6.5 相似三角形的性质（2课时）同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

6.5相似三角形的性质 第 1课时 相似三角形的周长、面积的性质 一、选择题(每题6分，共30分) 1.(内江中考)已知△ABC与△DEF 相似,且相似比为1:3,则△ABC 与△DEF 的周长的比是( ) A. 1:1 B. 1:3 C. 1:6 D. 1:9 2.已知两个相似多边形面积的比是9：16，其中较小的多边形的周长为18cm，则较大的多边形的周长为 ( ) A. 24cm B. 27cm C. 28cm D. 32cm 3. 如图,△ABC∽△ACD,相似比为3:1,则△BDC 与△ACD 的面积的比为 ( ) A. 9:1 B. 8:1 C. 3:1 D. 1:1 4. 如图,在▱ABCD中,点E 在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE、BD,AE交BD 于点F,则△DEF 与△DAF 的面积的比为 ( ) A. 9:16 B. 3:4 C. 9:4 D. 9:28 5.★如图，平行于 BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则 的值为 ( ) A. 1 二、填空题(每题6分，共24分) 6. 已知△ABC∽△DEF,且△ABC 与△DEF 的面积的比为16:9,△ABC 的最短边长为6 cm,则△DEF 的最短边长为 cm. 7.制作一块3m×2m的矩形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四条边都扩大为原来的3倍，则扩大后的这块矩形广告牌的成本是 元. 8. 如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,BD⊥AC 于点D.如果△BCD 和△ABD 的面积的比为9:16,CD=12,那么BD 的长是 . 9. ★如图,在△ABC中,D、E 分别是边AB、BC上的点,且DE∥AC.若S△DBE=4,S△CDE =16,则△ACD 的面积为 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(共46分) 10.(16分)(杭州中考)如图,在△ABC 中,点 D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上,连接DE、EF.已知四边形 BFED 是平行四边形， (1) 若AB=8,求线段AD 的长; (2) 若△ADE 的面积为1,求□BFED 的面积. 11.★(14分)如图,把△ABC 沿边BA 平移到△DEF 的位置,它们重叠部分(涂色部分)的面积是△ABC 面积的 ,AC与EF 交于点G.若AB=2,求△ABC 移动的距离BE 的长. 12. ★★(16分)如图,⊙O的半径为5,AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点F,OF=3,P 是 上一点，连接CP 交AB 于点E，连接AD交CP 于点G，AP 的延长线与CD 的延长线交于点 Q.如果 ,求△APD 的面积. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 相似三角形的高、中线、角平分线的性质 一、选择题(每题6分，共30分) 1.若两个相似三角形的对应角的平分线长度的比为1：3，则它们对应中线的长度的比为( ) A. 1:2 B. 1:3 C. 1:4 D. 1:9 2. 如图,△ABC∽△A'B'C',AD、BE 分别是△ABC 的高和中线,A'D'、B'E'分别是△A'B'C'的高和中线，且AD=4,A'D'=3,BE=6,,则B'E'的长为 ( ) A. 1.5 B. 2.5 C. 3.5 D. 4.5 3.若两个相似三角形的面积的比为9：16，则它们对应高线的比为 ( ) A. 9:16 B. 4:3 C. 3:4 D. 16:9 4.两个相似三角形对应中线的长分别为6cm和12cm，若较大三角形的面积为12cm²，则较小三角形的面积为 ( ) B.3cm² C. 4cm² D. 6cm² 5.★(河北中考)如图①所示为装了液体的高脚杯示意图，倒出一部分液体后如图②所示，此时液面AB 的长为 ( ) A.1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 二、填空题(每题6分，共24分) 6. 已知△ABC∽△A₁B₁C₁,△ABC 的周长与△A₁B₁C₁的周长的比值是 ,BE、B₁E₁分别是对应角的平分线，且BE=12，则 7.已知两个相似三角形的对应角的平分线长度的比为3：10，且这两个三角形的一组对应高相差56cm，在这组对应高中，较短的高的长为 cm. 8. 在△ABC 和△DEF 中,AB=2cm,BC=3cm,DE=6cm,EF=9cm,且∠B=∠E.若点A 到BC 的距离是1.5cm,则点 D 到EF 的距离为 cm. 9. ★如图,△ABC为锐角三角形,BC=18,AD 是边BC上的高,正方形EFGH 的一边EF 在BC 上,顶点G、H 分别在AC、AB 上.若这个正方形的面积是36,则AD= . 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(共46分) 10. (14分)(盐城中考)如图，在△ABC 和△A'B'C'中，点 D、D'分别在边 BC、B'C'上，且△ACD∽△A'C'D'。若 ，则△ABD∽△A'B'D'。 有下列条件：① BD B'D'；② AB=A'B'；③∠BAD=∠B'A'D'。请从中选择一个填在横线上，并加以证明。 11. (14分)如图，在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，点 P 在边 AC 上(与点 A、C 不重合)，点 Q 在边 BC 上(与点 B、C 不重合)，且 PQ//AB。当△CPQ 的边 PQ 上的高为\(\frac{3}{5}\)时，求△CPQ 的周长。 12. ★★(18分)如图，在△ABC 中，BC=12，AD 是边 BC 上的高，且 AD=8。P、N 分别是边AB、AC 上的点，Q、M 是边 BC 上的点，且四边形 PQMN 是矩形，AD 与 PN 交于点 E。 (1)若四边形 PQMN 是正方形，求 PQ 的长； (2)若 PQ：PN=1：2，则 PQ 的长为 ； (3)当矩形 PQMN 的面积最大时，求 PQ 的长。 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 6.5相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的周长、面积的性质 一、1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 二、6.4.5 7. 1080 8. 16 9.80 解析:∵S△DBE =4,S△CDE=16,∴ S△DBE : S△CDE=1: 4.∵△DBE 底边BE上的高和△CDE 底边CE 上的高相等, 在△DBE 和△ABC中,∵∠BDE=∠BAC,∠B=∠B,∴△DBE∽△ABC. = 三、10.(1)∵四边形BFED是平行四边形,∴ DE∥BF.∴∠ADE=∠B.在△ADE 和△ABC 中,∵∠ADE =∠B,∠A =∠A,∴ =2(2)由(1),得 ∵S△ADE=1,∴ S△ABC=16.∵△ADE∽△ABC,∴AE/AC=DE/BC= 四边形 BFED 是平行四边形,∴EF∥BD,即EF∥AB.∴∠CEF=∠A.在△EFC 和△ABC中,∵∠C=∠C, 11. 由平移,得∠B=∠AEG,又∵∠BAC=∠EAG,∴△ABC∽ 重叠部分的面积是△ABC 面积的 (负值舍去). 12. 连接OC、AC、OD.∵ CD⊥AB,∴∠AFC=90°.又∵OC=OD,∴ CF = DF. 在 Rt△OCF 中,由勾股定理,得 CF =V 一OF=5+3=8,CF=4,∴在 Rt△ACF 中,由勾股定理,得AC= 四边形 ACDP 是圆内接四边形,∴ ∠QAC+∠CDP =180°. ∵ ∠QDP +∠CDP = 180°,∴∠QAC=∠QDP. 在△QAC 和△QDP 中,∵∠Q=∠Q,∵ = DF+ DQ = 8. ∴ 在 Rt△AFQ 中,由勾股定理,得 AQ = 16-6=10 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 相似三角形的高、中线、角平分线的性质 一、1. B 2. D 3. C 4. B 5. C 二、6. 9 7.24 8. 4.5 9. 9 三、10.答案不唯一，如选① 在△ABD 和△A'B' D'中, ∠A'D'B',∴△ABD∽△A'B'D' 为直角三角形，且其斜边上的高为AC,BC= .∵ PQ∥AB,∴∠CQP=∠B,∠CPQ=∠A.∴△CPQ∽△CAB.∵△CPQ 的边PQ上的高为 ,∴△CPQ与△CAB的相似比为又∵△CAB的周长为3+4+5=12,∴△CPQ 的周长为 12.(1)设PQ=x.∵ 四边形 PQMN 是正方形,∴ PN=PQ=x,∠PQM=∠QPN=90°,PN∥QM.∵ AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∵PN∥QM,∴∠AEP=∠ADB=90°,∠APN=∠B,∠ANP=∠C.∴ AE⊥PN.在△APN 和△ABC 中,∵ ∠APN=∠B,∠QPN=∠ADB=90°,∴ 四边形 PQDE 是矩形.∴ ED=PQ=x. 解得x=4.8.∴PQ=4.8 (2) (3) 设PQ=t.同(1),可得△APN∽△ABC,ED=PQ=t,AE=8-t.∴PN/C=AED,即 当t=4,即PQ=4时,,S矩形PQMN 最大.∴ 当矩形 PQMN的面积最大时，PQ的长为4 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $