精品解析：河南省新乡市第一中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题含答案

新乡市一中2025－2026学年上期初二年级期中考试 数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的两个三角形是全等三角形，图中的两个三角形都分别已知两边的长度，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算结果等于是（ ） A. B. C. D. 5. 在下列条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 7. 如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 8. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 9. 如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是（ ） A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①③ 二．填空题（每题3分，共5小题） 11. 若点和点关于轴对称，则的值是______． 12. 规定：如果两数、满足，则记为．例如：因为，所以．如果，，则______，______． 13. 如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则__． 14. 已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE=3，则DF=_______． 15. 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为______． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）； 17. 如图，，，．求证． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）请写出点，，的坐标； （3）在轴上找出点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 19. 如图，中，，点是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 20. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求的长． 21. 如图，四边形中，平分，，于． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 22. 【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；公式②：；公式③：；公式④：． 图1对应公式____，图3对应公式____． 【解决问题】 （2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题． ①已知，，求的值； ②化简． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，直接写出阴影部分的面积____． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 23. （1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证， （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，以为端点引一条射线与射线相交于点，在射线上取点，使，请用含的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中2025－2026学年上期初二年级期中考试 数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．利用轴对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 如图所示的两个三角形是全等三角形，图中的两个三角形都分别已知两边的长度，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判定两个三角形全等，得到的对边是8，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵根据边为7和的夹角为即符合判定两个三角形全等， ∴的对边是8， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 3. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵点P到点、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 4. 下列计算结果等于是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法逐一计算各选项，判断是否等于即可． 【详解】解：A、10个a相加，即，不符合题意； B、，不符合题意； C、10个a相乘，即，符合题意； D、5个相加，即，不符合题意； 故选：C． 5. 在下列条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的内角和为180度，有一个内角是90度的三角形是直角三角形，据此结合对应的条件逐一判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ②∵，， ∴， ∴是直角三角形； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； ④∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形； 综上所述，能确定是直角三角形的条件有①②③，共3个． 6. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、一角一边不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ） A. 26 B. 24 C. 22 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，是解题的关键．由是的垂直平分线得到，由的周长为18得到，最后由的周长为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为18， ， 的周长为：． 故选：A． 9. 如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可． 【详解】解：∵F是的中点，的面积为， ， ∵E是的中点， ， ， ∴的面积为：． 故选：D． 10. 如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若于点M，于点N，则；④其中正确的是（ ） A. 只有①②③ B. 只有①③④ C. 只有②③④ D. 只有①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解． 过点分别作、、的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点到、的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用与写出关系式整理即可得到④正确． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ①平分，平分，于点，于点， ，， ， 平分，故①正确，符合题意； ②，， ， ， ， 错误，故②错误，不符合题意； ③在与中， ， ， ， 同理可得， ， ， 故本小题正确，符合题意； ④平分，平分， ，， ， 故本小题正确，符合题意． 综上所述，①③④符合题意． 故选：B． 二．填空题（每题3分，共5小题） 11. 若点和点关于轴对称，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，求代数式的值，关于轴对称的点的特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求得a与b的值，从而求得代数式的值． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 规定：如果两数、满足，则记为．例如：因为，所以．如果，，则______，______． 【答案】 ①. 64 ②. 4 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据运算定义，由可得，求出；再代入中，得，求出即可解答． 【详解】解：根据定义，得， 解得， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 故答案为：，． 13. 如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则__． 【答案】90 【解析】 【分析】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：如图， ∴，，， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 14. 已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE=3，则DF=_______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示． 是的平分线， ． 在中，，， ，即． 在中，，， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长是解题的关键． 15. 如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，过作于，根据角平分线的轴对称性，可作关于对称点，连接，则，由得，当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵平分，如图，过作于，作关于对称点， ∴在上，连接， 则， 当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，整式的乘法运算，掌握幂的运算法则，多项式乘以多项式运算法则，牢记乘法公式是解题的关键． （1）先计算积的乘方，同底数幂的乘除法，再合并同类项即可； （2）将原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，，，．求证． 【答案】 证明：∵， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，得到，即可解决问题． 【详解】略 【点睛】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质,牢固掌握全等三角形的判定定理是关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）请写出点，，的坐标； （3）在轴上找出点，使得的值最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2），， （3）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）利用轴对称变换的性质分别分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据图形可得三点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，，，； 【小问3详解】 略 19. 如图，中，，点是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即. 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等边对等角，同角的余角相等， 对于（1），以点D为圆心，以为半径画弧，交于点H，G，再以点H，G为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，连接，交于点E，交于点F，则点E，F即为所求作； 对于（2），先根据等边对等角得，再根据同角的余角相等可得，则此题可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可； （2）先求得，再求出，由，，可得，再推出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵周长为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 21. 如图，四边形中，平分，，于． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）的长为，的长为． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明△，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，再证，可得，求出，进而可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 22. 【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；公式②：；公式③：；公式④：． 图1对应公式____，图3对应公式____． 【解决问题】 （2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题． ①已知，，求的值； ②化简． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，直接写出阴影部分的面积____． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）①，④；（2）①；②；（3）32 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式④即可得解；②利用多项式乘以多项式结合平方差计算即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式④求出的值，即可得解． 【详解】解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式②； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③； 故答案为：①；④； （2）①把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ② ； （3）设，，则有，， 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 23. （1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证， （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，以为端点引一条射线与射线相交于点，在射线上取点，使，请用含的式子表示． 【答案】 （1）证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2）解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）当点在射线上时，在的延长线上找一点E，使，设，同（2）的证明方法得出，推出，，由此得出；当点在线段上时，同样的方法求得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当点在延长线上时， 如图，在的延长线上找一点E，使， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 当点在线段上时， 如图，在上找一点E，使， ∵，， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $