专题08 二次函数角相关综合题（6种类型36道）-2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练

弈泓共享数学 专题08 二次函数角相关综合题 （6种类型36道） 目录 【题型1 角相等】 1 【题型2 互补】 3 【题型3 角成倍数关系】 6 【题型4 互余】 9 【题型5 角的和差关系】 13 【题型6 已知角度】 16 【题型1 角相等】 1．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 3．已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M从点C出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，的面积最大，并求出最大面积； (3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接．该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线与直线垂直时，） 4．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 5．如图1，抛物线经过点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一个点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求的坐标以及的面积的最大值； (3)如图3，将点D向左平移1个单位长度得到点N.将抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点N，射线与新抛物线交于点R，连接，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线顶点到轴的距离为1．与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线第一象限上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，当线段最长时，求点点坐标． (3)在（2）的条件下，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2 互补】 7．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，点、分别在线段、上，若,求与之间的函数关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在第一象限点左侧的抛物线上，线段、交于点，于点，点在线段的延长线上，连接、、，若，，，求的值及点、的坐标． 10．如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 12．如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 角成倍数关系】 13．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： (4)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上. （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值； （3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由. 15．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．    16．如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是负半轴上一点，已知，点为射线下方抛物线上一动点，过点作轴，交射线于点，点为射线上一点，且满足，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线绕原点旋转后再沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，其顶点为．为轴上上方一点，为新抛物线上一点，使得，请直接写出点的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标； (3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型4 互余】 19．如图①，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，P为x轴上的动点，当与互余时，求点P的坐标； (3)如图②，点M，N都在抛物线上，点M位于第四象限，点N位于第二象限，连接分别交x轴，y轴于点E，F，连接，求证：若，则直线MN经过一定点． 20．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点D．如图，若该抛物线经过原点O，且a＝－. (1)求点D的坐标及该抛物线的解析式； (2)连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 22．抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．   设， ， 且相似比为， 则， 故当、、共线时，为最小， 在中，设边上的高为， 则， 即， 解得：， 则， 则， 过点作轴于点， 则， 即点的纵坐标为：， 同理可得，点的横坐标为：， 即点， 由点、的坐标得，， 即的最小值为． 24．如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．    (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【题型5 角的和差关系】 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，作点关于轴的对称点，连接交抛物线于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为直线上方抛物线上一动点，连接，点为轴上的动点（点在点的左边）且，连接、．当面积最大时，此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值． (3)将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 28．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，连接，过点作交抛物线于点．    (1)如图1，求的坐标； (2)如图2，是第一象限抛物线上一点，连接，过点作轴交延长线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接、，交于，若，，求直线的解析式． 29．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是直线下方抛物线上一点，轴交于点E，点F是上一点，当点E是中点时，求的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，新抛物线与直线交于点P、Q，（点P在点Q左侧）在新抛物线上找一点M，若，直接写出点M的横坐标． 30．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【题型6 已知角度】 31．如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)连接OP，BP，若，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC． (1)求抛物线的表达式； (2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标； (3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 34．定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点． (1)抛物线的表达式为_________； (2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长； (3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左则），与y轴交于点，点是抛物线的顶点．抛物线的对称轴交轴于点，点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为，点的坐标为，连接分别与轴，对称轴交于点． (1)求三点的坐标并直按写出顶点的坐标； (2)当时．求点的坐标； (3)试探究：在点运动过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 36．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线的对称轴上一点． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图①连接，为等腰直角三角形，，求的最小值； (3)如图②，连接，若，求点P的坐标． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题08 二次函数角相关综合题 （6种类型36道） 目录 【题型1 角相等】 1 【题型2 互补】 19 【题型3 角成倍数关系】 46 【题型4 互余】 72 【题型5 角的和差关系】 91 【题型6 已知角度】 126 【题型1 角相等】 1．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当，则， 解得，， ∴， ∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即 同理可求直线解析式为，， 综上，当时，点P的坐标为或 2．如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解的面积是，设直线解析式为，可得直线解析式为，设，则，求解，可得，再进一步即可求出结果； （3）设直线交轴于，证明，求得D的坐标，同理得直线解析式为，联立方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入中得， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：在中， 当时， ， 如图，连接， ，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设直线解析式为， ， 直线解析式为， 设，则， ． ∴， 解得：， 此时； （3）解：如图，设直线交轴于， ，，， ， ， ， 同理可得：直线解析式为． 联立， 解得或（不符合题意舍去）， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． 3．已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，点M从点C出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点N从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另外一个点也停止运动，设运动时间为t秒，求t为多少时，的面积最大，并求出最大面积； (3)如图2，P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），连接．该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：当直线与直线垂直时，） 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大面积为 (3)存在，或． 【分析】（1）将点和点代入二次函数解析式中求解b的c的值即可求解解析式． （2）根据点C为抛物线与x轴的交点可求解点C的坐标，由待定系数法进而可求解直线的解析式，根据三角形面积的求法，表示出的面积的表达式，再根据二次函数的性质即可求解最大值． （3）分类讨论点P的位置，根据点P在直线下方时，求出直线的垂直平分线的解析式以及直线的解析式，即可求解点Q的坐标，进而可求解点P的坐标；再根据点P在直线上方时，依次求出直线方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， 得，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：过点M作于点H，与y轴交于点G．如图． 设， ，解得或． ，即． 设直线的解析式为， 将点，代入， 得，解得， ，． ． ． ． ， ． ， ． ， 当时，的面积最大，最大面积为． （3）解：存在． 设直线与交于点Q，如图． 当点P在直线下方时， ， ，即点在的垂直平分线上． 所以线段的中点坐标为． 过该点与垂直的直线的k值为， 故设的垂直平分线解析式为， 将点代入，得， 直线的垂直平分线的解析式为． ， ，同理可求直线的解析式为． 联立，解得， 点Q的坐标． 所以直线的解析式为． 联立，解得或． 点P的坐标为． 当点在直线上方时， ， ，则设直线的解析式为， 将点B的坐标代入，得， 直线的解析式为， 联立，解得或， 点的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的求解，直线方程的求解，二次函数最值的性质，分类讨论点P的位置求解直线方程与抛物线的交点是解决本题的关键． 4．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解； ②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：①； （2）解：①令，得， 解得：，， 点， 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ②， 顶点， 设直线与交于点， 当点在直线下方时， ， 点在的中垂线上， 线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为， 设中垂线的表达式为：，将点代入上式得， 解得：， 直线中垂线的表达式为：③， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：④， 联立③④得：， 解得：， 点， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为：⑤， 联立①⑤得， 解得：，（舍去）， 故点； 当点在直线上方时， ， ， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：， 即直线的表达式为：⑥， 联立①⑥并解得：或（舍去， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 5．如图1，抛物线经过点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一个点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求的坐标以及的面积的最大值； (3)如图3，将点D向左平移1个单位长度得到点N.将抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点N，射线与新抛物线交于点R，连接，在新抛物线的对称轴上是否存在点H，使？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)的面积的最大值为，此时 (3)存在点或，使 【分析】（1）把把代入求出即可得到抛物线解析式，再求出，根据待定系数法求出直线的解析式； （2）过作轴交于，设，则，，再根据得到，利用二次函数的性质即可得到的面积的最大值为； （3）先求出，，，过作轴于，得到，即可得到将抛物线沿射线平移得到新抛物线，即向上平移个单位长度再向右平移个单位长度得到新抛物线，求出新抛物线的解析式，再以为直角边构造等腰直角三角形和，再根据一线三等角构造全等三角形求出，，最后根据，，得到点H为和与新抛物线的对称轴交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，，解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线与轴交点， ∵在上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作轴交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的面积的最大，最大值为，此时； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线，顶点， ∵抛物线的对称轴与轴交于点， ∴， ∴将点D向左平移1个单位长度得到点， 取两点，，使，，在上，即和为等腰直角三角形，过作轴于，过作轴，过作轴于，过作轴于， ∵， ∴， ∴，， ∴将抛物线沿射线平移得到新抛物线，即向上平移个单位长度再向右平移个单位长度得到新抛物线，其中， ∴新抛物线解析式为， ∵经过点， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， 同理由，可得直线的解析式为， 联立，解得，， ∴射线与新抛物线交于点， ∵，轴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即为中点， ∴， 同理由，可得直线的解析式为， ，可得直线的解析式为， ∵和为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点H为和与新抛物线的对称轴交点， 当为与新抛物线的对称轴交点时，此时，，此时； 当为与新抛物线的对称轴交点时，此时，，此时； 综上所述，在新抛物线的对称轴上存在点或，使． 6．如图，抛物线顶点到轴的距离为1．与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线第一象限上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，当线段最长时，求点点坐标． (3)在（2）的条件下，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，一次函数的平移，一次函数与二次函数综合，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题． （1）由题意可得，抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式，设点D坐标为，则点，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． （3）先求得直线的解析式，进而根据平行线的性质，得出的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线顶点到轴的距离为1．则对称轴是直线，与x轴交于点A，， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式； （2）∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设点D坐标为，则点， ∴ ∴当时，最长，此时 （3）解：设直线的解析式为，代入，得 解得： ∴直线的解析式为 如图所示，当时，， 设直线的解析式为，代入得，， ∴ 联立 解得：或 ∴ 设关于的对称点为， ∴，的中点在：上， ∴， 解得：或（舍去） ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴ 联立 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，抛物线上是否存在点，使得． 【题型2 互补】 7．如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴交与点，当线段的值最大时，在直线上找一点，连接，使得的值最大．请求出的最大值并求出点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)存在，点的坐标为或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，与轴分别交于点， ∴， 对于， 当， ∴ 设直线， 代入点，则， 解得：， ∴直线， 设， ∵轴， ∴将代入， 则， 解得：， ∴， ∴， ∴当，最大为4，此时 连接并延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点关于直线对称， ∴， ∴，当点三点共线时，取得最大值， ∵，且， ∴， ∴， 同理可求直线， 则， 解得：， ∴； （3）解：存在，理由如下： 在中，， 原抛物线：， ∴设平移后的解析式为：， 代入得： 解得：或（舍）， ∴新抛物线解析式为：，即， ①当在轴上方抛物线上时， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线，代入，则， 解得：， ∴直线， 则， 解得：或（舍）， ∴ ②当在轴下方抛物线上时， 记轴上方抛物线的点为，下方抛物线的点为，作关于轴的对称点，则， 则直线与抛物线交点即为点， ∵ ∴， 同理可求：直线， 则与抛物线联立得：， 解得：或（舍）， ∴ 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的平移问题，“将军饮马”问题，勾股定理逆定理，轴对称问题等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴, ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当,即时，有最大值，此时， ∴， ∴，， ∴，， 如图所示，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且， ∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到， ∴新抛物线解析式为， ∵新抛物线经过点D， ∴， 解得或（舍去）， ∴新抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴； 同理可得直线解析式为； 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴当点Q    在下方时，满足， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立； 综上所述，. 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，点、分别在线段、上，若,求与之间的函数关系式； (3)如图2，在（2）的条件下，点在第一象限点左侧的抛物线上，线段、交于点，于点，点在线段的延长线上，连接、、，若，，，求的值及点、的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）令得，得出，根据得出，代入，求出、的值即可得答案； （2）过点作轴，则，可得，，根据得出，根据三角形面积公式得出，即可得答案； （3）根据得出，利用证明，得出，即可求出，代入二次函数解析式可求出，得出，，，利用待定系数法可求出直线、、解析式，即可求出，可求出直线解析式，为，利用证明，得出，进而得出是等腰直角三角形，利用勾股定理可得，根据两点间距离公式列方程可得，利用证明，得出，根据，列方程组可求出，即可得出轴，把代入二次函数解析式即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点， ∴令，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即， 把代入， 得 解得：， ∴； （2）解：∵点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，点、分别在线段、上， ∴， 过点作轴，则， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． （3）解：如图，过点作轴于，连接， ∵，， ∴， 由（2）可知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：，即， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 联立、的解析式得， 解得：， ∴， ∵，， ∴同理可求出直线解析式为， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设， ∴， 解得：，（，舍去）， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：，（，舍去）， ∴， ∵， ∴轴， ∵点在线段的延长线上， ∴当时，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、两点间的距离公式、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 10．如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y (2)，的最小值为3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）作轴于E，交于F，先直线的解析式为，设，，则，利用二次函数的性质可求得，作轴，作于G，作于H，利用平行线的性质和锐角三角函数可得到，进而由可求解； （3）作轴于W，先根据题意和图象的平移规则得到平移后的抛物线解析式为，设，证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求得x值，进而可求得Q的坐标． 【详解】（1）解：（1）当时，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：y； （2）解：如图1，作轴于E，交于F， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴，设，则 ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴， 作轴，作于G，作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为3； （3）解：如图2，作轴于W， 由题意，抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位后， 则平移后的抛物线解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去），，（舍去）， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数与图形面积，线段和的最小值问题，角度问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且．连接，过点A作，交抛物线与点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P是直线下方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点M，过点M 作于点N，连接．当的面积最大时，将线段沿直线平移，求平移过程中的最小值； (3)如图2，E是线段的中点，将原抛物线沿方向平移，使得经过点E得到新抛物线．Q为新抛物线上的一点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解其中一个点Q坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得，于是，，得到，，待定系数法解答即可． （2）设点的坐标为，则点．由此得到 ，过点N作交的延长线于点R， 根据解答即可求出点P的坐标，将点P沿方向平移平移个单位长度，得到，做点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质，即可解答． （3）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线，分平行互补和一般互补两种情况，利用构造直角三角形的正切解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且． ∴， ∴，， ∴，， ∴是方程得两个根， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 设直线的解析式为． 将点和点代入，得 解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点． ， ∵， ∴， ∵， ∴，， 设直线的解析式为． 将点代入，得 解得， 直线的解析式为． 过点B作于点Q， 则， ∵，，， ∴，是定值， 过点N作交的延长线于点R， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，面积有最大值，此时，． 将点P沿方向平移平移个单位长度，得到， 则， 做点关于直线的对称点， 则， 连接， ∴， 当点、M、P三点共线时，． （3）解：∵抛物线分别交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，且． ∴， ∴，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， 故将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位即可得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 由， 当时， ∵，， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． ∵， ∴， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 此时； 当不平行线时， 过点E作轴，交y轴于点J，过点B作于点V， 则，四边形时矩形， ∴，， 在上截取，连接，则， 设直线与y轴的交点为K，则， 故， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 此时， 设直线的解析式为． 根据题意，得 解得， 直线的解析式为． 根据题意，得， 解得，（舍去）， 此时； 综上所述，符合条件的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，特殊角的三角函数，正切函数的应用，直线平行的基本条件，构造二次函数求面积的最值，平行线的性质，互补的应用，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法，构造抛物线求最值，解方程是解题的关键． 12．如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最小值为 (3)存在，或 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍）， ∴， 综上：存在，或． 【题型3 角成倍数关系】 13．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： (4)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4，D (3)，，，，.（写出其中3个即可） (4)2或 【分析】（1）根据题意得到、两点的坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）过点作轴，交与点，设  ，则F，然后列出与的关系式，最后利用配方法求得其最大值及坐标即可； （3）先求解抛物线的对称轴为直线：，设，再分三种情况讨论：为对角线时，为对角线时，为对角线时，再结合菱形的性质与平移的性质可得答案． （4）根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，，过作轴的垂线，垂足为，交的延线于，设，则，，最后，分为和两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 点，点， 二次函数的图象经过，两点， 解得： 抛物线的解析式； （2）解：如图所示：过点作轴，交与点．      设D，则F ∴FD= ∴ ∵ ∴时，S最大，最大值为4.    此时，点D坐标为． （3）存在，理由如下：， 抛物线的对称轴为直线：， 设， 以为对角线时， ， ， 解得：，即， 当为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 当为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 综上：的坐标为：或或或或． （4）如图所示：过点作垂足为，交与点，连接，   ，，， ，，， ， 为直角三角形． 取的中点，连接，则， ． ． 当时，则． 设，则，． ， 解得：（舍去）或． 点的横坐标为2． 当时，设，，． ， ，， ， ，． ． ， 解得：（舍去）或． 点的横坐标为． 综上所述，当点的横坐标为2或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上. （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值； （3）如图2，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）二次函数的表达式为：；（2）4；（3）或. 【分析】（1）先求得点B、C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，交于点，过点作于点，设，则.用含有a的代数式表示出的长，再根据得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即可解答；（3）在x轴上取点K，使CK=BK，则∠OKC=2∠ABC，过点B作BQ∥MD交CD延长线于点Q，过点Q作QH⊥x轴于点H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC两种情况求点D的横坐标即可. 【详解】（1）直线，当时，；当时，， ∴，. ∵二次函数的图象经过，两点， ∴解得 ∴二次函数的表达式为：.     （2）过点作轴于点，交于点，过点作于点， 依题意设，则. 其中， ∴，   ∴ ， ， ， ， ，   .                         ∵，∴抛物线开口向下． 又∵， ∴当时，有最大值，  ； （3）或    在轴上取点，使，则. 过点作∥交延长线于点，过点作轴于点， 设点的坐标为，则， . 在中，，解得.∴. 当时， ∴. ∴.                                          易证∽. ∴. ∴,. ∴. ∵， ∴直线的函数表达式为：. 由，解得：，（舍）. ∴点的横坐标为2. ②当时，方法同①，可确定点的横坐标为. 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 15．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．    【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4或或；②点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）． 【详解】分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以AM=2，接着根据平行四边形的性质得到PQ=AM=2，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标； ②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2）， AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（，-），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-x+b，把E（，-）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-x-，则解方程组得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标． 详解：（1）当x=0时，y=x﹣5=﹣5，则C（0，﹣5）， 当y=0时，x﹣5=0，解得x=5，则B（5，0）， 把B（5，0），C（0，﹣5）代入y=ax2+6x+c得 ，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5； （2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0得x1=1，x2=5，则A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC， ∴△AMB为等腰直角三角形， ∴AM=AB=×4=2， ∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=2，PQ⊥BC， 作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，    ∴PD=PQ=×2=4， 设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5）， 当P点在直线BC上方时， PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4， 当P点在直线BC下方时， PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=， 综上所述，P点的横坐标为4或或； ②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，    ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB， ∵△ANB为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2）， 易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（，﹣， 设直线EM1的解析式为y=﹣x+b， 把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣， ∴直线EM1的解析式为y=﹣x﹣ 解方程组得，则M1（，﹣）； 作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB， 设M2（x，x﹣5）， ∵3= ∴x=， ∴M2（，﹣）. 综上所述，点M的坐标为（，﹣）或（，﹣）． 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 16．如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，交直线于点Q，过点Q作于点F，连接，求面积的最大值及此时点D的坐标． (3)如图2，在（2）条件下，将原抛物线向右平移，使抛物线再次经过（2）条件下的点D，新抛物线与x轴交于点M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点G，连接，点P为新抛物线上一点，连接交直线于点H，使得，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为3，点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可解题； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据平行设直线的解析式为，利用抛物线为得到，将代入求得直线的解析式，设，则，过点作交于点，记交于点，证明为等腰直角三角形，，再根据面积公式得到 ，最后利用二次函数的最值，即可解题； （3）利用平移的特点得到平移后的拋物线解析式为，以及，，，①连接，作的垂直平分线交于点，利用垂直平分线性质，等腰三角形性质，以及三角形外角定理得到，设，利用勾股定理建立等式，得到点，利用待定系数法求直线的解析式，根据点为新拋物线上的一点，连接交直线于点，联立平移后的拋物线解析式和直线的解析式求解，即可解题，②作关于的对称点，连接，求解过程与①类似． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得， 抛物线为； （2）解：设直线的解析式为， 过点点， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 当时，，解得，， ， ，解得， 设，则， 过点作交于点，记交于点， 由平移的性质可知， ， ， 即， ，轴交直线于点， ， ， 即为等腰直角三角形， ， ， ， 当时，面积的最大值为，点的坐标为； （3）解：原拋物线向右平移1个单位， 平移后的拋物线解析式为， 平移后的拋物线解析式为， 同理，求得，，， ①连接，作的垂直平分线交于点， 有， ， ， 设直线的解析式为， 过点， ，解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点为新拋物线上的一点，连接交直线于点， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， ②作关于的对称点，连接、，交抛物线于点， ，，， ， ， 由对称性可知， ， 设， ，， ， 整理得， 解得，， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 整理得， 解得，， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解函数解析式，一次函数与二次函数交点情况，等腰三角形性质，对称的性质，勾股定理求两点间距离，垂直平分线性质，三角形外角定理，函数平移的规律，熟练掌握相关性质是解题的关键． 17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（在左侧），与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是负半轴上一点，已知，点为射线下方抛物线上一动点，过点作轴，交射线于点，点为射线上一点，且满足，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线绕原点旋转后再沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，其顶点为．为轴上上方一点，为新抛物线上一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，； (3)点的坐标或． 【分析】（1）根据题意得出，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点Q作轴交于点H，则，根据题意得出，，进而根据等腰三角形的性质得出，则，则，则，进而设，则，得出关于p 二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据旋转以及平移变换得出；进而分类讨论，作G关于y轴的对称点，连接，则，过点作交于点Q，则，求得直线解析式联立抛物线即可求解；作Q关于的对称点M，连接交于点，则，同法可求点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 将，代入得： ， 解得， ∴； （2）解：如图1所示，过点Q作轴交于点H，则， ∵， ∴，，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大值为， ，即； （3）解：或；理由如下： ∵顶点坐标为， 当时，则， 将原抛物线绕原点旋转后，顶点坐标为， ∴， ∵，，， ∵沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴向上平移3个单位向右平移1个单位得到， ∴； ∴， 如图2所示，作G关于y轴的对称点，连接，则，过点作交于点Q，则， ∵，， 设的解析式为， ∴， ∴， ∴的解析式为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：，∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴； 如图3所示，作Q关于的对称点M，连接交于点，则， ∵，， 设的解析式为， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设的解析式为，代入， ∴， 解得， ∴的解析式为； 设， ∴的中点坐标为， ∴， ∴①， 又∵， ∴②， 联立①②解得：或， 又∵M，，Q不共线，而，即点在上，故舍去， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，点的坐标或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，二次函数图象的几何变换，角度问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标； (3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【分析】（1）先求出，，再根据，求出，利用待定系数法即可求解； （2）取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，得到，根据，求出，证明四边形是矩形，求出直线，联立，求解即可； （3）抛物线与抛物线关于原点对称，求出的函数表达式为，分点H位于第一象限，点H位于第三象限两种情讨论即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ，， ， ， ， ， 经过点A，B，C， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：， ， ，， 取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 设直线且过点， ， ， 或； （3）解：抛物线与抛物线关于原点对称， 的函数表达式为， 点F的坐标为， ， 点G的坐标为， 在x轴上取一点P，使得，此时， 设， ， ， ， ， 当点H位于第一象限时，过点B作交的延长线于点Q，作轴于点M，作轴于点N， 设点Q的坐标为， ，，，， ∵ ∴ ∵ ∴， ， ， ， ，， ， ， 直线与交于点H， （舍去）， 点H的坐标为，     当点H位于第三象限时，点与点Q关于点B对称，此时， ， ， （舍去）， 点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或． 【题型4 互余】 19．如图①，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，P为x轴上的动点，当与互余时，求点P的坐标； (3)如图②，点M，N都在抛物线上，点M位于第四象限，点N位于第二象限，连接分别交x轴，y轴于点E，F，连接，求证：若，则直线MN经过一定点． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）把代入抛物线解析式得到，由抛物线对称轴公式得到，据此求解即可； （2）如图所示，当点P在点O右边时，证明，推出，即轴，则；如图，当点P在点O左边时，设交y轴于G，设，证明，得到，利用勾股定理得到，解得，则，求出直线的解析式为，则，由此可得答案； （3）过点M作于点Q，过点N作轴，首先根据平移的性质，可求得抛物线的解析式为：，设点M的坐标为，点N的坐标为，设直线的解析式为，联立成方程组，可得，，再证得，可得，即可求得，，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当点P在点O右边时， ∵， ∴，即轴， ∵， ∴ 如图，当点P在点O左边时，设交y轴于G，设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，点P的坐标为或； （3）证明：如图：过点M作于点Q，过点N作轴， 点，都在抛物线上，且分别在第四象限和第二象限， 设点M的坐标为，点N的坐标为， ，，，， 设点直线的解析式为， 联立得， ∴，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 整理得：，   ∴， 直线不经过原点， ∴， ， ， ， ∴当时，， 直线经过一定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，利用待定系数法求抛物线与一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理等等，难度比较大，采用数形结合的方法是解决本题的关键． 20．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点D．如图，若该抛物线经过原点O，且a＝－. (1)求点D的坐标及该抛物线的解析式； (2)连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）D点的坐标是(3，1)．y＝－x2＋x；（2）在抛物线上存在点P1(，)，P2(，－)，使得∠POB与∠BCD互余． 【详解】试题分析：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=-，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式； （2）先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，-x2+x），分两种情况讨论即可求得； 试题解析： (1)过点D作DF⊥x轴于点F. ∵∠DBF＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴ ∠DBF＝∠BAO. 又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD， ∴△AOB≌△BFD， ∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2， ∴D点的坐标是(3，1)． 根据题意，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过原点和点D， ∴c＝0，(－)×32＋b×3＋c＝1， ∴b＝， ∴该抛物线解析式为y＝－x2＋x； (2)存在． ∵C、D两点纵坐标都为1， ∴CD∥x轴， ∴∠BCD＝∠ABO， ∴∠BAO与∠BCD互余．若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB＝∠BAO. 设点P的坐标为(x，－ x2＋x)． 当点P在x轴上方时，则tan∠POB＝tan∠BAO， ∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝. 当x＝时，－ x2＋x＝， ∴点P的坐标是(，)； 当点P在x轴下方时，则，解得x1＝0(舍去)，x2＝ .当x＝时， ∴－x2＋x＝－， ∴点P的坐标是(，－)． 综上所述，在抛物线上存在点P1(，)，P2(，－)，使得∠POB与∠BCD互余． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点， 轴交于点，求的周长的最大值，及此时点的坐标； (3)如图，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与x轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)周长的最大值为，此时点P的坐标为； (3)存在，坐标为或． 【分析】（）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为； （）设，则，；求出，，可得，即可知是等腰直角三角形，故，有，根据二次函数性质可得答案； （）当在轴上方时，延长，交于，求出，设新抛物线函数表达式为，把代入可解得新抛物线函数表达式为，可得，而直线函数表达式为，设，根据，，得，即，解得m得，故直线函数表达式为，联立，即可解得；当在轴下方时，设关于x轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点，同理可解得 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：设， 轴，H在直线上， ， ； 在中，令得，令得， ，， ， ， 轴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 的周长的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：在新抛物线上存在一点T，使得，理由如下： 当在轴上方时，延长，交于，如图： 在中，令得或， ， 由，设抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， 新抛物线函数表达式为， 把代入得：， 解得舍去或， 新抛物线函数表达式为， 在中，令得或， ， 由，可得直线函数表达式为， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， 由，可得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在轴下方时，设关于轴的对称点为，则，由轴对称性质可知，为直线与新抛物线的交点， 由，得直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，待定系数法求解析式，等腰直角三角形判定与性质，二次函数图象与几何变换等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 22．抛物线与x轴交于A，两点（A在B的左侧），与y轴交于点．点P在抛物线上，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如1图，若点P在第四象限，点D在线段上，连接并延长交x轴于点E，若，连接，记的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； (3)如2图，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段交于点G，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将将、两点代入即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，，得到，，求出直线的解析式为；过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，，可求出，，，可证明，则可求出，设与y轴的交点为S，可得，，求出直线解析式为，得到点D坐标为，根据，得到，解方程即可得到答案； （3）作轴，连接交x轴于点H，设，求出直线的表达式，由可表示，分别求，证，利用相似三角形的性质列出比例式即可求解； 【详解】（1）解：将、两点代入，得，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵、， ∴，，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵∠， ∴，即为等腰直角三角形，， ∴，， 设直线的解析式为， 将、两点分别代入得，， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点P作轴分别交、x轴于点R、M．设点，则，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设与y轴的交点为S， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得： ∴点D坐标为 ∵， ∴ ∴ 解得：， ∵点P在第四象限， ∴， 将代入抛物线得：， ∴此时点P坐标为； （3）解：如图，作轴，连接交x轴于点H， 设，直线的表达式为：， 将P，C的坐标代入得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 将代入得，，即， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 由题可知，， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于推出点E和点S的坐标，解（3）的关键在于作出辅助线构造相似三角形． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解； （3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 即，则， 故抛物线的表达式为：①； （2）解：在中，， ， 则， 故设直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； （3）解：作，   设， ， 且相似比为， 则， 故当、、共线时，为最小， 在中，设边上的高为， 则， 即， 解得：， 则， 则， 过点作轴于点， 则， 即点的纵坐标为：， 同理可得，点的横坐标为：， 即点， 由点、的坐标得，， 即的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 24．如图，抛物线与坐标轴分别交于三点，是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为．    (1)三点的坐标______，______，______； (2)连接，交线段于点． ①当与轴平行时，求的值 ②当与轴不平行时，连接、，求的最大值 ③连接，是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②；③存在，． 【分析】（1）分别把与代入，再解方程可得答案； （2）①当与轴平行时， 则，再利用相似三角形的性质可得答案；②如图，过点作的平行线，交于点，可得，再利用相似三角形的性质可得答案；③假设存在点，如图，延长交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，求解，设的解析式为，将代入解析式可得解析式为，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，可得方程， 解得或， ． （2）①当与轴平行时， ∴， ∴， ∵当， ∴，， ∴，， ∴，而， ∴； ②如图，过点作的平行线，交于点，   ， ，， ， ， 设， 设的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 的解析式为， ∴时，， ∴， ， 当时，取最大值为． （3）假设存在点，如图，延长交轴于点，过点作的垂线，交抛物线于点，   ， ，， ， ，， ， ， ， ， 设的解析式为，将代入解析式得：， 解得：， 解析式为， 令，解得或（舍）， 存在点满足题意，此时． 【题型5 角的和差关系】 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，作点关于轴的对称点，连接交抛物线于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点为直线上方抛物线上一动点，连接，点为轴上的动点（点在点的左边）且，连接、．当面积最大时，此时点的坐标及的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线上，连接．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点作平行于轴交抛物线于点，设，则，得出，从而可求出当时，有最大值，此时，由可知，当有最大值时，有最大值，将点向右平移2个单位长度得，再作关于轴的对称点，连接，则，是平行四边形，然后根据即可求解； （3）先求出平移后抛物线解析式为，然后分点F在直线下方和点F在直线下方两种情况求解即可． 【详解】（1）将代入抛物线 得， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）点是点关于轴的对称点 点． 设直线的解析式为， 则， ∴， 直线的解析式为， 与联立得，， 解得（舍去）， 直线与抛物线的交点． 过点作平行于轴交抛物线于点，设，则， 当时，有最大值，此时 由可知，当有最大值时，有最大值，即时，面积最大. 将点向右平移2个单位长度得，再作关于轴的对称点，连接，则，是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值． 综上所述，，的最小值为． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴向上平移了个单位，向左平移了个单位， ∵， ∴：． 当点F在直线上方时，如图， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 与抛物线联立得， 解得，（舍去）， ∴． 当点F在直线下方时，如图，作点G关于的对称点N，连接，延长交于点，则，，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 与抛物线联立得， 解得，（舍去）， ∴． 综上可知，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数的平移，解直角三角形，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作交于点，点、点是直线上的动点，满足点在点的左侧且，点为该抛物线的顶点，当线段最大时，求的最小值． (3)将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点是线段的靠近点的三等分点，连接，点为新抛物线与直线的另一交点，点为新抛物线上的一个动点，若；求点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据点在抛物线上且对称轴为直线建立方程组，求解即可； （2）根据抛物线确定，，得，， ，，，如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接，推出，四边形是平行四边形，，，，证明得，求出，设，确定直线的解析式为，得，继而得到，，则当时，取得最大值， 此时，进一步确定，，求出，然后由可得答案； （3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点，先确定，再由平移规律确定新抛物线的解析式，求出，得，证明得，求得，，确定直线的解析式为，由联立可求得点的坐标；再确定直线的解析式为，求得，根据垂直平分线的性质及对称的性质可得，继而得到直线的解析式为，再联立可得点的另一个坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线与轴交于点、点，与轴交于点， 当时，得：， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， 如图，过点作轴交于点，过点作，过点作，交于点，作关于直线的对称点，连接交于点，过点作交于点，连接、、，取点，连接， ∴，四边形是平行四边形，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，取得最大值， 此时， ∵抛物线的对称轴为直线，点为该抛物线的顶点， 当时，， ∴， ∵，即，点在点的左侧， ∴点在点的左侧， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 解得：或， 经检验，或都是原方程的解但不符合题意，故舍去， ∴， ∴， ∵轴，，直线的解析式为， ∴轴，，点的横坐标为，此时对应的， ∴， ∴， ∵点、关于直线对称， ∴直线垂直平分， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 当点、、共线时取“”号，此时取得最小值， 即当线段最大时，的最小值为； （3）如图，过点作轴于点，当在右侧时，设交轴于点，过点作且交于点，交轴于点，在取点，使，交新抛物线于点， ∴，， ∵，，点是线段的靠近点的三等分点，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵将抛物线沿着射线方向平移，使得新抛物线恰好经过点，点为新抛物线与直线的另一交点， 又∵点和点都在上， ∴抛物线向下平移个单位再右平移个单位得到新抛物线，即， 联立， 解得：或， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∵，，，， ∴垂直平分， ∴点与点关于点对称，， ∴， 设， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，对称的性质，函数图象平移的规律，函数图象的交点坐标，两点之间线段最短等知识点，掌握二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质及图形的变换是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】（1）根据以及抛物线的对称轴是直线，再建立方程组求解即可． （2）如图，连接，过作轴交于，当最大时，最大，求解直线为：，设，则，可得当时，的面积最大，此时最大，，求解，如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点，可得当三点共线时，，此时最小，最小，再进一步求解即可． （3）求解新抛物线为，结合，如图，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，此时，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． （2）解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴，而， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：． （3）解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位为： ，即， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，线段最值问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 28．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，连接，过点作交抛物线于点．    (1)如图1，求的坐标； (2)如图2，是第一象限抛物线上一点，连接，过点作轴交延长线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，在上取一点，连接、，交于，若，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，分别求得的坐标，可得，根据得出 ，可得 ，设，则，解方程，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，则，设点的横坐标为，根据，则，，即可得出，代入数据，即可求解； （3）根据已知得出，延长至 使，证明，进而推导出 ，证明 ，得出，根据已知  得出，设 ，，在 中，，，根据勾股定理建立方程，得出 ，则，根据，得，进而求得点的坐标，同理求得点的坐标，进而求得直线的解析式，即可得出的坐标，同理可得直线，设代入抛物线解析式，即可得出的坐标，进而求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，    ，                 当时   ，       ，  ，         当时   ，      ，， ，        ， ，      ，   ，      ，   在上， 设 ，                 ，                 解得：或 （舍）， ； （2）如图，过点作于点，过点作于点，则，    ∵设点的横坐标为，      ∴，                  ∴ ，   又∵，则，                  ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， 即， （3）解：由（1）可得，又∵轴， ∴， ，          ， ， ， ， 延长至 使，    ∵， ∴， 又∵，， ， ，    过 作延长线于， ， ∴， ，     又∵， ， ， ，        ，    设 ，， 在 中，，          ， ，        或 ( 舍 ) ， ，， ，     ， ， ， ，         ，    过点作轴的垂线，垂足为，则是等腰直角三角形，       ∴， 又∵，则， )，    ∵ ， 同理可得，， 设直线的解析式为，代入)，， 得， 解得：， ∴直线， ∵当时， ，      )，          同理可得直线  ，   设， 在抛物线上， ∴， 解得，或   ( 舍 )， ∴ ， 设直线 解析式为， ∴， 解得：． ∴直线 解析式为：． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，二次函数与坐标系的交点，解直角三角形的应用，全等三角形的性质，一次函数的应用，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键． 29．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点D是直线下方抛物线上一点，轴交于点E，点F是上一点，当点E是中点时，求的最大值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，新抛物线与直线交于点P、Q，（点P在点Q左侧）在新抛物线上找一点M，若，直接写出点M的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）作点A关于的对称点，连接，，连接交于P，根据，则当、D、F三点共线时，此时即为最大，最大值为的长，求出的长即可； （3）方法一：由等腰三角形内角关系证明，从而可得，分两种情况：①当点M在直线上方时，②当点M在直线下方时，通过分别求解即可； 方法二：先证明，可得，再分两种情况：①当点M在直线上方时，②当点M在直线下方时，利用解直角三角形求出点坐标． 【详解】（1）解：把、代入，得 ，解得：， ； （2）解：对于抛物线， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得 ，解得： ， ∵点E是中点， ∵轴， ∴点D的横坐标为2， 把代入，得 作点A关于的对称点，连接，，连接交于P， ∴，， 设点， ∴，， ∴，， ∴ 即 解得：，（舍去） ∴，， ∴ ∵， 当、D、F三点共线时，此时即为最大，最大值为的长， ， ， 的最大值是． （3）解：解：过点P作轴于D，如图， ∴， ， ∴ ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即抛物线向右平移2个单位，向上平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 取的中点， ∵、、 ∴，， ∴，， 由待定系数法可求得：直线解析式为：， ∴， 又∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ①当点M在直线下方时，如图， ∵， ∴， 设直线解析式为：，得，解得：， 即直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得， 解得，， 即点横坐标为． ②当点M在直线上方时， 在上取点，使， ∴， ∴， 设， ∵、 ∴， 解得 ∴， 由待定系数法可求得：直线解析式为：， 设直线解析式为：，得，解得：， 即直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得， 解得，， 即点横坐标为． ∴点M的横坐标为或． 方法二：过点P作轴于D，如图， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴ ∴ 解得： ∴，， ∴ ∴点C向右平移2个单位，向上平移个单位， ∴抛物线向右平移2个单位，向上平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为 设， 过点M作轴于E，过点P作轴于H，设射线交x轴于F，过点F作于T， ①当点M在直线上方时， ∵ ∴，， ∵、、 ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 设，则， ∵， ∴，即 ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 化简得： 解得：，（舍去） ∴点M的横坐标为； ②当点M在直线下方时，如图， 同理： 设，则， 同理 ∴　，即， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴，即 化简整理得， 解得：，（舍去）， ∴点M的横坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线的图象性质，二次函数图象的平移，利用轴对称求最值，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，此题属二次函数综合题目，难度较大． 30．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C． (1)填空： ___________， ___________； (2)当时，函数的最大值是5，直接写出t的值是___________； (3)点C关于抛物线对称轴对称的点为E，过E作轴于F，点P为抛物线上一点，且点P在抛物线对称轴左侧，过P作轴于M，交直线于点N．若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出时的自变量的值，根据二次函数的对称轴分两种情况进行解答即可； （3）分两种情况画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、点， ∴， 解得 故答案为：，； （2）由（1）可知，二次函数解析式为， 把代入得到，， 解得， ∵ ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小， ∵当时，函数的最大值是5， ∴当时，时取得最大值，即，解得， 当时，时取得最大值，即， ∴或， 故答案为：或； （3）当时，， 即点C的坐标为， ∵点C关于抛物线对称轴对称的点为E，对称轴为直线， ∴点E的坐标为， 如图，设交轴于点，交于点， ∵轴， ∴， 根据轴对称性可得，， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点E的坐标为，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 由， 解得，或 ∴， 设直线交轴于点，点关于直线对称的点为，连接交于点，连接交抛物线于点，此时也满足条件， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 设，则，把代入得到① 由轴对称可得，，则， 即② 由①②得到，或（不合题意，舍去） ∴ 设直线的解析式为，则 解得 ∴直线的解析式为， 由由， 解得，或 ∴ 综上可知，点P的坐标为或． 【题型6 已知角度】 31．如图，已知抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC． (1)求抛物线的表达式； (2)连接OP，BP，若，求点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（﹣5，﹣6）或（6，﹣6） (3)存在，Q的坐标为（，）或(，） 【分析】（1）将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入，即可求解； （2）由题意可得×4×｜｜＝12，再由P点在x轴下方，则＝﹣6，即可求P点坐标； （3）将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线于点D，连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝BD，连接BQ，再证明点Q满足要求，并利用轴对称找到另外一个满足要求的点即可． 【详解】（1）解：将A（﹣3，0），B（4，0）两点代入， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）解：对于， 当x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∴S△AOC＝×3×4＝6，S△BOP＝4×|yP|， ∵S△BOP＝2S△AOC， ∴×4×｜｜＝12，， ∴|yP|＝6， ∵＝﹣（x﹣）2+， ∴P点在x轴下方， ∴＝﹣6， ∴＝﹣6， 解得x＝﹣5或x＝6， ∴P点坐标为（﹣5，﹣6）或（6，﹣6）,； 如图1所示， （3）解：存在，Q的坐标为（，）或(，）． 理由如下： ∵＝﹣（x﹣）2+， ∴ 抛物线的对称轴为直线， 设直线与轴交点为点E（，0）， 将射线BA绕点B逆时针旋转60°，交直线于点D， 连接AD，延长线段ED到Q，使得DQ＝BD，连接BQ， 则点Q满足要求，即∠QBA＝75°，如图2所示， ∵抛物线交x轴于，两点 ∴直线垂直平分AB，AB＝7 即直线DE垂直平分AB ∴ AD＝BD ∴△ABD是等腰三角形 ∵∠ABD＝60° ∴△ABD是等边三角形 ∴BE＝AE＝AB＝，∠ADB＝60°，BD＝AB＝7 ∴DQ＝BD＝7 ∴∠DBQ＝∠BQD ∵DE⊥AB ∴∠BDE＝∠ADB＝30°，∠BED＝90° ∵∠BDE是△BDQ的外角 ∴∠BDE＝∠DBQ+∠BQD＝2∠DBQ＝2∠BQD ∴∠DBQ＝∠BQD＝∠BDE＝15° ∴ ∠QBA＝∠ABD+∠DBQ＝75° 在Rt△BED中， ∴ ∴EQ＝ED+DQ＝+7＝ ∴点Q的坐标是（，）， 如图2，以点E为圆心，EQ为半径画弧交直线EQ于点，则点Q与点关于x轴对称，由轴对称性质知，∠BA＝∠QBA＝75°， ∴ 点也满足题意，点 的坐标为(，）， 故点Q的坐标为（，）或(，）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数表达式，勾股定理等知识，构造合适的辅助线是解题的关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒． 连接PQ，PC． (1)求抛物线的表达式； (2)在点P，Q运动过程中，当的面积为时，求点Q坐标； (3)在（2）条件下，时，在直线PQ上是否存在点M，使？若存在，请直接求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）利用待定系数法代入计算即可； （2）过作轴于，利用求出的长，从而用t表示出，列出方程即可得出答案； （3）由（2）及可知，代入求得、，即可得出直线的解析式为，设，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出∠APM=90°，由的直角三角形即可推出，利用两点坐标距离公式列出方程，进行求解即可得出答案． 【详解】（1）解：将点、点的坐标分别代入，得 ， 解这个方程组，得， 则二次函数表达式． （2）过作轴于， 当时，， ∴， ∴． ∵、， ∴, ∴． ∵动点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C作匀速运动， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， 解得，，． ∵Q的横坐标为， ∴或． （3）存在，理由如下： 由（2）可知：，， ∵， ∴． ∴，此时点为的中点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点P、Q坐标代入中，得： ，解得：， ∴设直线的解析式为， ∴设， ∵,, ∴,, ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵,， ∴， ∴ ∴，． 故答案为：存在，，． 【点睛】本题考查了二次函数与几何动点的综合应用，利用锐角三角函数求线段的长度，勾股逆定理，勾股定理，距离公式及坐标轴上点的特征等知识，较为综合，能够熟练应用知识是解题的关键． 33．如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据，得出点的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式列方程即可求解； （3）分点在点的上方和下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （2）解：设点坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． （3）存在， ∵， ∴， 如图，分以下两种情况：    ①当点在点上方时，交轴于，， ∴， ∴，即 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ②当点在点下方时，交轴于， ， 同理可求， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴． 综上：或． 34．定义：若抛物线沿轴向右平移个单位长度得到抛物线，那么我们称抛物线是的“友好抛物线”，称为“友好值”．如图，抛物线与轴交于两点，抛物线是的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线，点是抛物线上一动点． (1)抛物线的表达式为_________； (2)若点在第四象限，过点作轴于点，交于点，当时，求的长； (3)是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据“友好值”为2即可求出抛物线的解析式； （2）先求出，用待定系数法求出直线的表达式，设，则，则，然后根据列式即可求解； （3）分点M在直线上方和点M在直线下方两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵“友好值”为2， ∴抛物线的解析式为． 故答案为：； （2）解：抛物线的表达式为， ∴． 设直线的表达式为， 将点，C的坐标代入， 得， 解得 ， ∴．直线的表达式为． 设，则， ∴ ∵ ∴ 解得或（舍去）， ∴当时，， ∴点M的坐标为， ∴； （3）解：当点M在直线上方时，设直线交x轴于点D， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，可得， ∴直线的解析式为， 令， 解得（舍去），， 当时，， ∴； 当点M在直线下方时，设直线交x轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，可得， ∴直线的解析式为， 令， 解得（舍去），， 当时，， ∴； 综上可知，当时，点的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的平移，二次函数与几何综合，以及解直角三角形等知识，数形结合是解答本题的关键． 35．综合与探究：如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左则），与y轴交于点，点是抛物线的顶点．抛物线的对称轴交轴于点，点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为，点的坐标为，连接分别与轴，对称轴交于点． (1)求三点的坐标并直按写出顶点的坐标； (2)当时．求点的坐标； (3)试探究：在点运动过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2) (3)存在，的值为： 【分析】（1）利用函数解析式求出当时，；当时，；以及顶点坐标公式，即可得出答案； （2）作轴于点，通过证明可得出：．即可得出．当时，求出（舍去），，即可得出点的坐标． （3）由，可得，故，，可得，即可得出设直线的解析式为：，结合，即可得出的值． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ∴点的坐标为； 当时，，解得：． ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为． ∴点的坐标为． （2）作轴于点，则， ∴． 又∵． ∴ ∴． ∴ ∴． 当时，， ∴（舍去）， ∴ ∴点的坐标为． （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是第一象限内且在对称轴右侧二次函数图象上的一个动点，点的横坐标为， ∴． 故存在点，使得，的值为：． 故答案为：存在，的值为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形、特殊角的存在性问题，掌握二次函数的性质，灵活构造图形是解题的关键． 36．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，点P是抛物线的对称轴上一点． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图①连接，为等腰直角三角形，，求的最小值； (3)如图②，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点代入，即可求出函数的解析式； （2）连接，过点做于点，连接交于点N，过点作，当点、、三点共线时，有最小值； （3）当点在线段上方时，以为圆心，长为半径作圆，交上方抛物线的对称轴于点，此时，连接，求出，即可求；当点在线段下方时，以为写斜边在上方作等腰直角三角形，以为圆心，长为半径作圆，交下方抛物线的对称轴于点，此时，过点作，可得轴，轴，则，即可求． 【详解】（1）令，则， 解得：或， ∴，， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接，过点做于点，连接交于点N，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴当点、、三点共线时，有最小值， ∴当点E与点H重合时，的值最小， ∵， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，，即的最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）当点在线段上方时，以为圆心，长为半径作圆，交上方抛物线的对称轴于点，此时，连接， ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在线段下方时，以为写斜边在上方作等腰直角三角形，以为圆心，长为半径作圆，交下方抛物线的对称轴于点，此时，过点作， ∵，， ∴， ∵，， ∴轴， 同理可得轴， ∴， ∴ 综上所述：点的坐标为或． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $