吉林省长春市第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度高二年级上学期 7,在平面直角坐标系xOy中，已知直线4：x-my+4m-2=0与l:mr+y-4m-2=0交于点P, 第二学程考试数学科试卷 点x)是抛物线y2=-4x上一动点，则Pg-x的最小值为() 命题：张伟萍 孙琳 A.4-√2 B.4+√2 C.5-√2D.5+√2 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题月要求的。 8.在平面直角坐标系0中.双曲线C号若-a>06>0)的右焦点为F,点M,N在 1.经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1，k),则() C的右支上，且MF=3FN,点N关于原点O的对称点为P.若PF⊥MN,则C的离心率为 A.1 B.2 C. D.3 () 2.已知点P为椭圆C:+亡=1上一点，且点R和点R分别为椭圆C的左、右焦点， 2516 A. B.v6 C. D.vio 2 若PF=4,则PF=() 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 A.5 B.7 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 C.6 D.4 9.己知椭圆C:式+二=1的左、右焦点分别是F、5,点P为椭圆C上一点，∠FPR=90 3.已知双曲线C的焦点为F(-5,0),E(5,0,点P在双曲线C上，满足PF⊥FE,PF=4, 2516 则双曲线C的标准方程为() 则下列关于椭圆C的结论正确的有() A.长轴长为5 B.x2-y=1 4 B。离心率为 4.设点P(m,n)n>0)为抛物线y2-8x上一点，F为焦点，若PF=6,则n=() C.△PFF的周长为16 A.45 B.4 C.2W2 D.32 D.△PFF的面积为16 5.已知P是直线：x-2y+6=0上一动点，过点P作圆C:x2+y2-4x=0的两条切线， 10.下列命题正确的是() 切点分别为A、B,则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为() A.若直线1过定点P(L,0)且与以A(2,-3),B(-3,-2)为端点的线段有交点，则直线1的 A.5π B.6π C. . 斜率的取值范国是（云小[上+网 6.已知M是双曲线E:号 上的任意一点，过M作E的两条渐近线的垂线， B.两平行直线x+2+3=0与2x+4+5=0之间的距离是25 C.过点P(2,)作圆x2+y2=5的切线，则切线方程为2x+y-5=0 垂足分别为P,Q,则MMg的取值范围是() D.圆(x-4)2+(y+2)2=1关于直线3x-4y+5=0对称的圆的方程为：(x+2)2+(y-6)=1 A周 数学试题第1页（共4项） 数学试题第2页（共4页） 11.已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点，下列说 18.(17分)已知椭圆E的左、右焦点分别为F(-c0),F(c,0)(c>0).点M在E上， 法正确的为( ME⊥FF,aMFF的周长为6+4W2,面积为C A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x+4 C.线段B的长为号 (1)求E的方程. D.圆0上点E,圆M上点F,EF的最大值为√5+3 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 (2)设E的左，右顶点分别为4B,过点0的直线1与E交于C,D两点，记直线4C的 12.直线：x-my+4m=0(m∈R)经过的定点坐标是」 斜率为k,直线BD的斜率为k,则 (从以下①②③三个问题中任选一个填 13.已知抛物线C:y2=2r(p>0)的焦点为F,过点F的直线与C交于A,B两点，若 到横线上并给出解答)， FA=2FB=6,则p= ①求直线AC和BD交点的轨迹方程： 14.设R、5是椭圆号+二=1的两个焦点，若椭圆上点P满足∠FPR=胥，记FPE的 2516 ②是否存在实常数1，使得k=k,恒成立： 外接圆和内切圆半径分别是R、·,则的值为 ③过点C作关于x轴的对称点C,连结C,D得到直线4，试探究：直线（是否恒过定点. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在平面直角坐标系中，N(1,0),M(4,0),动点0满足 2W=2,设动点0的 ON 19.（17分)定义：对椭圆C:导+苦-(a>b>0及任意一点Pk小，称直线等罗1 b 轨迹为曲线C 为C关于点P的“极线”. (1)求曲线C的轨迹方程： 结论1：若点P在椭圆C上，则C关于点P的极线就是C在点P处的切线 (2)若直线x-y+1=0与曲线C交于A,B两点，求4B: 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会 16.(15分)已过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线的焦点到准线的距离 经过另一个焦点.试根据上面的定义和结论解决下列问题： 为2. 已知R,R是椭圆C:+号=1的两个焦点，C关于点P(4,0)的极线，与C相交于4B两 (1)求抛物线C的方程 4 (2)过点(3，)的直线1与抛物线C交于A,B两点，且Q为AB的中点，求直线1的方程. 点 (1)求AB: 17.(15分)已知双曲线C:号千=a>0b>0,焦点为R,5,其中一条渐近线的倾斜 (2)设C在点A处的切线为'4，在点B处的切线为，过在上且在C外一点D作C的两 角为30°，点M在双曲线上，且MF-MF=25。 条切线，切点分别为M,N,证明：直线MN,l,l相交于一点： (1)求双曲线C的标准方程： (③)若Q(m,)是C上除顶点以外的任意一点，直线Q5和Q5分别与直线1："m+四=0相 43 (2)若直线：y=x+m交C于A,B两点，若△4OB的面积为V6,求正实数m的值. 交于点S,T,证明：QS+QT为定值. 数学试题第3页（共4页） 数学试题第4页（共4页）2025-2026学年度高二年级上学期 【解】圆的方程x2+y2-4x=0,即为(x-2}+y2=4,圆心C(2,0),易知四边形P4CB的外接圆 第二学程考试数学科试卷答案 的直径为PC,PC的最小值为圆心C到直线x-2y+6=0的距离，即d-各，则四边形PACB的外 参考答案 接圆的半径为一店，所以四边形AC8的外接圆的面积的最小值为S==1故选：D 4 题号1 23 4 56 7 8 9 10 11 5 答案B A D C A D BCD ACD ABD 6.C 1.B 2-0k 【解】如图。由樱意。设M).则g-=1,即m-n=a 【解】经过40,2).B(1.0)两点的直线的方向向量(1，，所以0-一片，解得=2故选：B 因为渐近线方程为x±y=0,所以 2.C 【解1因为稀园C:云+后-1，则-25=0-5 IMP-WQJ--an.tanmi-ain a V1+a21+a2 1+a21+a2 由题意定义可得PF+PF=2a=10,且PF=4,则PF=6.故选：C 因为2所以元卡放话：C 3.B [c=√5 7.A 【解】由题意可知双曲线方程为二-广 后京=a>6>0)且Ps==4, 【解】直线4：x-y+4m-2=0,即(x-2)-m(y-4)=0,可知直线 c2=a2+b2 过定点A(2,4):直线42：mx+y-4m-2=0,即m(x-4)+(y-2)=0, c=5 可知直线过定点B(4,2):且1×m+(-m)×1=0,则4⊥2，可知点P 摆得=1，所以双曲线C的标准方程为r上=1，故选：B b=2 在以AB为直径的圆上（不含(4,4）)，此时圆心为C(3,3),半径 4.A r=4=5,因为抛物线广=4红的焦点为F-0),准线为x=1, 【解】在抛物线y=8x中，2p=8,则p=4,所以焦点F的坐标为(2,0)，准线方程为x=-2, 且点(x,)是抛物线y2=4x上一动点，则OF=1-x,即-x=QF-1,可得 已知点P(m,m)到焦点F的距离PF=6,则点P到准线x=-2的距离也为6，即m-(-2)=6,解得 PQ-x=Po+loFl-1zloq-r+loF1-1=l0q+OF-(+1). m=4.因为点P(m,m)在抛物线y=8x上，且m=4,所以=8×4=32 当且仅当点P在线段0C上时，等号成立，又因为|2C+DF≥CF=5,当且仅当点Q在线段Fc上 又因为>0，所以n=V32=4W2故选：A 时，等号成立，即lPe-r≥0C+F-(N2+25-(2+)=4-V5 5.D 所以P0-r的最小值为4-V巨故选：A 数学试题第1页（共10页） 数学试题第2项（共10项） 8.D 10.ACD 【解】设双曲线的左焦点为F,连接PF、P听、N听、M,如图所示， 【附】对肝A实如一，3沿行 根据双曲线的对称性可知四边形PFNF为平行四边形， 由图可知，当k≥)或k≤-3时，直线1与线段AB有交点，故选项A正确 又因为PF⊥MN,所以四边形PFNF为矩形， 对于B:直线x+2y+3=0,即2x+4y+6=0, 设NF=>0),因为MF=3F,则MF=3, 则直线2x+4y+6=0与2x+4y+5=0之间的距离d= 6-55 V22+4210 ,故B不正确： 由双曲线的定义可得：N=2a+1.MF=2a+3r 对于C:因为点P2)在圆+护=5上，=)0；，所以切线的斜率k=-2 又因为△NMNG为直角三角形， 所以切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0,故C正确： 所以MN+N=ME,即(4y°+(2a+=(2a+3刘，解得1=a 对于D:圆(x-4)2+(y+2)2=1的圆心为C(4,-2) 所以NF=30,NF=a,又因为NF3为直角三角形，FF=2c, 圆(x+2)2+(y-6)=1的圆心为D(-2,6,且半径均为1， c2_10 一所以M+N5=FE心e4e,所以a4,即后：D 点C(4,-2)与D(-2,6)的中点为(1,2)， 9.BCD 因为化，2列在直线3x-4+5=0上，且km4高子由直线3x-4+5=0的斜率长-} -2-64 xy 【解1由椭圆C,25+6,:0=5,b=4,c=后-=25-6=3 所以kok=-1,所以点C(4,-2)与D(-2,6)关于直线3x-4y+5=0对称，故D正确. 对于A项：长轴长为2a=10,故A项错误： 故选：ACD c 3 e=- 对于B项：离心率a5,故B项正确： 11.ABD 对于C项：由椭圆定义得：PF+PF=2a=10 【解】圆0：r+少=4的圆心00,0)，半径5=2，圆M:+2少+0-=1的圆心M(-2,),5=1, △PF5的周长为P+PE+F=16,故C项正确： OMFV-2+F=5,显然有5-5OMK+5,于是得圆0与圆M相交，圆0与圆M有两 x2+y2=4 PF+PF=10 条公切线，A正确：由x+少+4红-2y+4=0得：4r-2y+8=0,则直线4B的方程为y=2x+4,B PF+PF=FE 445 对于D项：因为FPB=90,所以得： S.-PFHPF d=- 正确：圆心0到直线AB:2x-y+4=0的距离V2+(-)5, 解得：S.所5=16，故D项正确，故选：BCD. 8年2R-=3-4 5c不正确 数学试题第3页（共10页） 数学试题第4项（共10项） 1EF图EO+1OF9EO+OM+MF=r+OM+r:=+3,当且仅当点E,O,M,F四点共线 15.(13分) 时取一”，如图，因此，当点E,F分别是直线OM与圆O交点E',与圆M交点F'时，EFm=5+3, 【解】①设Qx,因为NL,0.M4,0,Q满足2 ON =2,即№M=4ON, D正确.故选：ABD 12.(0,4) 即(x-4)+y2=4(x-1)+4y2,整理得x2+y2=4,所以曲线C的轨迹方程为x2+y2=4, 13.4 0-0+1√2 (2)圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d= V+(-1 2 【详解】如图，设直线AB与准线交于点H,分别过点AB作准线的垂线， 垂足为A,B,且准线与x轴的交点为F, 所以1AB=2√P-dP=2、 =14. 2 则由抛物线的定义可知，A4=AF=6,BB=BF=3, 16.(15分) 【解】(1)因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故p=2,所以y2=4x. BB BH 3BH 则所网·即。g=9, (2)设A(3),B(,),如下图： R BH 39 F网BH+B丽，则)9+3，得P=4.故答案为：4 则另+乃=2，由 =拓，得-巧=0+-为)=4-) :=4x 14.3 【解】 若x=x2,则A、B关于x轴对称，Q(3,1)为AB中点不符合题意： 由椭圆的标准方程可得a=5,b=4,c=3 者*，则一号万42，所以线的方程为1--.即2 设PE=mPE=n,则PF+PF=2a=l0 17.(15分) 在aPF5中，由余弦定理lFE=PF+PR-2 PFPFcos∠RPF 【答案】(0) -y2=1:(2)2 64 3 故36=m2+-m=(m+n-3mm=100-3m,故 n= 3 【详解】1)由条件知，2a=25,2=m30=5, 3 故 2mn sin V564165 =16V5 8r 343 3，而 .=2(m+n+6)=2×rx16=8 3即 故a=5,b=1. 25 r=. R= =25 即双曲线标准方程为。广=1。 3 3, 由正弦定理可得 2sin∠F,PE 故r .故答案为：3， (2)设A(,y),B(2),O到直线1的距离为， 联立5了1得2x+6m+3m+3=0. y=x+m 数学试题第5页（共10页） 数学试题第6项（共10项） 由△=36m2-83m2+3)=12m2-24>0,解得m2>2, y=,+3) 91 x+3 有路岩六之没 %+2 又m>0,故m>√互， 联立方程，得 y=当-3) 3 而又由+5=-3m5=3m+3, x3-3 %2 2 故弦长4=+F+与广-45=6m-2,h= 2当2+9y2 2+g+93++62+3,即33，解得=6，所以 22-3y 2+J-3识 1y+月-2y片+3y r-3 又及m分6月6， 2 直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x=6. 解得m2-2m2-8=0,m2=4 x2 又m>反，故m=2, +y2=1 9 选择②联立方程 18.(17分) ，化简整理，得4+y+12-27=0,假设C(,y),D(:), x=y+2 【答案】()号+户1：(2)答案见解析。 -3 x+4=F+9 2a+2c=6+4V5 a+c=3+22 a2=9 由韦达定理，得 【解析】(1)依题意，得 -27，得=4+乃) 2cB_足c=。即{1 -C= 3 解得8 4t2+9） aa La 3 所以E的方程。+广=1. 3 于是左=片杰-3乌-3)以 92月 9 20532+小 9 x2 kx+3y(￥+3到 205+9g2.++9明 (2)选择①设直线1的方程为x=少+ 3 y2=1 联立方程 9 3 ，化简整理， 39 x=+2 6+) 5故存在实数无= ,使得k=k恒成立 得4(t+9)y2+12y-27=0, 2+3头) -31 +y2=1 +少=？+9 选择③C(x,),D(x2乃)，C(,-y),联立方程，得 9 3，化简整理， 假设C(x,片)，D(x乃)，由韦达定理，得 -27，得=4+) =w 42+9) 得4(+9)y2+12y-27=0, 直线4C的方程：y中+引：直线D的方程少产x- -31 y+乃=？+9 由韦达定理，得 -27，直线CD与r轴交于点M,由对称性可知，kw+kw=0, yy:= 4t+9) 数学试题第7页（共10页） 数学试题第8项（共10项） 假设M(m,0),即》+上=0，则x(5-m)+,(任-m)=0, x-m x -m (3)由圈意，C在0点处的切线方程为%学+号=1，则1与%平行，且经过坐标限点 所以x6-=+6-++引++》6+ 如图(2)所示，由椭圆的光学性质，可知∠GQS=∠HQT. %得水+对品g侣。- 又因为11儿g,所以∠G0S=∠QST,∠H0T=∠QTS, 所以∠QST=∠Q下，所以QS=lQT. 即-9t+(3-2m】(-t)=0,解得m=6,所以直线CD恒过定点M(6,0). 过E作FR1/QS,与l交于点R,则∠FRT=∠QST=∠QTS,所以FR=|FT: 19.(17分》 【详解】()根据定义，可得，的方程为4=引，即x=-1, 另一方面，因为OF=lOF,∠SOF=∠ROF2,∠SFO=∠RF,0,所以△FSO△FRO, 4 将其代入C的方程期}号1，解得)=号不销取引1-引所以4=23 从而F=FR,所以FS=F 43 (2)根据所给结论可知1，la分别是C关于点A,B的极线， 因此Qs+QT=leS+FsS+leT-ET=lF+QF=4,故es+l为定值. 如图取4-引则，-+=1 42 [x+=1 由 42解得 x y x=4所以，和，交于点P(4,0, 42 y=0, 要证明直线MN,1,1相交于一点，只需证明直线MW过点P(-4,0)即可 设M(cw,yw),V(x.Yx)D(,yn).根据所给结论，可知直线DM:r+心=l,直线 43 Xw Yuyn=1 DN:+=1因为直线DM和DN都经过点D(-l,yo),所以 43 4 3 Xx yxyn=1 043 所以直线MW的方程为学-1，将40代入，得-+”1，方程他成立 3 所以直线MW过点P(-4,0),故直线MN,l,la相交于一点 数学试题第10页（共10页） 图(1) 图(2)