第15章 轴对称(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 知识梳理 ①如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ,这个图形就叫作 轴对称图形，这条直线就是它的 ②把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形 关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫作 ,折 叠后重合的点是对应点，叫作 ③成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴 ④经过线段 并且 于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线.由轴对 称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一 对对称点所连线段的 当堂练习 1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字可看作 轴对称图形的是 劳 动 光 荣 B D 2.某市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开 展安全教育.下列安全图标不是轴对称图形的是 ) A B D 3.如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论：①△ABC2△ADE;②直线l垂直 平分DB;③∠C=∠E;④BC与DE的延长线的交点一定落在直线I上.其中，错误的 有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 D 100 120 70 (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，若正方形的边长为6cm,则图中阴影部分的面积是 cm2. 5.如图，这两个四边形关于某直线对称，根据图中提供的条件，则x= ,V ·15· 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识梳理 ①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 ②与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上 当堂练习 1.如图，AC=AD,BC=BD,则 A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分AB C.AB与CD互相垂直平分 D.以上都不正确 (第1题图) (第2题图) 2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC,AC于点D,E.若AB=6cm,BD= 4cm,△ABD的周长为16cm,则DC的长为 cm. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC,AD为∠BAC的平分线. 求证：点D在线段AB的垂直平分线上. ·16· 第2课时线段垂直平分线的有关作图 当堂练习 1.如图，已知AB=AC,AB=5,BC=3,以A,B两点为圆心，大于2AB的长为半径画圆 弧，两弧相交于点M,N,连接MN交AC于点D,则△BDC的周长为 A.8 B.10 C.11 D.13 2.下列图形中，哪些是轴对称图形？是轴对称图形的，画出它的所有对称轴。 (2) (3) 3.利用图形中的对称点，画出图形的对称轴. (2) 4.如图，在△ABC中，AC<BC,请用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PC一 BC,并说明理由. ·17· 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 当堂练习 1.如图是由两个半圆、一个三角形组成的图形，请你以直线AB为对称轴，把原图形补成轴 对称图形. 2.如图，在正方形网格中有一个△DEF. (1)作△DEF关于直线HG对称的图形： (2)作△DEF的边EF上的高； (3)若网格中小正方形的边长均为1，求△DEF的面积. 第2课时用坐标表示轴对称 当堂练习 1.在平面直角坐标系中，点A(一4,3)与点B(4,3)关于 A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 2.将点A(2,3)向左平移5个单位长度后得到点B,点B关于y轴的对称点是点C,则点C 的坐标为 A.(3,3) B.(7,3) C.(-7,3) D.（-3,3) 3.已知点P(a+2,2a一4)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为 ·18· 15.3等腰三角形 15.3.1等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 知识梳理 ①等腰三角形的两个底角 (简写成“等边对等角”). ②等腰三角形 及 重合（简写成“三线合一”） 3等腰三角形是 图形， )所在直 线就是它的对称轴 当堂练习 1.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,下列结论不一定正确的是 A.∠B=∠C B.BD-CD C.AB=2BD D.AD平分∠BAC 3) B (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠B=70°，则∠C的度数为 A.35 B.40 C.459 D.509 3.如图，a∥b,点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC.若∠1=20°，则 ∠2的度数为 ( A.259 B.65 C.70 D.75° 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,BC=3cm,则∠ADB的度数为 BD的长是 cm. 5.如图，在锐角三角形纸片ABC中，AB=AC,将底边BC沿着过B点的折痕BE折叠，使 点C落在腰AB上的点D处，这时三角形ADE是等腰三角形，则∠A的度数为 6.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E. 求证：DE平分∠BDC. ·19· 第2课时等腰三角形的判定 知识梳理 ①有两个角 的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. ②已知底边，作定高的等腰三角形的步骤：①先作底边的 ;②截取定高长； ③连接得到等腰三角形. 当堂练习 1.如图，∠B=∠C=36°，∠ADE=∠AED=72°，则图中的等腰三角形 有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 2.在△ABC中，∠B=∠C,D,E分别是AB,AC上的点，AE=2cm,且DE∥BC,则AD 的长为 cm. 3.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向的M处，它以每小时 东 35 n mile的速度向正南方向航行，4h后到达位于灯塔P的南偏东 65的N处，则M处与灯塔P的距离为 n mile. 4.如图，AE∥BC,AE平分∠DAC.求证：△ABC是等腰三角形. 5.如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O.试判断 △OEF的形状，并说明理由. ·20· 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 知识梳理 ①等边三角形的三条边都相等. ②等边三角形的三个角 ,并且每一个角都等于 ③三边 的三角形是等边三角形. ④三个角 的三角形是等边三角形. ⑤有一个角是60°的 是等边三角形 当堂练习 1.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,交BC于点D,则∠BAD的度数为 A.60° B.50° C.40 D.30° B L (第1题图) (第2题图) (第4题图) 2.如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E,使CE=CD,则∠E 的度数为 A.15 B.20 C.30° D.40 3.下列说法正确的有 ①三个内角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角 形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等 边三角形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE,AD与CE交于 点F,则∠DFC的度数为 5.如图，D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD=BE=CF. 求证：△DEF是等边三角形 ·21· 第2课时含30°角的直角三角形的性质 知识梳理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为5cm,则AB的长为 A.4 cm B.3 cm C.2.5 cm D.2 cm 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,则BC:AB等于 A.2:1 B.1:2 C.1:3 D.2:3 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=9cm,则AB的长为 A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 北 西) *东 y 图 (第3题图) (第4题图) 4.如图，一艘渔船向东航行，8点到达O处，灯塔A在其北偏东60°方向，距离16 n mile,.10 点到达B处，灯塔A在其正北方向，此时渔船与灯塔A相距 n mile. 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点 E.求证：AE=2CE. ·22· 综合与实践最短路径问题 知识梳理 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解 决的问题，从而作出最短路径的选择 当堂练习 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P为直线 EF上任意一点，则AP十BP的最小值是 A.3 B.4 C.5 D.6 BC、 (第1题图) (第2题图) 2.如图，∠AOB=40°，C为OB上的定点，M,N分别为OA,OB上的动点，当CM+MN的 值最小时，∠OCM的度数为 3.如图，E,F分别是△ABC的边AB,AC上的两个定点，在BC上找一点M,使△EFM的 周长最小 4.如图，点A是总局，想在公路11上建一分局D,在公路12上建一分局E,D,E修建在何 处能使AD+DE+EA最小？ ·23·第2课时直角三角形中两个锐角的关系 当堂练习 当堂练习 知识梳理 AB=DB. 1.D2.D3.A4.185.706 0互余©互余 1.C2.C3.654.AB∥DE5.解：在△ABC和△DBC中，AC=DC,∴.△ABC 15.1,2线段的垂直平分线 当堂炼习 CB=CB. 第【课时线段磨直平分线的性质与判定 1.B2.C3.63°4.①@05.解：(1)45(2)在△ABC中，∠ACB-180-∠A ≌△DBC(SSS)..∠A=∠D,∠ACB=∠IDCB,∠ABC=∠DBC,∠ABE 知识桩理 ∠DBE,,∠A=25.∠BCD=35,.∠ACB=∠BCD=35,∴∠ABE=∠A+∠ACB ∠B=180-30-60=90,CE平分∠ACB.∠BCE=∠ACE=号∠ACB=45 ①相等②垂直平分线 =25+35°-80°，∴.∠ABD=∠ABE+∠DBE=2∠ABE=2×60°=120. 当堂练习 CDLAB,∴.∠CDB=90.在Rt△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-60=30°， 第4课时尺规作图 1.A2.63.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90.,∠C=90°， .∠FCD=∠BCE-∠IDCB=45°-3G=15,在△CDF中，∠FCD+∠CDF=15'+ 当堂练习 ∠AED-∠C.:AD平分∠BAC.∠EAD-∠CAD.在△AED和△ACD中. 75=90,∴.∠CFD=90°，△CDF是直角三角形 1,解：(1)要从模具片中度量出边BC的长度，∠B及∠C的大小，就可以到店加工一 ∠AED=∠C, 13.3.2三角形的外角 块与期来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A'B'C“模其，因为两角及夹边对应 ∠EAD=∠CAD,.△AED2△ACD(AAS),,AE=AC.,AB=2AC,.AB 知识梳理 相等的两个三角形全等：(2)如图 2.(1)同位角相等，两直线平行 AD-AD. 0三角形的外角②(2)与它不相邻(3)30 2AE.,AB=AE+BE,AE十BE=2AE,BE=AE.义，DELAB,∴.DE是线段 当堂练习 AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上. 1.D2.B3.80°4.150°5.解：(1)∠ACD是△ABC的一个外角，∠A=35°， 第2课时线段垂直平分线的有关作图 ∠ACD=83,∴.∠B=∠ACD-∠A=83°-35=48"(2)：∠AFE是△BDF的一个 (2)沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为CD把纸片能平，继续沿点P 当堂练习 外角，∠B=48°，∠D=42°，.∠AFE=∠B+∠D=48+42°=0， 所在直线折叠，使点C落在折痕CD上，此时折照为EF把纸片网平，沿折痕画直线 1.A2.解：（之）(3)是轴对称图形，对称轴如图 第十四章全等三角形 EF在问一平面内，垂直于问一条直线的两条直线平行 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 14.1全等三角形及其性质 知识梳理 知识梳理 2) 3 0斜边一直角边斜边，直角边HI.⑨HI,SSS,ASA,AAS,SAS ①全等形全等三角形日对应顶点对应边对应角自相等相等 3.解：如图.直线，即为所求作的对称轴 当堂练习 当堂练习 1,D2.B3.①②③4.证明：DE⊥AC.BF⊥AC,.∠AFB=∠CED=90,在 L.A2.A3.5+.60°5.解：1)：△ACE2△DBF.∴∠A=∠D,AE∥DF: AB-CD. (2),△ACE≌△DBF,,AC=DB=6,.(CD=BD-EC=6-4=2,∴.AD=AC+CD R:△ABF和Rt△.CDE中， ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(Hl.)..∠BAF= BF=DE. =6+2=8. (1) (2) ∠DCE..AB∥CD +.解：如图，作线段AB的垂直平分线交BC于点P,交AB于点D,点P即为所求作的 14.2三角形全等的判定 14.3角的平分线 点.理由如下：由作图知PD为AB的垂直平分线，连接AP,则AP-BP.PA十PC 第1课时用“SAS”判定三角形全等 第1课时 角的平分线的性质 BP+PC-BC 知识梳理 知识梳理 0夹角边角边SAS⑧不一定 ©相等 当堂练习 当堂练习 15.2国轴对称的图形 1.D2.105”3.①4.解：(1)不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角“证明全 1,C2.C3,534.证明：：D为BC的中点，∴BD=CD,在△ABD和△ACD中， 第1课时画轴对称的图形 等，不满足证明全等三角形的条件，(2)AO=B).证明如下，：点P在∠AOB的平分线 AB=AC. 当堂练习 A=B), BD=CD,∴.△ABD≌△ACD(SSS).∠BAD=∠CAD,,AD为∠BAC的平分线. L.解：如图 2.解：(1)如图，△DE'F'即为所求作的图形：(2)如 上，∴.∠AOP=∠BOP.在△AOP和△BOP中，∠AOP=∠BOP,.△AOP≌ AD=AD. PO-PO. DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF △BOP(SAS). 第2深时角的平分线的判定 图.DM即为边EF上的高：(3)△DEF的面积为号×3×2~3. 第2课时用“ASA"或“AAS"判定三角形全等 知识梳理 知识梳理 0角的平分线上©相等 0夹边角边角ASA②对边角角边AAS 当堂炼习 当堂练习 1.A2.1253.40°4.证期：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,DG LAC,垂足分别为 第2课时用坐标表示轴对称 1.C2.D3.D4.E明：EDLAB.∠ADE=90.义∠ACB=90..∠ADE E,F,G,:BD平分∠ABC,DE-DF.同可得DF-DG,DE=DG..点D在 当望练习 ∠A=∠A. ∠BAC的平分线上，.∠BAD=∠CAD. 1.A2.A3,-2<a<2 ∠ACB.在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE..△ABC2△AED(AAS)..AE 第十五章轴对称 15.3等腰三角形 BC-ED. 15,1图形的轴对称 15.3.1等腰三角形 -AB,AC=AD.∴.AE-AC-AB-AD,即CE=DB 15.1.1轴对称及其性质 第1课时等腰三角形的性质 第3课时用“SSS”判定三角形全等 如识梳理 知识梳理 知识梳理 0互相重合对称轴⑨另一个图形：对称轴对称点目垂直平分④中点 0相等日底边上的中线高顶角平分线③轴对称底边上的中线顶角的平 相等边边边sSS 垂直垂直平分线 分线底边上的高 第52页（共60页） 第53页（共60页） 第54页（共60页） 当堂练习 当堂练习 第5课时单（多）项式除以单项式 1.C2.A3.B4.901.55.36°6.证明：，AB=AC,BD=CD.AD的延长线交 解：(1)原式=y·y1=y=y:(2)原式=3*=3“(3)原式= 知识梳理 BC于点E.∴.AE垂直平分BC,即DE⊥BC义：BD=CD,∴DE平分∠BDC 0系数同底数幂指数日每一项相加 第2课时等腰三角形的判定 式-3X3“×3×3-32+41*-3:(6)原式-x·(-x2)-x2·(-r2)--, 当堂练习 知识梳理 0相等②垂直平分规 +x2·2=-+=0:(7)原式=(x-2y)·(x-2y·(x-2y)=(r 解1)原式=-7y(2)原式=-了a,(3)原式=-32+2-1(4)原式= 当堂练习 2y)1+4=(x-2y)°：(8)原式=-·x·x21一2+4·2=-x+1+1-x 1.D2.23.1404.正明：：AE∥BC,,∠DAE=∠B,∠CAE=∠C:AE平分 一4mrp+(-2mfp)=2m:(5)原式-（号a8-司40）÷司8-06-1i ∠DAC,∴∠DAE=∠CAE,∴∠B=∠C,,AB=AC,∴△ABC是等最三角形. 16.1.2幂的乘方与积的乘方 (6)原式=2a÷(-2a6)=-6:(7)原式=4y十2xy-1:(8)原式=《一3a+1+ 5,解：△OEF是等腰三角形.理由如下，：BE=CF,∴，BE+EF=CF十EF,即BF= 知识楂理 3a2-1)÷3a-t=-a2+1. ∠A=∠D, 0:不变相乘②ab乘方相乘 16.3乘法公式 CE,在△ABF和△DCE中，∠B=∠C.∴.△ABF≌△IDCE(AAS),∴，∠AFB= 当堂练习 16.3.1平方差公式 BF=CE. 1.解：1)原式=一a1=-a‘:(2)原式=y+y·y=y十y=2y:(3)原式=(m 知识梳理 ∠DEC,∴，OE=OF,.△OEF是等楼三角形， )2·(m一)=(m一n).2.解：(1)原式=（一5）：2公=一125a2:(2)原式= a一房平方差 15.3.2等边三角形 (-1)产y=ry“:3)原式=42+9r-4产=9r2,3,解：(1)原式=[0125× 当堂练习 第1深时等边三角形的性质与判定 知识梳理 《-"=一”=e原武=（高）×（片）-（信×号）×号=r× 1.解：1)原式=4r-y:(2)原式=音r-25:(3)原式=(-1-4a)(-1+4a)= 日都相等60°自都相等0都相等6等腰三角形 号-1x号-号：3原式-8×（司）广-g×()广-9×[9×（司）门 当堂练习 （--（4a=1-16如40隙式=(-吉)(：+号)=r-奇2解：1原式 9×(-1》°=9×1=9. 1.D2.C3.C4.60°5.证明：△ABC是等边三角形，AB=BC=CA,∠A一 =(70-1)×(70+1D=70-12=4900-1=4899:(2)原式=(1000+7)×(1000-7) 16.2整式的乘法 ∠B=∠C-6O.AD=BE=CF,∴AB-AD=BC-BE=CA-CF,即AF=BD- =1000-7=1000000-49=9999511(3)原式=(100-1)×(100+1)+1=1002 CE,:∠A-∠B-∠C..△ADF≌△BED2△CFE(SAS).∴.DF-ED-FE. 第1课时单项式与单项式相乘 .△DEF是等边三角形， 如识梳理 r+1-1000-1+1-1000:4)原式-(10+号）)×(10-7)-102-（合）-100 第2课时含30角的直角三角形的性质 系数同底数幂指数 当堂练习 知识梳理 斜边的一半 解：(1)原式=-8xy2:(2)原式=3m2·4m=12m:(3)原式=426·（一a6) 16.3.2完全平方公式 当堂练习 一awc2:(4)原式=8a'6-4a=4u. 第1课时完全平方公式 1.C2.B3D+.85.证明：连接BE.”在△4BC中，∠C=90°，∠A=30, 第2课时单项式与多项式相乘 知识梳理 ∠ABC=90”一∠A=90°-30”=0R,:DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE, 知识梳理 a2+2b+a-2ab+公平方和积的2倍 ∠ABE-∠A-30'..∠CBE-∠ABC-∠ABE-60-30°-30°，∴在Rt△BCE ①十mb十m分配B母一项相加 当堂练习 中，BE=2CE.AE-2CE 当堂练习 综合与实践最短路径问题 解：(1)原式=-5a十3a2份：(2)原式=4m对·(6mn-1)=24mm一m行：(3)原 上.解：)原式=子-2y+y(2)原式=(3m十n=9m+24m+16m:(3)原式 当堂练习 式=-分+a8-号ah:(4)原式=号y·(2r-4y+7y)=号ry-9ry =+6+40原式=(+2y+y)-4r-y)=r+2y+y-+ 1.B2.103.解：如图，作点E关于BC的对称点E,连接FE,交BC于点M,连接 EM,EF,则点M即为所求作的点 4,解：如图，①作点A关于1的对 +Ery. 4y2=-3x+2xy十5y,2.解：(1)原式=(200+2)3=200+2×200×2十2= 10000+800+4=40804:(2)原式=(1-0,02)2=1-2×1×0.02+0.02=1-0.04 第3课时多项式与多项式相乘 十0.0004=6.9604：(3)原式=-(20-0.3)1=-(202-2×20×0.3+0.3)--400 知识梳理 +12-0.00=一388.09：(4)原式=(100+1)+(100-1)=100+2×100×1+1+ 每一项每一项相加 100-2×100×1+12=10000+200+1+10000-200+1=20002. 称点A,再作点A关于：的对称点A②连接AA+交于点D,交1于点E,连接 当堂练习 AD:AE.此时AD+DE+EA最小 解，(10原式=-12xy+16.-9y+12ry2=16x2-9y,(2)原式=20y-4y-5+y 第2课时添括号法则 =-4y+21y-5(3)原式=6x2-42-2r十3x2-2x-1=6x-x2-4r-1:(4)原式 知识梳理 =e3十a+-a2h-ab一-a3-, 不变改变 第4课时同底数暴的徐法 当堂练习 第十六章整式的乘法 如识梳理 1.D2.C3.D4.(1)26-e(2)2h-c-d5.解：(1)原式-[(x+y)+2][(r十y 16.1幂的运算 0a·不变相减9011 一2]=(x+y)-4=X2+y2+2xy-4:(2)原式=[1-(a-6)][1+(g-b)]=1-(a 16.1.1同底数幂的乘法 当堂练习 b)=1-w2-+2a:(3)原式-[(2r+y)-3]=(2r+y)-2×3×(2r+y)+3= 知识梳理 解：(1)原式=a'(2)原式=一(y一x)÷(y-x)=一(y-r》,(3)原式=x“:(4)原式 4x2+4ry+y-12x-6y+9(4)原式=[(d+2b)-2P=(a+2h)-4(a+2b)+2= a4+·不变相加 =x·x=x, a+4+4ab-4a-8b+4, 第55页（共60页） 第56页（共60页） 第57页（共60页）