专题07 二次函数三角形相关存在性综合题（6种类型42道）-2025-2026学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

弈泓共享数学 专题07 二次函数三角形相关存在性综合题 （6种类型42道） 目录 【题型1 等腰三角形相关综合题】 1 【题型2直角三角形相关综合题】 26 【题型3 等腰直角三角形相关综合题】 47 【题型4 等边三角形相关综合题】 68 【题型5 相似三角形相关综合题】 84 【题型6 平移与三角形存在性问题综合】 103 【题型1 等腰三角形相关综合题】 1．如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)点G的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，设点G的坐标为，利用勾股定理求得，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、等腰三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 3．已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为， (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论，即可求解；熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入， 得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解： 令， 得， ∴，， ∴， 令，得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解： ∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当时， 如图所示有，， ②当时， 过点C作，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ③当时， 由四边形为矩形知， ， 设， 则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，面积与二次函数综合，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 5．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 6．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求四边形面积的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，D (3)存在，P点坐标为或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）先求得，则，设点的坐标为，分五种情况讨论：①直线与轴交于点，则，此时是等腰三角形，；②是延长交直线于点，此时，但、、三点在同一条直线上，所以不存在以、、三点为顶点的等腰三角形；③是，且点在轴的上方，由，列方程得，可求得；④是，且点在轴的下方，设直线与轴交于点，则，所以；⑤是，则，列方程得，可求得． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式：， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 又点，点， ，，， 作于，交于，如图， ，， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在点，使以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下： 设点的横坐标为，则， 解得：， ， ， 设点的坐标为， 如图2，直线与轴交于点，则， 点与点关于轴对称， ， 是等腰三角形，； 延长交直线于点， ， ，， ， ， ， 、、三点在同一条直线上， 不存在以、、三点为顶点的等腰三角形； 如图3，，且点在轴的上方， ， ， 解得：，， ； 如图3，，且点在轴的下方，设直线与轴交于点， ， ， ； 如图3，， ， ， 解得：， ， 综上所述：点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图形与性质，二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 8．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，点M的坐标为或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，得到，再把点，代入解析式，求出a，k的值，即可解答； （2）根据二次函数的图象及对称性得到顶点D的坐标为，与x轴的另一个交点为B的坐标为，根据两点间距离公式求出，，，得到，从而是直角三角形，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为B的坐标为， ∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （3）解：存在，理由如下，分三种情况讨论： ①当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴或． ②当时，为等腰三角形， 过点D作轴于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，为等腰三角形， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 【题型2直角三角形相关综合题】 9．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 【答案】(1)点，点 (2)①（），②当时，四边形为平行四边形，理由见解析，③当或时，为直角三角形 【详解】（1）解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． （2）①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ②∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 10．如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为，此时点P的坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，可得，则可求出；由抛物线的对称性可得，则当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；求出直线解析式为，对称轴为直线，据此可得答案； （3）分是斜边、是斜边、是斜边三种情况，结合勾股定理列方程，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与一条直线相交于两点， ∴， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、分别代入中可得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为B， 在中，当时，， 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴当P、B、N三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； 同理可得直线解析式为， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 在中，当时，， ∴的最小值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可知对称轴为直线， 设点， ∵，，， ∴，， ． 当是斜边时，则，解得； 当是斜边时，可得：或2； 当是斜边时，可得：． ∴点的坐标为或或或． 11．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求为直角三角形时点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，线段长的最大值为； (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）已知在直线上，求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，通过待定系数法即可求得解析式； （2）设出P点横坐标，根据直线和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，可得到关于与P点横坐标的函数关系式，再化成顶点式即可； （3）当为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵、在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设动点P的坐标为，则C点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，线段最大，最大值为； （3）解：∵为直角三角形， ①若点A为直角顶点，．由题意易知，轴，，因为此种情形不存在； ②若点A为直角顶点，则． 如图1，过点作轴于点N，则，． 过点A作，交x轴于点M， 则由题意知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 设直线的解析式为， 则：， 解得， 所以直线的解析式为：， 又抛物线的解析式为：， 联立得， 解得：或（与点A重合，舍去）， ∴，即点C、M点重合． 当时，， ∴； ③若点C为直角顶点，则． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，作点关于对称轴得对称点C， 则点C在抛物线上，且， 当时，． ∵点、均在线段上， ∴综上所述，为直角三角形时，点P的坐标为或． 12．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】解方程，可得：，，所以点的坐标是，点的坐标是； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式是，设点的坐标为，可得：点的坐标是，所以，根据三角形面积公式可得：，根据二次函数的性质可以求出面积的最大值； 当为直角三角形时，应分两种情况讨论，一种情况是当时，另一种情况是当时． 【详解】（1）解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 当时，， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 当时，， 则点的坐标是， ， ， 面积最大值是； （3）解：如下图所示，当时， 则有轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴是， 点的坐标是； 如下图所示，当时，过点作轴， ， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：(与点重合，舍去)，， 当时，， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 13．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为，则可得抛物线解析式为，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，先求出直线的解析式，设，则可得点F的坐标，从而求得，由可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 14．已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)当时，求点的坐标； (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 15．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可； （2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可； （3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】（1）根据待定系数法和题目所给的条件即可求出抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况考虑：①当时，②当时，③当时，分别求出P的坐标即可． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点A， ， 抛物线过点和， ， 解方程组得， ． （2）存在 ，且过原点， ， 点在上， 设点 ，，， 以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形 ①当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ②当时，是直角三角形， ， ， ，此时． ③当时，是直角三角形，则， ，， ， ， 即， 或，此时或； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，直角三角形，勾股定理，分类求解是解决问题的关键． 【题型3 等腰直角三角形相关综合题】 17．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； 【答案】(1) (2) (3)的最大值为 (4) 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令可得，，解，， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （3）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （4）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴点纵坐标为3， ∴，解得或， 当时，则，重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 18．如图，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M ，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，点E向上平移4个单位长度得到点F，点F向右平移2个单位长度得到点G，点G向下平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3) 【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式； （2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解； （3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，求得或，当G点在抛物线上时，求得或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点． 【详解】（1）解：由得，时，， ∴． ∵抛物线经过、两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，令，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵是直线上的点，设， 当为斜边时，， ∴， 解得：， ∴； 当时，， ∴， 解得：（不合题意舍去） ∴； 综上所述，存在，点M的坐标为或； （3）解：∵点E的横坐标， ∴， 由题可知，，，， 当F点在抛物线上时，， 解得或， 当G点在抛物线上时，， 解得或， ∴时，四边形与抛物线有公共点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键． 19．如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 【答案】(1)，顶点； (2)； (3)或时，以为直角边的是等腰直角三角形． 【分析】求出直线与轴，轴的交点的坐标分别为点，，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出的解析式，根据点是与抛物线的对称轴的交点求出点的坐标，可得的长度，再设点，则点，根据平行四边形的性质可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标； 当以为直角边的是等腰直角三角形时，需要分两种情况讨论：情况一、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点；情况二、当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点时． 【详解】（1）解：当时，， 当时，可得：， 解得：， 点，， 抛物线过点，点， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， ， 抛物线为：， 时，， 顶点； （2）解：如下图所示， 设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 轴交于点， 则点的横坐标为， 把代入， 可得：， ， ， 设点，则点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：(与点重合，舍去)或， ； （3）解：设直线的解析式为：， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则点， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图所示，当时，以为直角边的等腰直角三角形满足，，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，以为直角边的是等腰直角三角形 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质知识． 20．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，且 (3)或 (4)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于、两点，可得点和点坐标，再求出点、的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）根据题意将的面积和的面积表示出来，令，即可解出的值； （4）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点，则点、点． ∵，， ∴点的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为； ∵、点， ∴， 故； ∵直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ∴， 故，且． （3）解：∵， 解得，， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴的平行线，交于点， 设点，则点， ∴． 解得或． （4）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， ∴点． ②当时，如图： 此时，则点、关于抛物线的对称轴对称， 点在抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点在抛物线上， 又点在直线上， 点与点重合，此时纵坐标为3， ∴点． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，同理可得， 解得（舍去），． 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等、图形的面积计算等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 21．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，抛物线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)存在，点R的坐标为或或 【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式即可得解； （2）连接，求出，作轴于，设，则，，结合计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，求出，分两种情况：当是等腰直角的直角边时；当是等腰直角的斜边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴，， 设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接， 由（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， 作轴于， 设，则，， ∴， 解得：或（与点重合，不符合题意）或， 当时，，即， 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q， ∴设，则点的纵坐标为， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， 当是等腰直角的直角边时，则， 解得：， 此时当为直角边时，的坐标为， 当为直角边时，的坐标为； 当是等腰直角的斜边时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上，点R的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，二次函数综合—特殊三角形问题，一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 22．如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 【答案】(1)存在，或或或或 (2)或或 【分析】（1）由抛物线得出点A、B、C的坐标以及抛物线的对称轴，设点，分三种情况，根据等腰三角形的性质即可求出P点坐标； （2）过点N分别作轴于D，轴于E，证明，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，， 当时，， 解得或3， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点， ∴， ， ， 当时， ， 解得， ∴P点坐标为； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 当时， ， 解得， ∴P点坐标为或； 综上所述，P点坐标为或或或或； （2）解：过点N分别作轴于D，轴于E， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵是以为直角的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点N是抛物线上一动点， ∴设N点坐标为， ∴， 解得或， ∴N点坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 23．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合题，待定系数法求二次函数表达式，根据等腰直角三角形求点的坐标，解题的关键是根据点的坐标求出函数解析式，同时根据解析式将点表示出来，列出方程进行计算． （1）将、两点的坐标代入二次函数解析式中，求出系数与即可； （2）由的值得出的坐标，因此设，由勾股定理可得，，根据题意，所以，得出的坐标为，再利用勾股定理列出方程，解得或，代入求值即得出答案． 【详解】（1）解：将 ， 代入中， 得： ， 解得： ． 二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ． 对于，当， ∴， ∴， 设， 则，． ， ， ， ． ， ∴， ， 将代入整理得：， 解得：或． 将或分别代入中， 或． 24．如图，抛物线过x轴上点、点，过y轴上点，点是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)求四边形面积的最大值； (3)当点P的横坐标m满足时，过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，求使为等腰直角三角形的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）求出直线的表达式为，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q，可知，故，根据二次函数性质可得答案； （3）求出抛物线对称轴为直线，故当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧，可得，即可得，解方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． 将，代入， 得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）设直线的表达式为，将，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为． 如图，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q． ∵，则， ∴点E的横坐标也为m，则纵坐标为， ∴． 四边形的面积 ． ∵， ∴当时，四边形的面积最大，为； （3）当点P的横坐标m满足时，此时点P在对称轴右侧，如图， ， ∴抛物线对称轴为直线， 当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧， ∴， 同（2）知， 当时，为等腰直角三角形，即． 整理，得，解得或（不符合题意，舍去）， 此时，，即点． 所以当点P的坐标为时，为等腰直角三角形． 【题型4 等边三角形相关综合题】 25．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 【答案】(1)顶点D的坐标 (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可求解； （2）由折叠可知，，在中，，在中，，解得，即可得； （3）由（2）可知是等边三角形，证明，可得，在中，，，可求，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为G． 【详解】（1）解：将点，代入, ∴， 解得， ∴； ∵， ∴顶点D的坐标； （2）解：由折叠结合抛物线的对称性可知，， 当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设直线与对称轴的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 26．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． （1）设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为，得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式，根据重合后的抛物线的顶点为，求出，，即可得平移前的抛物线的解析式为，将点代入求出即可解答． （2）①根据题意得出平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为，将代入解析式即可求解． ②根据是等边三角形，得出，则，，列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 27．已知抛物线的解析式为，是抛物线上的一个动点，是抛物线对称轴上的一点． （1）求抛物线的顶点及与轴交点的坐标； （2）是过点且平行于轴的直线，与抛物线的对称轴的交点为，，垂足为点，连接，． ①当是等边三角形时，求点的坐标； ②求证：． 【答案】（1）顶点坐标为，抛物线与轴的交点为； （2）①或；②证明见解析． 【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得顶点坐标，令则可求得抛物线与轴的交点坐标； （2）设，，，①过作于点，利用等边三角形的性质，可求得，且，可得到关于的方程，可求得点坐标；②利用勾股定理可分别用表示出和的长，可证得结论． 【详解】解：（1）， 抛物线顶点坐标为， 在中，令可求得， 抛物线与轴的交点坐标为； （2）设，，， ①如图，过作于点， ，为等边三角形， ， ，解得或， 点坐标为，或，； ②，，， ， ， ． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、等边三角形的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中把抛物线化为顶点式是解题的关键，在（2）①中设出点坐标，根据等边三角形的性质得到关于点坐标的方程是解题的关键，在（2）②中用勾股定理表示出和的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 28．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)若为等边三角形，求的值； (3)若， ①点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，求的值； ②当时，始终位于直线的下方，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或；或． 【分析】（）令，即，然后解方程即可； （）先求出顶点坐标，由（）得：，，根据两点间的距离得，又是等边三角形，则，从而求解； （）先求出抛物线解析式，解析式为，则，然后再分当时和当时两种情况分析即可； 设抛物线与得交点为，分别过作轴的垂线，垂足分别为，求出，，然后根据图象即可． 【详解】（1）解：令，即， ∵， ∴，解得：，， ∴，； （2）解：由， ∴， 由（）得：，， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，解得：， 根据图象可知：， ∴； （3）当时，， 令，则， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， ∴当时，， ∴， 如图，当时， ∵，即轴， ∴， ∴， ∵的横坐标为，， ∴，， ∴，， ∴或， 整理得：或， 解得：（舍去）或， 如图，当时， 由上可知，， 由勾股定理得：， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或，， 综上可知：或或； 如图，设抛物线与的交点为，分别过作轴的垂线，垂足分别为， ∴，解得：， ∴，， ∵当时，始终位于直线的下方， ∴或， 解得：， ∴实数的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，两点间的距离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 29．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 30．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积取得最大值为 (3)存在，点M的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出正比例函数解析式，再联立，，求出A，过点P作轴，交于C，设点P的坐标为，则，根据，利用二次函数的最值求解即可． （3）先证明，得，然后设，则，设，则，，再根据等边三角形的定义得，所以，化简得：，求解即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：把，顶点代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 联立，得， 解得：，， ∴， 过点P作轴，交于C，如图， 设点P的坐标为，则， ∴ ∵ ∴当时，值最大，最大值为． （3）解：如图， 对于抛物线， 令，则， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴，即 在与中， ∴ ∴， ∴设，则， 设， ∴，， 当为等边三角形时， ∴， ∴， 化简得： 解得：，， 当时，则， ∴， 当时，则 ∴　 ∴存在点M，使得为等边三角形，点M的坐标为． 【题型5 相似三角形相关综合题】 31．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 32．如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接，由等腰三角形的性质可得点为的中点，即，由轴对称的性质可得，点是的中点，从而可得，，即当点、、在同一直线上时，的值最小为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求解即可； （3）由（2）可得，，，从而可得，再分两种情况：①当点为直角顶点时，或；②当点为直角顶点时，则或，过点作轴于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 在中，当时，，即， ∴， 设直线的解析式为， 将和代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点，延长至点，使得，则点与点关于直线对称，连接，则交于点，连接， ， ∵，， ∴点为的中点， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴，点是的中点， ∴，， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （3）解：存在， 由（2）可得，，， ∴， ∵点N在第一象限内的抛物线上，在x轴上是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似 ∴①当点为直角顶点时，或，如图所示： ， 设，， ∴，， ∴或， 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）； ∴此时或； ②当点为直角顶点时，则或，如图，过点作轴于， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由①可得：或， 当时，， ∴，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数综合—线段周长问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 33．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第二象限是否存在这样的点P，Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)存在，点P的坐标是或 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，难度大，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由待定系数法求解即可； （2）过点D作交于H，证明，则，再转化为二次函数求最值； （3）分两种情况讨论，构造一线三等角的相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入， 得到， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1中，过点D作交于H， 设， 设直线 ∵，， ∴， 解得， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴的最大值为1． （3）解：①当点P在直线左侧时，如图2，过点P作轴于点N，过点Q作直线于点M， 对于抛物线，当，则， 解得：, ∵，，， ∴， ∵直线， ∴直线l的解析式为， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去）或． ∴； ②当点P在直线右侧时，构造同样辅助线，如图： 设， 同理可证明：， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 将点Q的坐标代入抛物线的解析式得， 解得（舍去）或． 此时点P的坐标为． 综上所述，符合条件的点P的坐标是或． 34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点．其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点D（D在第一象限内），交BC于点E，交x轴于点F． ①求的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，的最大值是9；②或 【分析】本题考查二次函数综合知识，涉及抛物线的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点、线段和的最大值、相似三角形判定和性质等，解题的关键是分类列方程． （1）根据抛物线的对称轴为直线，得，求出n的值即可； （2）①求出，可得直线解析式为，设第一象限，则，可得，即可得的最大值是9； ②由，，得，以点C，D，E为顶点的三角形与相似，点A与点E对应，分两种情况：Ⅰ、当O与D对应，G与C对应时，即时，则有；Ⅱ、当与C对应，G与D对应时，即，则有；据此列出方程即可得的值，从而得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①令，则， 解得：，， ∴，， 令，则， ∴， 设直线解析式为，将，代入可得：， 解得， 直线解析式为， 设第一象限内，点，则， ，， ， ∵， 当时，的最大值是9； ②由（1）知，，， ∴，， ∴， ∴， ， 轴于， ， ， ∴以点C，D，E为顶点的三角形与相似，点A与点E对应， ∴分两种情况：Ⅰ、当O与D对应，G与C对应时，即时， 则， 而为中点，，， ，，， 由①知：，， ， 当时，， 解得或（此时与重合，舍去）， ， Ⅱ、当与C对应，G与D对应时，即， 则， ∴， 解得或（舍去）， ， 综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，则的坐标为或． 35．如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和的值； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为， (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识与方法，画出符合条件的图形是解答本题的关键． （1）用待定系数法，将B、C两点的坐标代入二次函数解析式求解，再把代入即可得答案； （2）若存在这样的点P，根据相似三角形的判定，与应均为等腰直角三角形，所以有两种可能情况，即，或，由此画出对应的图形并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 把代入， 得， ； （2）解：把代入，得， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 由于点在轴上，设，则， 若∽， 得，即， 解得， 点的坐标为， 若∽， 得，即， 解得， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 36．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 【答案】(1)直线； (2)最大值为，此时点P的坐标为：； (3)或． 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式，从而求得抛物线的对称轴； （2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解； （3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即点A的坐标为， ∵点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式是，即； ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：过点Q作轴于点H，如图1所示： ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标为： （3）解：如图2， 设点D的坐标为， ∵， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形， ∴点D在点C的上方， ∴， ∴， ∵，，， ①当时， ∴，即， 解得：， 即点， ②当时， ∴，即， 解得：， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【题型6 平移与三角形存在性问题综合】 37．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)点纵坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设与轴交于点，过点作于点，证明，在中，利用勾股定理得出，求出，直线与抛物线对称轴的交点即为； （3）设直线的解析式为，当时，求得，则，当时，，求出；当时，，求出；当，时，，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得：， 解得：， ， （2）解：当时，， ， 设与轴交于点，过点作于点， ∵平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ， ∴设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ． （3）解：设直线的解析式为， 当时， 解得：或， ， ， 当时，， 解得：或（舍）， ； 当时，， 解得或（舍）， ； 当时，， ， 解得：或（舍）， ， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，角平分线的定义及性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理是解题的关键． 38．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或或 【分析】（）由二次函数的性质可得抛物线的顶点为， 即得，再利用待定系数法解答即可求解； （）分点在第一象限和第二象限两种情况，先求出直线的解析式，再利用正方形的性质求出点坐标即可； （）过点作于，表示出的坐标，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点是点关于轴的对称点， ∴抛物线的对称轴为轴， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系表达式为； （2）解：①当点在第一象限时，如图， 令，得，     解得，，     ∴点的坐标为，     设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设正方形的边长为，则， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在第二象限时， 同理可得点的坐标为，此时点不在线段上，故舍去； 综上所述，点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 过点作于，如图，则，， ∵点和点重合时停止运动， ∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， 在中，， 在中，，， ∴， ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； ③当时， ， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，存在的值为或或，使是等腰三角形． 39．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作交抛物线于点． （ⅰ）连接，，求的面积； （ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）或或 【分析】（1）将点和代入，解方程组即可； （2）（ⅰ）确定，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，，，再计算即可； （ⅱ）分两种情况：①当点在的垂直平分线上时，②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点和， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）（ⅰ）∵抛物线的图象与轴交于点，点是抛物线的顶点， 当时，， ∴，， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的面积为； （ⅱ）①当点在的垂直平分线上时，则， ∴为等腰三角形， 此时点的纵坐标为，且在直线：上，设， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； ②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点， 则， ∴为等腰三角形， ∵，且点在直线：上，设， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 此时抛物线的表达式为或； 综上所述，平移后的抛物线的表达式为或或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，两点间的距离等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 40．如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为； (2)m的值为或5或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标； （2）根据平移的性质得到，则顶点E的坐标为，利用两点之间的距离公式求得，，，分或或三种情况讨论，列出方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点的抛物线，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：由题意将向左平移个单位长度后得到抛物线， ∴， ∴的顶点E的坐标为， 对于，令，则， ∴与y轴交于点C的坐标为， 即，，其中， ∴， ， ， 当时，则， 解得（舍去）或，此时，，符合题意； 当时，则， 此时，，符合题意； 当时， 则，解得，此时，，符合题意； 综上，m的值为或5或． 41．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，，交轴于． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段沿直线平移，得到线段，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为4， (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可 （2）设，，则，求出直线的解析式为，根据平行线分线段成比例定理得，可得，从而求得，利用二次函数的性质即可求解； （3）为等腰三角形有两种情况讨论：①，②，③，先求得的长度，再根据等腰三角形的性质以及平移的坐标变换、勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解： 抛物线交轴于，，交轴于。 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设，，则， 设直线的解析式为，把，分别代入，得， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ，，，， ，，，， ， ， ，， ， ∵ 时，的最大值4， ， 时，， ； （3）解：为等腰三角形有三种情况：①，②，③， 由（2）得，直线的解析式为， 抛物线的解析式为， 当时， ， 过点作轴于， 则， ， ， ， ①当时， ， 设，过点作轴于， 则， ， ， ， 解得， ， 时，；时，， 或； ②当时， 设，则点向右平移个单位，向上平移 得到点， ∵线段沿直线平移，得到线段， ，即， 同①可得，，， ， ∴ ， 解得：， ， 时，， ， ③当时， ，， ， 化简得，， 解得：，此时，点与重合，不合题意，舍去；， ， 时，， ； 综上所述，点的坐标为或或或。 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，平移的坐标变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题。 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A到直线CD的距离； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣1．（2）点A到直线CD的距离为．（3）符合条件的点G有两个，其坐标为（0，4）或（0，9）． 【详解】试题分析：（1）首先求出点C坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）设直线CD与x轴交于点E，求出点E的坐标，然后解直角三角形（或利用三角形相似），求出点A到直线CD的距离； （3）△GPQ为等腰直角三角形，有三种情形，需要分类讨论．为方便分析与计算，首先需要求出线段PQ的长度． 方法一： 解：（1）直线y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，则点C坐标为（0，﹣1）． 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， ∵点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1）在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣1． （2）如图所示，直线，当时，． 设直线CD交x轴于点E，则点E的坐标为． 在中，，，由勾股定理得． 方法1： 设，则，． 过点A作于点F， 则． ∴点A到直线CD的距离为． 方法2： ∵，， ∴． ∴，即，解得． ∴点A到直线CD的距离为． （3）∵平移后抛物线的顶点P在直线上， ∴设点P得坐标为，则平移后抛物线的表达式为． 由，得， 解得，． ∴点Q的坐标为． 即点P，点Q的横坐标相差2， ∴． 若为等腰三角形，可能有以下几种情况． 方法1： ①若点P为直角顶点，如图所示，则． ∴． ∴，∴点G的坐标为． ②若点Q为直角顶点，如图所示，则，同理可得点G的坐标为． ③若点G为直角顶点，如图所示，此时，则． 分别过点P，Q作y轴的垂线，垂足分别为点M，N． 易证， ∴，． 在中，由勾股定理得，即．① ∵点P，Q横坐标相差2，∴，代入①式，得，解得，∴． 直线，当时，，∴点P的坐标为，即． ∴，∴点G的坐标为． 综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为或． 方法2： ①当为等腰三角形，且，时，如图所示，过点P作轴于点M，再过点Q作于点N， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． 设点G的坐标为， ∴，解得． ∴点G的坐标为． ②如图所示，当为等腰三角形，且，时，同理可得，点G的坐标为． ③如图所示，当为等腰三角形，且，时，同理可得，点G的坐标为． 综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为或． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题07 二次函数三角形相关存在性综合题 （6种类型42道） 目录 【题型1 等腰三角形相关综合题】 1 【题型2直角三角形相关综合题】 5 【题型3 等腰直角三角形相关综合题】 8 【题型4 等边三角形相关综合题】 11 【题型5 相似三角形相关综合题】 14 【题型6 平移与三角形存在性问题综合】 17 【题型1 等腰三角形相关综合题】 1．如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； 3．已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是等腰三角形，直接写出满足条件的所有点的坐标． 5．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 6．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求四边形面积的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为，其顶点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型2直角三角形相关综合题】 9．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 10．如图，已知抛物线与一条直线相交于两点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点P为对称轴上一动点，求当最小时点P坐标，并求出最小值． (3)在抛物线对称轴上是否存在一点，使以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 11．如图，直线与抛物线相交于和，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)求为直角三角形时点的坐标． 12．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 13．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 14．已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 15．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，过点A的抛物线与轴的右交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)过原点作 的平行线，上是否存在点．使得以A，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 等腰直角三角形相关综合题】 17．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (4)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，直接写出的值； 18．如图，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求该抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M ，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)若点E是x轴上一个动点，点E向上平移4个单位长度得到点F，点F向右平移2个单位长度得到点G，点G向下平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 19．如图，已知点的坐标为．直线与轴，轴分别交于点和点，连接，顶点为的抛物线过，，三点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)设抛物线的对称轴交线段于点，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴的垂线，交线段于点，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)设点是线段上的一动点，过点作，交于点，从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点运动，运动时间为（秒．当以为直角边的是等腰直角三角形时，直接写出此时的取值． 20．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标． (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系． (3)连接、，当为何值时？ (4)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线与x轴交点A、B，与y轴交于点C． (1)在抛物线对称轴上是否存在一点P，使为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； (2)抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当是以为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 23．二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，过点M作轴交直线于点N，交抛物线于点D，连接，设运动的时间为t秒． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上存在一点P，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标． 24．如图，抛物线过x轴上点、点，过y轴上点，点是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)求四边形面积的最大值； (3)当点P的横坐标m满足时，过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，求使为等腰直角三角形的点P的坐标． 【题型4 等边三角形相关综合题】 25．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 26．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为． (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 27．已知抛物线的解析式为，是抛物线上的一个动点，是抛物线对称轴上的一点． （1）求抛物线的顶点及与轴交点的坐标； （2）是过点且平行于轴的直线，与抛物线的对称轴的交点为，，垂足为点，连接，． ①当是等边三角形时，求点的坐标； ②求证：． 28．抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)若为等边三角形，求的值； (3)若， ①点是对称轴与的交点，点是抛物线上一点，且横坐标为，轴交于点，点，，构成的三角形是直角三角形，求的值； ②当时，始终位于直线的下方，求实数的取值范围． 29．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 30．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型5 相似三角形相关综合题】 31．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 32．如图，已知二次函数的图像与x轴交于和两点，与y轴相交于点C， (1)求抛物线的解析式． (2)在是否存在一点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由． 33．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第三象限抛物线上一点，连接交于点E，求的最大值； (3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第二象限是否存在这样的点P，Q，使，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点．其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于点D（D在第一象限内），交BC于点E，交x轴于点F． ①求的最大值； ②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与相似，求点D的坐标． 35．如图，已知抛物线的图象与轴交于和两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式和的值； (2)在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 36．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 【题型6 平移与三角形存在性问题综合】 37．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在抛物线的对称轴上，当平分时，求点的坐标； (3)如图2，平行于轴的动直线从轴出发向上平移，直线与抛物线交于点（点在点左侧），若在轴上存在点使是等腰直角三角形，求点的纵坐标． 38．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 39．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，过点作交抛物线于点． （ⅰ）连接，，求的面积； （ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式． 40．如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 41．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于，，交轴于． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点在抛物线上，横坐标为，连接，将线段沿直线平移，得到线段，连接，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D． （1）求抛物线的解析式； （2）求点A到直线CD的距离； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $