精品解析：四川省资阳市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

初三上册数学期中测试 （总分：150分 时间：150分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ） A. 28 B. 14 C. 10 D. 7 5. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 6. 已知与是相似比为的位似图形，点为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，且与在点的两侧，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__． 12. 若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第__________象限． 13. 已知，，则代数式______． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 15. 设是方程的两实数根，则_________． 16. 如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_____． 三、解答题（共86分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 已知， 求代数式的值． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值． 20. 如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米． 21. 某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． （1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； （2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 23. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P． （1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 24. 【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M． ①AC与BD之间的数量关系为　 　； ②∠AMB的度数为　 　； 【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数； 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上册数学期中测试 （总分：150分 时间：150分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件（被开方数大于或等于0），分式有意义的条件（分母不等于0）可得答案． 【详解】要使式子有意义， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 3. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可. 【详解】设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得： 故选：C. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系. 4. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ） A. 28 B. 14 C. 10 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据D，E，F分别是，，的中点，可判定四边形是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形的周长． 【详解】解：D，E，F分别是，，的中点， 、分别是的中位线， ，且，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形是平行四边形是解决本题的关键． 5. 如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵与位似 ∴ ∵与的位似比是1:2 ∴与的相似比是1:2 ∴与的周长比是1:2 故选：A． 【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质． 6. 已知与是相似比为的位似图形，点为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，且与在点的两侧，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形中对应点的坐标与位似中心、相似比的关系是解题的关键． 根据位似图形的性质，明确位似中心、相似比与对应点坐标的关系，从而推导点的坐标． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴对应点与满足，且与在点的两侧， ∵点的坐标为，点为坐标原点， ∴点的坐标为． 故选：． 7. 已知x=，y=，则x2+xy+y2的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则进行运算即可． 【详解】解： . 故应选B 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 9. 如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，利用AA定理和平行证得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根据相似三角形的性质求得，，根据反比例函数比例系数的几何意义求得，从而求得，从而求得k的值． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴 ∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90° ∵ ∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90° ∴∠ECO=∠FOB ∴△COE∽△OBF∽△AOD 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∴ ∴，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限， ∴k=-8 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键． 10. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】添加辅助线，过F点作∥，通过证明两组三角形相似，得到和的两个关系式，从而求解． 【详解】如图所示，过F点作∥，交于点I， 证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成 ，，，， 又 ，即 解得或（舍去） ， FI∥HM ， ， ， 解得： 经检验：符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形和勾股定理．本题的关键在于添加辅助线，建立所求线段与已知条件之间的联系． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点， ∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线， ∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴＝()2＝， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 12. 若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】若一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则b2﹣4ac＜0，求得n的取值范围，确定函数图象的情况． 【详解】解：∵a＝n，b＝﹣2，c＝﹣1，方程无实数根， ∴b2﹣4ac＜0 ∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＜0 ∴n＜﹣1 ∴n+1＜0，﹣n＞0 ∴一次函数y＝（n+1）x﹣n中，一次项的系数小于0，常数项大于0，其图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数n的取值范围． 13. 已知，，则代数式______． 【答案】 3 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，二次根式的乘法及加法计算法则，先计算 和 的值，再利用完全平方公式将 转化为 ，代入计算后求算术平方根． 【详解】由已知，，， 则 ， ， 所以 ， 因此， 故答案为：3． 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15. 设是方程的两实数根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将代入方程得到，推出，将其代入所求代数式中得，根据根与系数关系式求得，即可得到答案. 【详解】∵是方程的两实数根， ∴, ∴, ∴, ∴, ∵是方程的两实数根， ∴, ∴2016， 故答案为：2016. 【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处. 16. 如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_____． 【答案】（0，3）、（4，0）、（，0） 【解析】 【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标． 【详解】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA， 由点C是AB的中点，可得P为OB的中点， 此时P点坐标为（0，3）； 当PC∥OB时，△ACP∽△ABO， 由点C是AB的中点，可得P为OA的中点， 此时P点坐标为（4，0）； 当PC⊥AB时，如图， ∵∠CAP＝∠OAB， ∴Rt△APC∽Rt△ABO， ∴， ∵点A（8，0）和点B（0，6）， ∴AB＝＝10， ∵点C是AB的中点， ∴AC＝5， ∴， ∴AP＝ ， ∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝， 此时P点坐标为（，0）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）． 故答案为（0，3）、（4，0）、（，0） 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 三、解答题（共86分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零次幂、绝对值和解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据零指数幂、立方根、绝对值和二次根式的混合运算法则进行求解即可； （2）根据一元二次方程的配方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ∵ ∴ ∴，． 18. 已知， 求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、分式的化简求值等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据分母有理化可得，再求出，，然后利用完全平方公式、二次根式的性质化简代数式，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△≥0，即， ∴； （2）根据题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵ ∴m=2． 20. 如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米． 【答案】3m 【解析】 【分析】根据垂直的定义得到∠FOE＝90°，推出，证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再根据相似三角形的性质列方程组，再解方程组即可得到结论． 【详解】解：∵EO⊥BF， ∴∠FOE＝90°， ∵AB⊥BF，CO⊥BF， ∴， ∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF， ∴ ∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m， ∴ 整理得： 解得：AB＝3． 答：围墙AB的高度是3m． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟练的利用相似三角形的性质列方程组是解本题的关键. 21. 某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． （1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； （2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元； （2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【解析】 【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. 【小问2详解】 解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大， 根据题意得出：， 整理得：， 根据二次函数的性质得出：当时，利润最大， 最大利润为：， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 22. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=90°， ∵∠EAF=∠GAC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， （2）． 【解析】 【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC； （2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解． 【详解】（1） 略 （2）由（1）可知：△ADE∽△ABC， ∴ 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°， ∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG， ∴， ∴= 23. 已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P． （1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 【答案】 （1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C. 在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC. （2）AP的长为或6. 【解析】 【分析】（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC． （2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论． （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长； （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP. 【详解】（1）略 （2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5. ∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ. （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示， 由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴，即，解得：. ∴. （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示, ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P. ∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A．∴BQ=AB． ∴AB=BP，点B为线段AB中点． ∴AP=2AB=2×3=6. 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6. 24. 【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M． ①AC与BD之间的数量关系为　 　； ②∠AMB的度数为　 　； 【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数； 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离． 【答案】【操作发现】①AC=BD；②∠AMB=45°；【类比探究】，∠AMB=90°；【实际应用】4或5 【解析】 【分析】操作发现:如图（1），证明△COA≌△DOB（SAS），即可解决问题． 类比探究:如图（2），证明△COA∽△ODB，可得，∠MAK＝∠OBK，已解决可解决问题． 实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：操作发现:如图（1）中，设OA交BD于K． ∵∠AOB＝∠COD＝45°， ∴∠COA＝∠DOB， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO， ∵∠MKA＝∠BKO， ∴∠AMK＝∠BOK＝45°， 故答案为AC＝BD，∠AMB＝45° 类比探究:如图（2）中， 在△OAB和△OCD中， ∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°， ∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB， ∴， ∴△COA∽△ODB， ∴，∠MAK＝∠OBK， ∵∠AKM＝∠BKO， ∴∠AMK＝∠BOK＝90°． 实际应用:如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD． 在Rt△DCE中， ∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1， ∴∠CEH＝60°， ∵∠CHE＝90°， ∴∠HCE＝30°， ∴EH＝EC＝， ∴CH＝， 在Rt△BCH中，BH＝， ∴BE＝BH﹣EH＝4， ∵△DCA∽△ECB， ∴AD：BE＝CD：EC＝， ∴AD＝4． 如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H． 同法可得BH＝，EH＝， ∴BE＝+＝5， ∵△DCA∽△ECB， ∴AD：BE＝CD：EC＝， ∴AD＝5． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $