15.1.1 轴对称及其性质 教学设计2025－2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦轴对称图形、两个图形成轴对称的概念及性质，通过生活对称现象导入，类比平移构建“图形变化”研究路径，搭建前后知识联系的学习支架，明晰区别与联系。 以剪窗花等动手操作培养数学眼光，类比平移渗透数学思维，性质探究从特殊到一般用数学语言概括，结合思维导图梳理知识，发展学生空间观念与几何直观，为教师提供结构化活动设计，提升教学效率。

15.1.1 轴对称及其性质 教学目标 1.经历从现实情境中抽象出轴对称图形、轴对称概念的过程,理解相关概念,知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系;能发现生活中的轴对称图形,体会图形有规律变化产生的美,发展空间观念和几何直观. 2.经历类比研究平移的方法,研究轴对称及其性质,理解线段的垂直平分线的概念,体会由具体到抽象研究几何对象的方法,感悟类比思想在研究数学问题中的作用. 教学重点 轴对称图形,轴对称的概念及性质. 教学难点 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系. 教学过程 新课导入 对称现象无处不在,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的例子(如图).你们能举出一些类似的例子吗? 【师生活动】教师组织学生分享交流(下图为部分示例). 【问题】在七年级的学习中,我们已经研究过“平移”,和平移一样,轴对称也是一种基本的图形变化,在研究内容、研究过程、研究方法上,我们都可以借鉴学习平移的思路.想一想,应该如何开展对轴对称的研究呢? 【师生活动】教师引导学生类比研究平移的思路与方法,构建前后一致的“图形变化”的研究路径:引入对象(现实情境)—抽象概念—研究性质—探讨画法—量化表达(坐标表示)—应用拓展. 【设计意图】在章起始课中,一方面通过生活中常见的轴对称现象,引出新知,让学生感受数学和生活的紧密联系;另一方面通过类比平移,整体构建本章的知识框架和研究方法,逐步渗透研究几何问题的一般思路. 新知探究 【问题1】图中是3种美丽的窗花,它们都是通过把一张纸对折,剪出一个图案 (折痕处不要完全剪断),再打开这张对折的纸得到的.观察这些窗花,你能发现它们有什么共同的特点吗? 【师生活动】学生认真观察后,发现这些图形都是对称的,图形从中间分开后,左右两部分能够完全重合. 【追问1】你能够模拟剪窗花的过程,自己剪出一些具有这样特征的图形吗?使用桌子上的剪刀和彩纸,试一试吧. 【师生活动】学生动手操作,教师巡视指导,展示有特点的学生作品.师生共同总结出轴对称图形的特点. 【新知】如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.这时,我们也说这个图形关于这条直线对称. 【提醒】这里指的“直线两旁的部分”都是同一个图形的,不是两个图形. 【追问2】认识了轴对称图形的概念之后,我们再来回顾一下,刚才欣赏的图片、同学们举的例子是不是都属于轴对称图形?如果是,它们的对称轴是什么? 【师生活动】教师组织学生分享交流,进一步理解轴对称图形的概念. 【设计意图】在观察和操作的基础上,让学生感知轴对称图形的具体特征,为顺利抽象并理解轴对称图形的概念作铺垫. 课堂练习 如图所示的下列图形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 【师生活动】学生完成学习任务单上的相关练习,教师给出答案并讲解. 【答案】 【提醒】一个轴对称图形可能有不止一条对称轴. 【设计意图】通过练习加深学生对轴对称图形概念的理解. 新知探究 【问题2】下面的每对图形有什么共同特点? 【师生活动】学生观察思考学习任务单上的问题,小组交流,发现这些图形的共同特征:每一对图形沿着虚线折叠,左边的图形都能与右边的图形重合. 【新知】把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,也称这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点. 【追问1】请你标出图中点A,B,C的对称点A',B',C'. 【师生活动】学生在学习任务单上标出对称点. 【追问2】你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗? 【师生活动】学生思考后回答,教师点评. 【设计意图】让学生在观察具体实例中,类比轴对称图形概念的学习过程,发现两个图形成轴对称的特征,进而概括出两个图形成轴对称的概念.让学生通过举例,对轴对称的本质特征进行再认识. 课堂练习 如图所示的下列图形中的两个图案是成轴对称的吗?如果是,指出它们的对称轴,并找出一对对称点. 【师生活动】学生完成学习任务单上的相关任务,画出对称轴和对称点.教师进行讲解,并指出第(2)题中的两个图案之间的图形运动是平移变换. 【答案】 【设计意图】通过练习加深学生对两个图形成轴对称的概念的理解. 新知探究 【问题3】你能说说轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系吗? 【师生活动】学生独立思考后,进行小组交流,完成学习任务单上的相关任务.学生代表发言,教师根据学生回答的情况进行指导,如果学生理解上有困难,可以适时追问下面的问题: (1)把成轴对称的两个图形看成一个图形,它是轴对称图形吗? (2)如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形是否能完全重合?这两个图形成轴对称吗? 师生共同归纳得出:把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形;把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称. 【答案】 【设计意图】通过对比讲解,让学生明确轴对称图形和两个图形成轴对称的本质是一致的,但同时二者也是有区别的,加深学生对知识的理解. 【追问】认识了轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系之后,相信同学们对轴对称的相关概念一定有了进一步的认识和理解,按照前面确定的“图形变化”的研究路径,接下来,我们要研究轴对称的性质了,想一想,应该怎样研究呢? 【师生活动】师生共同探讨交流,明确研究方法与路径:其一,从定义出发研究性质;其二,类比平移,研究变化过程中不变的关系与不变量,尤其是探究变化前后决定变化的要素与图形组成元素之间的关系. 【设计意图】进一步明晰概念,同时,通过引导学生思考和交流,明确研究路径,体会几何对象的研究过程,积累相应数学活动的经验. 【问题4】如图, ABC和 A′B′C′关于直线MN对称,点A′,B′,C′分别是点A,B,C的对称点.线段AA′,BB′,CC′与直线MN有什么关系?其他对称点呢? 【师生活动】学生尝试回答,并相互补充,最后得出:AA′与MN垂直,BB′,CC′ 也与MN垂直,同时MN平分AA′,BB′和CC′.对其他对称点,也有这样的关系.总结后完成学习任务单上的相关任务. 【追问1】你能说明其中的道理吗? 【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,学生代表汇报,师生共同交流.教师注意提醒学生关注以下两个问题:(1)从两个图形成轴对称的定义出发,因为A与A′是对称点,所以将 ABC和 A′B′C′沿直线MN折叠后,点A与A′重合;(2)点A与A′重合说明了①AP=A′P,即MN平分AA′;②∠MPA,∠MPA′的边所在的直线分别重合,进而得出这两个角相等,即AA′与MN垂直. 同理,MN也平分BB′,CC′;BB′,CC′与MN也垂直. 【追问2】你能用数学语言概括前面的结论吗? 【师生活动】学生尝试概括,并相互补充,得出成轴对称的两个图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.教师引导学生进一步将该性质用简洁的方式表示出来. 【新知】轴对称的性质:成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 【设计意图】通过在一般图形上找出特殊点,从特例出发,让学生经历发现结论,概括结论,验证结论的过程,体会理解概念在探索性质中的重要作用,培养学生的抽象概括能力,提高学生对成轴对称的两个图形的性质的认识. 【问题5】轴对称图形中也有类似的性质吗? 【师生活动】教师引导学生将这个五边形沿直线l分成两个图形,这样就可以把一个轴对称图形转化成成轴对称的两个图形,再由轴对称的性质可以得到:直线l与线段AA′,BB′垂直,直线l平分线段AA′,BB′.学生完成学习任务单上的相关任务. 【追问】你能用数学语言概括前面的结论吗? 【师生活动】学生尝试概括,并相互补充,得出轴对称图形的性质:对称轴垂直平分对称点所连线段. 【新知】经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.无论是成轴对称的两个图形,还是轴对称图形,其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 【设计意图】让学生类比探索成轴对称的两个图形的性质的方法,进一步探究轴对称图形的性质,体会类比的思想在研究数学问题中的重要作用. 课堂练习 如图,线段AB与A′B′关于直线l对称,AA′交直线l于点O,连接BO,B′O. (1)图中相等线段有 ,线段AA′的垂直平分线是 . (2) OAB和 OA′B′ 关于直线l , OAB OA′B′ ,∠ABO= ,∠A′OB′ = . 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成相关练习,全班交流. 【答案】解:(1)AB=A'B',AO=A'O,BO=B'O;直线l. (2)对称;≌;∠A'B'O ;∠AOB. 【设计意图】通过巩固练习,帮助学生进一步加强对轴对称的概念和性质的认识及理解. 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容,请学生从以下方面进行梳理和总结,并记录在学习任务单上. 1.轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是什么? 2.成轴对称的两个图形有什么性质?轴对称图形有什么性质?我们是怎样探究这些性质的? 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结,梳理本节课所学内容,帮助学生养成梳理和总结的学习习惯. 课后任务 完成教材第69~71页习题15.1第1、2、3、11题. 学科网(北京)股份有限公司 $