大单元一 有理数及其运算-【红卷】2024-2025学年七年级上册数学期末复习方案（人教版）

大单元一 有理数及其运算 教材知识清 1.正数和负数 (1)正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数 (2)负数：像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”（负)的数叫做负数， 注意：0既不是正数，也不是负数0是正数和负数的分界. (3)具有相反意义的量 ①表示方法：若规定一种量为正，则它的相反意义的量为负.如：若规定升高3m记作+3m,则下 降3m记作-3m. ②特征：I.成对出现；Ⅱ.表示的量具有相反意义，且必须是同类量， ③常见的表示相反意义的量的词语： 收入 前进 增加 向东 零上 上涨 支出 后退 减少 向西 零下 下跌 … 2.有理数 (1)定义：整数和分数统称为有理数， (2)分类 ①按定义分 ②按性质分 正整数 正整数 正有理数 整数零 正分数 有理数 负整数 有理数零 (正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 (3)数轴 ①定义：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线叫做数轴（见下图） 单位长度 原点 正方向、 4 -3-2 34 ②数轴上的点与有理数的关系： I.所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数 Ⅱ.表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边 (4)相反数 王心童*《红卷》 七年级数学R教上册 ①定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数！ ②几何意义：相反数所表示的点在数轴上分别位于原点的左右两边，且到原点的距离相等。 ③求一个数的相反数的方法：非零有理数a的相反数为-a:特别地，0的相反数是0. ④特点：a,b互为相反数台a+b=0 (5)绝对值 ①定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作Ial. ②性质：当a≥0时，lal=a;当a<0时，|al=-a ③非负性：1al≥0.应用：若1al+|b1+1cl+…=0,则1al=0,1b1=0,1cl=0,….所以a=0,b=0,c= 0,… (6)有理数的大小比较 ①数轴比较法：数轴上右边的数总大于左边的数， ②法则比较法：正数>0>负数：两个负数，绝对值大的反而小 ③差值比较法：若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b:若a-b=0,则a=b. 3.有理数的加减法 (1)有理数加法法则 ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加： ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值.互为相反数的两个数相加得0， ③一个数同0相加，仍得这个数. (2)有理数加法的运算律 ①加法交换律：a+b=b+a. ②加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) (3)有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b) 注意：减号后面是负数时要注意给负数添上括号，否则易出现符号混乱. (4)有理数的加减混合运算 ①运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法. ②运用加法交换律、加法结合律，使运算简便， 4.有理数的乘除法 (1)有理数乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 ②任何数与0相乘，都得0. 王心童”《红卷》 七年级数学RJ教上册 (2)倒数：乘积为1的两个数互为倒数.特别地，0没有倒数， (3)多个有理数相乘 ①几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数：负因数的个数是奇数时，积是负数， ②几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0. (4)有理数乘法的运算律 ①乘法交换律：ab=ba. ②乘法结合律：(ab)c=a(bc). ③乘法分配律：a(b+c)=ab+ac (5)有理数除法法则 ①除以-个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·(b≠0)， ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数，都得0. 5.有理数的乘方 (1)乘方的定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方.乘方的结果叫做幂.在a”中，a叫做底 数，n叫做指数. (2)有理数乘方的符号法则 ①正数的任何次幂都是正数： ②0的任何正整数次幂都是0. ③负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数， (3)有理数的混合运算顺序 ①先乘方，再乘除，最后加减。 ②同级运算，从左到右进行 ③如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行： (4)科学记数法 ①定义：把一个大于10的数表示成a×10”的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整 数)，这种记数法叫科学记数法 ②表示方法：用科学记数法表示一个数时，先确定a,再确定n,其中n为原数整数位数减1. (5)近似数 (1)定义：与实际数接近，但有差别的一个数是近似数， (2)精确度：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位， 注意：①精确到哪一位，只需看下一位，够5则进，不够则舍 ②若精确到的数位上是0，不要把0去掉， 王心童”《红卷》 3 七年级数学R教上册 易错考点清 易错点1有理数的分类理解不准确 例1下列说法中，正确的有 ①整数分为正整数和负整数：②负有理数是负整数和负分数的统称：③有理数是正整数、负整 数、正分数、负分数的统称：④0是偶数，但不是自然数， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 A 「正整数 (正整数 正有理数 整数{零 正分数 易错解读 有理数 负整数 有理数零 (正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 练习1将下列各数按要求分类： 27.3,-2.1,-5,+35-2024 2023 20240 (1)正数： (2)负数： (3)非负数： (4)整数： 易错点②数轴上点与点之间的距离 例2如果点M表示的数是-5，那么数轴上与点M的距离为8的点N表示的数是 答案3或-13 易错解读点V可能在点M的左侧，也可能在，点M的右侧，需要考虑全面，否则容易漏解。 练习2如图，已知数轴上的两点A,B对应的数分别为-1,3，点P为数轴上一动点，其对应的 数为x. (1)若点P到点A,B的距离相等，则点P对应的数是 (2)数轴上存在点P到点A,B的距离之和为10，则x= P B -3-2-10123 易错点3)相反数的概念理解不清晰 例3a-b的相反数是 a-b的相反数是 王心童*《红卷》 七年级数学R教上册 答案 -a+b a+b 易错解读，互为相反数的两数相加为0，且它们只有符号不同 练习3(1)若a=-2024,则-a=;若-b=-(-2024),则b= (2)若x+1与-2024互为相反数，则x= 易错点4已知一个数的绝对值，求这个数时容易漏解 例4已知m=-2024,且1ml=1nl,则n的值是 A.2024 B.-2024 C.±2024 D.0 答案 C 易错解读，互为相反数的两个数的绝对值相等，0的绝对值是0 练习4(1)下列说法中，正确的是 (填序号)》 ①任何有理数的绝对值都是正数；②如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值也不相等；③任 何一个有理数的绝对值都不是负数：④绝对值等于它本身的数只有0. (2)若Ial=-a,则a的取值范围是 A.a>0 B.a≤0 C.a≥0 D.a<0 核心素养清 例5 已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且Ial=Ib1. 6 0 a (1)a+b= ’b (2)判断b+c,a-c,(b+c)(a-b)的符号. (3)求a+61oc+b的值 aa ac ab [答案(1)0 -1 (2)由数轴可得c<b<0<a, 所以b+c<0,a-c>0,(b+c)(a-b)<0. (3)因为c<b<0,1al=Ibl, 所以a,b-1acl+1oh1=1+1-(-1)+(-1）=2 a a ac ab 核心素养 数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在数 学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能够有效借助运算方法解决实 王心童“《红卷》 5 ,七年级数学R教上册 际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；能够形成一丝不苟、严谨求 实的科学精神。 -m(m<0), 练习5我们知道1ml=0(m=0),现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，如化 m(m>0) 简1m+11+lm-21时，可令m+1=0和m-2=0,解得m=-1,m=2(称-1,2分别为lm+1|与lm-21的零 点值)，在数轴上标出表示-1和2的点，如图所示，数轴被分成不重复、不遗漏的三部分，即m<-1, -1≤m<2,m≥2. -2-1012 从而化简1m+11+1m-21可分为以下3种情况： (1)当m<-1时，原式=-(m+1)-(m-2)=-2m+1. (2)当-1≤m<2时，原式=m+1-(m-2)=3. (3)当m≥2时，原式=m+1+m-2=2m-1. [-2m+1(m<-1), 综上，lm+1|+1m-21=3(-1≤m<2), 2m-1(m≥2). 通过以上阅读，请你解决下面的问题： (1)分别求出1x-5引和1x-41的零点值， (2)化简1x-51+1x-41. (3)求|x-51+1x-41的最小值， 王心童”《红卷》 6 七年级数学R教上册参芳答案 大单元一 有理数及其运算 练习22024x,2023,-8ab 2a,15r-2y m 练习3（1)2x2-232 练习1(1)7.3，+342023 5’2024 (2)5a2-12a+9 (2)221,5,2024 练习4C 练习5解：(1)因为A=3x2-x+2y-4xy,B=2x2-3x-y (3)7.3,+342023 5’2024 0 +xy, (4)-5,-2024,0 所以2A-3B=2(3x2-x+2y-4xy)-3(2x2-3x-y+ 练习2(1)1 xy) (2)6或-4 =6x2-2x+4y-8xy-6x2+9x+3y-3xy 练习3(1)2024-2024 =7x+7y-11xy. (2)2023 (2②)当y=9灯=-1时， 练习4(1)③ (2)B 24-3B=7x+7y-l1y=7(x+）-11xy=7×6 练习5解：(1)令x-5=0,得x=5,所以1x-51的零点值 11×(-1)=6+11=17. 为5；令x-4=0,得x=4,所以1x-41的零点值 (3)2A-3B=7x+7y-11xy=7x+(7-11x)y, 为4. 若2A-3B的值与y的取值无关，则7-11x=0, (2)当x<4时，1x-51+1x-41=5-x+4-x=9-2x: 以 当4≤x<5时，lx-51+1x-41=5-x+x-4=1; 所以2A-3B=7x7+0= 49 当x≥5时，1x-51+1x-41=x-5+x-4=2x-9. 11 11 [9-2x(x<4), 大单元三一元一次方程 综上，1x-51+1x-41=1(4≤x<5), 2x-9(x≥5). 练习1解：(1)等式的性质1 (3)由(2)可知1x-51+1x-41的最小值为1. (2)三两边同除以m,m有可能是0 (3)两边同时加上7，得m-7+7=4m-7+7,即m 大单元二代数式和整式的加减 =4m. 练习1C 两边同时减4m,得m-4m=4m-4m,即-3m=0. 王心童“《红卷》 28 七年级数学R教上册