第1节 匀速圆周运动快慢的描述（导学案）物理鲁科版必修第二册

第1节 匀速圆周运动快慢的描述（导学案）（解析版） 1. 理解匀速圆周运动的定义及“速率不变、方向时刻变化”的特点； 2. 掌握线速度、角速度、周期、频率、转速的定义、单位及物理意义； 3. 熟练推导并应用核心公式（v=rω、f=1/T），能解决皮带、齿轮等传动问题； 4. 独立完成“探究线速度与角速度的关系”实验，能分析实验数据和误差来源。 教学重点： 1. 匀速圆周运动的定义及特点； 2. 线速度、角速度、周期等物理量的定义与单位； 3. 核心公式及传动问题的应用。 教学难点： 1. 线速度方向“沿圆周切线方向”的理解； 2. 不同传动方式中物理量的关系分析； 3. 弧度制与角速度的关联应用。 【知识回顾】 1. 曲线运动的速度方向：沿曲线在该点的 ，因此曲线运动一定是 ； 2. 匀速直线运动的描述：用速度（矢量，大小和方向都不变）描述快慢和方向； 3. 圆的基本性质：圆的周长 （r为半径），圆心角与弧长的关系 （φ为弧度制角度）。 【自主预习】 1. 匀速圆周运动的定义：物体在 时间内通过的弧长都 的圆周运动； 2. 描述圆周运动快慢的物理量可能有： 、 、 等（猜想）； 3. 线速度的方向可能沿 ，角速度是描述物体 的物理量（猜想）。 探究一：匀速圆周运动的定义与特点 1. 定义梳理 结合生活实例（钟表指针、圆盘转动），总结匀速圆周运动的核心特征： 1. 运动轨迹： 2. 速率特点： （相等/不相等）； 3. 方向特点： （不变/时刻变化）； 4. 运动性质： （匀速/变速）曲线运动。 2. 结论 匀速圆周运动是 不变、 时刻沿切线变化的变速曲线运动。 探究二：描述匀速圆周运动的物理量 1. 线速度（v） 探究内容 具体分析 定义推导 类比匀速直线运动的速度（v=s/t），圆周运动中用“弧长s”替代“位移”，定义v=s/t 方向判断 观察砂轮打磨金属时火星的飞出方向、转动雨伞时水滴的运动方向，得出：线速度方向沿 单位与物理意义 单位：m/s；物理意义：描述物体沿圆周 的快慢 矢量性 线速度是 （矢量/标量），其大小不变但方向时刻变化 2. 角速度（ω） 探究内容 具体分析 定义推导 从“转动角度”维度描述，定义为半径转过的角度φ与时间t的比值，即 单位 国际单位： （rad/s），补充：1rad是弧长等于半径时的圆心角（1rad≈57.3°） 物理意义 描述物体绕 转动的快慢 矢量性 角速度是 （矢量/标量），无方向（高中阶段不讨论方向） 3. 周期（T）、频率（f）、转速（n） 物理量 定义 关系 单位 物理意义 周期（T） 物体运动一周所用的时间 f=1/T；n=f（n单位为r/s时） s T越短，转动越 频率（f） 单位时间内运动重复的次数 Hz f越高，转动越 转速（n） 单位时间内转过的圈数 r/s、r/min 生产生活中常用（如电机转速） 探究三：核心公式推导与应用 1. 线速度与角速度的关系（v=rω） 推导过程： · 物体做匀速圆周运动，一周的弧长 ，周期为T，则线速度 · 一周的圆心角φ=（弧度制），则角速度 · 联立两式，消去T，得 2. 公式理解与应用 前提条件 结论 实例 r一定时 v与ω成 同一圆盘上不同半径的点，转速越高（ω越大），线速度越大 ω一定时 v与r成 共轴转动的两个齿轮，半径越大，边缘线速度越大 v一定时 ω与r成 皮带传动的两个轮子，半径越大，角速度越小 3. 传动问题分类解析 传动类型 核心特点 公式应用思路 皮带传动（不打滑） 两轮边缘 相等（v1=v2） 由v=rω得： 齿轮传动（相互啮合） 两轮边缘 相等（v1=v2） 与皮带传动规律相同（啮合时无相对滑动） 共轴转动 各点 相等（ω1=ω2） 由v=rω得：；T1=T2 探究四：实验探究——线速度与角速度的关系 1. 实验目的 验证线速度与角速度的关系v=rω。 2. 实验器材 圆盘实验装置、打点计时器、刻度尺、停表、纸带。 3. 实验步骤 ①组装装置：将纸带固定在圆盘边缘，调整圆盘半径为r1，确保装置能匀速转动； ②测量数据： 1. 启动圆盘，同时接通打点计时器，记录一段时间t内的纸带点迹； 2. 测量纸带上连续n个点之间的弧长s1，计算线速度v1=s1/(t)（t为n个点的时间间隔）； 3. 测量圆盘转动的周期T（记录圆盘转10圈的时间，求平均值），计算角速度ω=2π/T； ③改变半径：将圆盘半径调整为r2，重复步骤2，记录v2； ④数据处理：计算r1ω和r2ω，对比与v1、v2的关系，验证公式。 4. 误差分析 · 误差来源：① 纸带点迹测量的偶然误差；② 圆盘转速不稳定；③ 装置摩擦导致的速率损失； · 改进建议：① 多次测量取平均值；② 选用精度更高的刻度尺；③ 调整装置，减少轴的摩擦。 例题解析 例题1：皮带传动问题 题目：如图所示，皮带不打滑，大轮半径R=0.4m，小轮半径r=0.2m，小轮角速度ω=10rad/s，求大轮的角速度、周期及大轮边缘的线速度（g=10m/s²）。 解题步骤： 例题2：齿轮传动问题 题目：相互啮合的两个齿轮，大齿轮半径R1=0.3m，小齿轮半径R2=0.1m，大齿轮转速n1=60r/min，求小齿轮的角速度和转速。 解题步骤： 一、单选题 1．物体做匀速圆周运动的过程中，下列物理量发生变化的是（　　） A．加速度 B．速率 C．角速度 D．周期 2．质点做匀速圆周运动，则（　　） A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同 B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等 C．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 D．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同 3．某同学荡秋千过最低点时，如图所示，绳上两点的角速度分别为、，线速度分别为、，则（　　） A． B． C． D． 4．儿童自行车传动系统如图所示，、和分别是自行车大齿轮、小齿轮和后轮边缘上的三个点，三点到对应转轴的距离之比为，当整个装置匀速转动时，a、b、c三点的线速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 5．每天到了中午，很多同学会因为肚子饿而分散课堂注意力，如果小刘同学把注意力放到关注钟表上，他从12点整发现此时的分针与秒针恰好重合，直到下一次分针与秒针再次重合，请问他这次分散课堂注意力过程的时间为（　　） A．1分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 6．如图所示，质点a、b在同一平面内绕质点c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb＝1∶k（k＞1，为正整数）。从图示位置开始，在b运动一周的过程中（　　） A．a、b距离最近的次数为k次 B．a、b距离最近的次数为k－1次 C．a、b、c共线的次数为2k次 D．a、b、c共线的次数为2k＋2次 7．如图所示为一个半径为5m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取，要使得小球正好落在A点，则（　　） A．小球平抛的初速度一定是1.25m/s B．小球平抛的初速度可能是1.25m/s C．圆盘转动的角速度一定是πrad/s D．圆盘转动的角速度可能是πrad/s 二、多选题 8．在巴黎奥运会的场地自行车女子团体竞速赛决赛中，中国选手邓雅文和队友配合，以打破世界纪录的成绩夺得金牌。场地自行车后轮的传动装置如图所示，通过链条将脚踏板牙盘（大齿轮）和飞轮（小齿轮）连接，A、B是大小齿轮边缘的点，C是后轮边缘的点。现架起后轮，转动脚踏板，传动链条在各轮转动中不打滑，牙盘半径为2r，飞轮半径为r，后轮半径为5r，则（　　） A．A、B两点线速度大小之比为2：1 B．A、B两点向心加速度大小之比为1：2 C．A、C两点线速度大小之比为5：1 D．A、C两点角速度大小之比为1：2 三、解答题 9．如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。问： (1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？ (2)为什么圆筒上只有一个弹孔？ (3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？ (4)子弹的速度v应满足什么条件？ 10．如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求： （1）Q球转动的角速度ω； （2）Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。 1. 本节课核心是“从不同维度描述匀速圆周运动的快慢”，线速度描述“沿切线的快慢”，角速度描述“绕圆心的快慢”，周期、频率、转速描述“周期性快慢”，核心公式v=rω是联系不同物理量的关键； 2. 解题时需注意： 1 线速度是矢量，方向沿切线，匀速圆周运动是变速运动； 2 传动问题先判断“v相等”（皮带/齿轮）或“ω相等”（共轴），再应用公式； ③ 单位统一（如角速度用rad/s，转速换算为r/s）； 3. 易错点： 1 混淆线速度和角速度的描述对象； 2 传动问题中颠倒半径与角速度的比例关系； ③ 忽略线速度的矢量性，误将“匀速圆周运动”当作“匀速运动”。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1节 匀速圆周运动快慢的描述（导学案）（解析版） 1. 理解匀速圆周运动的定义及“速率不变、方向时刻变化”的特点； 2. 掌握线速度、角速度、周期、频率、转速的定义、单位及物理意义； 3. 熟练推导并应用核心公式（v=rω、f=1/T），能解决皮带、齿轮等传动问题； 4. 独立完成“探究线速度与角速度的关系”实验，能分析实验数据和误差来源。 教学重点： 1. 匀速圆周运动的定义及特点； 2. 线速度、角速度、周期等物理量的定义与单位； 3. 核心公式及传动问题的应用。 教学难点： 1. 线速度方向“沿圆周切线方向”的理解； 2. 不同传动方式中物理量的关系分析； 3. 弧度制与角速度的关联应用。 【知识回顾】 1. 曲线运动的速度方向：沿曲线在该点的切线方向，因此曲线运动一定是变速运动； 2. 匀速直线运动的描述：用速度（矢量，大小和方向都不变）描述快慢和方向； 3. 圆的基本性质：圆的周长s=2πr（r为半径），圆心角与弧长的关系l=rφ（φ为弧度制角度）。 【自主预习】 1. 匀速圆周运动的定义：物体在相等时间内通过的弧长都相等的圆周运动； 2. 描述圆周运动快慢的物理量可能有：速率、角速度、周期等（猜想）； 3. 线速度的方向可能沿切线，角速度是描述物体转过角度快慢的物理量（猜想）。 探究一：匀速圆周运动的定义与特点 1. 定义梳理 结合生活实例（钟表指针、圆盘转动），总结匀速圆周运动的核心特征： 1. 运动轨迹：圆周； 2. 速率特点：相等（相等/不相等）； 3. 方向特点：时刻变化（不变/时刻变化）； 4. 运动性质：变速（匀速/变速）曲线运动。 2. 结论 匀速圆周运动是速率不变、方向时刻沿切线变化的变速曲线运动。 探究二：描述匀速圆周运动的物理量 1. 线速度（v） 探究内容 具体分析 定义推导 类比匀速直线运动的速度（v=s/t），圆周运动中用“弧长s”替代“位移”，定义v=s/t 方向判断 观察砂轮打磨金属时火星的飞出方向、转动雨伞时水滴的运动方向，得出：线速度方向沿切线 单位与物理意义 单位：m/s；物理意义：描述物体沿圆周运动的快慢 矢量性 线速度是矢量（矢量/标量），其大小不变但方向时刻变化 2. 角速度（ω） 探究内容 具体分析 定义推导 从“转动角度”维度描述，定义为半径转过的角度φ与时间t的比值，即ω=φ/t 单位 国际单位：弧度每秒（rad/s），补充：1rad是弧长等于半径时的圆心角（1rad≈57.3°） 物理意义 描述物体绕转轴转动的快慢 矢量性 角速度是标量（矢量/标量），无方向（高中阶段不讨论方向） 3. 周期（T）、频率（f）、转速（n） 物理量 定义 关系 单位 物理意义 周期（T） 物体运动一周所用的时间 f=1/T；n=f（n单位为r/s时） s T越短，转动越越快 频率（f） 单位时间内运动重复的次数 Hz f越高，转动越越快 转速（n） 单位时间内转过的圈数 r/s、r/min 生产生活中常用（如电机转速） 探究三：核心公式推导与应用 1. 线速度与角速度的关系（v=rω） 推导过程： · 物体做匀速圆周运动，一周的弧长s=2πR，周期为T，则线速度； · 一周的圆心角φ=（弧度制），则角速度； · 联立两式，消去T，得: 2. 公式理解与应用 前提条件 结论 实例 r一定时 v与ω成正比 同一圆盘上不同半径的点，转速越高（ω越大），线速度越大 ω一定时 v与r成正比 共轴转动的两个齿轮，半径越大，边缘线速度越大 v一定时 ω与r成反比 皮带传动的两个轮子，半径越大，角速度越小 3. 传动问题分类解析 传动类型 核心特点 公式应用思路 皮带传动（不打滑） 两轮边缘线速度相等（v1=v2） 由v=rω得： 齿轮传动（相互啮合） 两轮边缘线速度相等（v1=v2） 与皮带传动规律相同（啮合时无相对滑动） 共轴转动 各点角速度相等（ω1=ω2） 由v=rω得：；T1=T2 探究四：实验探究——线速度与角速度的关系 1. 实验目的 验证线速度与角速度的关系v=rω。 2. 实验器材 圆盘实验装置、打点计时器、刻度尺、停表、纸带。 3. 实验步骤 ①组装装置：将纸带固定在圆盘边缘，调整圆盘半径为r1，确保装置能匀速转动； ②测量数据： 1. 启动圆盘，同时接通打点计时器，记录一段时间t内的纸带点迹； 2. 测量纸带上连续n个点之间的弧长s1，计算线速度v1=s1/(t)（t为n个点的时间间隔）； 3. 测量圆盘转动的周期T（记录圆盘转10圈的时间，求平均值），计算角速度ω=2π/T； ③改变半径：将圆盘半径调整为r2，重复步骤2，记录v2； ④数据处理：计算r1ω和r2ω，对比与v1、v2的关系，验证公式。 4. 误差分析 · 误差来源：① 纸带点迹测量的偶然误差；② 圆盘转速不稳定；③ 装置摩擦导致的速率损失； · 改进建议：① 多次测量取平均值；② 选用精度更高的刻度尺；③ 调整装置，减少轴的摩擦。 例题解析 例题1：皮带传动问题 题目：如图所示，皮带不打滑，大轮半径R=0.4m，小轮半径r=0.2m，小轮角速度ω=10rad/s，求大轮的角速度、周期及大轮边缘的线速度（g=10m/s²）。 解题步骤： 1 皮带不打滑，两轮边缘线速度相等：v大=v小； 2 小轮边缘线速度：v小=rω=0.2×10=2m/s，故v大=2m/s； 3 大轮角速度：由v=rω得ω大=v大/R=2/0.4=5rad/s； 4 大轮周期：T=2π/ω大=2π/5≈1.26s。 例题2：齿轮传动问题 题目：相互啮合的两个齿轮，大齿轮半径R1=0.3m，小齿轮半径R2=0.1m，大齿轮转速n1=60r/min，求小齿轮的角速度和转速。 解题步骤： 1 啮合齿轮边缘线速度相等：v1=v2； ②大齿轮角速度：ω1=2πn1=2π×(60/60)=2π rad/s； ③由v=Rω得R1ω1=R2ω2，故ω2=(R1/R2)ω1=(0.3/0.1)×2π=6π rad/s ④ 小齿轮转速：n2=ω2/(2π)=3r/s=180r/min 一、单选题 1．物体做匀速圆周运动的过程中，下列物理量发生变化的是（　　） A．加速度 B．速率 C．角速度 D．周期 【答案】A 【详解】A．匀速圆周运动中，加速度方向始终指向圆心，方向不断变化，加速度变化，故A正确； B．速率是标量，匀速圆周运动速率不变，故B错误； C．角速度是矢量，但匀速圆周运动中角速度大小和方向均不变，故C错误； D．周期是标量，匀速圆周运动中周期恒定，故D错误。 故选A。 2．质点做匀速圆周运动，则（　　） A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同 B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等 C．匀速圆周运动是匀变速曲线运动 D．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同 【答案】B 【详解】A．位移是矢量，方向可能变化。在相等时间内，质点沿圆周运动到不同位置，位移方向不同，故A错误； B．路程是标量，匀速圆周运动速率不变，相等时间内质点通过的路程相等，故B正确； C．匀速圆周运动的加速度方向始终指向圆心，方向变化，不是匀变速运动，故C错误； D．平均速度由位移决定，相等时间内位移方向不同，平均速度不同，故D错误。 故选B。 3．某同学荡秋千过最低点时，如图所示，绳上两点的角速度分别为、，线速度分别为、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因a、b两点绕相同的转动轴转动，可知两点角速度相等，即 根据v=rω，因可知，。 故选B。 4．儿童自行车传动系统如图所示，、和分别是自行车大齿轮、小齿轮和后轮边缘上的三个点，三点到对应转轴的距离之比为，当整个装置匀速转动时，a、b、c三点的线速度大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据链传动知识，可知a、b两点线速度大小相等，即 b、c两点角速度相同，即 由 联立可得 故选C。 5．每天到了中午，很多同学会因为肚子饿而分散课堂注意力，如果小刘同学把注意力放到关注钟表上，他从12点整发现此时的分针与秒针恰好重合，直到下一次分针与秒针再次重合，请问他这次分散课堂注意力过程的时间为（　　） A．1分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【详解】根据题意得 其中 解得 6．如图所示，质点a、b在同一平面内绕质点c沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比Ta∶Tb＝1∶k（k＞1，为正整数）。从图示位置开始，在b运动一周的过程中（　　） A．a、b距离最近的次数为k次 B．a、b距离最近的次数为k－1次 C．a、b、c共线的次数为2k次 D．a、b、c共线的次数为2k＋2次 【答案】B 【详解】在b转动一周过程中，a转动k周，a、b距离最远的次数为k-1次，a、b距离最近的次数为k-1次，故a、b、c共线的次数为2k-2，选项B正确，ACD错误。 故选B。 7．如图所示为一个半径为5m的圆盘，正绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方20m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取，要使得小球正好落在A点，则（　　） A．小球平抛的初速度一定是1.25m/s B．小球平抛的初速度可能是1.25m/s C．圆盘转动的角速度一定是πrad/s D．圆盘转动的角速度可能是πrad/s 【答案】D 【详解】AB．根据 可得 则小球平抛的初速度 可得小球平抛的初速度一定2.5m/s，故AB错误； CD．根据 解得圆盘转动的角速度 故C错误，D正确。 故选D。 二、多选题 8．在巴黎奥运会的场地自行车女子团体竞速赛决赛中，中国选手邓雅文和队友配合，以打破世界纪录的成绩夺得金牌。场地自行车后轮的传动装置如图所示，通过链条将脚踏板牙盘（大齿轮）和飞轮（小齿轮）连接，A、B是大小齿轮边缘的点，C是后轮边缘的点。现架起后轮，转动脚踏板，传动链条在各轮转动中不打滑，牙盘半径为2r，飞轮半径为r，后轮半径为5r，则（　　） A．A、B两点线速度大小之比为2：1 B．A、B两点向心加速度大小之比为1：2 C．A、C两点线速度大小之比为5：1 D．A、C两点角速度大小之比为1：2 【答案】BD 【详解】AB．A、B两点是大小齿轮边缘上的点，通过链条带动，线速度大小相等，根据 可得，故A错误，B正确； C．B、C两点是小齿轮和后轮边缘上的点，属于同轴转动，角速度大小相等，即 根据 可得 又因为 所以，故C错误； D．根据 又 所以 又因为 所以，故D正确。 故选BD。 三、解答题 9．如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。问： (1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？ (2)为什么圆筒上只有一个弹孔？ (3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？ (4)子弹的速度v应满足什么条件？ 【答案】(1)子弹做匀速直线运动，圆筒做匀速率圆周运动。 (2)子弹从进入的弹孔中射出，所以只留下了一个弹孔。 (3) (4) 【详解】（1）子弹不受外力，子弹做匀速直线运动；圆筒匀速转动，圆筒做匀速率圆周运动。 （2）子弹从进入的弹孔中射出，所以只留下了一个弹孔。 （3）圆筒的周期为 子弹的时间应为 （4）子弹的速度应满足 可解得 10．如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求： （1）Q球转动的角速度ω； （2）Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。 【答案】（1）（n=0，1，2，3，…）；（2）（n=0，1，2，3，…）， 【详解】（1）小球P做自由落体运动，有 解得 Q球运动到最高点的时间为 （n=0，1，2，3，…） 由于 t=t' 解得 （n=0，1，2，3，…） （2）根据公式 解得 （n=0，1，2，3，…） 当n取0时，周期最大，最大值为 1. 本节课核心是“从不同维度描述匀速圆周运动的快慢”，线速度描述“沿切线的快慢”，角速度描述“绕圆心的快慢”，周期、频率、转速描述“周期性快慢”，核心公式v=rω是联系不同物理量的关键； 2. 解题时需注意： 1 线速度是矢量，方向沿切线，匀速圆周运动是变速运动； 2 传动问题先判断“v相等”（皮带/齿轮）或“ω相等”（共轴），再应用公式； ③ 单位统一（如角速度用rad/s，转速换算为r/s）； 3. 易错点： 1 混淆线速度和角速度的描述对象； 2 传动问题中颠倒半径与角速度的比例关系； ③ 忽略线速度的矢量性，误将“匀速圆周运动”当作“匀速运动”。 1 学科网（北京）股份有限公司 $