四川省阆中中学校2025-2026学年高二上学期期中学习质量检测数学试题

阆中中学校2025年秋高2024级期中学习质量检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D B C B D C 题号 9 10 11 答案 AD BCD ABC 12. 5 13. 192 14. 2x-3y+5=0 15. 1.解：由题可得，则其垂直平分线的斜率为， 线段的中点坐标为，即， 则边上的垂直平分线所在直线的方程为，即．...........6分 2.证明：方法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4； 当m＝时，直线方程为x＝9. 两直线的交点为P(9，－4)， 将点P的坐标代入原方程，左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5＝右边． 故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4)． ...........13分 方法二：原方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意m都成立，则解得 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4)． ...........13分 16．解：(1)由2×3－m(m＋1)＝0，得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，所以l1∥l2. 同理，当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2. 故m的值为2或－3. ...........8分 (2)由直线l1⊥l2，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1. 故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. ...........15分 17. 解：(1)证明：取PB的中点G，连接EG，GF，如图． 因为E，G是PA，PB的中点，所以EG∥AB，且EG＝AB. 因为DF∥AB，且DF＝CD＝AB， 所以EG綉DF，所以四边形EGFD为平行四边形， 所以DE∥FG， 又DE⊄平面PBF，FG⊂平面PBF， 所以DE∥平面PBF. ...........7分 (2)解：如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)，F(，2，0)，C(1，2，0)． 所以＝(－1，－2，1)，＝(－1，0，1)，＝(－，2，0)． 设平面PBF的法向量为u＝(p，q，r)， 则取r＝4，则u＝(4，1，4)． 则|cos〈u，〉|＝＝＝， 所以直线PC与平面PBF所成角的正弦值为. ...........15分 18.解：（1）分数在内的频率为： 。……4分 （2） 设中位数为x 则 ...........9分 （3）由题意，分数段的人数为：（人）；.……..…10分 分数段的人数为：（人）； ………..…11分 因为用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，所以分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E； 分数段抽取1人，记为M。 …………………12分 因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分， 则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人。 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件，…7分 则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E）， （B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M）， （C，M），（D，M），（E，M）共15种。 事件包含的基本事件有（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）5种 ....….....14分 所以恰有1人的分数不低于90分的概率为。 …………..17分 19．(1)证明　连接CE，因为E是AD的中点，所以AB＝AE＝. 在直角三角形ABE中， BE＝＝＝2，同理CE＝2. 又BC＝2，所以BE2＋CE2＝BC2，所以CE⊥BE. 因为平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，CE⊂平面BCDE， 所以CE⊥平面ABE，因为AB⊂平面ABE，所以AB⊥CE. 又AB⊥AE，且AE∩CE＝E，AE，CE⊂平面AEC，所以AB⊥平面AEC， 因为AC⊂平面AEC，所以AB⊥AC. ...........6分 (2)解　由(1)知△ABE和△BEC均为等腰直角三角形， 过A点作底边BE的高，交BE于O点，则O为BE中点， 取BC中点G，连接OG，则OG∥CE， 由CE⊥平面ABE可知OG⊥平面ABE， 所以以O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(－1，2，0)，E(－1，0，0)， ＝(1，0，1)，＝(－1，2，－1)， 显然平面ABE的一个法向量为m＝(0，1，0)， 设＝λ，λ∈[0，1]，则＝＋λ＝(1－λ，2λ，1－λ)， 又＝(2，0，0)，设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)， 所以得令y＝1可得n＝(0，1，)， 所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，解得λ＝或λ＝3(舍)， 所以＝. ...........13分 (3)解　由(2)知，n＝(0，1，－3)，而＝(0，2，0)，所以点C到平面BEF的距离 d＝＝＝. ...........17分 答案第4页，共4页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学校2025年秋高2024级期中学习质量检测 数 学 试 题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1． 已知直线l的方程为，则直线l的斜率为（ ） A． B． C． D． 2． 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若＝m－＋，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 3． 已知空间单位向量a，b，c两两垂直，则|a－b＋c|＝（ ） A．1 B． C．3 D． 4． 棱长均为3的正三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 5． 从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是（ ） A．① B．②④ C．③ D．①③ 6． 设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 7． 已知实数x，y满足3x＋4y＝5，则x2＋y2的最小值为（ ） A． B． C． D．1 8． 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(－2，0)，若将军从山脚下的点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A．4 B．5 C． D．3 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9． 在平行六面体中,,, M为的中点，则（ ） A． B． C． D． 10．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如下图，则下列说法错误的是（ ） A．在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B．早睡人群睡眠指数主要集中在 C．早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D．晚睡人群睡眠指数主要集中在 11．点A、B在以PC为直径的球O的表面上，且AB⊥BC,AB=BC=2，已知球O的表面积是12π，设直线PB和AC所成角的大小为，直线PB和平面PAC所成角的大小为，四面体PABC内切球半径为r，下列说法中正确的是（ ） A．BC平面PAB B．平面PAC平面ABC C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______． 13．某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样方法从所有师 生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取人数为80则的值为 ． 14． 已知 ，，则过点的直线方 程为_____________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分） （1）已知，，求线段的垂直平分线所在直线的方程； （2）求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点，并求 出定点坐标． 16．（15分） （1）已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求实数m的值； （1）已知直线l1:(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0垂直, 求实数a的值． 17．（15分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F 分别为PA，CD的中点． （1）求证：DE∥平面PBF； （2）若PA＝AB＝1，BC＝2，求直线PC与平面PBF所成角的正弦值． 18．（17分）某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）分成 六段，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示）. （1）求分数在内的频率； （2）求直方图意义下的中位数； （3）用分层抽样的方法在80分以上(含80分)的学生中抽取一个容量为6的样本， 将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90 分的概率. 19．（17分）在长方形ABCD中，AD＝2AB＝2，点E是AD的中点，沿BE折起平面 ABE，使平面ABE⊥平面BCDE． （1）求证：在四棱锥A－BCDE中，AB⊥AC； （2）若在线段AC上存在点F，使平面ABE与平面BEF的夹角的余弦值为，求 的值； （3）在（2）的条件下，求点C到平面BEF的距离． 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 准考证号 注意事项 1．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、准考证号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置。 2．选择题填涂时，必须使用2B铅笔按 图示规范填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色墨迹签字笔作答。 3．必须在题目所指示的答题区域内作答，超出答题区域内的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持答题卡清洁、完整、严禁折叠，严禁使用涂改液和修正带。 阆中中学校2025年秋高2024级期中学习质量检测 数学答题卡 阅卷系统答题卡(文科综合科) 姓 名 班 级________________ 考 号 姓 名 座位号 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂上面的缺考标记 选择题 （1-8题，每小题5分，共40分，9-11题，每小题6分，共18分）（考生须用2B铅笔填涂） 09 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 非选择题 （考生须用0.5毫米的黑色墨迹签字笔书写） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（13分） 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 16.（15分） 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 17.（15分） � 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 18.（17分） 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 19.（17分） � 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 四川省阆中中学校高2024级期中考试双向细目表 科目： 数学 命题人： 王正全 题序（号） 题型 内容 分值 命题要求 难度系数 一级 二级 第一卷 1 选择题 直线方程 5分 计算能力 0.95 2 空间向量 5分 计算能力 0.9 3 空间向量 5分 概念的理解 0.82 4 立体几何 5分 概念的理解 0.7 5 概率 5分 0.79 6 直线方程 5分 计算能力 0.72 7 距离 5分 计算能力 0.66 8 直线应用 5分 0.65 9 空间向量 6分 计算能力 0.6 10 统计 6分 计算能力 0.6 11 立体几何 6分 应用 0.5 第二卷 12 填空题 空间向量 5分 计算能力 0.79 13 统计 5分 计算能力 0.66 14 直线方程 5分 分析能力 0.67 15 直线应用 13分 计算能力 0.55 16 解答题 直线应用 15分 运用 0.66 17 立体几何 15分 运用 0.65 18 概率统计 17分 运用 0.6 19 立体几何 17分 运用 0.55 Sheet2 Sheet3 $