第五章 一元一次方程-【红卷】2024-2025学年七年级上册数学期末复习方案（北师大版）

第五章 一元一次方程 教材知识清 1.认识一元一次方程 (1)一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数，而且未知数的次数都是1，这样的方程叫 做一元一次方程。 【点拨】①在一元一次方程中，如果未知数的次数或系数中含有某个字母常数，根据一元 次方程中未知数的次数等于1与未知数的系数不等于0可以求得这个常数的值， ②方程一定是等式，但等式不一定是方程，含有未知数的等式才是方程，不含有未 知数的等式不是方程 (2)方程的解 ①定义：使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解 ②判断一个数是不是方程的解的方法：把这个数分别代入方程中等号的两边，若等号两边的值 相等，则该数是方程的解。 (3)等式的基本性质 ①等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 如果a=b,那么a±c=b±c ②等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是 等式 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么“=b 2.求解一元一次方程 解一元一次方程的一般步骤见下表： 步骤 具体做法 注意事项 变形依据 去分母 方程两边同时乘各分母的最小公 等式的基本性 不要漏乘不含分母的项 倍数 质2 般先去小括号，再去中括号，最 ①不要漏乘括号里的项 乘法分配律，去 去括号 后去大括号 ②括号前面是负号时，注意变号 括号法则 把含未知数的项移到方程的左 等式的基本性 移项 移项时注意变号 边，常数项移到方程的右边 质1 合并同类项 把方程化为ax=b(a≠0)的形式 未知数系数相加，指数不变 合并同类项法则 方程两边同时除以未知数的系数 等式的基本性 系数化为1 b 不要将分子、分母颠倒 a(a≠0)，得到方程的解x= 质2 3.应用一元一次方程 (1)解一元一次方程应用题的步骤： 王心童”《红卷》 七年级数学BS版上册 ①审：审清题意，找出题中的数量关系，分清题中的已知量、未知量. ②设：设出未知数， ③列：根据题中的相等关系，列出一元一次方程。 ④解：解所列出的一元一次方程. ⑤验：检验所得的解是否符合题意 ⑥答：写出答案（包括单位）. 【注意】①设未知数列方程时，要注意单位的统一 ②对于实际问题中的方程的解，必须检验是否符合实际意义， (2)一元一次方程应用题的常见类型（见下表）： 类型 基本数量关系 形积 等周长变形问题 图形变化前的周长=图形变化后的周长 变化 等面积变化问题 图形变化前的面积=图形变化后的面积 问题 等体积变化问题 几何体形状变化前的体积=几何体形状变化后的体积 售价=标价×打折数 10 进价×(1+利润率)： 商品销售问题 利润=售价-进价=进价×利润率； 利润率= 利润 进价 ×100% 工作量=工作效率×工作时间： 工程问题 合作效率=各部分单独做的效率之和； 总工作量=各部分工作量之和 配套问题 若m个A产品和n个B产品配套，则A产品数量×n=B产品数量×m ①直线相遇：8甲+sz=甲、乙出发点之间的距离； 相遇问题 若甲、乙同时出发，则甲用的时间=乙用的时间. ②环形相遇：当同时同地、首次相遇时，$甲+sz=环形的周长 程问题 ①直线追及：同地不同时出发，S慢=S快； 追及问题 同时不同地出发：S慢+两地距离=$快： ②环形追及：同地同时、同向出发，5快-5慢=环形的周长 水流问题 "顺=V静十水，V逆=V静一V水 比赛中的积分问题 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数； 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 分段计费问题 费用=不超过部分的费用+超过部分的费用 日历中每一行相邻的两个数，右边比左边数大1，每一列相邻的两个 日历问题 数，下边比上边数大7 数字问题 两位数=其十位数字×10+其个位数字×1 按比例分配问题 总量=各部分量的和 王心童”《红卷》 七年级数学BS版上册 类型 基本数量关系 在现实生活中，做一件事往往有多种方案可供选择，如何选择对我们 方案选择问题 最有利的方案呢？这就需要我们利用所学的知识，通过列方程、计算 和比较，来选择最优方案 ①火车从上桥到完全拱桥，此时火车走的路程是“桥长+车长”， 火车过桥问题 ②火车完全在桥上，此时火车走的路程是“桥长-车长” 易错考点清 易错点个对一元一次方程的概念理解不透彻而致错 例1若(m-1)xm=5是关于x的一元一次方程，则m的值是 答案；-1 易错解读在方程中忽略了m-1≠0. 练习1若方程(1ml-2)x2-(m+2)x-6=0是关于x的一元一次方程. (1)求m的值 (2)判断x=3与x=- 是不是该程的解 易错点②移项未变号 例2解方程-3x+4=x-8时，下列移项正确的是 A.-3x-x=8-4 B.-3x-x=-8+4C.-3x-x=-8-4D.-3x+x=-8+4 答案C 易错解读 移项时，无论左边到右边，还是右边到左边，所移动的项一定要变号 练习2 解方程：5x+31=-4x-5. 易错点3去括号时出现漏乘或没有改变符号 例3方程(3x+2)-2(2x-1)=0去括号正确的是 A.3x+2-2x+1=0B.3x+2-4x+1=0C.3x+2-4x-2=0D.3x+2-4x+2=0 答案；D 易错解读去括号时，括号外的数需要乘括号里面的每一项，且括号前是“-”号时，去括号时 里面的各项都要变号 练习3解方程：-2(x-3)-3=8-3(7-2x). 王心童《红卷》 七年级数学BS版上册 易错点(4去分母时漏乘 例4解一元-次方程(+)=1小-行时，去分正确的是 A.3(x+1)=1-2x B.2(x+1)=1-3x C.2(x+1)=6-3x D.3(x+1)=6-2x 答案D 易错解读去分母时漏乘不含分母的项」 练习4下面是某同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程，2君5 3 解：去分母，得12-(x+5)=6x-2(x-1)》 第一步 去括号，得12-x+5=6x-2x+2 第二步 移项，得-x-6x+2x=-12-5+2 第三步 合并同类项，得-5x=-15 第四步 系数化为1，得x=3 第五步 (1)①第一步去分母的依据是 ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)请写出本题正确的解题过程， (3)请你根据平时的学习经验，在解方程时还需注意的事项提一条合理化建议 三》核心素养清 例5某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）. 月使用 主叫限定 主叫超时 温馨提示： 被叫 费/元 时间/分 费/（元/分） 若选用方式一，每月固定缴费58元，当 主动打出电话月累计时间不超过150分，不 方式 58 150 0.25 免费 再额外缴费；当超过150分，超过的部分每 方式二 88 350 0.19 免费 分加收0.25元. 设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分(t为正整数)，请根据表中提供的数据信息回答下 列问题， (1)用含有t的式子填写下表： t≤150 150<t<350 t=350 t>350 方式一计费/元 58 108 方式二计费/元 88 88 88 (2)当t为何值时，两种计费方式的费用相等？ 王心童”《红卷》 七年级数学BS版上册 (3)请根据(1)和(2)的计算及生活经验，直接写出不同时间段，选用哪种计费方式省钱？ 答案（1)0.25t+20.50.25t+20.50.19t+21.5 (2)当t>350时，(0.25t+20.5)-(0.19t+21.5)=0.06t-1>0, 所以当两种计费方式的费用相等时，150<t<350. 由题意，得0.25t+20.5=88,解得t=270. 即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等 (3)当t<270时，选择方式一省钱： 当t=270时，两种方式收费一样多； 当t>270时，选择方式二省钱. 核心素养〈 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决 问题的过程.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式.数学建模是应用数学 解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力，在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数 学解决实际问题的经验.学生能够在实际情境中发现和提出问题：能够针对问题建立数学模型：能够 运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新 意识 练习5某商店为庆祝国庆节的到来，提前举行促销优惠活动，凡是在本店购买商品，均有优 惠，具体方案如下： 方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八 折优惠： 方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠 已知乐乐不是该店的会员 (1)若乐乐不购买会员卡，所购买商品的价格为120元，实际应支付多少元？ (2)请问所购买商品的价格是多少时，两种方案的优惠情况相同？ (3)你认为哪种方案更合算（直接写出答案）？ 王心童”《红卷》 24:七年级数学B5版上册因为∠AOB=a,∠BOC=B, 练习4解：(1)①等式的基本性质2②二去括号时 所以∠AOC=∠B0C-∠AOB=B-x. 左边括号内的5没有变号 因为OM平分∠AOC, (2)去分母，得12-(x+5)=6x-2(x-1) 所以∠A0M=2∠40cB 1 去括号，得12-x-5=6x-2x+2 · 移项，得-x-6x+2x=-12+5+2 所以∠B0M=∠A0B+∠AOM=a+B-a_+9 21 合并同类项，得-5x=-5 2 系数化为1，得x=1. ②当射线OC、射线OA在射线OB的异侧时，如 (3)去分母时不要漏乘不含分母的项， 图2所示， 练习5解：(1)120×0.95=114（元）. 因为∠AOB=a,∠BOC=B, 答：实际应支付114元 所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=a+B. (2)设所购买商品的价格是x元时，两种方案 因为OM平分∠AOC, 的优惠情况相同. 所以∠AOM= ∠A0C= 2 2· 根据题意，得0.8x+168=0.95x,解得x=1120. 所以∠BOM=∠A0M-∠AOB=a+9a=B-a 答：所购买商品的价格是1120元时，两种方案 2= 21 的优惠情况相同. 综上所述，LMOB的度数为或- (3)当购买商品的价格低于1120元时，方案二 2 更合算：当购买商品的价格等于1120元时，两 第五章一元一次方程 种方案一样合算：当购买商品的价格大于1120 元时，方案一更合算. 练习1解：(1)因为方程(1ml-2)x2-(m+2)x-6=0是 关于x的一元一次方程， 第六章数据的收集与整理 所以1ml-2=0,m+2≠0. 练习1D 所以m=2. 练习2B (2)由(1)可知原方程为-4x-6=0. 练习3②④ 当x=3时，-4x-6=-18≠0， 练习4解：(1)100(2)35%126 当x=-3时，-4r-6=0, 2 (3)补全条形统计图如下： 年周使刑手机的时间 厅以*二是该方程的解，=3不是该方程 人数 的解 》 练习2解：移项，得5x+4x=-5-31 2 合并同类项，得9x=-36. 0011~22-33以上时间时 系数化为1，得x=-4. 32+32 练习3解：去括号，得-2x+6-3=8-21+6x (4)2100× =1344(人). 100 移项，得-2x-6x=8-21-6+3. 答：该校2100名学生中每周使用手机时间在2 合并同类项，得-8x=-16. 小时以上（不含2小时）的人数大约有1344人. 系数化为1，得x=2. 王心童”《红卷》 30 七年级数学BS版上册