河南省开封五校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

开封五校2025~2026学年上学期期中联考·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.D设倾斜角为0，因为等号-1，所以an0=1.又0<K,故0=牙故选D 2B因为点M在平面ABC内，且O应-1O成+O苏+之，所以X+号+-1，解得X是故选R 3.C由方程千3+千4-1表示焦点在y轴上的椭圆得2十4>k+3>0,解得>-1，所以及的取值范围 为k>-1.故选C. 4B由意意得计十以以2+0解得1a五故选以 5.C由题意得P-(0,4,2),所以点Q到平面a的距离d=P:nl=2 n√2 =2.故选C. 6.D设A关于直线1的对称点为A'(m,n),由反射的性质，可知点P,A',B三点共线.由对称轴为1，得” m+1 =一合且2，"公+3=0，解得m=一号，m=号，即A(-号，号)，所以反射光线PB所在的直线方 2 程为x十7)y一1=0，故反射光线PB所在的直线在y轴上的截距为7故选D, 7.A由题意知C(-1,0),C到1的距离d=3X(1)一4X0-12=3,要使圆C上仅有2个点到1的距离 w32+(-4)2 为1，则3-1<r<3十1，即2<r<4.故选A 8.A由题知“斜椭圆”的中心为坐标原点，由椭圆的对称性得长半轴的长度为曲线 上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式x<士，得-士<<生，故6<+≤18，当 2 且仅当x=y=士3时，x2+y=18成立，当且仅当x=一y=士√3时，x2+y2=6 成立，所以椭圆的长半箱长为3，区，短半箱长为6，所以椭圆的离心率为√一。 -故选A 9.ABC 由0=0解得：即直线与：的交点为M1,1,因为直线，4,6不能构皮三角 形，所以13过点M,或l3分别与1，l2平行，若l3过点M,则2一3m-4=0,即m=- 若4∥，则2 2 3m -3,即m=- 若/化，则品=1，所以m=号综上m的可能取值为一号，号一号放选A℃ 2 2 10AD由题意知R(-1.0),R10,若PELF5,令=-1，得y=士号，所以PF-号，放A正 确：者PE,LFR则PF:=号又F=2,所以PF√（停）+2=8号故D正确当点P 2 为C的上顶点或下顶点时，|PF|=|PF|=√2，又|FF2|=2,所以PF⊥PF2,故B正确.故选ABD. 1.ACD若x=号，分别作棱AB,AB的中点D,E,连接DE,则P在线段DE上，易 知DE∥平面AAC,故点P到平面AA,C的距离为定值，又△AAC的面积为定值， 所以三校锥P-AA,C的体积为定值，故A正确：若y一，分别作AA,BB的中点 M,N,则点P的轨迹为线段MN,易知MN=AB=2,故B错误；若x十y=1,则A, P,B三点共线：即点P在线段AB上，易求点B到AB的距离为5，故PB的 最小值为，放C正确：若=则点P在线段AB,上，易证DB,C,DE两两 【高二上学期期中联考·数学参考答案第1页（共4页）】 26-1-189B 垂直，以D为坐标原点，DB,DC,DE所在直线分别为x,y,x轴建立空间直角坐标系，则A(一1,0,0)， B(1,0,0),C(0,3,0),A1(-1,0,3),B(1,0,3),所以AB=(2,0,0),AC=(1,W3,0),BC= (-1,N3,0),AA=(0,0,3),A-x(AB+AAi)=(2x,0,3x),所以B驴=AP-AB=(2.x-2,0,3x),所 以os成，西=前所以点P到c的距离d=驴V-(前)=√--- VI2-6x+3=√12(x-)厂+是，所以当x=时dm=号故D正确：故选ACD 12.16由a=(1,-1,3),b=(x,2,-1),得a-b=(1,-1,3)-(x,2,-1)=(1-x,-3,4),因为a⊥(a-b), 所以(1-x)×1+(-3)×(-1)+4×3=0,解得x=16. 13.[5,9]由题意知a=3,b=√5，所以c=2,设|PF1|=t,则1≤t≤5，由PF1+|PF2|=6,得|PF2|=6 一t,故|PF|·|PFz|=t(6-t)=-(t-3)2+9,所以当t=3时，|PF·|PF2取得最大值9，当t=1 或t=5时，|PF·PF2取得最小值5，故PF·PF2|的取值范围为[5,9]. 当两条切线斜率都存在，即t≠士1时，设切线方程为y=k(x一t),k≠0，即kx一y一kt=0,PM,PN的 斜率为，e,故圆心C到切线的距离d=+3=1,得（一1）十6十8 2+I =06+=一兴=吕在切线方程中令y=1可得x=石十 故AB1=-m=(+)-(+)=+6返= kikz ()4-至AB1-号此时=0：当两条切 8 8. 2 线中有一条切线的斜率不存在，即t=士1时，不妨拿t=1来计算，可得切线方程为4x十3y一4=0或x=1, 令y=1可得A(,),BC1.1,此时1AB=,综合得1AB1受， 15.解：）由2名气20，得引所以点P,.…………1分 设过点P且与直线x一2y十1=0垂直的直线的方程为2x十y十入=0，…3分 将点P(1,1)代入方程得2十1十入=0，解得=一3，…5分 所以所求直线的方程为2x十y一3=0.…6分 (2)当直线过原点时，直线在x轴上与在y轴上的截距都是0，显然符合题意， 设所求直线的方程为y=k.x,将点P(1,1)代入，得k=1,…8分 故所求直线方程为x一y=0.…9分 当直线不过原点时，设所求直线方程为云十立=1，将点P1,1D代人，得a=是， a …11分 12分 故所求直线方程为号十空1，即x十2y3=0.… 综上所述，所求直线的方程为x一y=0或x十2y一3=0.……13分 16.解：(1)直线DE∥平面ABC,证明如下：…2分 取AB的中点F,连接DF,CF,因为D为AB的中点，所以DF∥BB,且DF =2B,又E为CC的中点，BB/CC,BB=CC,所以BC∥BB,且EBC =专BB,所以DF/EC,且DF=EC,所以四边形DEC F为平行四边形， …5分 所以DE∥FC,又DE在平面ABC,FCC平面ABC, 所以直线DE∥平面ABC.…7分 (2)因为AB⊥BC,由已知得BB1⊥平面ABC,以B为坐标原点，以BC,BA, BB所在直线分别为x轴，y轴，心轴建立空间直角坐标系如图所示，…9分 由AB=BC=BB1=2,得A(0,2,0),B1(0,0,2),E(2,0,1),AB=(0,-2,2),BE=(2,0,1). 设异面直线AB1与BE所成的角为0，则cos0=|cos(AB,BE|= |AB1·BE 2 W/10 |AB·|BE 2√2X√5 10 【高二上学期期中联考·数学参考答案第2页（共4页）】 26-1-189B 所以异面直线AB与BE所成角的余弦值为四， 10 15分 17.解：(1)设P(.x,y),由PE=√2|PF,得(x+2)2+y=√2√(x-1)2十y,…2分 化简，得(.x-4)2十y=18.…4分 (2)若两条直线都存在斜率，设直线AB的方程为y=k(x一1)(k≠0)， 则直线CD的方程为y=一Cx一1)，… 5分 由(1)知曲线T是以(4,0)为圆心，32为半径的圆， 所以圆心到直线AB的距离为4-L =3 7分 √R2+1 k2+1 9k2 /2+2 所以AB=2V18-+=6√+： 8分 2k2十1 同理CD=6√P+1' 10分 所以四边形ACBD的面积S=AB11cD=18√号×装=18√++)(2-中)· …11分 令1=中则0<1K1,所以S=18√+02-D=18V-(（-2)+是≤27，当且仅当=7，即 1 =士1时，等号成立.… …13分 若两条直线中一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时|AB=6,CD1=62或AB=6√2，|CD1=6, 所以S-合×6×62=182<27， 所以四边形ACBD的面积的最大值为27. 15分 18.解：(1)由AB|=4v2,得2a=4V2,解得a=22, 1分 设椭圆E的焦距为2c,由焦距为4，得2c=4,解得c=2. …2分 又b=√a2-c2=2, 所以椭圆E的标准方程为5+兰-1 4分 (2)(i)由题意，得A(-2√2,0)，B(22,0), 设M(a),由M(y)在椭圆E上，得g+平=1，即听=4-号 ” 4 6分 所以EAM·kM=业 ，y1 1 m+2W2x-22xi-8x-8 2 即直线AM,BM的斜率之积为一.…8分 (i)设N(x22), 若直线MN的斜率为O,则M,N关于y轴对称，所以kAv十kM=O, 又直线AN的斜率是直线BM的斜率的3倍，所以kAv=3kM,即kAN=kM=O, 由M,N不在x轴上，得kA≠0，kM≠0，与kAN=kM=0矛盾，所以直线MN的斜率不为0. …9分 直线MN的方程为x=my十士2.由8千苦1，得(m+2)十2y十n8 x=my+n, 所以△=4mn2-4(m2+2)(n2-8)=8(4m2+8-n)>0,且y+2=- 2+242=n28 2mn m2+2,…11分 由(1)知kw·kw=一号，又kN=3km,所以kw…kN=kw·3ku=一号，…12分 3 yiy2 即 3 所以(+2W2)(+22） yiy2 my+n+22)(my2+n+22) 2, 化简， yi y2 3 m1+m(n+22)(y+2)+(n+22)2 21 …14分 将M十2= 产平代人上式并化简，得 2mn 【高二上学期期中联考·数学参考答案第3页（共4页）】 26-L-189B 12-8 2 15分 m(t-8)-2m-42mn+（n十22)2(+2) 即2+3√2n十4=0，解得n=-2√2（舍）或n=-√2，此时△=8(4㎡+8-7)=8(4㎡+6)>0，…16分 所以直线MN:x=my一√2恒过点（一√2,0）.…17分 19.(I)证明：在△ABC中，AC⊥BC,MN∥AC,所以MN⊥BC,所以在四棱锥P-ACNM中，MN⊥PN,MN⊥ NC,又PV∩VC=N,PN,NCC平面PNC,所以MN⊥平面PNC,…2分 又PCC平面PVC,所以MN⊥PC.…3分 (2)解：当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，平面PMN⊥平面ACNM.…5分 又平面PMN∩平面ACNM=MN,MN⊥PN,PNC平面PMN,所以PN⊥平面ACNM,…6分 以N为坐标原点，NM,NC,NP所在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 标系，如图所示， 则N(0,0,0,A(2,号，0)，P(00,号），C(0,号0），M(号，0,0)，所以 Q(1,号0. 设平面PMC的一个法向量为m,=(),又P心=(o,号，一专)，C成=4 (告，号0)所以 m·P心=2-4 3y-3刘=0， m·G成=号-号n=0, 令1=1，解得x1=1,y1=2, 所以平面PMC的一个法向量m1=(1,2,1). …7分 设平面PMQ的-个法向量为m=(),又M市=(-专0，号)，Mà=（-}，号，0），所以 m2·Md=- 4 2 令2=1，解得x2=2=2,所以平面PMQ的一个法向量m2=(2,1,2). m·à-了十号=0 8分 设平面PMC与平面PMQ的夹角为O, 所以cos产osme=m: 2+2+2 6 √/1+4+1×W4+1+4 39 即平面PMC与平面PMQ的夹角的余弦值为号。 …10分 (3)解：以C为坐标原点，直线CA和CN分别为x,y轴，过C作平面 ACNM的垂线为之轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设P(0,s,u) (u>0),N(0,t,0)(0<t2),Q(-1,0,0),A(-2,0,0),M(t-2,t,0), AM=(t,t,0),PQ=(-1,-s,-u),又AM⊥PQ,所以AM·PQ=-t-st =0,解得8=-1，…11分 则P(0,一1，u),则PM=(t-2,t十1，-u),又PM=√2PN,所以(t一2)2 +(t+1)2+(-u)2=2(2-t)2,整理得2=3-6t,且2=3-6t>0,t> 0,得0< 12分 易得平面ACM的一个法向量为n=(0,0,1),设直线PM与平面ACM所成角为B, 1威m-密品 √(t-2)2+(t+1)2十 3-6t 3-6t6(1-2t) 则simB2-)++1)2+3-6t2r-8+8(21-4) 6(1-2t) 6 [3十(1-2t)￥ 1-2t)+1-2t 9 +6 …14分 令1-21=A(0,1),函数f)=+是+6在0，D上单调递减，fa)>f1)=16, 因此1-2)+号2，十6>16，则0<simg长g,解得0<s如5。 所以直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围是(o,) 17分 【高二上学期期中联考·数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-189B开封五校2025~2026学年上学期期中联考 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.经过两点A(2,3),B(3,4)的直线的倾斜角为 A3受 B受 c晋 D. 2.已知点M在平面ABC内，且对于平面ABC外-点0，满足OM=λOA+号O+C心，则X= A司 B是 c 3方程千g+千=1表示焦点在轴上的椭圆，则k的取值范园为 A(-3,+∞) B.（-2,+∞) C.（-1,+∞) D.(0,十∞） 4.若点A(1,2)在圆x2+y2十2x一4y十a=0外，则实数a的取值范围为 A.a>1 B.1<a<5 C.a<5 D.2<a<6 5.已知点P(1,一2,1)，Q(1,2,3),点P在平面a内，若平面a的法向量n=(1,0,1),则点Q到 平面α的距离为 A.2 B.3 C.√2 D.1 6.一束光线从点A(一1,0)出发，经直线：2x一y十3=0上一点P反射后，恰好穿过点 B(1,0),则反射光线PB所在的直线在y轴上的截距为 A-号 B号 c-为 D.号 7.已知圆C:(x+1)2+y2=2(r>0)上仅有两个点到直线1：3x-4y-12=0的距离为1，则 r的取值范围为 A.（2,4) B.(3,5) C.(4,6) D.(5,7) 【高二上学期期中联考·数学第1页（共4页）】 26-L-189B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫播ApP 8.椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有 一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标 系Oy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭 圆”C的方程为x2十y2一xy=9,则该“斜椭圆”C的离心率为 A B号 ci n 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若直线l1:3x十y-4=0,l2:x一y=0,l3:2x一3my一4=0不能构成三角形，则m的取值可 能是 A一是 B号 c-号 D 10.已知耳，F是精圆C:若十y-1的左右焦点，P是C上一点，若△PRR是直角三角形， 则|PF|= A号 B.√2 C.2 Di 11.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C中，侧棱长为3，AB=2,空间中一点P满足A2=xA言+ yAA1(x,y∈[0,1])，则 A若x=号，则三棱锥P-AA:C的体积为定值 B若y=司，则点P的轨迹长度为3 B C.若x+y=1,则PB的最小值为5Y⑧ 13 D.若x=y,则点P到BC的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,一1,3)，b=(x,2,一1)，若a⊥(a一b),则x= 18,已知椭圆C:号+苦-1的左右焦点分别为R,R,P为C上一点，则PR·PF,的取 值范围为 14.已知圆C:x2十(y一3)2=1，点P(t,0)为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为 M,N若两条切线PM,PN与直线y=1分别交于A,B两点，则|AB|的最小值为 【高二上学期期中联考·数学第2页（共4页）】 26-L-189B C③扫描全能王 3亿人都在用的扫播ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知直线x十y一2=0与直线x一2y+1=0相交于点P. (1)求过点P且与直线x一2y十1=0垂直的直线的方程； (2)求过点P且在x轴上的截距是在y轴上截距2倍的直线的方程 16.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,AB=BC=BB1=2,D,E分别为AB,CC1的 中点 (1)判断直线DE与平面AB1C的位置关系，并说明理由； (2)求异面直线AB1与BE所成角的余弦值. B 17.(本小题满分15分) 在平面直角坐标系xOy中，点E(一2,0)，F(1,0),动点P满足|PE=√2|PF|,记动点P 的轨迹为曲线厂， (1)求Γ的方程； (2)过F的两条互相垂直的直线与曲线Γ分别相交于A,B两点和C,D两点，求四边形 ACBD面积的最大值， 【高二上学期期中联考·数学第3页（共4页）】 26-L-189B C③扫描全能王 3亿人都在用的扫播ApP 18.(本小题满分17分) 已知椭圆E:器+芳-1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B,且AB=42,椭圆E的焦距 为4. (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知点M,N(M,N不在x轴上)是椭圆E上不同的两点. ()求直线AM,BM的斜率之积； (ⅱ)若直线AN的斜率是直线BM的斜率的3倍，试判断直线MN是否过定点？若是， 求出定点的坐标；若不是，请说明理由， 19.(本小题满分17分) 如图1，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,M,N分别是BA,BC边上的动点（不同于端 点)，且MN∥AC,将△BMN沿MN折起到△PMN的位置，得到四棱锥P-ACNM,如图 2所示，点Q是线段AC的中点， M p 图1 图2 (1)求证：MN⊥PC; (2)若PN=2NC,当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，求平面PMC与平面PMQ的 夹角的余弦值， (3)若AM⊥PQ,求直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围. 【高二上学期期中联考·数学第4页（共4页）】 26-L-189B CS扫描全能王 3亿人都在用的扫推ApP