第14章 全等三角形综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（沪科版2024）

=13.△ABC的三边长分别为4,4,13.，4+4=8<13，不能构成三角形，，这种情 价是30元，B款保温杯每个的售价是40元.(2)设购买A款保温杯x个，则购买B款 ∠E=∠DB, 况不存在.综上所途，腹长AB为10,22.(1)解：()B⊥OD,理由如下：A0平分 保温杯(120一x)个，利涧为元.根据题意，得=(30一20)x十[40×(1一10%) △DEF和△DB中，∠EDF=∠CDB.,△DEF≌△DCB(AAS),.DE=DC ∠BAC,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.∠OAC=7∠BAC∠OBD=2∠ABC, 20门120一r)一一6x+1920.,A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍， EF-CB. ∴r≥2(120一r),解得80.：一8<0.∴.批随r的增大而或小.∴.当x=80时，取 (2)解：∠FGE+∠ABC=90,理由如下：DC=DE,,CE=2DC.AG=2DC,,AG ∠0CA=2∠ACB.∴∠A0C=180°-∠0AC-∠0CA=180-(∠BAC+∠ACB 得最大值，此时w=一6×80+1920=1440,120一F=40,答：当购买A款保温杯80 EF=CB. 个，B款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利胸是1440元， =CE,∴.AG+CG=CE十(G,即CA=EG,在△FEG和△BCA中，∠E=∠ACB. =180°-(180°-∠ABC)=90°+7∠ABC=90°+∠0BD.∠0DC=∠A0C, 23.解：(1)如图①，延长BD,交AC于点E,则∠DEC=∠A+∠B,∠BDC=∠DEC+ EG-CA. ,∠ODC=90+∠OBD.∴.∠ODC-∠OBD=90°，即∠BOD=90°.∴.(OB⊥OD.(2)证 ∠C,∴.∠BDC=∠A+∠B十∠C..∠BDC=80°+20°十30°=130°.(2)由折叠可知， .△FEG≌△BCA(SAS)..∠FGE-∠A.:∠ACB=90,.∠A+∠ABC-90 ∠A-∠DOE,∠B-∠EOF.∴∠DOF-∠DOE+∠FOE-∠A+∠B-180°-∠C .∠FGE+∠ABC=90,23.解：(1)SAS(2)如图②，延长AM到点G,使得MG 明：BO平分∠ABC,BF平分∠ABE,∴∠ABF=号∠ABE,∠ABO=立∠ABC 由(1)知∠D0F=∠C+∠CD)+∠CF0=∠C+72°，.∠C+72=180°-∠C..∠G AM,违接BG,延长MA交ED于点F,同(》可得△AMC≌△GMB(SAS),∴，∠G ∠CAM,∠ACB=∠GBM,AC=GB.,∠BAM+∠ABG+∠G=180,∴，∠BAM4 ·∠FBO=∠ABF+∠ABO=2（∠ABE+∠ABC)=90,由(2)，得∠BOD=90', =54.(3)∠E=(∠B-∠C).理由如下：如图@，设AE.BD交于点E,由(1)知 ∠ABG+∠CAM=180".∴.∠BAC+∠ABG=180°.∠BAE=∠CAD=90. ∴.∠FBO-∠BOD.∴.BF∥OD,23.解：(1)∠A+∠B=∠C+∠D(2):AP,CP ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.'DE平分∠BDC,·.∠BDE=2∠BDC=号（∠BAC ∴∠BAC+∠EAD=180.∴∠ABG=∠EAD.AC=AD,AC=GB,六AD=BG.在 分别平分∠BAD,∠BCD.∠BAP=∠DAP,∠BCP=∠IDCP.由(I)可得∠BAP+ AE=BA, ∠B=∠BCP+∠P①，∠DAP+∠P=∠DCP+∠D②.①-②，得∠B-∠P=∠P +∠B+∠O.“AE平分∠BAC,∠BAE-是∠BAC.'∠BFE-∠BDE+∠E- △DAE和△GBA中，：J∠DAE-∠GBA.∴.△DAE2△GBA(SAS),∠BAG 一∠D,即2∠P=∠B+∠D=50∠P=25.(3)2∠P=∠B+∠D.理由如下 AD=BG. CP,AG分别平分∠BCE,∠FAD,∴，∠EP=∠PCB∠FAG=∠GAD.:∠PAB ∠BAE+∠B.∠E-∠BAE+∠B-∠BDE=∠BAC+∠B-（∠BAC+∠B ∠AED.”∠BAG十∠EAF=90°..∠AED十∠EAF=0',.∠AFE=180° =∠FAG,.∠GAD=∠PAB.,∠P+∠PAB=∠B+∠PCB,,∠P+∠GAD=∠B (∠AED+∠EAF)一90°，∴.AMLDE.(3)如图③.延长AM到点H,使得HM-AM, +∠PCB③，，∠P+∠PAD=∠D+∠PCD,.∠P+(180°-∠GAD)=∠D+(180 +∠C=2(∠B-∠C. 连接CH,延长CH交AE于点I,同(1)可得△BAM2△CHM(SAS),.CH=AB ∠ECP)④.十④，得2∠P-∠B+∠D. AE.∠HCM=∠ABM.:∠BAE=90,∠BCA+∠CAE+∠BAE+∠ABC=180, 期中综合评价 .∠BCA+∠CAE+∠ABC=90,∠BCA+∠CAE+∠HCM=0,·∠CAE+ 1.B2.C3C4.D5.B6.A7.C8.B9.C10.D11,312.a=-5(答案 ∠ACI=90.∠CAE+∠EAD=90°，∴∠ACI=∠EAD,即∠HCA=∠EAD.在 (CH-AE, 不唯一）13.120°14.(1)7(2)3，一4)或(-9.12)【解析】1)将x--3代人为 △HCA和△EAD中，，∠HCA-∠EAD,∴.△HCA≌△EAD(SAS),.DE-AH. 一-等0，得为-4C(-3).将C(-3.D代人y-+6.得-3+6-4.解得6-7 第14章综合评价 AC=DA. 1.D2.D3.A4.D5.D6.B7.B8.B9.C10.A1L.35°12.AC-DF AH=2AM.∴.DE-2AM. (2)由1)知=x+7.当x=0时y=7,B(0.7).0B=7.设P(e,-言）yPQ (答案不唯一)3.65”1+.(1)2(2)号15.解：在△ABD和△ACD中， z轴Q(-亭a-,-Q=。-(音-7)=号a+7PQ AB=AC, 20B=14,了a+7=14,得a=3或a=-9.P(3,-4)或P(-9,12) AD=AD,△ABD2△ACD(S55).∠B=∠C=23.16.解：(1)'△ABC2 BD-CD. 15.解：点Q(a,2一3e)在第二象限且到两坐标轴的距离之和为10，.一u十2一3u= △DEB,,BE=BC=3.∴，AE=AB-BE=6-3=3.(2)△ABC2△DEB,∴，∠DBE 10,解得a=一2.∴.2一3=B.点Q的坐标为（一2,8）.16.解：由题意，得平移后的 =∠C=55..∠AED=∠DBE+∠D=55°+25°=80°.17，证明：：AC∥BE, 函数表达式为y=一4x一3，把P(a,6一a)代入y=一4r-3,得6-u=一4-3，解得4 .∠ACB=∠DBE.:∠ABE=∠ABC+∠DBE. 图 图③ 2+2<8+22 ∠CDE=∠DEB+∠DBE,∠ABE=∠CDE,·∠ABC=∠DEB.在△ABC和△DEB 第15章综合评价 =-3.∴6一公=9..点P的坐标为（一3,9）.17.解：(1)由驱意.得 2+2>22-8, I∠ACB=∠DBE, 1.C2.A3.C4.C5.B6.C7.A8.B9.D10.B11.k12.213.6 解得6<a<14.(2)若△ABC为等厦三角形，则BC=8或22.8+8-16<22.不能构 中，BC=EB. .△ABC≌△DEB(ASA)..AB=DE. 18.解：任务一： 成三角形，不合题意，.22.∴.△AC的周长为22+22+8=52.18.解：(1)如图所 14.1120(2)46或90°【解析】()由圈意可得，∠A=∠B=180∠AC ∠ABC=∠DEB, 示 (2)10(3)如图所示.19.解：(1)如图所示. ①两直线平行，内错角相等②二任务二：：AB∥DE,∴.∠A=∠D.,AF=DC, 180=120'=30.又：PD∥BC.:∠ADP=∠ACB=120,∠B=∠APD=30, 华馆 AB-DE. 忆不微 ∠MPN-30°..∠BPC-180°-∠APD-∠MPN-180°-30°-30°-120°.放答案 .AF+FC-DC+FC.即AC-DF.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D.∴.△ABC 为120，(2)情况-：当PC=PD时，.∠PCD=∠PDC,∠MPN=30,∴.∠PCD AC=DF. 2△DEF(SAS).∴.∠B=∠E.19.解：CE⊥OA,DF⊥OA.∴.∠CEO=∠OFD= ∠PDC=180-MPy=18030=75.六∠1=∠ACB-∠PCD=120-75= 90.∠C0E+∠(OCE=90.∠COD=90'..∠COE+∠DOF=90',.∠OCE= 45:情况二：当CD=PD时，∠MPN=30°，∴.∠PCD=∠MPN=30,.∠1=∠ACB (2)∠B-30°，∠ACB-110,.∠BAC=180°-∠B-∠ACB-40.AD平分 ∠(OCE=∠DOF, -∠PCD-120°-30°=90：情况三：当CD-PC时，∠MPN-30°，.∠PIDC- ∠BAC.∴∠BAD=号∠BAC=20.∠ADE=∠B+∠BAD=50.AE是BC边 ∠DOF,在△COE和△(ODF中，，∠OEC-∠DFO,.△(E2△ODF(AAS), ∠MPN=30°..∠PCD=180°-2∠PDC=180°-2×30°=120，不符合题意，舍去.故 上的高..∠E-90.∠DAE-90°-∠ADE-4020.解：(1)A(0,3).A'(-3,0)· OC-DO. 容案为45或90°，15，证明：，AB∥CD,∠DFE=∠A=60°，：∠DFE=∠C+ △A'BC是由△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的. ,OF=CE=l.4m,OE=DF=1.8m,.EF=OE-OF=0.4m.容：F,E两点的高度 ∠E,∠C=30,∴.∠E=30°.，∠C=∠E,.CF=EF,.△FCE是等腰三角形. (2)由题意，得a-一2-3=2a一7,2b-3-3=9一b.解得a=2,6=5.(3)421.解±任务 1,l,5m任务2：设4与m的函数关系式为=km1+h.当m1=0时，l4=1,5:当 差即FE的长为.4m20,证明：在R△ADC和R△AFE中，：AC-AE 16.解：：△BDE是等边三角形，∴∠DBE-G0.BE⊥AC.∠BEA=90.∴∠A AD-AF. 90-∠DBE=30.:∠C=∠ABC.∠C=180,∠4-75.17.解：)知图。 =5.代人数据，得.5，解得65，之0B长度4与 R△AC≌R△AFECHI.C=EE.在R△ABD和R△ABF中，：DAE, △ABC即为所求. (2)如图，△A:B,C:即为所求，(3)(a十6， m1的函数关系式为一3m+1.5。任务3：由题意，得该杆秤上OB的长度最大为34一 ,Rt△ABDOR△ABF(HL)..BD-BF..BD-CD=BF-EF,即BC-BE. 2.5=31.5(cm).由任务2，得1：=3m+1.5,令4=31.5，得3.5=3m,+1.5,解得m1 21.解：(1)②③(2)CE∥AB,∴.∠A=∠E.∠B=∠C.在△BDA和△CDE中， =10.容：该杆科称量重物的最大量程为10kg,22.解：(1)设A款保温杯每个的售价 ∠A=∠E, 是：元，则B散保杯每个的售价是a+10)元.根影驾意，利。4。一，解得a=30, :∠B-∠C,.△BDA2△CDE(AAS),.AB-CE-20m.22.(1)证明：EF BD-CD. 经检验，a=30是原分式方程的解，且符合题意.，十10=40.答：A款保温杯每个的售 AE,∴：∠E=00,,∠ACB=00°，∠DB=180°-∠ACB=90°，∴.∠E=∠DCB.在 第31页（共48页） 第32页（共48页） 第33页（共48页）第14章综合评价 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线，BE=CF,则下16.如图，已知△ABC≌△DEB,点E在AB上，AC与BD交于 列结论错误的是 点F,AB=6,BC=3,∠C=55,∠D=25. (时间：120分钟满分：150分) A.∠EDA=∠FDA B.BD-CD (1)求AE的长： 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） C.DB=DF D.AD I BC (2)求∠AED的度数. 1.下列图形是全等图形的是 D (第9题图) (第10题图) (第11题图) 2.如图，△AOD≌△BOC.若OC=3,则CD的长是 10.如图，AB=6cm,AC=BD=4cm,∠CAB=∠DBA=60°，点 A.3 B.4 C.5 D.6 P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为1s, I7.如图，点D在△ABC的边BC上，BC=BE,AC∥BE,∠ABE= 在某一时刻，以A,C,P三点为顶点的三角形与以B,P,Q三 ∠CDE.求证：AB=DE. 角形文果 点为顶点的三角形全等，则点Q的运动速度为 () (第2题图) (第3题图】 (第4题图) A1或号cm/ B.1或号cm/s 3.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种 D.1 cm/s 方法应用的几何原理是 C.2或若cm/s A.三角形的稳定性 B.两点之间，线段最短 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 11.如图，△CAE≌△EBD,CA⊥AB,且∠ACE=55,则∠BDE 4.如图，CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,CD=EF.若要根据“HL” 的度数为 证明Rt△ACD≌Rt△BEF,则还需要添加的条件是( ) 12.如图，已知△ABC和△DEF,点B,C,F,E在同一条直线上， A.∠A=∠B B.∠C=∠E ∠1=∠2，BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需添加一个条件， 18.如图，AB∥DE,AB=DE,点C,F在AD上，AF=DC C.AD-BF D.AC=BE 则这个条件可以是 ,(写出一个即可) 求证：∠B=∠E 5.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB 小虎同学的证明过程如下： 是一个任意角，在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺，使 证明：，AB∥DE,∴∠A=∠D.(第一步) 角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合，过角尺顶点C作射 AB=DE. 线OC.由此做法得△MOC≌△NOC的依据是 ( ) 在△ABC和△DEF中，：∠A=∠D, A.AAS B.SAS C.ASA D.SSS AF=DC. (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，在△ABC中，∠B=∠C=65°，BD=CE,BE=CF,则 ∴·△ABC≌△DEF(SAS).(第二步) ∠DEF的度数是 ∴.∠B=∠E.（第三步) 14.如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD,交AD 任务一： 的延长线于点E,过点C作CF⊥AD于点F,在DA的延长线 ①以上证明过程中，第一步的依据是 (第5题图) (第6题图) (第8题图) 上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD. ②从第步开始出现错误： 6.如图，AO=BO,CO=DO,AD与BC相交于点E.若∠O=40°， (1)若BE=2,则CF的长为 任务二：请写出正确的证明过程。 ∠B=25°，则∠ADB的度数是 ( ) A.90° (2)mE的值为 B.65° C.75 D.85° S△AG 7.根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是( 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） A.∠A=50°∠B=60°，∠C=70 15.一个风筝骨架的示意图如图所示，其中AB=AC,BD=CD B.∠A=50°，∠B=50°，AB=5cm ∠C=23°，求∠B的度数. C.AB=5cm,AC=4cm,∠B=30° D.AB=6 cm,BC=4 cm,A=30 8.如图，在△MPV中，H是高MQ和NR的交点，且PM=HV, 已知MH=3,PQ=2,则PN的长为 A.5 B.7 C.8 D.11 第1页（共6页） 第2页（共6页） 第3页（共6页） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 续表 八、（本题满分14分） 19.如图，地面上有一根旗杆AO,小明两次拉住从顶端垂下的绳 23.基础研究： 如图①，测量员在地面上找一点如图②，测量黄在地面上我 子OB到OC,OD的位置(OC,OA,OD在同一平面内)，测得 C,在BC连线的中点D处做好 一点C,沿着BC向前走到 (1)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在 ∠COD=90°，且C,D两点到OA的水平距离CE,DF分别为 测量 标记，从点C出发，沿着与AB点D处，使得CD=AC,沿 △ABC中，若AB=4,AC=3.求BC边上的中线AD的取 L.4m和1.8m,求F,E两点的高度差即FE的长. 说明 平行的直线向前走到点E处，着AC向前走到点E处，使 值范围.小海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方 使得点E与点A,D在一条直线得CE=BC,测出D,E两点 法：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,则得到 上，测出CE的长度 之间的距离 △ADC≌△EDB,小海证明△ADC≌△EDB用到的判定 C(B 测量 AC=CD.BC=CE,DE= 定理是： (用字母表示)： 结果 CE=20m,BD=CD.CE∥AB 20m 问题解决： (2)如图②，以△ABC的边AB,AC为边向外作△ABE和 (1)经过同学们的讨论及老师的点评，同学们认识到两种方案 都是利用三角形全等测量水潭的宽度，我们学习了以下三 △ACD,AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠CAD=90°，M是 角形全等的条件：①SSS;②ASA或AAS:③SAS,请选择 BC的中点，连接AM,DE.求证：AMDE: 一个序号说出上述两种方案分别应用了哪种三角形全等 拓展应用： 的条件？ (3)将上述图形中的某一个直角三角形旋转，如图③，△ABE与 答：方案一 ,方案二： △ADC均为等腰直角三角形，∠BAE=∠DAC=90°，连接 (2)请写出方案一计算水潭的宽度AB的过程. BC,DE.若M为BC的中点，连接AM,求证：DE=2AM 20.如图，AD,AF分别是△ABC和△ABE的高，已知AD=AF, AC=AE.求证：BC=BE. 图③ 七、（本题满分12分） 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长AC至点E,过点E 作EF⊥AE,使EF=BC,连接BF,交CE于点D. (1)求证：DE=DC: (2)若G是AC上一点，满足AG=2DC,连接FG,请你判断 六、（本题满分12分） ∠FGE和∠ABC的数量关系，并说明理由. 2L.某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 【项目主题】测量某水潭的宽度。 【问题驱动】能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 【组内探究】由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助 一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板、米尺、测角 仪、平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测 量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水 潭的宽度。 【成果展示】下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案一 方策二 测量示 意图 图① 图 第4页（共6页） 第5页（共6页） 第6页（共6页）