精品解析：江苏省江阴市第一中学、青阳中学2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷

江阴一中、青阳高中2025-2026学年度第一学期期中试卷 高二数学 2025.11 命题人：邵炎清 审核人：王士勇 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】因为直线，所以斜率为. 因为该直线的倾斜角为，，所以. 所以 故选：D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由坐标平面内的射影,不变，求出点B坐标，再求即可. 【详解】由于点是点在坐标平面内的射影，则， 则， 故选：B. 3. 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：D 4. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解. 【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 5. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先求两圆公共弦所在的直线方程，再用“几何法”求直线与圆相交所得的弦长. 【详解】圆： ①，所以，. 圆： ②，所以，. 因为，所以圆与圆相交. 因此公共弦所在直线的方程为①②：， 圆的圆心到公共弦的距离为， 即公共弦长为. 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与圆交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得点在圆上，得到为圆内接等边三角形，过点作，求得的长，即点到直线的距离，利用点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由点满足的方程，所以点在圆上， 又因为直线与圆交于两点， 因为点都在圆上，所以为圆的内接等边三角形， 又由圆的半径为，所以边长为， 过点作，垂足为，在等边中，可得， 即点到直线的距离为，所以， 整理得，解得或， 当时，此时，可得圆心到的距离为， 满足，此时直线与圆相交，符合题意； 当时，此时，可得圆心到的距离为， 满足，此时直线与圆相离，不符合题意，舍去， 综上可得，实数的值为. 故选：A. 7. 已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆的定义可知的周长为 ，设三角形内切圆半径为 ，所以的面积，整理得，又，故得椭圆的离心率为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义、性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据三角形的面积可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率． 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知，求得平面的一个法向量和直线l的一个方向向量，即可得解． 【详解】因为平面的方程为 ， 所以平面的法向量可取 . 同理，平面的法向量可取  ，  平面 的法向量可取  ， 设平面  与  交线的方向向量为  ， 则  ，令  ，则  ，  ，所以  . 设直线 l 与平面 所成角为， 则 ， 所以直线l与平面所成角的正弦值为 . 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C. 若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D. 若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量基底的意义，逐项判断得解. 【详解】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 10. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 当时， C. ，则的面积为 D. 直线与直线斜率乘积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，结合使用向量工具和不等式的基本性质得到矛盾，从而否定A；根据已知条件，通过解方程组求解，判断B；利用椭圆的定义，结合余弦定理，三角形的面积公式计算，可以判定C正确；利用直线的斜率公式，结合椭圆的方程计算验证D正确. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，. 焦点 ，；顶点 ，. 设点  在椭圆上运动，满足椭圆方程. 选项 A： 设 ，则向量 ，. 若 ，可得，即 显然此时圆都在椭圆 内部，因此不存在满足条件的 ，选项 A 错误； 选项 B： 由  可知  与  同横坐标，即. 代入椭圆方程，解得即， 因此 ，所以选项 B 正确； 选项 C：  设 ，，则 ，. 在  中，由余弦定理得 整理可得 ，所以 因此，即选项 C 正确； 选项 D：斜率 ，， 所以 由椭圆方程，得 代入 因此斜率乘积恒为 ，选项 D 正确. 故选： BCD. 11. 已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积的最小值为 B. 最小时，弦长为 C. 最小时，弦所在直线方程为 D 直线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】利用和等面积法判断AB；设，，，利用两条切线方程联立得到直线关于的方程，求出最小时点坐标代入即可判断C；由含参直线方程过定点的求法计算D即可. 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 对于AB，四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离，所以， 此时，A正确； 又，所以此时，B错误； 对于C，设，，， 则过作圆的切线，切线方程为：， 过作圆的切线，切线方程为：， 又为两切线交点，所以， 则两点坐标满足方程：， 即方程为：； 当最小时，，所以直线方程为：， 由得，即， 所以方程为：，即，C错误 对于D，由C知：方程为：； 又，即， 所以方程可整理为：， 由得，所以过定点，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先计算、的坐标，利用空间向量共线定理即可求解. 【详解】因为，，， 所以，， 因为空间三点，，在一条直线上， 所以，即解得， 所以实数的值是， 故答案为：. 13. 已知两条平行直线，之间的距离为，则 ______. 【答案】或4 【解析】 【分析】根据直线平行求得，再结合两平行线间距离公式列式求解即可. 【详解】因为直线与平行， 则，解得，此时直线即， 又因为与的距离为，则，即，解得或， 经检验或时，两直线平行不重合，故或. 故答案为：或4. 14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据蒙日圆的定义得到点的坐标，即可得到直线的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点，最后计算面积求比值即可. 【详解】由题意得蒙日圆为，则，， 直线的方程为：， 联立得， ， 解得，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求经过三点的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两条直线得点，由C与A关于点M对称得，由与垂直，得边所在直线的方程； （2）经过三点的圆即为矩形的外接圆，计算即可求解. 【小问1详解】 由，得，则， 因为矩形两条对角线相交于，所以C与A关于点M对称， 设，所以，得，则， 因为边所在直线的方程为，斜率为， 因为与垂直，所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，即； 【小问2详解】 经过三点的圆即为矩形的外接圆， 所以圆心为，半径为 所以圆方程为. 16. 如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，. （1）求证：平面平面PQR ； （2）若=1，求直线间的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量即可证明； （2）由空间向量可得//，再利用向量法求点到线的距离即可. 【小问1详解】 以为空间直角坐标系基底建系，设， ， 所以 设平面的法向量为 ， 得，即， 则取， 同理可得平面的法向量为， 则， 即//， 所以平面平面 【小问2详解】 当时， ，, 则// ， 故直线，间的距离即为到直线的距离， =. 17. 设是圆上的动点，点是在轴上的射影，为中点， 直线过点，且斜率为 . （1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）求直线关于原点对称的直线方程； （3）在（2）的条件下，直线与轨迹E的交点分别为(四点顺时针排列)，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先设，，得到，，再代入求解即可. （2）根据题意得到直线，过点，斜率为，即可得到答案. （3）根据题意得到，直线之间的距离，再求面积即可. 【小问1详解】 设，，则，如图所示： 所以，即 将代入得：，即. 【小问2详解】 直线过点，且斜率为， 则直线关于原点对称的直线，过点，斜率为， 直线：，即 【小问3详解】 如图所示： ，则，， ， 直线，即，直线 直线之间的距离， 则四边形的面积. 18. 在四棱锥中，已知底面是直角梯形，，，平面平面，且，. （1）证明：平面； （2）当时，求异面直线，所成角的余弦值； （3）是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得平面，根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法计算求解即可； （3）根据面面垂直向量法计算求解即可. 【小问1详解】 取的中点，的中点，连接，， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知分别为的中点，， 所以， 因为，所以， 所以，，两两垂直， 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设长度为1个单位长度， 则，，，， 当时，为的中点，则， 因为，， 设异面直线，所成角的， 则； 【小问3详解】 ，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量可以为， 因为，，， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则， 所以平面的法向量可以为， 若平面平面， 则，解得， 所以当时，平面平面. 19. 已知椭圆：的离心率为，点是上一点. （1）求椭圆的方程： （2）过右焦点作直线交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值?若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在定点，使得． 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上点的坐标列方程组求得得椭圆方程； （2）当直线斜率不为0时，设其方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，假设存在定点满足题意，计算（代入韦达定理的结论化简），由它是与无关的代数式求得值．再检验此点对直线斜率为0时也满足，即得结论． 【小问1详解】 由题意，解得，椭圆方程为； 【小问2详解】 由（1）知，， 当直线斜率不为0时，设其方程为，设， 由得． ，， 假设存在定点满足题意， ， 要使此值与无关，则，解得， ， 当直线斜率为0时，不妨设，，当坐标为时，， 综上所述存在定点，使得． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆的定值、定点问题，属于难题．解题时主要是由题中一个量（本题是数量积）与参数无关，解决此类问题，关键是要选定一个参数（参数可以是直线的斜率、截距，可以是动点坐标等），使用参数表示题中变化的量，再用这些变化的量表示题中不变的量，求得与参数无关，完成求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江阴一中、青阳高中2025-2026学年度第一学期期中试卷 高二数学 2025.11 命题人：邵炎清 审核人：王士勇 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在斜三棱柱中，为中点，为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 4 6. 在平面直角坐标系中，已知点，直线与圆交于两点，若为正三角形，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为椭圆：上一点，是椭圆的两个焦点，如的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. 8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间一个基底，则共线 C. 若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D. 若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 10. 已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在使得 B. 当时， C. ，则的面积为 D. 直线与直线斜率乘积为定值 11. 已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积的最小值为 B. 最小时，弦长为 C. 最小时，弦所在直线方程 D. 直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是___________ 13. 已知两条平行直线，之间的距离为，则 ______. 14. 已知椭圆任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆的离心率为，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH的面积的比值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求经过三点的圆的方程. 16. 如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，. （1）求证：平面平面PQR ； （2）若=1，求直线间的距离. 17. 设是圆上动点，点是在轴上的射影，为中点， 直线过点，且斜率为 . （1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程； （2）求直线关于原点对称的直线方程； （3）在（2）的条件下，直线与轨迹E的交点分别为(四点顺时针排列)，求四边形的面积. 18. 在四棱锥中，已知底面是直角梯形，，，平面平面，且，. （1）证明：平面； （2）当时，求异面直线，所成角的余弦值； （3）是否存在实数，使得平面平面，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：的离心率为，点是上一点. （1）求椭圆的方程： （2）过右焦点作直线交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在点M，使为定值?若存在，求出点M的坐标及该定值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $