辽宁省盘锦市兴隆台区兴隆中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年兴隆中学九年级（上）期中考试数学试卷 一、选择题（共10小题每题3分，共30分） 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．任意买一张电影票，座位号是单号 B．掷一次骰子，向上一面的点数是3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．任意画一个三角形，其内角和是 2．反比例函数的图像在每一个象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在半径为2的中，半径垂直弦，为上的点，，则的长是（    ） A． B．3 C． D．4 4．已知的半径为，点到圆心的距离为，若关于的方程不存在实数根，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．无法确定 5．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（   ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 6．如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．为轴上的一点，连接．则的面积为（    ） A． B．3 C．5 D．10 7．如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，、分别与相切于A、B两点，点C为上一点，连接、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．⑤，其中正确的有（）个． A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若x=3是一元二次方程x2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 13．如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则 ． 14．已知的直径长为，弦长为，那么弦所对的圆周角的度数等于 ． 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接．则线段的最大值是 ． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16．（6分）解方程： (1) (2)x（x-3）=6-2x 17．（8分）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗． (1)小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________． (2)小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率． 18．（8分）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)当时，x的范围为 ． 19．（8分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设每箱提价元． （1）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与之间的函数关系式． （2）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 20．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P，Q，连结BD． （1）求证：P是线段AQ的中点； （2）若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长． 21．（10分）如图，在中，，以直角边为直径的交斜边于点D．点E为边的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求阴影部分面积． 22．（12分）如图1，在中，，，点D是直线上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转α得到线段，连接，． (1)如图2，当，且点D在线段上时，证明：； (2)如图3，当，且点D在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； (3)当，，时，画出图形并求出的长． 23．（13分）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如二次函数 的图象上，存在一点，则点为二次函数 图象上的“互反点”． (1)分别判断 ，的图象上是否存在“互反点”．如果存在，请求出“互反点”的坐标； 如果不存在，请说明理由． (2)设函数 ，图象上的“互反点”分别为，，过点作 轴，垂足为点，当 的面积为4时，求的值． (3)若二次函数的图象上有且只有一个“互反点”． ①求该二次函数的表达式； ②当时，二次函数 的最小值为 ，最大值为0，求的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $一.选择题 1-5:DDCAD 6-10:ABACB 二.填空题 11.x-112.1+V5 13.40° 14.45°或135°15.3 2 16.(1)解：x2-8x+7=0 x-1(x-7=0, .x-1=0或x-7=0, 解得x=1,x2=7; (2)解：(x-3)2=6-2x (x-3)2+2x-6=0, (x-3)2+2(x-3=0, （x-3)(x-3+2）=0, .x-3=0或x-1=0, 解得x=3,x2=1. 7号 (2)用树状图表示所有等可能出现的结果如下： 开始 小明 B D 小亮BCD ACD ABD AB C 共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B.夏至”的有6种， 所以两人都没有抽到“B.夏至的概率为。-{ 12=2 18.(1)将点A1,3)代入y="(m≠0)，得：m=3, 3 ·反比例函数的表达式为：y= 将B代入y得：4=3， ·点B的坐标为(3，)， 将AL,3),B3,1)代入y=+b, k+b=3 「k=-1 得： 3k+b=1'解得： b=41 :一次函数的表达式为：y=-x+4. (2)对于y=-x+4,当x=0时，y=4, ：点C(0,4), :0C=4, S0s=5.c-S0c=)x4x3-x4x1=4; 2 (3)由图象可知，当+b>”时，x的范围为x<0或1<x<3. 故答案为：x<0或1<x<3. 19.(1)由题意可知，平均每天的销售利润W与x之间的函数关系式为 W=(50-40+x)(90-3x)=-3x2+60x+900(0sx≤5)： (2)W=-3x2+60x+900=-3(×-10)2+1200, .a=-3<0, ∴.抛物线开口向下，且当×<10时，W随×的增大而增大， 当×=5时，W最大=1125， 又50+5=55（元) :当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得最大利润为1125元. 20.（1):AB为⊙0的直径，弦CE⊥AB, :AC=AE, :C是弧AD的中点， :AC=CD, :AE=CD, .∠ACP=∠CAP, ..AP=CP, AB是直径， .∠ACB=90°， .∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠AQC=90°， .∠PCQ=∠AQC, ∴.CP=PQ, ∴.AP=PQ, P是线段AQ的中点； (2):Ac=CD, .∠CAQ=∠ABC, '∠ACQ=∠BCA, ∴.△CAQ△CBA, 15 .AC-Ag_2-3, BC=AB=10=4 .AB=10, .AC=6,BC=8, 1 S ne=AC:BC=7 1B-CH. .6×8=10CH, ..CH=24 CH=HE, CE=2CH=48 21.（1)证明：如图，连接OD,OE. B F :0C=OB,E为AC边的中点， .OE∥AB, .∠B=∠COE,∠BDO=∠DOE, OD=0B, .∠B=∠BDO, .∠COE=∠DOE, :OC=OD,∠COE=∠DOE,OE是公共边， .△COE≌ADOE(SAS), .∠0DE=∠0CE=90°， :0D为00的半径， 直线DE是O0的切线： (2)解：：tanB= 5 3 ∠B=30°， .∠C0D=2∠B=60°， :BC=6, :OD=0C=1BC=3, 2 .∠0DF=90°，∠D0F=60°， .DF=ODx tan∠DOF=33, 1 ·S=S0e=Sa形00c=7×3V3x3-3602V3-3 360 22.(1)证明：BD=CE,理由如下：如图： :将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, :AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， :∠BAD=∠CAE. 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE :△ABD≌△AEC(SAS), :BD=CE; B D C (2)证明：线段BD、CD、DE之间的数量关系为BD2+CD2=DE2, 证明如下：如图： :AB=AC,Q=90°， :∠B=∠BCA=45°， 同(1)可证AABD≌△ACE(SAS), :∠B=∠ACE=45°，BD=CE, :∠DCE=∠BCA+∠ACE=90°， CE2+CD2=DE2, BD2+CD2=DE2; D (3)解：：a=90°，AB=AC=6, ·BC=6√2， ①当D在线段BC上时，如图： :BD=2V2, ·CD=BC-BD=6W2-22=4V2, 由(2)知BD2+CD2=DE2, :DE=VBD2+CD2=22+42j=2I0, A D ②当D在CB延长线上时，如图： ”BD=22, :CD=BC+BD=8√2， DE=CD+BD-8)+(2)-234. D B 综上所述，DE的长度为2√10或2√34. 23.(1)解：函数y=2x-1的图象上存在“互反点”. 根据题意，得：-x=2x-1, 解得： :医数y=2x-1的图象上互反点的坐标为行到 函数y=x2-x的图象上存在“互反点”. 根据题意，得：-x=x2-x 解得：x=0, ·函数y=x2-x的图象上“互反点"的坐标为(0,0). (2)解：在函数y=4x>0)中，令x=4 解得：x=2(负值已舍去)， A2,-2, 在函数y=x+b中，令-x=x+b, 解得：x=-b, 2 1, .BC=b, 2 SABC =4, *2 1. b=4 8 0+=4,解：=4或08：或对+=4无解 b的值为4或-8. (3)解：①根据题意，把2，-2)代入y=x2+bx+c得c=-6-2b, .y=x2+bx-6-2b. :函数图象上的“互反点”必在直线y=-x上， :二次函数y=x2+bx-6-2b的图象上有且只有一个“互反点”， 也就是二次函数y=x2+bx-6-2b的图象与直线y=-x有且只有一个交点， 即Dsx y=x2+br-6-2b’有且仅有一个解， 联立方程组整理，得：x2+(b+x-6-2b=0, 由△=(b+1-4×1×(-6-2b)=0, 解得：b=b2=-5,c=-6-2b=-6-2×(-5)=4, :该二次函数的表达式为y=x2-5x+4. @-4-g :其图象的对软维为直线x=子最小位为是 当y=0时，x2-5x+4=0,解得：x=1或x=4 :二次函数图象与x轴交点的坐标为1,0和(4,0)， :当1≤x≤4时，二次函数)=产-5x+4的最小值为}最大值为0。 ∴.t的取值范围是。≤t≤4.