广东省佛山市顺德区第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

顺德一中高二2025-2026学年上学期期中考试 数学 一、单选题（每题5分） 1.经过A-1,2),B(0,3)两点的直线的倾斜角为（) B牙 c胃 D 2.点P(1,-1到直线：3y=2的距离是() A.3 B C.1 D. 3.已知事件M表示“3粒种子全部发芽”，事件N表示3粒种子都不发芽”，则M和N() A.是对立事件 B.不是互斥事件 C.互斥但不是对立事件 D.是不可能事件 4.设直线l:ax+(a-2)y+1=0,l2:x+y-1=0.若1⊥2，则a=() A.0或1 B.0或-1 C.1 D.-1 5.已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点， 若BD=6PA-4PB+1PC,则2=() A.2 B.-2 C.1 D.-1 6.如图，已知正方体ABCD-A,B,CD的棱长为1，E为CD的中点，则点D到平面AEC,的 距离等于() D A 6 A.3 B.3 C.6 D.6 3 4 3 4 7.已知圆C:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4,其中a,b∈R,若两圆外切， 则-3的取值范围为() a[9】B[号0] c.[a 试卷第1页，共3页 8.己知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为2，P为正方体内一点，若AP=CP,A,P=V3, 则点P的轨迹长度为() A.刀 B.√2元 C.2π D.22 二、多选题（每题6分） 9.设样本空间Q=1,2,3,4},且每个样本点是等可能的，已知事件 A={L,2},B={L,3},C=L,4},则下列结论正确的是() A.事件A与B为互斥事件 B.事件A,B,C两两相互独立. C.P(A+B)= 3 D.P(ABC)- 10.如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M, N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM=BN=a(0<a<√2)，则下列结论中正确 的有() D M B E A.3ae(0,2),使MN=CE B.线段MW存在最小值，最小值为 C.直线MN与平面ABEF所成的角恒为45° D.Ha∈(0，√2)，都存在过MN且与平面BCE平行的平面 试卷第1页，共3页 11.在平面直角坐标系xOy中，A-2,0),动点P满足P=√2PO,记点P的轨迹为曲 线C,则() A.C的方程为(x-2)+y2=8 B.若直线y=:+4与C有公共点，则k的取值范围是[2-V6,2+V6] C.当O,A,P三点不共线时，若D2-2√2,0，则射线PD平分∠AP0 D.过C外一点(a-4,a)作C的切线，切点分别为M,N,则直线MW过定点 24 33 三、填空题（每题5分） 12.若直线11：x-y+3=0与直线12：2x+my-4=0平行，则4与4的距离为 。 13.已知空间向量AB=(-3,-1,1,AC=(1,1,2),则以AB、AC为邻边的平行四边形的面 积为 14.定义离心率是51的椭圆为黄金椭圆"已知圆C:士+二=1>2>0)是“黄金椭 2 圆”，则n= 若或金流图E号 =1(a>b>0)的两个焦点分别为F(-c,0), F,(c,O)(c>0),P为椭圆E上异于顶点的任意一点，点M是△PFF,的内心，连接PM并延 PO 长交EE于点Q,则 MO 试卷第1页，共3页 四、解答题（共77分） 15.某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛. (1)求恰好抽到2名男生的概率； (②老抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概幸均为子，女生 乙答对每道题的概率均为了，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的 2 结果也互不影响，求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率， 试卷第1页，共3页 16.己知两直线l:x-y-1=0,12:x+y-5=0. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程； (2)己知两点A(-1,1,B(0,2), ①判断直线I与以A,B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求PA+PB的最小值. 试卷第1页，共3页 17.如图，直三棱柱ABC-A,B,C中，AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分别为AC,B,C 的中点. A A M 9 B B (1)求证：MN/平面ABB,A; ②线段CC上是否存在点Q,使4B1平面MQ?若存在，求是，若不存在，说明理由， CO 试卷第1页，共3页 18.在平面直角坐标系x0y中，两点A(-1,0),B(9,0),点P满足|PA2+|PBP=82. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)己知圆02：x2+y2-8y=0,求圆心在x-y-2=0上，且过圆O与曲线C交点的圆的方程； (3)过点A作直线I交曲线C于M,N两点，D(5,0),求△DMN面积的最大值. 试卷第1页，共3页 19.椭圆E的左、右焦点分别为F(-1,0)、F,(1,0)经过点F(-1,0)且倾斜角为0(0<0<π)的 直线1与椭圆E交于A、B两点（其中点A在x轴上方），△ABF的周长为8 F B 小 (1)求椭圆E的标准方程； (2)如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负半 轴和x轴所确定的半平面互相垂直. ①当0=匹时，求△ABE的周长； 2 ②当日=T时，求异面直线AF和BS所成角的余弦值 3 试卷第1页，共3页 顺德一中高二2025-2026学年上学期期中考试 数学 一、单选题 1．经过两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若倾斜角为，结合题设有，即. 故选：B 2．点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线，即， 直线与轴平行， 点到直线的距离：. 故选：B. 3．已知事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”，则和（    ） A．是对立事件 B．不是互斥事件 C．互斥但不是对立事件 D．是不可能事件 【答案】C 【详解】事件表示“3粒种子全部发芽”，事件表示“3粒种子都不发芽”， 所以事件和事件不会同时发生，是互斥事件， 因为3粒种子可能只发芽1粒， 所以事件和事件可以都不发生，则和不是对立事件. 故选：C 4．设直线.若，则（    ） A．0或1 B．0或-1 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】因为，则， 解得或. 故选：A. 5．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】，即 整理得 由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得 ，解之得 故选：B 6．如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，， 取，，， 设平面的法向量为，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：C. 7．已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆，则，半径r1， 圆，则，半径， 因为两圆外切，所以， 即，即， 则点在以为圆心，半径为3的圆上，即在圆上， 令，则k表示过点与点的直线的斜率， 则该直线一定过点，且与圆有公共点， 由题意作图，由图可知该直线斜率一定存在若斜率不存在，则直线与圆相离， 设该直线方程为， 即为，圆心到直线的距离为d，则， 解得，即的取值范围是. 故选：C. 8．已知正方体的棱长为2，为正方体内一点，若，，则点的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，知点在四边形内， 设的中点为，则． 因为平面平面，所以． 又因为，，，平面， 所以平面，平面， 所以， 则， 所以点在以为圆心，的半圆上运动，点的轨迹长度为． 故选：A． 二、多选题 9．设样本空间, 且每个样本点是等可能的, 已知事件, 则下列结论正确的是（   ） A．事件A与B为互斥事件 B．事件A,B,C两两相互独立. C． D． 【答案】BC 【详解】对于选项A，因为，所以事件与不互斥，故A错误； 对于选项B，， ，故B正确； 对于选项C，表示，，即，故C正确； 对于选项D，交集为，则，故D错误. 故选：BC. 10．如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有（    ） A．，使 B．线段存在最小值，最小值为 C．直线与平面所成的角恒为 D．，都存在过且与平面平行的平面 【答案】AD 【详解】因为边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，交线为AB，BC⊥AB，BC⊥平面ABEF，平面ABEF，所以BC⊥BE，所以AB，BC，BE两两垂直，以B为坐标原点，BA为x轴，BE为y轴，BC为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，若，则，解得：，所以，使，A正确； ，因为，所以当时，，B错误； 平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成的角不是定值，C错误； 平面BCE的法向量，则，所以∥平面BCE，所以，都存在过且与平面平行的平面，D正确. 故选：AD 11．在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C，则（   ） A．C的方程为 B．若直线与C有公共点，则k的取值范围是 C．当O，A，P三点不共线时，若，则射线PD平分 D．过C外一点作C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点 【答案】ACD 【详解】设， 由，得，即， 故A正确； 圆心为，半径为，直线与C有公共点，则圆心到直线的距离， 解得或，故B错误； 如图，    当O，A，P三点不共线时，， 则，，，则， 所以，所以射线PD平分，故C正确； 如图，    设，因为，，所以M，N在以CE为直径的圆上． CE中点为，所以CD为直径的圆方程为， 即， 与C方程相减得直线MN的方程为， 令，，解得，， 则直线MN过定点，故D正确． 故选：ACD 三、填空题 12．若直线与直线平行，则与的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行可求得，进而利用平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】，所以m=-2 之间的距离. 故答案为：.. 13．已知空间向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积为 【答案】 【分析】利用空间向量数量积、同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式求得以、为邻边的平行四边形的面积 【详解】因为，，则， 所以，， 因此，以、为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：. 14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则 .若“黄金椭圆”的两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则 . 【答案】 【详解】由椭圆为“黄金椭圆”， 则离心率， 可得， 所以； 如图所示，连接， 设的内切圆半径为， 则， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：； 4、 解答题 15．某班级从3名男生和2名女生中随机抽取2名同学参加学校组织的校史知识竞赛． (1)求恰好抽到2名男生的概率； (2)若抽到的2名同学恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答对每道题的概率均为，女生乙答对每道题的概率均为，甲和乙各自回答两道题，且甲、乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响，求甲答对2道题且乙只答对1道题的概率． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）记3名男生分别为，，，2名女生分别为，，则随机抽取2名同学的样本空间 ， 共10种； 记事件 “恰好抽到2名男生”， 则事件共3种； ∴． （2）设事件 “甲答对2道题”，事件“乙只答对1道题”， 根据独立性假定，得 ， ， ∴， 所以，甲答对2道且乙只答对1道题的概率是． 16．已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【答案】(1)(2)①相离；② 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 17．如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解；(2)Q是的中点, 即. 【详解】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直， 以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    设，则， ，设是平面的一个法向量， 则，令，得， 显然，即，而平面， 所以平面. （2）假定线段上存在点满足条件，由（1）设，， ， 则，， 设是平面的一个法向量， 则，令，得， 由平面，得，即存在实数，满足： ，即，解得，因此，即Q是的中点， 所以线段上存在点，使平面，. 18．在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 【答案】(1)(2)(3)． 【详解】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为． （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即． 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为． （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得．    设，则， 由弦长公式可得 ． 又到直线的距离， 所以． 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 19．椭圆的左､右焦点分别为､ .经过点且倾斜角为的直线 与椭圆交于A､B两点(其中点A在轴上方)，的周长为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，把平面沿x轴折起来，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面，与y轴负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直. ① 当时，求的周长； ② 当时，求异面直线和 所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）① ；② . 【详解】（1）因为的周长为，所以， 由题意得， 所以椭圆的方程为. （2）① 当时，直线， 此时，， ， ， 折叠后，， ，的长度不变， 但， 此时的周长为. ② 当时，直线，与 联立求得 ， (因为点A在x轴上方)以及， 再以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， . 设异面直线和所成角为， 则， 所以异面直线和所成角的余弦值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $