专题01 一元二次方程（期末真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 12大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 化成一元二次方程的一般式 考点03 由一元二次方程的解求参数 考点04 解一元二次方程 考点05 一元二次方程的根与系数关系 考点06 根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点07 根据一元二次方程根的情况求参数 考点08 配方法的应用 考点09 一元二次方程的应用-增长率问题 考点10 一元二次方程的应用-与图形有关的问题 考点11 一元二次方程的应用-经济问题 考点12 一元二次方程的应用-单循环与双循环问题 地 城 考点01 一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 3．关于x的方程是一元二次方程，则（　） A． B． C． D． 4．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 化成一元二次方程的一般式 1．一元二次方程的一次项系数是（二次项系数为正）（　　） A．2 B． C．4 D． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B． C． D．1 3．将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 4．一元二次方程化成一般形式后，它的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B． C． D．5， 5．一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B． C． D． 6．将关于的一元二次方程化成一般式为 ． 地 城 考点03 由一元二次方程的解求参数 1．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．4 3．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 4．已知是方程的一个根，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．3 5．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则 ． 地 城 考点04 解一元二次方程 1． 解方程： (1)； (2)． 2．解下列方程： (1) (2) 3．解方程： (1)； (2)． 1．关于的方程的一个根为，则另一个根是（　　）地 城 考点05 一元二次方程的根与系数关系 A．1 B．5 C． D． 2．已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（   ） A．2 B． C． D． 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 4．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．若是一元二次方程的两根，则的值为 ． 6．若a，b是关于x的一元一次方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 7．如果，是方程的两根，那么的值为 ． 8．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 地 城 考点06 根据判别式判断一元二次方程的根的情况 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 3．若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 地 城 考点07 根据一元二次方程根的情况求参数 1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ）． A． B．或 C．或 D．或 4．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 5．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 6．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 地 城 考点08 配方法的应用 1．用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2025 2．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 地 城 考点09 一元二次方程的应用-增长率问题 1．电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路冲高．某影城也因为绝佳观影体验走红，《哪吒2》首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．南宁二中图书馆为响应学校“读书节”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　） A． B． C． D． 3．水果是广西农业农村的支柱产业，是广西的特色名片之一，2021年水果产量约为3121万吨，2023年水果产量约为3389万吨，求2021年至2023年广西水果产量的年平均增长率．设年平均增长率为，依据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点10 一元二次方程的应用-与图形有关的问题 1．如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是 A． B． C． D． 2．如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（   ） A． B． C． D． 3．已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，其中平行于墙的边开有两个长为1米的木质门． (1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 4．学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 5．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； (2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 6．如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．    （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 地 城 考点11 一元二次方程的应用-经济问题 1． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 2．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ (2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 3．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用） 4．端午节将近，某超市以25元/件的价格购进一批三角粽，计划以40元/件的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这批三角粽的销售量（件）与每件降低的价格（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若超市要想获利800元，且让顾客获得更大实惠，这批三角粽每件应降价多少元？ 5．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 地 城 考点12 一元二次方程的应用-单循环与双循环问题 1．2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．参加某次班干会议的每两人都握了一次手，所有人共握手15次，则参加这次会议共有 人． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 12大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02 化成一元二次方程的一般式 考点03 由一元二次方程的解求参数 考点04 解一元二次方程 考点05 一元二次方程的根与系数关系 考点06 根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点07 根据一元二次方程根的情况求参数 考点08 配方法的应用 考点09 一元二次方程的应用-增长率问题 考点10 一元二次方程的应用-与图形有关的问题 考点11 一元二次方程的应用-经济问题 考点12 一元二次方程的应用-单循环与双循环问题 地 城 考点01 一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A． ：化简后为，是一元一次方程，不符合条件． B．：只含有一个未知数，且的最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程的定义． C．：含有两个未知数和，是二元一次方程，不符合条件． D．：含有两个未知数和，且乘积项的次数为2，是二元二次方程，不符合条件． 故选：B 2．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：， 故选：． 3．关于x的方程是一元二次方程，则（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，“一元二次方程的一般形式是”，根据一般式得到，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 故选：B． 4．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为：． 【详解】、中，最高次数为，此选项不符合题意； 、是二元一次方程，此选项不符合题意； 、不是整式方程，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 故选：． 地 城 考点02 化成一元二次方程的一般式 1．一元二次方程的一次项系数是（二次项系数为正）（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的问题，掌握二次项系数的定义是解题的关键．将方程化为标准形式（），即可确定一次项的系数． 【详解】解： 移项得：， ∴一次项为，因此一次项系数是， 故选B． 2．一元二次方程的常数项是（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．按照定义即可找到常数项． 【详解】解：已知一元二次方程，则其常数项为． 故选：C． 3．将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可． 【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式为， 则二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0， 故选：D． 4．一元二次方程化成一般形式后，它的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B． C． D．5， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，化成一般形式后即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式为， ∴它的一次项系数和常数项分别是， 故选：C． 5．一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式，二次项系数就是它前面的数字即可． 一元二次方程的二次项是，其系数是． 【详解】解：根据题意可知， 一元二次方程的二次项系数是． 故选：A. 6．将关于的一元二次方程化成一般式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；（是常数，且）． 将关于的一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一般式为， 故答案为： ． 地 城 考点03 由一元二次方程的解求参数 1．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：C． 2．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，再把表示为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式求值、一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．已知m是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．根据一元二次方程的解求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．已知是方程的一个根，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的定义，关键是把代入方程构建含参数的方程求解即可． 根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于m的方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴把代入方程得，解得：， 故选：C． 5．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先把代入一元二次方程，即可求出c． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为2， ， 解得：， 故答案为：． 地 城 考点04 解一元二次方程 1． 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴方程的解为，； （2）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 2．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）解：， ∴ ∴， ∴ ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）通过移项将等式右边的移到左边，然后提取公因式，转化为两个一元一次方程求解即可． （2）先将方程化为一般形式，再计算判别式，最后利用求根公式求解． 本题主要考查了一元二次方程的解法，包括因式分解法和公式法，熟练掌握这两种解法是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 或， ，． （2）解： 方程化为一般形式为． ，，， ， ， ，． 1．关于的方程的一个根为，则另一个根是（　　）地 城 考点05 一元二次方程的根与系数关系 A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积等于是解题的关键．设方程的另一个根为，根据两根之积等于即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则有， 解得 ． 故选：C． 2．已知一元二次方程的两根分别为和，则的值等于（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．直接根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为和， ∴． 故选：D． 3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．根据根与系数的关系求出，即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：D． 4．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系的应用，利用根与系数的关系，求出，再代入计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选A． 5．若是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，求出两根之积．根据一元二次方程的两根之积为求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴． 故答案为： ． 6．若a，b是关于x的一元一次方程的两个实数根，且，则k的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程的两根时， ， ． 先根据a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根，求出，由一元二次方程根与系数关系得到，利用，求出k的值，再代入验证即可． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴ ， ， ， ∴， 解得，， 当时， ， ∴符合题意； 当时， ， ∴不符合题意，应舍去； 综上，k的值是． 故答案为：． 7．如果，是方程的两根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，因式分解的应用，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子因式分解为，整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，由根与系数的关系结合一元二次方程的解，可得出，，，将其代入中，即可得出结论． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点06 根据判别式判断一元二次方程的根的情况 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，可判断方程有2个不相等的实数根，可判断方程有2个相等的实数根，可判断方程没有实数根，熟练掌握该知识点是解题的关键．先计算出，然后再判断实数根的情况即可． 【详解】解：， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况． 【详解】解：∵， 而， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．若正比例函数的图象过第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出，进而计算判别式，根据判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限， ∴， ∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根 故选：B． 地 城 考点07 根据一元二次方程根的情况求参数 1．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：依题意可得，，解得 关于的一元二次方程， 且． 故选：C． 2．若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键． 根据方程没有实数根，得到判别式，从而求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得； ∴的值可以是：， 故选：D． 3．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，计算判别式并解方程即可确定k的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 或， 解得：或， 故选：C． 4．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解答关键． （1）根据时，方程有实数根求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而化简所求代数式，代值求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ． （2）解：当时方程为． 由根与系数的关系得，． ∴ ． 5．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：，， 由（）得：， ∴， ∴的值为． 6．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 地 城 考点08 配方法的应用 1．用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A． B．1 C． D．2025 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，通过配方法将方程转化为平方形式，确定参a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 2．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 地 城 考点09 一元二次方程的应用-增长率问题 1．电影《哪吒2》于2025年春节档上映，票房一路冲高．某影城也因为绝佳观影体验走红，《哪吒2》首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元，若在此期间内每天票房按相同的增长率增长，设票房收入的增长率为，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设票房收入的增长率为，根据“首日票房达到4.5亿元，第三天的票房达到6.48亿元”列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设票房收入的增长率为，列方程为， 故选：A． 2．《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之”．“衰分”就是指按照一定比例递减或递增的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．南宁二中图书馆为响应学校“读书节”活动，向学生全天开放．据统计，第一周进馆128人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆392人次，若进馆人次的周平均增长率相同，设进馆人次的周平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三周进馆人次=第一周进馆人次进馆人次的周平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 3．水果是广西农业农村的支柱产业，是广西的特色名片之一，2021年水果产量约为3121万吨，2023年水果产量约为3389万吨，求2021年至2023年广西水果产量的年平均增长率．设年平均增长率为，依据题意可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以得到方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：根据题意得，， 故选：C． 地 城 考点10 一元二次方程的应用-与图形有关的问题 1．如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． 设路宽为，则所剩下的空白部分的宽为，长为，根据空白部分面积是列出方程即可． 【详解】解：设路宽为，根据题意可得： ， 故选A． 故选B． 2．如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为．则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，除了小路，其余部分拼为一个长，宽的矩形，根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：设小路的宽度为， 则草坪的总长度和总宽度应该为， 根据题意，得， 故选：B 3．已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，其中平行于墙的边开有两个长为1米的木质门． (1)若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)车棚的长为，宽为 (2)不能围成面积为的自行车车棚，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设车棚的宽为，则长为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）假设能围成面积为的自行车车棚，设车棚的宽为，则长为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设车棚的宽为，则长为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 当时， ，不符合题意，舍去； 当时， ， 答：车棚的长为，宽为； （2）解：不能围成面积为的自行车车棚，理由如下： 假设能围成面积为的自行车车棚， 设车棚的宽为，则长为，根据题意得： ， 整理得：， 此时， 所以此方程无解． 即不能围成面积为的自行车车棚． 4．学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米． (1)据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)场地的宽为8米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个增长率为x，由题意可得方程，然后进行求解即可； （2）由题意易得，设矩形空地的宽为y米，则的长为米，然后可得方程，进而求解即可 【详解】（1）解：设这个增长率为，由题意得： ， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米， ， 设矩形空地的宽为y米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：，不合题意，舍去； 当时，的长为：，符合题意． 米． 答：场地的宽为8米． 5．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为6米，宽为4米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示．设边饰的宽度为x米． (1)请用含x的式子分别表示挂画的长和宽； (2)若整幅挂画的面积是48平方米，求锦缎边饰的宽度． 【答案】(1)米；米 (2)1米 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程解实际问题，理解图示，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示信息用代数式表示即可； （2）根据面积公式的计算列式，求一元二次方程即可． 【详解】（1）解：挂画的长为：米； 挂画的宽为：米； （2）解：由题意得： ， 解方程，得：，（不合题意，舍去）．     答：锦缎边饰的宽度为1米． 6．如图是一张长40cm、宽24cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．    （1）这个无盖纸盒的长为 cm，宽为 cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是720 的无盖长方体纸盒，求x的值． 【答案】（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【分析】（1）根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽； （2）根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为720cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）∵纸板是长为40cm，宽为24cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形， ∴无盖纸盒的长为（40-2x）cm，宽为（24-2x）cm． 故答案为40-2x， 24-2x； （2）依题意，得：（40-2x）（24-2x）=720， 解得：x1=2，x2=30（不合题意，舍去）． 答：x的值为2． 故答案为（1）40-2x， 24-2x；（2）x的值为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 地 城 考点11 一元二次方程的应用-经济问题 1． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 2．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ (2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； (3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】(1)某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元 (2)， (3)每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元 【分析】（1）根据盈利单件利润销售数量即可得出结论； （2）根据每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据盈利单件利润销售数量即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． 【详解】（1）解：当天获利：（元）； 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元； （2）解：∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； （3）解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题关键． 3．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　　 　　 　　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用） 【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元 【分析】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程． 【详解】（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， ∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20． 故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20； （2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000， 整理，得 x2﹣420x+32000=0， 解得x1=320，x2=100． 当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）． 当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）． 所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 4．端午节将近，某超市以25元/件的价格购进一批三角粽，计划以40元/件的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这批三角粽的销售量（件）与每件降低的价格（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若超市要想获利800元，且让顾客获得更大实惠，这批三角粽每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)这批三角粽每件应降价7元 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求解以及一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据利润公式准确列出方程． （1）根据待定系数法即可求出函数关系式． （2）根据总利润=每千克的利润×销量，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，则由题图象得 ，解得 与之间的函数关系式为． （2）依题意得， 整理得， 解得，． 让顾客获得更大实惠， 取． 答：这批三角粽每件应降价7元． 5．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 地 城 考点12 一元二次方程的应用-单循环与双循环问题 1．2024年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了36场比赛，设有x支队伍参加了比赛，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；根据每两队之间都赛一场，设邀请个球队参加比赛，则每一个球队都会比赛场，剔除重复的一半，即可解题． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 由题可知，， 故选：D． 2．参加某次班干会议的每两人都握了一次手，所有人共握手15次，则参加这次会议共有 人． 【答案】6 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设有x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，再建立方程，再解方程即可． 【详解】解：设参加这次聚会的有x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次， 根据题意列方程得： ， 解得，（不合题意，舍去）； 答：参加这次聚会的有6人． 故答案为：6． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $