】（1）设二次函数，，由结合待定系数法得出，再由，得出，即可得出函数的解析式； （2）由（1）得出的解析式，讨论对称轴的位置，确定函数在区间的单调性，即可得出该函数的最小值. 【详解】解：（1）设二次函数， 则 ，解得 即 ，，得 所以. （2），对称轴，开口向上 分三种情况： ①当时，函数在区间单调递增， . ②当时，函数在区间为 ③当时，函数在区间单调递减， 综上， 【点睛】本题主要考查了已知函数的类型求解析式以及由函数的单调性求最值，属于中档题. 17. 阅读下面两个主题，请同学们利用所给的数学模型解决提出的问题. 【主题一】【认清毒性，保护自我】 新型冠状病毒肺炎以发热､干咳､乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征､脓毒症休克､难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为多少？（参考数据：） 【主题二】【响应号召，接种疫苗】 流感疫苗的有效作用可以维持一年左右，建议每年接种一次，特别是儿童､老年人以及体质较弱的年轻人.某疫苗研发工厂用于生产疫苗的年固定成本为300万元，每生产千件，需另投入成本为，已知（万元）.当每件商品售价为0.05万元时，通过市场分析，该厂生产的废苗能全部售完.当年产量为多少千件时，生产该疫苗所获利润最大？ 【答案】【主题一】【主题二】当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 【解析】 【分析】【主题一】当时，，由此求出t即可. 【主题二】根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值即可得到答案. 【详解】【主题一】，则，所以， 解得 【主题二】， 万元， 当且仅当即时，取得最大值为万元. 所以当年产量为99千件时，生产该疫苗所获利润最大. 18. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）用单调性的定义证明函数在其定义域上是增函数； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）f（x）是奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）（﹣∞，） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可判断与证明； （2）按照单调性定义证明的步骤，取值－作差－变形－定号－下结论，即可证出； （3）利用函数的奇偶性和单调性，将抽象不等式可转化为 　　，解出即可． 【详解】（1）因为定义域为， f（﹣x）＝11﹣2•1 1﹣2（1）＝﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数； （2）证明：设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）＝（1）﹣（1） ＝2•， 由题设可得：330，（1+3）＞0，（1+3）＞0， ∴2•0， 即f（x2）﹣f（x1）＞0，故f（x）在其定义域上是增函数； （3）不等式f（3m+1）+f（2m﹣3）＜0，f（3m+1）＜﹣f（2m﹣3）＝f（3﹣2m）， ∴3m+1＜3﹣2m，解得m，即不等式的解集为（﹣∞，）． 【点睛】本题主要考查利用定义对函数奇偶性和单调性进行判断与证明，以及利用函数性质解抽象不等式． 19. 定义：若函数对于定义域内的任意，都有，则称函数为 “下凸函数”；反之，若，则称函数为 “上凸函数”.已知函数（）. （1）当，，时，判断函数是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由. （2）若函数是 “下凸函数”，求的取值范围. （3）若函数在区间上是 “下凸函数”， 在区间上不单调，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：. 【答案】（1）函数是 “下凸函数”，理由： 当，，时，. 设，为定义域内任意两个不相等的实数， 则 因为，所以 因此，即函数是 “下凸函数”. （2） （3） 因为函数在区间上是 “下凸函数”，所以由 （2） 知， 因为对称轴为，在上不单调， 所以，因此，. ①若， 则 即， 所以. ②若， 则 即， 所以. 综上，. 【解析】 【分析】（1）先分别计算，再比较大小，根据定义即得结果；（2）根据定义恒成立，计算化简即得的取值范围；（3）先化简再根据对称轴与定义区间位置关系证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是 “下凸函数”， 所以对于任意，有 即 展开化简得 因为，所以恒成立，从而. 即的取值范围为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $