专题6.5 相似三角形的性质（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题6.5 相似三角形的性质 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：相似三角形的性质 1 知识点梳理02：射影定理 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：利用相似三角形的性质求解 3 题型2：证明三角形的对应线段成比例 3 题型3：利用相似求坐标 4 题型4：在网格中画与已知三角形相似的三角形 5 题型5：相似三角形的判定与性质综合 7 题型6：相似三角形——动点问题 9 题型7：相似三角形的综合问题 10 题型8：重心的有关性质 12 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 17 知识点梳理01：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 易错点拨：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 易错点拨：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点梳理02：射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 题型1：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级下·吉林长春·阶段练习）已知，若，，则与的面积比为 ． 【变式训练1】（2024·浙江杭州·二模）和都是直角三角形，其中，，．若两个直角三角形相似，则的长为 ． 【变式训练2】（25-26九年级下·福建莆田·阶段练习）已知，若，，则的度数为 °． 题型2：证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海浦东新·期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【变式训练2】（2024九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 题型3：利用相似求坐标 【典例精讲】（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标 ． 【变式训练1】（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点． (1)求，的值； (2)点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    题型4：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 【变式训练1】（24-25九年级下·吉林松原·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺；分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，找一个格点，使得点为的外心． (2)在图②中，找一个格点，使得． (3)在图③中，找一个格点，使得． 【变式训练2】（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． 题型5：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 【变式训练1】（2025·江西抚州·二模）追本溯源 (1)如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且，与之间存在怎样的位置和数量关系？请说明理由； (2)如图2，在正方形中，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，作点E关于点B的对称点G，连接，． ①当点E为的中点时，判断与的位置关系，并证明你的结论； ②当时，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，求此时的长；如果不存在，说明理由． 【变式训练2】（2025·江西吉安·二模）追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高． 方法应用 （2） 如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长 题型6：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（21-22九年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 【变式训练2】（25-26九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，连接，设运动的时间为．在整个运动过程中，当为 时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 题型7：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（23-24九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知，若，，则 . 【变式训练1】（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【变式训练2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D． (1)求证： (2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长． 题型8：重心的有关性质 【典例精讲】（2024·河北沧州·一模）如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【变式训练1】（2024·台湾·模拟预测）如图，内部有一点D，且的面积分别为5，4，3．若的重心为G，则下列叙述何者正确（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是 ；连接，，当点G恰好是的重心时，的长是 ． 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，交于点，，，，，则的长等于 ． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点、、、都在小正方形顶点的位置上，与交于点，那么的长是 ． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在四边形中，，，如果，，那么 ． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，在的垂直平分线上，平分，底边，下述结论： 平分； ； 的周长等于； 是中点．其中正确的命题序号是（　　） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，已知，，若的长度为12，则的长度为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2025·云南·模拟预测）若，且的周长为4，则的周长为（     ） A．4 B．8 C．16 D．64 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，若，则的长为 ． 5．（2023·上海普陀·一模）如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是 ． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，，的面积为2，则的面积为 ． 8．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 9．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 10．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 培优拔高 11．（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是上的动点，且．若菱形的面积等于24，，记，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C．xy D． 12．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的3个顶点都在上，是的高，，，，则圆的半径是（    ） A．2 B． C． D．1.5 14．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，、相交于点E，则的比值为 ． 15．（2025·浙江丽水·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，将沿着折叠得到，与相交于点E，则 ． 16．（2025·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，E是边上的一点，，以E为圆心，为半径的弧交于点G，交于点F．若G是的中点，则的值为 ． 17．（2025·浙江台州·二模）如图，，分别是边，的中点，点是的中点，连接，交于点，若，则 ． 18．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形内接于，连结、交于点P，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 19．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，用尺规作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 20．（2025·安徽铜陵·二模）如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， ①求证，并求出的值； ②如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 相似三角形的性质 （知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：相似三角形的性质 1 知识点梳理02：射影定理 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：利用相似三角形的性质求解 3 题型2：证明三角形的对应线段成比例 5 题型3：利用相似求坐标 7 题型4：在网格中画与已知三角形相似的三角形 13 题型5：相似三角形的判定与性质综合 17 题型6：相似三角形——动点问题 26 题型7：相似三角形的综合问题 31 题型8：重心的有关性质 38 中考真题 实战演练 41 难度分层 拔尖冲刺 47 基础夯实 47 培优拔高 54 知识点梳理01：相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 易错点拨：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 易错点拨：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 知识点梳理02：射影定理 射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90º，CD⊥AB 则，1．CD2＝AD·BD 2．BC2＝BD·AB AC2＝AD·AB 很容易推出：． AC·BC＝AB·CD． BC2＋AC2＝AB2． ． AC＋BC＜AB＋CD． 用图中小写字母a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系： ① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ ；⑤ ab＝ch ； ⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q． 利用上述关系式， “知二可求四” ，即在a、b、c、p、q、h这六个量中，已知两个量就可求出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角三角形的基本条件：斜边大于直角边 题型1：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级下·吉林长春·阶段练习）已知，若，，则与的面积比为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【规范解答】解： ， 与的面积比， ，， 与的面积比为， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·浙江杭州·二模）和都是直角三角形，其中，，．若两个直角三角形相似，则的长为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.先利用勾股定理计算出，再分类讨论：当时，则；当时，则，然后利用比例性质分别计算出的长． 【规范解答】解：∵，，． ∴， 当时，如图1所示，，即，解得， 当时，如图2所示，，即，解得， 即BD的长为或． 故答案为：或． 【变式训练2】（25-26九年级下·福建莆田·阶段练习）已知，若，，则的度数为 °． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．先根据相似三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【规范解答】 ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型2：证明三角形的对应线段成比例 【典例精讲】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【规范解答】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【变式训练1】（24-25九年级下·上海浦东新·期中）两个相似三角形的对应角平分线的比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【思路点拨】两个相似三角形的对应边的比，对应角平分线的比，对应中线的比，对应高线的比，周长的比都等于相似比． 【规范解答】两个相似三角形的对应角平分线的比为， 两个相似三角形的相似比为， 周长的比为． 故选A． 【变式训练2】（2024九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【思路点拨】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【规范解答】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 题型3：利用相似求坐标 【典例精讲】（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O是坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，，D为边的中点．若E为边上的一个动点，当的周长最小时，则点E的坐标 ． 【答案】 【思路点拨】由于C、D是定点，则是定值，如果的周长最小，即有最小值．为此，作点D关于x轴的对称点，当点E在线段上时的周长最小． 考查轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质等，找出点E的位置是解题的关键. 【规范解答】解：如图，作点D关于x轴的对称点连接，与x轴交于点E，连接. 若在边上任取点与点E不重合，连接 由， 可知的周长最小， ∵在矩形中，，D为边的中点， ∴， ∵， ∴ 则 故 ∴， ∴点E的坐标为. 故答案为： 【变式训练1】（2025·江苏无锡·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、（点在点左侧），与轴交于．一次函数的图像经过、两点，点． (1)求，的值； (2)点在直线上，直线交轴于点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，当和相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】（1）根据一次函数求得，，代入待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据解析式求得点的坐标，进而得出，，得出，分情况讨论，①当时，，根据相似三角形的性质得出，进而根据旋转的性质，全等三角形的性质，求得点的坐标；②当时，，同法求得，进而求得的坐标，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵二次函数和一次函数的图像经过、两点， 当时，，当时， ∴， 将，代入， 解得： ∴解析式为 （2）解：由， 当时，， 解得： ∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图所示，过点作于点，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ 设 ∵将点绕点逆时针旋转得到点， ∴， ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ①当时， ∴， 又∵ ∴， ∴ 如图，过点作轴于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则 ∴ 解得： ∴ 如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交的延长线于点 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴即 ∴ ②当时，， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴， 如图，过点作轴于点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则 ∴ 解得： ∴ 当，如图， 同理可得， 综上所述，当和相似时，或． 【变式训练2】（24-25九年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【规范解答】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 题型4：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺，在给定网格中完成下列画图∶ (1)在图1中，已知是格点，点C在线段上，请画出点E，使 (2)如图2，已知是格点，请画出点D关于 的对称点E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了作图，相似三角形的判定和性质． （1）找一格点F，构造两个包含点的的矩形方格，并使，在上找一格点O，使，延长与交于点E，由于，则，故点E就是符合条件的点． （2）观察直角三角形，其两条直角边之比为，于是找到适当格点，构造，连结，相交于点E，由相似三角形的性质可得，于是可证，再由可知点D与点E到的距离相等，因此点D关于的对称点是点E，故点E就是符合条件的点． 【规范解答】（1）如图，点E即为所求； （2）如图，点E即为所求； 【变式训练1】（24-25九年级下·吉林松原·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺；分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，找一个格点，使得点为的外心． (2)在图②中，找一个格点，使得． (3)在图③中，找一个格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据网格在图①中，利用网格作， ，任意两边的垂直平分线交于外心点； （2）根据网格在图②中，由，，可得：，找到格点，连结、，根据网格特点构造等角即可； （3）根据网格在图③中，利用网格过点作出垂线，得到的余角，根据相似三角形的构图即可． 【规范解答】（1）解：如图①，点即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图③，点即为所求； 【变式训练2】（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了旋转作图，平移作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．熟练掌握旋转的性质，相似三角形的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，作点A、B的对应点、，然后顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定，作，，即可； （3）将线段向右平移2个单位，得出线段，连接，即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，四边形即为所求作的四边形． 根据平移可知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 题型5：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：． （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【思路点拨】（1）由正方形的性质可得，，通过角的和差得到，即可通过证得； （2）过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，由矩形的性质可得，，从而得出，，证明，从而可得，再由相似三角形的性质求解即可； （3）由平行四边形的性质可得，，由是直角三角形，，得出或；当时，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则，从而可得，设，则，设，则，证明，再证明，得出，再结合勾股定理可得，从而得出，设，则，由相似三角形的性质求出，再根据，计算得出，进而得出，最后由勾股定理计算；当时，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，设，由题意可得，，求出，，证明，求出，进而可得；再根据，求出，进而可得，最后再由勾股定理计算即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵四边形、为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ， ∵四边形和四边形都是矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是平行四边形，，， ∴，， 又∵是直角三角形，， ∴或 当时，如图，过点作的垂线交于点，则， ， ∴， 设，则， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，四边形和四边形都是矩形， 此时， 过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点， ∵四边形和四边形都是矩形，，，设， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ∴， ∴， 解得， ∴，即点Q与点O重叠， 此时； 综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或． 【变式训练1】（2025·江西抚州·二模）追本溯源 (1)如图1，在正方形中，E为边上一点，F为延长线上一点，且，与之间存在怎样的位置和数量关系？请说明理由； (2)如图2，在正方形中，点E在边上，连接，过点A作，垂足为F，作点E关于点B的对称点G，连接，． ①当点E为的中点时，判断与的位置关系，并证明你的结论； ②当时，是否存在为等腰三角形的情况？如果存在，求此时的长；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①，理由见解析；②的长为或． 【思路点拨】（1）根据正方形的性质证明，求得，，再求得，即可求得，； （2）①证明四边形是平行四边形，即可得到； ②分三种情况讨论，利用正方形的性质结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【规范解答】（1）解：，，理由如下： 延长交于点，如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，； （2）解：①，理由如下， ∵点E为的中点， ∴， ∵点G与点E关于点B对称， ∴， ∴，即， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴； ②当时，此时共点， ∵正方形，， ∴， ∵， ∴； 当时，作于点，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时， ∵，， ∵， ∴，则的情况不存在， 综上，的长为或． 【变式训练2】（2025·江西吉安·二模）追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形中，对角线与交于点O，且，，求菱形的高． 方法应用 （2）如图2，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作于点E，交于点F，若，，求的长 【答案】（1）；（2）． 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据勾股定理求出的值，根据等面积法列方程求解即可； （2）根据菱形的性质得出，，，，证明，得到，进而求出，根据勾股定理求出，根据等面积法即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 题型6：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（21-22九年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【答案】(1)； (2)或3 (3)或1 (4)或3 【思路点拨】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据与相似，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3）解： 与相似，， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）解：当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 解方程，得或3， 解方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 【变式训练1】（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，，动点P从点B出发，沿线段以每秒的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿线段以每秒的速度向点C运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t秒． (1) ； (2)若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)当t为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． (3)， 【思路点拨】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）如图，过作于，证明，可得，，再利用面积公式建立方程即可求解． 【规范解答】（1）解：在中，由勾股定理，得， ∴． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：如图，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得：，． 【变式训练2】（25-26九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，．动点，同时分别从点，出发，分别沿着射线和射线的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接，以为直径作交射线于点，连接，设运动的时间为．在整个运动过程中，当为 时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 【答案】秒或秒 【思路点拨】此题考查圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定与性质；解题关键在于熟练掌握相似比表示两线段之间的关系和计算线段的长；会运用分类讨论的数学思想解决问题． 分三种情况分析：当E点在线段 上，（）；当E点在线段的延长线上，；当时，分别利用相似三角形的判定和性质及圆周角定理求解即可． 【规范解答】解：根据题意得：当E点在线段 上，（） ，则 ． ∵ 为直径， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ ， ①如图1中，若时，， ∴， 即，解得（舍去）． ②若时，， ∴ 即，解得（成立）． 当E点在线段的延长线上，，如图2中， 显然， ∴不成立， 只有，当点F运动到C点时， ∵， ∴，此时（成立）； 当时，由题意， 若，此时，则=，即， 解得（舍弃）， 若，此时，则=，即， 解得（舍弃）， 综上所述，满足条件的t的值为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 题型7：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（23-24九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，已知，若，，则 . 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【规范解答】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 【变式训练1】（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【答案】(1)a的值为，b的值为2，见解析 (2)或，见解析 (3) (4)或 【思路点拨】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解； （3）证明的面积 的面积，则，即可求解； （4）当点在轴上方时，证明，求出点，，即可求解；当点在轴下方时，同理可解． 【规范解答】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：，； （2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：， 当时，图象的最高点为原抛物线的顶点， 此时最高点的纵坐标为4，与无关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关． 综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或； （3）解：连接， ， 的面积 的面积， 过点D作轴，交与点F， 令，则，即， ∵， ∴的解析式为：， ∴， ∴ ， 当 时， 有最大值，最大值为； （4）解：设交于点， 当点在轴上方时， 过点、分别作的垂线交的延长线于点、，则， ， 则， ， ， 则， 则， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 设直线的表达式为：，代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当点在轴下方时， 同理可得：点， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上， 或． 【变式训练2】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，已知：内接于圆O，，连接并延长，交于点D． (1)求证： (2)如图2，过点B作于点E，交圆O于点F，交于点G，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接DE，，，求DE的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路点拨】（1）连接、，证明是线段的垂直平分线，问题得证； （2）先证明，进而证明，即可证明； （3）连接，先求出，，再证明，得到，设，则，分别得到，，，证明，得到 ，求出，从而得到，根据，即可求出． 【规范解答】（1）证明：如图，连接、， ∵，， ∴点都在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴是线段的垂直平分线，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， 在中，， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 题型8：重心的有关性质 【典例精讲】（2024·河北沧州·一模）如图，中，是中线，是上一点，作射线，交于点，若，则（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【思路点拨】本题考查三角形重心的性质，根据是中线，可知点为的重心，从而可知F是的中点，从而得到答案． 【规范解答】解：是中线，， 点为的重心， 为边上的中线， ． 故选：C． 【变式训练1】（2024·台湾·模拟预测）如图，内部有一点D，且的面积分别为5，4，3．若的重心为G，则下列叙述何者正确（    ） A．与的面积相同，且与平行 B．与的面积相同，且与不平行 C．与的面积相同，且与平行 D．与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【思路点拨】本题考查三角形重心，根据三角形重心的性质求出，从而根据三角形面积性质即可判断G，D的位置，从而得到答案． 【规范解答】解：∵内部有一点，且、、的面积分别为、、， ∴， 如图， E，F，H分别是所在边的中点，则G为的重心， 过G和A分别作的垂线，垂足分别为M、N， 则根据三角形重心的性质可知， ∴， 同理， ∴， ∴点、到的距离相等，且位于的同侧， ∴，故A正确，BCD错误； 故选：A． 【变式训练2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，，F是的中点，E是边上的动点，与关于对称，点A的对称点为G，当点G落在的垂直平分线上时，的长是 ；连接，，当点G恰好是的重心时，的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的重心，线段的垂直平分线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点F作，交于点H，交于点M，易得当点G在的垂直平分线上时或点G为重心时，都有H，M，G，F四点共线，由勾股定理可得，证，求得，利用勾股定理求出即可；当点G是的重心时，，易证，利用中位线定理求出，进而得解． 【规范解答】解：如图：过点F作，交于点H，交于点M， ，，且， ∴四边形为矩形， F是的中点， ∴H是的中点， ， ∴， M也是的中点， 当点G在的垂直平分线上时或点G为重心时，都有H，M，G，F四点共线． 与关于对称， ， ， 当点G落在的垂直平分线上时， ， 由题意得，， ， ， 解得， ， 当点G是的重心时，， ，， ， 又为中点，， ， ， H，M分别是，的中点， ， 故答案为：，． 1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，交于点，，，，，则的长等于 ． 【答案】// 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，推出可得结论，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，方格纸上各小正方形的边长都为1，点、、、都在小正方形顶点的位置上，与交于点，那么的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，掌握两个知识点的应用，推出比例线段是解题关键． 先根据勾股定理，得，再根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【规范解答】解：连接， 根据勾股定理，得， ， ， ， ， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：． 3．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在四边形中，，，如果，，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． 先根据平行线的性质得到，加上，则利用相似三角形的判定方法可判断，然后利用相似比可求出的长． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 即， 解得， 即的长为． 故答案为：． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，矩形的对角线与相交于点O，过点O作于点，连接交于点；过点作于点，连接交于点；按此方法继续作图．则与的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】通过证明，可得，证明，可得，找出规律即可求解． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， … ， 即， 故选：C． 5．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，在的垂直平分线上，平分，底边，下述结论： 平分； ； 的周长等于； 是中点．其中正确的命题序号是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可判断；通过相似三角形的判定与性质，解方程可判断；由垂直平分线的性质可判断；根据的结论求出、即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，即平分，故正确； 由（）得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，整理得：， 解得或（舍去）， ∴，故正确； 的周长， ∵， ∴， ∵， 又因为， ∴， 即的周长，故正确； 由知，， ∴， 这就说明点不是线段的中点，故错误； 综上，正确， 故选：． 基础夯实 1．（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边、对应高成比例直接求解即可得到答案； 【规范解答】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·云南·模拟预测）如图所示，已知，，若的长度为12，则的长度为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明，得到，再代入数据求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 3．（2025·云南·模拟预测）若，且的周长为4，则的周长为（     ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题根据相似三角形的性质进行求解即可． 【规范解答】解：∵，且， ∴与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为； 故选C． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握线段比例的计算是关键． 根据题意得到，则有，代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．（2023·上海普陀·一模）如图，点、在的边上，，，如果，，那么的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 证明，可得，，即可得答案． 【规范解答】解：，， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【思路点拨】本题考查的是三角形中位线定理和相似三角形的性质以及平移的性质，属于中等难度题型．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 根据三角形中位线定理得到，得到，根据相似三角形的性质和平移的性质计算即可． 【规范解答】解：∵分别是的边和的中点， ， ， ∴，相似比为， ∵的面积为 7 ， ，则， 由平移的性质可知，的面积的面积， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：14． 7．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，再根据相似三角形面积之比等于相似比的平方求解，即可解题． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， 的面积为2， 的面积为． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【规范解答】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 9．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)15 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】2.4秒或秒 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据勾股定理求出，进而表示出.再分两种情况：若，则，即可得出方程求出t值；若，则，即可得出方程求出解． 【规范解答】解：∵， ∴设， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴. 则. 设过t秒，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∵， ①若，则， 即， 解得； ②若，则， 即， 解得. 所以过2.4秒或秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 培优拔高 11．（2025·浙江丽水·二模）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是上的动点，且．若菱形的面积等于24，，记，则下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C．xy D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质，由菱形的性质求出，证明，得，证出，得出；同理可得，从而可证明，得是定值． 【规范解答】解：如图，连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的面积为24，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可证， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：B． 12．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落在点处；作的平分线交于点E．设，，那么关于的函数图象大致应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，表示出与的函数解析式是解题的关键，还需注意、两选项的区别． 根据翻折变换的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，从而得到，根据两组角对应相等的三角形相似求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出与的关系式，再根据二次函数的图象解答即可． 【规范解答】解：由翻折的性质得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴函数图象为C项图象． 故选：C． 13．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，的3个顶点都在上，是的高，，，，则圆的半径是（    ） A．2 B． C． D．1.5 【答案】D 【思路点拨】作圆的直径，连接，由圆周角定理可知，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解．本题考查的是圆周角定理及相似三角形的判定与性质，作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，作圆的直径，连接， 设的半径为r，则， 由圆周角定理可知 ∵是的直径， ，即， 解得． 故选：D． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，、相交于点E，则的比值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的性质以及平行线分线段成比例。通过作辅助线，过点A作，交的延长线于点E，过点C作于H，设与的交点为N，与交于点G，小正方形的边长为1，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例以及平行线分线段成比例求出相关线段长度，进而求出结果． 【规范解答】解：如图，过点A作，交的延长线于点E，过点C作于H， 设与的交点为N，与交于点G，小正方形的边长为1， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴。 故答案为：． 15．（2025·浙江丽水·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，将沿着折叠得到，与相交于点E，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，关键主要考查学生的推理和计算能力． 连接交于点，连接，由折叠可得，，根据矩形性质和勾股定理可得，利用，可得，所以，然后证明 ，进而可以解决问题． 【规范解答】解：如图，连接交于点，连接， 由折叠可知：，， 在矩形中， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，， ， ， ． 故答案为：． 16．（2025·浙江杭州·二模）如图，在矩形中，E是边上的一点，，以E为圆心，为半径的弧交于点G，交于点F．若G是的中点，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，过点E作于点H，设，先证明，进而得，则，再根据，得，设，则，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，由此解得，则，，据此即可得出的值． 【规范解答】解：连接，过点E作于点H，如图所示： 设， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．（2025·浙江台州·二模）如图，，分别是边，的中点，点是的中点，连接，交于点，若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意可得，证明得出的长，进而根据中位线的性质得出，即可求解． 【规范解答】解：∵，分别是边，的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 18．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形内接于，连结、交于点P，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路点拨】（1）连接并延长交于点F，由已知条件可得出，由垂径定理的推论可知，，再根据平行线的性质即可得出，进一步即可证明． （2）利用同弧所对的圆周角相等以及平行线的性质，结合等边对等角的性质进一步证明，由相似三角形的性质即可得证． （3）证明，由相似三角形的性质得出，设，，则，由勾股定理求出k值，进而求出，，最后根据（2）的结论即可求出． 【规范解答】（1）证明：连接并延长交于点F， ∵， ∴， 由垂径定理的推论可知，， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是切线． （2）证明：∵四边形内接于， ， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， 设，，则， ∴，， 在中， ，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴. 19．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，用尺规作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． （1）先证明，再得到比例式，再由两边对应成比例且夹角相等证明； （2）由得到，即可求解． 【规范解答】（1）证明：由题意得，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 20．（2025·安徽铜陵·二模）如图1，在矩形中，M为中点，延长交的延长线于点E，连接，与交于点F． (1)求证：； (2)如图2，将矩形改成正方形，，其他条件不变， ①求证，并求出的值； ②如图3，在的延长线上取点P，使得，延长与的延长线交于点Q，连接，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【思路点拨】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用矩形的性质得到相等的边和角，然后证明即可得出结论； （2）①根据正方形的性质得出相等的角，求出相关边长，证明，，然后利用相似三角形的性质即可得出结论，利用勾股定理即可求解； ②延长，交于点E，证明，，利用相似三角形的性质得出，继而得出，最后根据等量代换得出可得出结论． 【规范解答】（1）证明：四边形为矩形， ，， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：①由（1）知， ， 四边形为正方形， ，，， ， ∴， ∴，， ，， ， 在中，，，由勾股定理得， ， ； ②如图，延长，交于点E， 四边形为正方形， ，， ， 同上易得，，， ，， ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 即平分． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $