精品解析：云南省昆明市第一中学西山学校2025-2026学年上学期九年级期中监测数学试卷

昆一中西山学校2025～2026学年度秋季学期九年级期中质量监测 数学试题卷 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分．） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则cosA的值是（　　） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与x轴的交点是，，则抛物线的对称轴是直线（ ）． A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知，，．以坐标原点O为位似中心把缩小，得到，则点C的对应点的坐标为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 8. 下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. D. 10. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 11. 下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（ ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A. B. C. ， D. ， 12. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）、若物体的高为，小孔O到的距离为，则实像的高为（ ）． A. B. C. D. 13. 如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（ ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A. B. C. D. 14. 如图，菱形的边长为8，E，F分别是，上的点，连接，，，与相交于点G，若，，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题2分，满分8分） 15. 两个相似三角形相似比为，较小三角形周长为，则较大三角形周长为______cm． 16. 已知抛物线线上的部分点横坐标与纵坐标的对应值如表所示，则函数的最小值为______． x … 0 1 2 3 y … 3 0 0 17. 若是方程的根，则的值为________． 18. 如图，无人机A的探测器显示，从无人机看树顶B的仰角为，看树底部C的俯角为，无人机与树的水平距离为，则树高为_____（结果保留根号）． 三、解答题（共8小题，满分62分） 19. 计算：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点B的坐标是． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点A逆时针旋转后的，并求的面积． 21. 解下列方程： （1）； （2）． 22. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 23. 已知抛物线经过点且对称轴为直线，图象与x轴交于A，B两点．M为抛物线上的点． （1）求抛物线的解析式； （2）若S为的面积，使成立的点M恰好有三个，求所有符合条件的点M的坐标． 24. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为0；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为2时，输出y的值为3． （1）求出k，a，b的值； （2）若m是抛物线与直线的交点的横坐标，求的值． 25. 如图，在四边形中，，，点E为边上一点，，平分，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）求的值； （3）将绕点C顺时针旋转后得到，在直线上存在点P，使得．求点G到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校2025～2026学年度秋季学期九年级期中质量监测 数学试题卷 （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分．） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断每个选项． 【详解】A．是一元二次方程； B． 中含有分式，不是一元二次方程； C．化简得，不是一元二次方程． D．中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程． 故选：A． 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则cosA的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求得AC的值,然后根据余弦的定义即可求解. 【详解】解：在△ABC中, ∠C=90°,AB=10,BC=6,AC===8. cosA== 故选A. 【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，通过计算判别式的值来判断一元二次方程的根的情况． 【详解】∵方程中，， ， ， ∴， ∴ 方程没有实数根． 故选：D． 5. 如图，点在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 分别利用相似三角形的各种判定方法判断即可求解． 【详解】解：A、当且，故，此选项正确，但不符合题意； B、当且，故，此选项正确，但不符合题意； C、当时，无法得到，此选项错误，但符合题意； D、当，即，且，故，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 6. 抛物线与x轴的交点是，，则抛物线的对称轴是直线（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数对称轴的性质，关键是利用交点坐标求对称轴． 根据二次函数的对称性，抛物线与x轴的交点关于对称轴对称． 【详解】∵抛物线与x轴的交点是，， ∴这两个点关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，已知，，．以坐标原点O为位似中心把缩小，得到，则点C的对应点的坐标为（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查位似的性质．根据位似比的性质可知，用点C的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为， ∴点的对应点的坐标为或， 故选：B． 8. 下列函数中，y随x的增大而增大的函数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的性质，根据一次函数和二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而减大，不符合题意； B．是一次函数，， ∴随增大而减小，不符合题意； C．是一次函数，， ∴随增大而增大，符合题意； D．是二次函数，开口向上，顶点在，当时随增大而减小，不符合题意． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：，，， ， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：C． 10. 已知二次函数下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为：直线 B. 当时，随的增大而减小 C. 函数的最小值是 D. 顶点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式解析式的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 利用二次函数的顶点式解析式的图像和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：由得，， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故选项A和D错误，不符合题意； ∵， ∴顶点坐标为最高点，顶点纵坐标为最大值，最大值为， 故选项C错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小， 故选项B正确，符合题意； 故选：B． 11. 下表是某同学求代数式的值的情况，根据表中的数据，可知方程的根是（ ）． x 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，直接找出使代数式的值等于2的值，这些值即为方程的根． 【详解】由表格可知，当时，；当时，． ∴方程的根是， ． 故选：D． 12. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）、若物体的高为，小孔O到的距离为，则实像的高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．易证明， ， 从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故选：C． 13. 如图是一个办公室脚踏板的实物图，已知脚踏板的上表面与地面的夹角为，则穿37码平底鞋的脚踩在上面时，脚尖与脚后跟的高度差为（ ） 尺码 34 35 36 37 38 39 40 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数解答即可． 本题考查了正弦函数的应用，熟练掌握正弦函数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得37码平底鞋的脚踩在上面时，脚长， 故脚尖与脚后跟的高度差为， 故选：C． 14. 如图，菱形的边长为8，E，F分别是，上的点，连接，，，与相交于点G，若，，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．过点作交于，证是等边三角形，得，再证，得，据此计算即可得解． 【详解】解：过点作交于，如图所示： 菱形的边长为，，，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题2分，满分8分） 15. 两个相似三角形相似比为，较小三角形周长为，则较大三角形周长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比计算即可． 【详解】解：设较大的三角形的周长为， 这两个相似三角形的相似比为， 这两个三角形的周长比为， 较小的三角形的周长为， ， ， 故答案为：． 16. 已知抛物线线上的部分点横坐标与纵坐标的对应值如表所示，则函数的最小值为______． x … 0 1 2 3 y … 3 0 0 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的最值，由表格中点的坐标变化可知，函数为二次函数，且开口向上，故有最小值．利用点，求出顶点坐标，再通过顶点求最小值． 【详解】解：由表数据可得，和时，的值都为，即这两点关于对称轴对称， ∴对称轴为， ∴顶点坐标为 由表格得，当时，y随x的增大减小，当时，y随x的增大增大， ∴抛物线开口向上 ∴当时，函数有最小值． 故答案为：． 17. 若是方程的根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是正确理解方程的根． 根据一元二次方程的解，将代入方程，求出的值，代入所求代数式，计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，无人机A的探测器显示，从无人机看树顶B的仰角为，看树底部C的俯角为，无人机与树的水平距离为，则树高为_____（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴树高为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分62分） 19. 计算：． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点B的坐标是． （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点A逆时针旋转后的，并求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求， 点的坐标为； （2）如图，即为所求， 的面积为 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换、轴对称变换，熟练掌握中心对称和旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作出图形，根据点的位置写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质作图，再利用割补法即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 21. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再合并同类项，然后利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ，． 22. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ，，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）证明，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 23. 已知抛物线经过点且对称轴为直线，图象与x轴交于A，B两点．M为抛物线上的点． （1）求抛物线的解析式； （2）若S为的面积，使成立的点M恰好有三个，求所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）、、. 【解析】 【分析】（1）根据已知点和对称轴代入即可求解； （2）当成立的点M恰好有三个，有一个M为抛物线的顶点，另外两个点的纵坐标为与顶点纵坐标互为相反数，求出顶点坐标即可，在代入即可求解 . 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 ∴当时，代入得 ∵对称轴为直线 ∴即 ∴抛物线的解析式为：， 【小问2详解】 由（1）可知，抛物线的解析式为：， ∴当成立的点M恰好有三个， ∴必有一个M为抛物线的顶点，另外两个点的纵坐标为与顶点纵坐标互为相反数， ∴当时，则， ∴ ∴另外两个点的纵坐标为：，代入解析式得： ∴解得：或 ∴点M的坐标为：或 ∴所有符合条件的点M的坐标为：、、. 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，以及图像和面积等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其相关知识体系. 24. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图所示，输入x的值为时，输出y的值为0；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为2时，输出y的值为3． （1）求出k，a，b的值； （2）若m是抛物线与直线的交点的横坐标，求的值． 【答案】（1），，； （2）9 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，分式的化简求值． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）的结论，联立求得，即，再整理利用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 解：∵时，， ∴，解得； ∵时，；时，， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 联立得， 整理得， ∵m是抛物线与直线的交点的横坐标， ∴，即， ∴，，，，， ∴ ． 25. 如图，在四边形中，，，点E为边上一点，，平分，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）求的值； （3）将绕点C顺时针旋转后得到，在直线上存在点P，使得．求点G到的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； （2）； （3）点G到的距离为或． 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明四边形为平行四边形，由，得到四边形为矩形； （2）设，则，证明，求得，利用正切函数的定义即可求解； （3）分两种情况讨论，当点在延长线上时，求得，即可求得点G到的距离；当点在延长线上时，作于点，利用三角函数的定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或， 当时，不合题意，舍去， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转后得到， ∴，，， 当点在延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点G到的距离； 当点在延长线上时，作于点，如图， 同理， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上，点G到的距离为或． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握矩形的判定和特殊角锐角三角函数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $