专项四 拓展题-【红卷】2024-2025学年七年级上册数学期末复习方案（人教版）

专顶强化练 4,-3,-2,-1,0,1,2,34,5,6这12个数填入“六角幻屋”图中，使 (4)想一想，将一个非零有理数a的圈n(n为大于2的正整数)次 红卷 专项四拓展题 6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆图中，则a的值 方写成幂的形式： 是 ()求12(-2)-（兮}9的 1.将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1、图2两种方 式置于长方形ABCD中（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重 叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设 5 图1中阴影部分的周长为C,图2中阴影部分的周长为C,则C,- C,的值是 6.际读理解摄念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方， 如2÷22，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方，我们 7.如图是一个计算程序，根据所给程序回答下列问题： A.0 B.a-b C.2a-2b D.26-2a 把2÷2÷2记作2，读作2的圈3次方：(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) 2.有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M-P-V,若该折 记作(-3)4，读作-3的圈4次方.一般地，把a÷a÷m÷u÷…÷a x为奇数x+3 海个 输人x 输出 线M-P-N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把 (a≠0)记作a,读作a的圈n次方. 为侧数 这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线A-C-B的 初步探究 “折中点”，E为线段AC的中点，CD=6,CE=10,则线段BC的长是 (1)当输入某数后，第1次得到的结果为5，则输人的数x是多少？ (1)直接写出计算结果：33= ( (2)小华发现若输人的x的值为16时，第1次得到的结果为8，第 A.8 B.8或16 C.8或32 D.16或32 (2)关于除方，下列说法错误的是 2次得到的结果为4. A.任意非零数的圈2次方都等于1 ①请你帮小华完成表格。 3.已知1，xx,…,x都是不等于0的有理数，若y,= 则等 B.对于任意正整数n,1的圈n次方都等于1 输人16第1次第2次第3次第4次第5次… 于1或-1；若为2= 山，，则，等于2或-2或0：若 C.3=45 输出结果 8 D.负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果 xl,x ②你能求出第2023次运算得到的结果是多少吗？请说明 +…+ x,则)所有可能的值的绝对值之和等于( 是正数 x 理由， A.0 B.110 C.210 D.220 [深入思考 4.一个两位数m的十位上的数字是a,个位上的数字是b,我们把十 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以 位上的数字a与个位上的数字b的和叫做这个两位数m的“衍生 转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 数”，记作代m),即f八m)=a+h.如f(52)=5+2=7.现有2个两位数 除方-20=222÷2=2×x×1(1 2222 +乘方幂的形式 x和y,且满足x+y=100,则八x)fy)= (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：5= 5.斯情境学文化如图，在探究“幻方”“幻圆”的活动课上，学生 们深切地感悟到我国传统数学文化的魅力.一个小组尝试将-5， 181专项强化练 王心童《红卷》·敬学人致版·七年级上册 8.新情境日常生活暑假期间某景点为吸引更多的游客，推出集体 (1)依上述的解法，方程 1 =2的解是 (3)类比拓展：受“兴趣小组”和“发现小组”的启发，“创新小组“ 购票优惠票价话动，其门票价目表如下： (2)尝试解绝对值方程：21x-21=6. 的同学添加了：“若LMOC='∠AOC,∠DON='LBOD,请 购票人数 不超过30人 30人以上但不超过50人 50人以上 (3)在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：1x-21+1x-11=5. 你直接写出∠MON的度数. 每人门票价 20元 15元 10元 有同一旅行社的甲，乙两个旅行团共60人（甲团人数少于乙团）准 备去该景点旅游，如果甲、乙两团各自购票，那么一共要支 付1020元 (1)如果两团联合起来购票，那么比各自购票要节约多少钱？ (2)甲，乙两团各有多少人？ (3)如果甲团单独组织去该景点，作为导游的你如何购票才最 省钱？ 11.新情境日常生活图1中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图 10.操作与实践：在综合与实毁活动课上，老师将一副三角板按图1 2是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份 所示的位置摆放，分别在∠AOC,∠BOD的内部作射线OM,ON: △OAB是水车的支架，∠A0B=60,水车的支架固定不动，水车的 然后提出如下问题：先添加一个适当条件，再求∠MON的度数 主体可绕着圆心O旋转 (1)求LC0D的度数： (2)在图2中，若OC平分∠A0B,求LBOD的度数； 图2 3 (3)在水车的旋转过程中，当OC在∠AOB内部时，设∠BOD的度 (1)特例探究：“兴趣小组“的同学添加了：“若0M,ON分别平分 数为x°，求∠AOC的度数（用含x的代数式表示）. ∠AOC,∠B0D“,画出如图2所示图形.小组3号同学佳佳的 做法：由于图中∠AOC与∠BOD的和为90°，所以我们容易得 到∠MOC与∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数.请你 9.过程性学习先阅读下列解题过程，然后解答问题 根据佳佳的做法，写出解答过程 解绝对值方程：12x1=1. (2)特例探究：“发现小组“的同学添加了：“若∠MOC= 3∠A0C. 解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2=1，它的解是x=2 ∠D0N3∠B0D”,画出如图3所示图形.小组2号同学乐乐 ②当x<0时，原方程可化为-2x=1,它的解是x=2 的做法：设∠AOC的度数为x,我们就能用含有x的式子表示 出∠COM和∠DON的度数，这样就能求出∠aMON的度数，请 所以原方程的解为x=±2 你根据乐乐的做法，写出解答过程 王心童警《红卷》·数学人教版·七年级上团 专顶强化练/19 12.(1)已知线段a,b(a<b). 拓展探究 14.新定义定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如 La☐ (2)若关于x的一元一次方程x-10=-7x+k的解是x=1,求关于 果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成 如图1，在直线！上作出线段AC=a(要求点C在点A的右 y的方程3(y2-8)-30=-21(y2-8)+3k的解 的角叫做这个角的内半角.如图1，若∠C0D=2∠A0B,则∠C0D 侧)，再在直线1外找一点B,使线段AB=b,连接BC,分别画 迁移提升】 是∠AOB的内半角. 出线段AB,AC的中点M,N,连接MN.请观察猜想MN和BC (3)如图.0B.0C分别为定角∠AOD内的两条动射线.当OB,OC (1)如图1，∠A0B=70°，∠A0C=15°，∠C0D是∠A0B的内半 的数量关系（直接写出结论. 运动到如图的位置时.∠AOC+∠BOD=m°，∠AOB+∠COD= 角，则∠BOD (2)如图2，四边形ABCD中，四边形的四边中点分别为E,F,G, n°，求此时∠AOD的度数 (2)如图2，已知∠AOB=120°，将∠A0B绕点0按顺时针方向旋 H,连接EF,FG,GH,HB,请利用(I)中的猜想，说明EH和FG 转一个角度a(0°<a<60)得∠C0D,当旋转角a为何值时 的数量关系。 LCOB是∠AOD的内半角？ (3)已知∠A0B=30°，把一个含有30°角的三角尺如图3叠放，将 三角尺绕顶点0以5/：的速度按顺时针旋转（如图4），问： 在旋转一周的过程中，射线0A,0B,OC,OD能否构成内半 图2 角？若能，请直接写出旋转的时间：若不能，请说明理由。 14.如图1是2024年8月的日历，图2是图1中用一个方框圈出的任 意3×3个数，要求：框中圈出的数不能空白。 日一三三四五大 图 图2 123 45678910 11121314151617 18192021222324 25262728293031 图1 图2 13.阅读材料如何化简整式4(a+b)+2(a+b)-(a+b)呢？数学教材 (1)a可以用含e的代数式表示为 第109页提示，可以把(a+b)看成一个整体，进而4(a+b)+2(a+ (2)若a+e+i=42时，求出图2中e所表示的日期 b)-(a+b)=(4+2-1)(a+b)=5(a+b)=5a+5h.“看成一个整体 (3)在这个月的日历中，求证：e+f+h+i的值能被4整除 在数学中称为“整体思想”，它往往能把复杂问题简单化，在数学 问题的解决中应用广泛 请参考阅读材料，解决以下问题。 尝试应用 (1)填空：已知2x-y=2,y=-1,则2(xy)-(xy-y)= 201专项强化练 王心童零《红卷》·数学人数版·七年级上册(2)①当0≤t≤18时，∠A0M=(10t)°；当18<t≤24 时，∠A0M=360°-(10t)°. 当0≤t≤24时，∠A0B=60+(5t)°. ②根据题意，分情况讨论： 图2 a.当0<t≤12时，若直线OM为∠AOB的三分线，有 因为PM平分∠EPQ,PN平分∠FPQ, 两种情况： 所以∠MP0=∠EP0,∠NP0= ∠FPQ. 1.当∠40W=3∠A0B时，有10=(60+5).解得 所以∠MPN=∠MPQ-LNPQ=LBPQ 1 ∠FPQ. t=2.4. 因为∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ=B, Ⅱ.当∠A0M=号∠A0B时，有10= 2 3(60+5).解 所以∠FPQ=90°-B. 得t=6. 所以∠NPN-B0ea=g-4s b.当12<t≤18时，直线0M不会成为∠AOB的三 分线. 综上所述，锐角∠MPN的度数为45°或B-45°： c.当18<1≤24时，若直线OM为∠AOB的三分线，有 14.解：(1)因为PE平分∠AEM,EQ平分∠BEM, 两种情况： 所以∠PEM=∠AM,∠MBQ=)∠BEM L.10-180=3（60+50).解得1=24 1 所以LPEQ=∠PEM+LMEQ=2∠AEM+2∠BEM= .10-180(60+50)解得E33不合题意，舍县 ∠AEM+∠BEM)=方∠AR d.当24<≤27时，若直线0M为∠A0B的三分线，有 两种情况： 因为∠AEB=180°， 所以LPE0=×180=90 I.10-180=3×180.解得1=24.不合题意，舍去 (2)因为PE平分∠AEM,EQ平分∠BEN, .10-180=3×180,解得1=30，不合题意，舍去 s所以∠P作n=∠A,∠0=BY 综上所述，当直线OM为∠AOB的三分线时，t的值 是2.4,6或24. 所以∠PEM+∠NEQ=2∠AEM+2 ∠BEN= 专项四拓展题 2(∠AEM+∠BE)=(LAEB-LMEN. 1.A2.C3.D4.10或195.-3 因为∠AEB=180°，∠MEN=20°， 6解： -27(2)C 1 所以∠PEM+LNEQ=2×(180°-20)=80° 所以∠PEQ=∠PEM+∠MEN+∠NEQ=80°+20° =100°. 62)-2-） (3)若点N在点M的右侧，则∠MEN=2B-180°； 若点N在点M的左侧，则∠MEN=180°-2B. =12(-3-(3 15.解：(1)0G,0E =122÷9×(-8)-81÷27 (2)因为∠A0B=60°，若0C是【0A,OB]的“关联 =16×(-8)-3 线”，则有两种情况 =-128-3 ①当射线OC在∠AOB的内部时， =-131. 则2∠AOC=∠B0C. 7.解：(1)若输入的数是奇数，则x+3=5.此时输入的数 断以∠B0C=号∠A0B=40 x=2,不符合，舍去 ②当射线OC在∠AOB的外部时， 若输入的数是偶数，则)x=5.此时输入的数x=10. 则2∠AOC=∠B0C. 综上所述，输入的数x是10. 所以∠B0C=2∠AOB=120°. (2)①214 综上所述，∠B0C的度数为40°或120°. ②除第1次的结果外，以后每3次进行循环 16.解：(1)∠AOM=∠BOM 因为(2023-1)÷3=674， 11 所以第2023次运算得到的结果是1. ∴.∠B0D=∠C0D-∠B0C=45°-30°=15. 8.解：(1)1020-60×10=420（元）. (3)当OC在∠AOB内部，OD在∠AOB外部时， 答：如果两团联合起来购票，那么比各自购票要节约 ∠BOD=x°， 420元. ∴.∠B0C=45°-x°. (2)设甲团有x(x<30)人，则乙团有(60-x)人. .∠A0C=60°-∠B0C=60°-(45°-x°)=15°+x° 根据题意，得20x+15(60-x)=1020或20x+10(60- 当0C,0D都在∠AOB内部时，∠A0C=60°-x°-45°= x)=1020. 15°-x°. 解得x=24或x=42. 综上所述，∠A0C的度数为15+x或15°-x. 因为x<30, 所以x=42不合题意，舍去. 12.解：(1)MN=2BC, 所以x=24,60-x=36. (2)如图，连接BD. 答：甲团有24人，乙团有36人 (3)24×20=480(元)，31×15=465（元）. 因为465<480， 所以按照31人购票最省钱。 答：按照31人购票最省钱。 9.解：(1)x=±4 (2)当x≥2时，原方程可化为2(x-2)=6,它的解 由(1)中猜想，可知EH=2BD,FG= 是x=5; 当x<2时，原方程可化为-2(x-2)=6,它的解 所以EH=FG. 是x=-1. 13.解：(1)3 所以原方程的解为x=5或x=-1. (2)3(y2-8)-30=-21(y2-8)+3k可化为(y2-8)- (3)当x≥2时，原方程可化为x-2+x-1=5,它的解 10=-7(y2-8)+k. 是x=4; 令y2-8=m,则m-10=-7m+k. 当x≤1时，原方程可化为2-x+1-x=5,它的解 因为关于x的一元一次方程x-10=-7x+k的解 是x=-1; 是x=1, 当1<x<2时，原方程可化为2-x+x-1=5,此时方程 所以关于m的一元一次方程m-10=-7m+k的解 无解. 是m=L. 所以原方程的解为x=4或x=-1. 所以y2-8=1. 10.解：(1)因为OM,ON分别平分∠AOC,∠B0D, 所以y2=9. 所以∠M0C=7∠A0c,∠0N=<B0D 所以y=±3. (3)因为∠AOC+∠BOD=∠AOB+∠COD+2∠BOC, 又因为∠A0C+∠B0D=180°-∠C0D=90° ∠AOC+∠B0D=m°，∠AOB+∠C0D=n°， 所以m°=2∠BOC+n°. 所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON= 2(∠A0C+ ∠B0D)+90°=45+90°=135. 所以∠B0C=m°-n 2 (2)设∠AOC的度数为x,则∠B0D的度数为90° 所以LA0D=LB0C+∠AOB+∠COD=m°-n° 一, 因为∠MOC= 3∠A0C,∠D0N=3∠B0D, no=motno 2 所以∠M0C+∠D0N=了（∠A0C+LB0D) 3(t+ 14.解：(1)e-8 (2)a+e+i=42,a=e-8,i=e+8, 90°-x)=30°. 所以e-8+e+e+8=42. 所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON= 3(∠A0C+ 解得e=14. 所以c=e-6=14-6=8, ∠B0D)+90°=30°+90°=120°. 即图2中c所表示的日期是8号. (3)∠M0N-90°+90 (3)证明：e+f+h+i=e+(e+1)+(e+7)+(e+8) n =e+e+1+e+7+e+8 11.解：(1)∠C0D=360°÷8=45° =4e+16 (2)∠A0B=60°，OC平分∠A0B, =4(e+4). ∠0c=∠A0B 2×60°=309 所以e+f+h+i的值能被4整除. 15.解：(1)20 ·12 (2)由旋转，可知∠AOC=∠B0D=. 条件 所以∠C0B=120°-a,∠A0D=120°+a. TE 因为∠COB是∠AOD的内半角， (2)当点T在线段EF上，即a<t<a+4时， 所以∠C0B=?∠A0D,即120°-a- -(120°+a). 因为EF=4, 所以ET+TF=4. 解得a=40°. 又因为点T是点E,F的“6和点”， 故当旋转角a&为40时，∠C0B是∠AOD的内半角. 所以ET+2FT=6. (3)在旋转一周的过程中，射线OA,OB,OC,OD能 所以ET=FT=2,即点T是线段EF的中点. 构成内半角，旋转的时间分别为2s或18s或54s 所以t=a+2. 或70s. ③当点T位于点F右侧，即t>a+4时， 专项五全国视野新颖题 E 因为EF=4, 一、选择题 所以ET-FT=4. 1.B2.A3.B4.D5.A 又因为点T是点E,F的“6和点”， 二、填空题 所以ET+2FT=6. 6.点动成线7.垂线段最短128.3 +x=6(答案不唯一）10.2111.20 n+2 所灯导 14 12.7 所以=a+4+子a 3 三、解答题 13.解：(1)66V+F-E=2 综上，t的值为a+2或a+4 (2)20 (3):有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确 定一条直线， 16.解：(1)” m .共有24×3÷2=36（条）棱. (2)①设OA=xcm,则0B=(40-x)cm. 设总面数为F 因为m·OA=n·OB, 根据题意，得24+F-36=2. 所以3x=2(40-x).解得x=16. 解得F=14. 所以0A=16cm,0B=24cm. .x+y=14. 因为C为AB的中点， 14解：(1)因为方程3新+m=0的解为x=公方程-2 所以4Ca=20m x+10的解为x=4, 所以0C=AC-0A=20-16=4(cm). 所以由题意，得令+4=0 ②当OA<OB时， 1 解得m=12. 因为AC=0A+0C=。AB, (2)根据题意，得n-(-n)=4或-n-n=4, 所以n=2或n=-2. 所以0c-D-04-0M:004004 2 2 (3)因为方程y+1=2y-2的解为y=3,且两个方程 OB-OA 为“和谐方程”， OC 2 1 所以关于x的方程2+ma- 所以 +m的解为x=-3. 0B-0AI=0B-0A=21 3 2 当OA>OB时， 当3时。6m=今+m去分母，得-2+2m0 1 因为AC=0A-0C=2AB, 3b+6m.移项，合并同类项，得(2a-6)m=3b+12. 因为无论m取任何有理数都成立， 所以0C=OAAB=, 20 0A+0B 0A-0B 2 2 所以2a-6=0,3b+12=0. 0A-0B 所以a=3,b=-4. OC 2 1 所以ab=-12. 所以 0B-0A10A-0B-2 15解：1)①1②16或9 0C是定值，定值为2 综上所述，1OB-0A (2)①当点T位于点E左侧，即t<a时，显然不满足 13