精品解析：福建省漳州市漳州三中、三中分校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年上学期漳州三中、三中分校阶段性教学诊断（二） 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，开口向下，据此进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴的值可以是； 故选：D． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是利用比例关系将用表示或利用分式的性质进行变形． 可根据已知的比例关系设，再代入所求式子进行计算；也可利用分式的性质将拆分为，再代入已知条件计算． 【详解】解：因为，所以设， 将代入可得： ， 故选：C． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．使用配方法，将方程左边配成完全平方式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即配方后方程为， 故选：A 4. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用菱形的性质求面积；根据菱形的性质得到，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵为菱形， ∴， ∵，， ∴； 故选：B． 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，直接代入解析式求解． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 6. 如图，在矩形中，，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得到，，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 故选：D． 7. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解． 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C 8. 一种药品原价每盒64元，经过两次降价后每盒36元，设两次降价的百分率都为，则满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均变化率的等量关系：，结合题意，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选D． 9. 如图，在中，平分，若，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造相似三角形． 过点作的平行线交的延长线于点，根据平行+角平分线得到，以及由平行得到，据此即可求解． 【详解】解：过点作的平行线交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵，， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离， ∴； 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若菱形的一条边长为，则这个菱形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的四条边相等结合菱形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的一条边长为， ∴这个菱形的周长为， 故答案为：． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，以及代数式求值．根据方程根的定义，将根代入方程后得到关系式，再整体代入进行求值，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 则， 故答案为：2026． 13. 若点，在二次函数的图像上，则______（填，或）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．根据点关于轴的对称点为，当时，随的增大而增大，且，可得． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线y轴， 点关于轴的对称点为， 时，随的增大而增大，且， ， 故答案为：． 14. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：， ， ， , 的高为,为,为, ， 故答案为： 15. 已知线段，是的黄金分割点，那么的长是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义，得到或，进行求解即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴或， ∵， ∴或． 当时，； 故答案为 或． 16. 已知二次函数，若点和在其图象上，且．则实数的取值范围是___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出对称轴，根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点和在其图象上，且， ∴， 解得或； 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程3x2+5x+1=0． 【答案】x1=，x2= 【解析】 【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：3x2+5x+1=0， 这里a=3，b=5，c=1， b2﹣4ac=52﹣4×3×1=13， x=， x1=，x2=． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题的关键． 18. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AB=BC，. 又分别是、的中点， 所以BE=CF,所以（SAS）， 所以（全等三角形的对应边相等）. 【解析】 【分析】若证明线段相等，通常证明线段所在的两个三角形全等，此题通过正方形性质及已知E,F分别为AB,BC中点，利用边角边证明即可得出结论. 【详解】略 19. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关䋖是熟练掌握判别式的意义以及根与系数的关系的应用． （1）根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式求解的取值范围； （2）利用根与系数的关系，结合已知条件求出方程的根，再代入方程求的值． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， ，即： 答：实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 已知，用减去，可得： ，得， 把代入方程，得：， 解得：． 答：实数的值为3． 20. 如图，已知矩形中，， （1）请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）求菱形的边长． 【答案】（1） 四边形即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形： （1）连接，作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，，四边形即为所求； （2）设，利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 由作图可知：， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 设 四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得， 菱形的边长为 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】50元 【解析】 【分析】设该品牌头盔的实际售价为元，则此时销量为个，根据利润单个利润数量列出方程求解即可． 【详解】解：设该品牌头盔的实际售价为元， 依题意，得：， ∴， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意，列出一元二次方程是解答本题的关键． 22. 根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 素材1 某茶叶公司经销售某种茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元． 素材2 经调查发现，其日销量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． 任务1 设该茶叶的日销售利润为元，直接写出与，与之间的函数表达式； 任务2 若该茶叶的日销量不低于80千克，当单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 任务3 若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 【答案】任务1：，；任务2：当单价定为80元时，每天获取的利润最大，为1600元；任务3： 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键： 任务1：待定系数法求出一次函数解析式，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式； 任务2：利用二次函数求最值即可； 任务3：求出时的自变量的值，进而确定取值范围即可． 【详解】解：任务1：设一次函数的解析式为， 把代入函数解析式，得：，解得， ∴； ∴； 任务2：由题意，， ∴， ∴ ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，为； 答：当单价定为80元时，每天获取的利润最大，为1600元； 任务3：当时，解得或， 由任务2可知，当时，随的增大而增大，当时，随着的增大而减小； ∵，且公司想获得不低于1000元的日利润， ∴． 23. 如图，在中，点在上，且，过点作，且，与交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：设，则， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，平方差公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线得到内错角相等，再等量代换证明即可； （2）设，则，，，由，再结合勾股定理逆定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方抛物线上的点，连接交于点，连接，记，的面积分别为，．求的最大值； （3）直线与抛物线交于，两点，已知点，连接交抛物线于另一点，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 解：∵直线与抛物线交于，两点，已知点，连接交抛物线于另一点， 整理得，， 然后把，，点都向左平移一个单位长度， 得，，点， 此时设，， 依题意，得， 得， 整理得， ∴ ∵点， ∴ 设的解析式为， 依题意，得， ∴， 整理得， ∴， ∵， 则， ∵， ∴， 即， 即，关于对称轴为直线对称， ∵把，，点都向左平移一个单位长度，得出，关于对称轴为直线对称， ∴将图象向右平移1个单位可得点M，Q关于直线对称， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，即可作答． （2）先求出一次函数的解析式，整理得，再证明，得，结合，是同高，三角形的面积比等于底边的比，故，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）先理解题意，把，，点都向左平移一个单位长度，得，，点，此时设，，整理得，故，再求出的解析式，整理得，即，所以，故，关于对称轴为直线对称，所以将图象向右平移1个单位可得点M，Q关于直线对称，即可证明． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． ∴把，分别代入， 得 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 令， 解得 ∵抛物线与轴交于点，点， ∴点， 过点作，交于点H，如图所示： 依题意，设的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点是直线下方抛物线上的点， ∴设，且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，的面积分别为，． ∴（同高，三角形的面积比等于底边的比） ∴，， 令， ∵， ∴开口方向向下，在对称轴为直线处取得最大值， 且把代入， 得． 即的最大值为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的平移，待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象性质，一元二次方程的根与性质关系．难度较大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 在矩形中，，，点为边上一动点（不与点，重合）． （1）如图1，连接交于点． ①求证：； ②当时，求的长； （2）如图2，点为上一动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】（1） ①证明：∵矩形， ∴，即， ∴， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键： （1）①根据矩形的性质，得到，即可得证；②勾股定理求出的长，等积法求出的长，进而求出的长，根据相似三角形的性质，进行求解即可； （2）作，，连接，证明，得到，进而得到，进而得到当点在线段上时，的值最小为的长，求出，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：①略 ②∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①知：， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 作，，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵矩形， ∴， ∴，，即：， 由（1）②可知：， ∴， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期漳州三中、三中分校阶段性教学诊断（二） 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知抛物线的开口向下，则的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程（ ） A. B. C. D. 4. 中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小丰家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 7. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 一种药品原价每盒64元，经过两次降价后每盒36元，设两次降价的百分率都为，则满足（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，平分，若，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若菱形的一条边长为，则这个菱形的周长为__________． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 13. 若点，在二次函数的图像上，则______（填，或）． 14. 物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 15. 已知线段，是的黄金分割点，那么的长是___________． 16. 已知二次函数，若点和在其图象上，且．则实数的取值范围是___________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程3x2+5x+1=0． 18. 如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证:. 19. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若满足，求实数的值． 20. 如图，已知矩形中，， （1）请用尺规在图上作菱形，使得E点在边上，F点在边上（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）求菱形的边长． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售品牌头盔，此种头盔的进价为30元/个，经测算，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 素材1 某茶叶公司经销售某种茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元． 素材2 经调查发现，其日销量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． 任务1 设该茶叶的日销售利润为元，直接写出与，与之间的函数表达式； 任务2 若该茶叶的日销量不低于80千克，当单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 任务3 若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 23. 如图，在中，点在上，且，过点作，且，与交于点． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是直线下方抛物线上的点，连接交于点，连接，记，的面积分别为，．求的最大值； （3）直线与抛物线交于，两点，已知点，连接交抛物线于另一点，求证：． 25. 在矩形中，，，点为边上一动点（不与点，重合）． （1）如图1，连接交于点． ①求证：； ②当时，求的长； （2）如图2，点为上一动点，且，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $