专题6.6 图形的位似（知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题6.6 图形的位似 （知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：位似的概念 1 知识点梳理02：将图形放大或缩小 2 优选题型 考点讲练 2 题型1：位似图形的识别 2 题型2：判断位似中心 3 题型3：位似图形相关概念辨析 4 题型4：求两个位似图形的相似比 5 题型5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 6 题型6：位似 8 题型7：求位似图形的对应坐标 9 题型8：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 10 题型9：在坐标系中画位似图形 11 题型10：在坐标系中画位似中心 13 题型11：坐标与图形综合 14 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 20 知识点梳理01：位似的概念 如果两个多边形不仅相似，而且对应边互相平行（或在同一直线），对应顶点所在直线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似多边形，其交点称为位似中心. 如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 1.位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形的特例. 2.位似中心可以在图形的内部、外部或图形上，但位似中心只能有一个. 3.各对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比 知识点梳理02：将图形放大或缩小 1.用位似的方法将一个图形放大或缩小的步骤如下： （1）在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； （2）作位似中心与各关键点连线； （3）在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； （4）顺次连接各对应点，得到放大或缩小的图形. 2.位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法： 题型1：位似图形的识别 【典例精讲】（24-25九年级下·山东日照·月考）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【变式训练2】（24-25九年级下·广东广州·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 题型2：判断位似中心 【典例精讲】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【变式训练1】（2025·浙江金华·三模）如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． (1)画出位似中心； (2)求与的周长比和面积比． 题型3：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【变式训练2】（2025·河北沧州·模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”通过度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线交点O为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆中劣弧的长为 ． 题型4：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式训练1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 【变式训练2】（2025·广东江门·三模）图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 题型5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【变式训练1】（2025·宁夏·模拟预测）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的相似比为． (2)在线段BC上作点P，使． 【变式训练2】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）将图中的作下列变换，画出相应的图形． (1)以O点为旋转中心顺时针旋转； (2)以B点为位似中心，放大到2倍． 题型6：位似 【典例精讲】（2022·西藏·模拟预测）如图，已知，，以点O为位似中心，按的相似比把放大，则点F的对应点的坐标为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，已知，且的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【变式训练2】（2024·广东广州·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点．以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 题型7：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 题型8：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【变式训练1】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出，使与的位似比为． (2)已知的面积为14，则的面积是______． 【变式训练2】（2025·吉林长春·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 题型9：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏·月考）如图，在的正方形网格中，的顶点分别为，，． (1)以点为位似中心，按比例尺（）在位似中心的同侧将放大为，放大后点A、B的对应点分别为、 ．画出，并写出点、 的坐标：（ ），（ ）． (2)在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标 （ ）． 【变式训练2】（2024·安徽宣城·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示（直角坐标系内正方形网格的单位长度为1）． (1)以点为位似中心，在第三象限的网格中画出，使与位似，且位似比为． (2)在网格内画出关于轴对称的图形． 题型10：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（24-25九年级下·山东烟台·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·宁夏银川·模拟预测）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    【变式训练2】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 题型11：坐标与图形综合 【典例精讲】（2024九年级下·广东中山·竞赛）在平面直角坐标系中、、的坐标分别是，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则顶点 的坐标是 ． 【变式训练1】（23-24九年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【变式训练2】（2025·四川成都·一模）在四边形中，，，，，对角线，所夹的锐角为，则四边形的面积为 ． 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，与位似，其位似中心为点O，且点D为的中点，则与的面积比是 ． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹可知，当时，经过点M的反比例函数解析式为 ． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)与的位似比为，请画出； (3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）． 基础夯实 1．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，与是位似图形，点为位似中心，且 若的周长为6，则的周长为（　　） A．4 B． C．12 D．32 3．（2024·山西·模拟预测）如图，和是位似图形，并且位似中心为点O．已知，的周长为6，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．24 D．30 4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 5．（24-25九年级下·新疆·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：缩小，则变换后的点的坐标为 ． 7．（2025·四川成都·二模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ． 8．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于x轴成轴对称的； (2)请在轴左侧，画出以点为位似中心，位似比为的． 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 10．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ． 培优拔高 11．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点， A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，点B在y轴正半轴上，点C的横坐标为10，，若反比例函数的图象同时经过C、D两点，则D的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 14．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 15．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 16．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 17．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则 ． 18．（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，以点O为位似中心，作的位似图形，反比例函数的图象经过点B，交边于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，结合以上信息，从①与的位似比为；②点C的坐标为这两个条件中任选一个条件作为补充，求的面积．你选择的条件是_______（只填序号），并写出求解过程． 19．（2025·江西吉安·一模）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点_____“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则_____； (3)已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式_____． 20．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）网格中每个小正方形的边长表示1，有和半径为2的．所有的已知点都在格点上． (1)将进行平移，使点A平移到点D，画出平移后的图形； (2)以点M为位似中心，在网格中将放大到原来的2倍，画出放大后的图形，并在放大后的图形中标出线段的对应线段； (3)在（2）所画的图形中，求线段截所得的弦长．（结果保留根号） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 图形的位似 （知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共58题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：位似的概念 1 知识点梳理02：将图形放大或缩小 2 优选题型 考点讲练 2 题型1：位似图形的识别 2 题型2：判断位似中心 5 题型3：位似图形相关概念辨析 7 题型4：求两个位似图形的相似比 9 题型5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 11 题型6：位似 14 题型7：求位似图形的对应坐标 16 题型8：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 18 题型9：在坐标系中画位似图形 22 题型10：在坐标系中画位似中心 25 题型11：坐标与图形综合 28 中考真题 实战演练 31 难度分层 拔尖冲刺 35 基础夯实 35 培优拔高 43 知识点梳理01：位似的概念 如果两个多边形不仅相似，而且对应边互相平行（或在同一直线），对应顶点所在直线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似多边形，其交点称为位似中心. 如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 1.位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形，位似图形是相似图形的特例. 2.位似中心可以在图形的内部、外部或图形上，但位似中心只能有一个. 3.各对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比 知识点梳理02：将图形放大或缩小 1.用位似的方法将一个图形放大或缩小的步骤如下： （1）在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； （2）作位似中心与各关键点连线； （3）在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； （4）顺次连接各对应点，得到放大或缩小的图形. 2.位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法： 题型1：位似图形的识别 【典例精讲】（24-25九年级下·山东日照·月考）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【规范解答】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【变式训练1】（2025·河北·模拟预测）将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【思路点拨】本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据相似三角形的判定、位似三角形的判定分别判断即可． 【规范解答】解：分别延长相交于点O， 由题意得，， ， 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ， ， ，， ， ∴与是位似三角形， 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东广州·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解决此题的关键．根据位似与相似的关系得出相似比，再由相似三角形的性质解答即可． 【规范解答】解： ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 故选：． 题型2：判断位似中心 【典例精讲】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【规范解答】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 【变式训练1】（2025·浙江金华·三模）如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 【变式训练2】（24-25九年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上． (1)画出位似中心； (2)求与的周长比和面积比． 【答案】(1)见解析 (2)周长比为，面积比为 【思路点拨】本题主要考查了位似变换． 正确掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）直接利用位似图形的性质连接对应点，进而得出点O的位置； （2）直接利用位似图形的性质得出位似比． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求， （2）解：由图形得，， 与的相似比为， 与的周长比为，面积比为． 题型3：位似图形相关概念辨析 【典例精讲】（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 【变式训练1】（24-25九年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【规范解答】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 【变式训练2】（2025·河北沧州·模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”通过度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为18，以它的对角线交点O为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆中劣弧的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了位似变换，弧长公式、正方形的性质，连接、，根据正方形的性质求出，进而求出，根据位似图形的性质求出，再根据弧长公式计算，得到答案． 【规范解答】解：如图，连接、， ∵正方形的面积为18， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是位似图形， ∴正方形和正方形相似， ∴， ∴， 则的长为：， 故答案为：π． 题型4：求两个位似图形的相似比 【典例精讲】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【思路点拨】本题考查了位似变换、正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的性质． 根据相似比求出，可得结论． 【规范解答】解：如图，连接，， ∵正方形∽正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D ． 【变式训练1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点的坐标可得到位似比为，再根据位似比即可求解． 【规范解答】解：与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为， 与的相似比为， 点的对应点的坐标为，即， 故答案为： 【变式训练2】（2025·广东江门·三模）图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念得到，结合图形解答即可． 【规范解答】解：以顶点为位似中心放大后得到， ， 方格纸的边长为，则，， 与的相似比是， 故选：C． 题型5：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题． (1)作关于y轴对称的图形； (2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为； (3)作出边上的高交于H． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【思路点拨】该题考查了格点作图，涉及轴对称作图，作位似图形，作三角形的高，解题的关键是正确作图． （1）先确定点关于y轴对称的点，再依次连接即可． （2）先确定点，再依次连接即可． （3）取格点，连接交于点H，即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，即为所求． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是边上的高． 【变式训练1】（2025·宁夏·模拟预测）如图，在网格中，点A，B，C，O都在格点上，用无刻度直尺作图并保留作图痕迹． (1)以O为位似中心，在网格中作，且与的相似比为． (2)在线段BC上作点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图——位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件； （2）点向右4格的点与点向左2格点连接起来与交点即为点P，此时根据平行可得，即得到． 【规范解答】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图，点P即为所求． 【变式训练2】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）将图中的作下列变换，画出相应的图形． (1)以O点为旋转中心顺时针旋转； (2)以B点为位似中心，放大到2倍． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了作图-位似变换，作图-旋转变换，坐标与图形的性质，利用旋转的性质正确画出图形是解题的关键． （1）按照旋转的性质找出点O、B、C的对应点即可； （2）延长、，并使其到点B的距离是它们的二倍，找到对应点，然后顺次连接，即可得到新图． 【规范解答】（1）如图，即为所求： （2）如图，和即为所求： 题型6：位似 【典例精讲】（2022·西藏·模拟预测）如图，已知，，以点O为位似中心，按的相似比把放大，则点F的对应点的坐标为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了位似变换的性质，位似是一种特殊的相似，它具有相似的性质，即对应点的坐标比等于相似比．以点O为位似中心，按把放大，直接将点的坐标同时乘以2或即可． 【规范解答】解：由题意知，点F的对应点的坐标是的坐标同时乘以2或， ∴点的坐标为或．（如图所示） 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，与位似，点为位似中心，已知，且的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似图形和相似三角形的性质是解题的关键；由与位似可知：，然后根据相似三角形的周长比等于相似比可进行求解． 【规范解答】解：由题意得：， ∵， ∴与的周长比为， ∵的周长为4， ∴的周长为12； 故选B． 【变式训练2】（2024·广东广州·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点．以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 根据位似比的性质可知，用点A的坐标分别乘以即可求解． 【规范解答】解：∵以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为， ， ∴点A的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 题型7：求位似图形的对应坐标 【典例精讲】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了位似变换的性质，图形的平移，解题关键是掌握位似变换的性质． 先利用位似的性质得到和的位似比为，再利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题． 【规范解答】解：∵和是以点C为位似中心的位似图形， 而和的周长之比为， ∴和的位似比为， 把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为， 点以原点为位似中心的对应点的坐标为， 把点向左平移2个单位得到， ∴E点坐标为． 故选：B 【变式训练1】（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了位似的性质、相似三角形的判定与性质，由题意可得，由位似的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质可得，即可推出与的相似比为，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵点C的横坐标为1，点F的横坐标为3， ∴， ∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点E的坐标是， 故选：A． 【变式训练2】（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 【规范解答】解：假设点的坐标为，根据位似的性质得， 解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型8：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与关于点P位似，其中顶点A，B，C的对应点依次为，，，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心P； (2)写出点P的坐标为_____，与的面积比为_____，_____； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点P位似，且与的位似比为； ②与位于点P的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【思路点拨】本题考查了位似图形的作图，位似图形的性质，求格点三角形的面积，熟练掌握位似图形的作图及位似图形的性质是解题的关键． （1）连接，，根据位似图形的性质，即知两线段的交点P即为所求； （2）由图可直接得到点P的坐标；根据位似图形的性质，即可求得与的面积比；用正方形的面积减去三个三角形的面积即可； （3）根据位似图形的性质，分别取，，的中点，，，连接，，即可． 【规范解答】（1）解：如图，点P就是位似中心； ； （2）解：由图可知，点P的坐标为； 根据图形可知，，， 与关于点P位似， 与的面积比为， ． 故答案为：；；． （3）解：如图，就是所求作的三角形． 【变式训练1】（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出，使与的位似比为． (2)已知的面积为14，则的面积是______． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路点拨】本题考查坐标与位似，熟练掌握位似的性质，是解题的关键： （1）根据位似的性质，画出即可； （2）根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积为， ∵的面积为14， ∴的面积是； 故答案为：． 【变式训练2】（2025·吉林长春·二模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长之比为， 故答案为：． 题型9：在坐标系中画位似图形 【典例精讲】（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查作图-位似变换，旋转变换和求弧长，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C 的对应点即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． （3）根据弧长公式计算即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图，即为所作． （3）解：， 所以，的弧长为， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏·月考）如图，在的正方形网格中，的顶点分别为，，． (1)以点为位似中心，按比例尺（）在位似中心的同侧将放大为，放大后点A、B的对应点分别为、 ．画出，并写出点、 的坐标：（ ），（ ）． (2)在（1）中，若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标 （ ）． 【答案】(1)图形见解析；， (2) 【思路点拨】本题考查了画位似图形，求位似变换后对应点的坐标，熟练掌握画位似图形及求位似变换后对应点的坐标是解题的关键． （1）延长到点，使得，延长到点，使得，连结即可；根据位似变换的规律，即得对应点的坐标； （2）根据位似变换的规律，即得对应点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； 、 的坐标为，． 故答案为：，． （2）解：若为线段上任一点，写出变化后点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练2】（2024·安徽宣城·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示（直角坐标系内正方形网格的单位长度为1）． (1)以点为位似中心，在第三象限的网格中画出，使与位似，且位似比为． (2)在网格内画出关于轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查画位似图形及轴对称图形，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． （2）根据轴对称的性质作出图形即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 题型10：在坐标系中画位似中心 【典例精讲】（24-25九年级下·山东烟台·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【规范解答】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 故选A． 【变式训练1】（2025·宁夏银川·模拟预测）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键． 连接、，并延长交于一点，交点即为所求． 【规范解答】解：如图，    连接、，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【规范解答】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 题型11：坐标与图形综合 【典例精讲】（2024九年级下·广东中山·竞赛）在平面直角坐标系中、、的坐标分别是，，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则顶点 的坐标是 ． 【答案】、或 【思路点拨】本题考查了图形与坐标，平行四边形的性质等知识，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．根据以、、、 为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，分类讨论即可． 【规范解答】解：如图所示， 平行四边形的两组对边分别平行且相等， 当，时，四边形是平行四边形， ； 当，时，四边形是平行四边形， ； 当，时，四边形是平行四边形， ， 综上所述，顶点的坐标为、或． 故答案为：、或． 【变式训练1】（23-24九年级下·湖南株洲·期中）定义：直线与直线互为“友好直线”．如：直线与直线互为“友好直线”． (1)点在直线的“友好直线”上，则 ； (2)直线上的一点又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标： (3)对于直线上的任意一点，都有点在它的“友好直线”上，求a、b的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【思路点拨】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直线”定义（直线的友好直线为），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这一性质，逐一求解各问题． （1）先根据定义求出的友好直线，再将点代入友好直线解析式，求解； （2）先求出的友好直线，再根据点同时在两条直线上，列方程组求解坐标； （3）先写出的友好直线，再根据在原直线、在友好直线上，分别列出等式，结合任意均成立的条件，求出、． 【规范解答】（1）解：∵直线的友好直线为 （根据定义，交换、得友好直线）， 又∵点在上， ∴，解得． 故答案为：． （2）解：∵直线的友好直线为 （交换、得）， ∵点在和上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． （3）∵直线的友好直线为， ∵点在上， ∴①； ∵点在上， ∴②， 将①代入②：， 整理得：， ∵对任意该等式均成立， ∴系数需为0， 即，解得． 【变式训练2】（2025·四川成都·一模）在四边形中，，，，，对角线，所夹的锐角为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理、一次函数的性质、坐标与图形的性质，设，交于点，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，假设，，，四点坐标，根据四边长度列出四个二元二次方程，然后用四点坐标表示出四边形的面积，整体代入求解即可，建立合理坐的标系，整体求面积是本题解题的关键． 【规范解答】解：设，交于点，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图： ∵， 直线的解析式为：， 设，，，， ∴， ，，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，与位似，其位似中心为点O，且点D为的中点，则与的面积比是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了位似的性质，相似三角形的判定与性质，由位似的性质可得，，证明，结合题意可得，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴与的面积比是， ∴与的面积比是， 故答案为：． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图痕迹可知，当时，经过点M的反比例函数解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了作图-基本作图和反比例函数的知识，熟知角平分线的作法是解题的关键． 根据图示，可知为的角平分线，由此得到M的横纵坐标相等，再进一步利用勾股定理求得M的坐标，设，把点代入，即可求解． 【规范解答】解：由图可得，为的角平分线， ∴， ∴的横纵坐标相等， 设，而， ∴，而， 解得：， ∴， 设经过点M的反比例函数解析式为：， 把代入， 解得：， ∴； 故答案为：； 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，和是位似图形，点是位似中心，且．若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据题意求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【规范解答】解：和是位似图形，点是位似中心，且， ，且相似比为， 点的坐标为， 点的坐标为，即， 故答案为：． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似的性质可得，且，结合周长比进而可得相似比为，即有，再证明，即可解答． 【规范解答】解：∵与位似， ∴，且， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)与的位似比为，请画出； (3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】本题考查了轴对称图形，位似图形及它们的性质，掌握轴对称图形、位似图形及其性质是解题的关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用将三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得出各对应点，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出答案 【规范解答】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：∵将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点， ∴与的相似比为：， ∴． 故答案为：． 基础夯实 1．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的定义得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，与是位似图形，点为位似中心，且 若的周长为6，则的周长为（　　） A．4 B． C．12 D．32 【答案】C 【思路点拨】本题考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【规范解答】解：由题意知：，， ∴， ∴， 即和的相似比为， ∴和的周长比为， ∵的周长为6， ∴的周长为12． 故选：C ． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，和是位似图形，并且位似中心为点O．已知，的周长为6，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．24 D．30 【答案】C 【思路点拨】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用位似图形，相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：与是位似图形，点是位似中心， ， ， ， ， 的周长的周长 的周长为6， 的周长为24． 故选：C． 4．（25-26九年级上·吉林长春·月考）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·新疆·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，则有它们的相似比为，然后分类进行求解即可． 【规范解答】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵它们的面积比为， ∴它们的相似比为， ∵， 当点在y轴的右侧时， ∴，即； 当点在y轴的左侧时， ∴，即； 故答案为或． 6．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：缩小，则变换后的点的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 根据位似图形与坐标性质计算即可． 【规范解答】解：以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：2缩小， 则变换后的点的坐标为或，即或， 故答案为：或 7．（2025·四川成都·二模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．由题意可得，，再结合相似三角形的性质可得答案． 【规范解答】解： 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ，， ， ， 与的面积比是． 故答案为：． 8．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于x轴成轴对称的； (2)请在轴左侧，画出以点为位似中心，位似比为的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了画轴对称图形，画位似图形． （1）作出点、、分别关于轴的对称点，然后再连接对称后的各个顶点即可得到； （2）以点为位似中心，根据位似的性质找到，，的坐标，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，为所求． 9．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； （3）解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 10．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于x轴对称的图形； （2）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出缩小后的图形； （3）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出对应点的坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵原点O为位似中心，位似比为， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：． 培优拔高 11．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点，对应点是点，，交于点，若，，则的长为（   ） 如图，，是上的点，，是外的点，和是位似图形，位似中心为点， A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路点拨】本题考查位似图形的性质，圆的性质．利用位似图形得出，再结合，，得出，即可求解． 【规范解答】解：∵和是位似图形，位似中心为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A． 12．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，点B在y轴正半轴上，点C的横坐标为10，，若反比例函数的图象同时经过C、D两点，则D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查反比例函数与几何的综合．涉及菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 由菱形的性质结合题意可知，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，即得出，再代入反比例函数解析式即可解出k的值，即可求出D的坐标． 【规范解答】解：根据题意可知，设． ∵菱形的边轴， ∴轴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 将代入，得：， 解得：． ∴ ∴ 故选：D． 13．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点P，使得为“智慧三角形”，则点P的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【思路点拨】此题考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 先根据“智慧三角形”的定义及等腰三角形的性质证明“智慧三角形”是直角三角形，再分三种情况讨论，一是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；二是为“智慧三角形”，且，利用相似求出即可；三是说明，则不能是以为直角的“智慧三角形”，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图1，是的中线，， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图2，为“智慧三角形”，且， ∵四边形是矩形，，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，为“智慧三角形”，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或； ∵点M在边上，点P在边上， ∴， ∴， ∴不能是以为直角的“智慧三角形”， 综上所述，点P的坐标为或或， 故选：D． 14．（2025·江西吉安·二模）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点O为位似中心，作它的位似图形，已知，作四边形的外接圆，则此外接圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的周长比为，则正方形的周长为8，得到正方形的边长为2，用勾股定理求出，即可得到答案． 【规范解答】解：连接， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的周长比为， ∵正方形周长为4， ∴正方形的周长为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，以点O为位似中心，在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形，则点C的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了位似三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握相似三角形的性质；由题可知两个三角形相似，且大的三角形的边长是短的2倍，进而得到答案即可； 【规范解答】解：∵在第二象限内作与的相似比为2的放大的位似图形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，和是以O为位似中心的位似图形，A，B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：∵和是以O为位似中心的位似图形，A点的坐标为，点A的对应点C的坐标是， ∴． ∴相似比为． ∵B点的坐标为， ∴，． ∴点D的坐标为． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，则 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． 根据题意和坐标与图形性质求得，和，分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【规范解答】解：根据题意，，，， 当时， ∵点B的坐标为， ∴，即， 解得：， 当时， ∴，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述：或． 18．（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，以点O为位似中心，作的位似图形，反比例函数的图象经过点B，交边于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，结合以上信息，从①与的位似比为；②点C的坐标为这两个条件中任选一个条件作为补充，求的面积．你选择的条件是_______（只填序号），并写出求解过程． 【答案】(1)反比例函数的解析式 (2) 【思路点拨】（1）先根据等边三角形的性质得出，再利用三线合一得出为边上的中线，从而可求得，接着利用勾股定理求得，从而可求得点的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式； （2）选①，先利用位似的性质得出，从而可得，再利用位似的性质求得、的坐标，从而可利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的交点的坐标，即可求向三角形的面积；选择，先利用位似的性质、等边三角形的性质求出位似比，从而可求出点的坐标，与选择①同样的方法可求解． 【规范解答】（1）解：过点B作轴于点F， ∵等边 的边长为2， ∴， ∴为边上的中线， ， ， ， 又反比例函数的图象经过点B， ， 反比例函数的解析式为； （2）选择， 如图，连结， ∵以点O为位似中心，作的位似图形， ， ， 与的位似比为，，等边 的边长为2， ，， ，， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， ，解得：或（舍去）， ， ； 选择， ，，等边 的边长为2， ， 与的位似比为， ， ，， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， ，解得：或（舍去）， ， ． 19．（2025·江西吉安·一模）定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． (1)点_____“美好点”（填“是”或“不是”）； (2)若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则_____； (3)已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②对于图象上任意一点，代数式_____． 【答案】(1)不是 (2)18 (3)①；②4 【思路点拨】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数的图象与性质，解不等式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用，理解“美好点”的定义是解题的关键． （）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②将代入进行计算即可得到答案． 【规范解答】（1）∵， ∴点不是“美好点”， 故答案为：不是； （2）∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线，得， 解得， 故答案为：； （3）∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， 由题意可得， ∴， ∴； 对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为，理由， ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式为定值，定值为． 20．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）网格中每个小正方形的边长表示1，有和半径为2的．所有的已知点都在格点上． (1)将进行平移，使点A平移到点D，画出平移后的图形； (2)以点M为位似中心，在网格中将放大到原来的2倍，画出放大后的图形，并在放大后的图形中标出线段的对应线段； (3)在（2）所画的图形中，求线段截所得的弦长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)线段截所得的弦长为 【思路点拨】本题考查了图形的平移、位似以及垂径定理等． （1）根据平移的规律求出各个对应点的坐标或位置作图即可． （2）根据位似中心作图的方法，找到扩大2倍后对应点，顺次连接即可． （3）利用垂径定理和勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：平移后的图案如图所示； ； （2）解：如图，和线段即为所求． （3）解：设线段分别交于点M，N，连接． ∵的半径为2， ∴． 取格点Q， 则，， ∴， 由勾股定理得， ， ∴， ∴线段截所得的弦长为． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $