精品解析：四川省内江市第六中学2025—2026学年高一上学期期中考试数学试题

内江六中高2028届高一上期数学半期考试试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则的最小值是（ ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是偶函数，则的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 11. 定义在的函数满足，且当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 在上单调递增 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 不等式的解集为：___________． 13. 已知是幂函数，且在上单调递增，则________. 14. 已知函数、的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，，则__________，__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简或求值： （1）； （2）． 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知奇函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）定义在R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值； （2）已知函数，若图象关于点成中心对称图形，求实数的值； （3）对于函数，设为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中高2028届高一上期数学半期考试试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可判断. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：C 3. 若，则的最小值是（ ） A. 36 B. 13 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时，即当时取等号， 所以当时，有最小值， 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可求出. 【详解】且，得且， 则函数的定义域为. 故选：C 5. 已知函数是偶函数，则的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的对称性求参数，再得单调增区间. 【详解】因为函数是偶函数， 所以的图象关于轴对称， 所以对称轴为直线，即，则． 所以， 所以的单调增区间是． 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD， 由，，故C错误， 故选：A. 7. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，根据的范围确定导数大于0时的范围，进而根据充分条件、必要条件的定义确定答案. 【详解】对函数求导得 当时，，此时函数在上单调递增， 所以“”是函数在上单调递增的充分条件； 令，则，即， 因为，所以，所以，经验证当时，此时，在上单调递增，符合题意， 则无法推出， 也就是说，函数在上单调递增推不出“”， 综上，“”是函数在上单调递增的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得到函数的奇偶性和单调性，可判断A；解不等式可判断B和C；结合函数单调性判断函数的最值可判断D. 【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递减， 所以在单调递增，又，所以， 所以当时，；当时，. 对于A，，故A正确； 对于B，若，则，即， 解得或，故B正确； 对于C，若，则或， 即或， 解得或，故C错误； 对于D，因为定义在上的函数的图象是连续不断的， 且在上单调递减，在单调递增， 所以，所以对，只需即可，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据已知条件得到函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质解题. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合之间的基本关系与集合的基本运算逐项判断. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以不成立，故B错误； 因为，所以，故C错误； 因为或，所以，故D正确； 故选：AD. 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可知，故A正确；由韦达定理可知，，结合即可求解不等式，从而验证B；由B选项分析可知不等式等价于，解不等式即可验证；由B选项分析可知，故D错误. 【详解】因为不等式的解集为，所以，A正确； 由题意，方程的两根是，， 由韦达定理：得：，，等价于， 所以，B错误； 不等式等价于，即，解得：或，C正确； 因为，，所以，D错误. 故选：AC. 11. 定义在的函数满足，且当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. C. D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据赋值可以求得，令，可得，即得奇函数，正确；赋值，可得正确；根据单调性定义，判断在为增函数，可得正确；再利用赋值和函数单调性确定错误. 【详解】对于选项，令，则， 令，，则对恒成立， 则函数为奇函数，故正确； 对于选项，令，， 即，故正确； 对于选项，，设，则， ，则 则，则， 即函数在为增函数，故正确； 对于选项，，因为为增函数，则， 则，故错误. 故选：. 【点睛】抽象函数问题解决策略： 赋值法求函数值或者判断不等关系； 抽象函数的单调性问题：先确定定义域，再根据题中条件构造，比较其和的大小（或者构造，比较其和的大小），进而确定单调性. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 不等式的解集为：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法，即可求得答案. 【详解】由可得，则. 故答案为： 13. 已知是幂函数，且在上单调递增，则________. 【答案】27 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和性质，求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：27. 14. 已知函数、的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】推导出，令，可求得的值；在等式中，令，可求得的值，推导出，令，可求出的值. 【详解】因为函数为奇函数，则， 可得，所以，函数的图象关于点对称， 则， 令可得，故， 因为，则， 因为函数为偶函数，则， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 所以，，令，可得，则. 故答案为：；. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求函数值，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简或求值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂运算和根式运算求解即可. （2）根据指数幂运算求解即可. 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 16. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集、并集的定义计算可得. （2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可； 【小问1详解】 当时，又， 所以，； 【小问2详解】 当时，由，解得，满足，符合题意； 当时，可得或，解得或． 综上，实数的取值范围是或． 17. 某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）． （1）求利润的函数解析式； （2）当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可； （2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案. 【小问1详解】 由题意，， 即； 【小问2详解】 当时，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最大值52； 当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元． 18. 已知奇函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） ，， ， 因为，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据为奇函数求出的值，根据的图象经过点求出即可求解； （2）利用单调性的定义判断即可； （3）由已知得，根据单调性求出最值即可求解. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 即，所以，得， 所以，， 因为函数经过点，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为存在，使得不等式成立， 则， 由（2）知，函数在上单调递增，且为奇函数， 所以函数在上单调递增， 所以当时，； 令，， 的图象开口方向向上，对称轴方程为， 当时，， 所以，解得或，所以； 当时，， 所以，解得或，所以， 综上，或， 所以实数m的取值范围为. 19. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）定义在R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求的值； （2）已知函数，若图象关于点成中心对称图形，求实数的值； （3）对于函数，设为方程的两个非零实根，若，使不等式成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性运用赋值法计算可得； （2）由题可得为奇函数，即可得答案； （3）由题可将化为，然后求出可得答案. 【小问1详解】 ∵当时，，， 由的图象关于点中心对称，得为奇函数， ，即 令得 令得， 【小问2详解】 因函数图象关于点成中心对称图形，由题可得： 为奇函数， 则恒成立 【小问3详解】 . 由题意得也为的两个非零实根， 则， 则. ，使， . 即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $