精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年八年级上学期期中检测数学试题（A班）

丰城九中期中考试八年级数学A卷 总分：120分；考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三边长，且满足，则此三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 三边都不相等的三角形 3. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 4. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 6. 如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个． A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，，还需补充一个条件______________，就可直接根据“”证明． 8. 等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 9. 已知在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则______． 10. 小聪一笔画成了如图所示的图形，则的度数为_________． 11. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为___________． 12. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，小王买来通过测量得到一组数据：，．求证：． 14. 已知三角形的两边，第三边是． （1）求第三边的取值范围； （2）若第三边的长是偶数，求三角形的周长． 15. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．若的周长为18，求的长． 16. 如图，在和中，，，，连接，，当点，，在同一条直线上时，请判断线段和的数量及位置关系，并说明理由． 17. 如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． （1）如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． （2）如图②，过点P作直线，使得． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． （1）求、的长； （2）若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 19. 如图，在中，，为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且． （1）若．求的度数； （2）求证：． 20. 如图，在中，，是边上的一点，过点作交于点，，连接交于点． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． （1）和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 22. 【问题】如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则；若，则． 【探究】（1）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （2）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中期中考试八年级数学A卷 总分：120分；考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 故选：． 2. 已知三边长，且满足，则此三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 三边都不相等的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：，求出即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 3. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】A 【解析】 【分析】利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案． 【详解】解：根据多边形的内角和可得：， 解得：． 则这个多边形是五边形． 故选：A． 【点睛】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式． 4. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 6. 如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个． A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：如图， AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C， AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C， 所以，满足条件的点C的个数是4+4=8． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意AB是腰长与底边两种情况讨论求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，，还需补充一个条件______________，就可直接根据“”证明． 【答案】 【解析】 【分析】本题旨在依据“ASA”的三角形全等判定定理，结合已知的，找出还需补充的条件，使和满足“ASA”的要求 【详解】ASA判定定理要求两个三角形有两角及其夹边对应相等 已知，且两个三角形有公共角 此时，若补充，那么在和中： 满足“ASA”的判定条件，可证明 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形全等的“ASA”判定定理，掌握两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）是解题的关键 8. 等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 9. 已知在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 小聪一笔画成了如图所示的图形，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接，由三角形外角的性质可推出，则可证明，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，则的值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 12. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由角平分线的定义并结合三角形内角和定理求出，再由三角形内角和定理计算即可判断①；过点作于，于，于，由角平分线的性质定理可得，从而可得平分，即可判断②；证明，得出，再证明，同理可得，得出，，即可判断④；没有条件得出，即可判断③；从而得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、分别是与的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于，于， ， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，， 两式相加可得：， ∵， ∴，故④正确； 没有条件得出，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，小王买来通过测量得到一组数据：，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．在和中，根据全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】略 14. 已知三角形的两边，第三边是． （1）求第三边的取值范围； （2）若第三边的长是偶数，求三角形的周长． 【答案】（1） （2）三角形的周长为16或18 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边． （1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）根据（1）中的取值范围，再根据c为偶数解答即可． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系可得， 即； 【小问2详解】 解： 又第三边的长为偶数， 取6或8． 三角形的周长为16或18． 15. 如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接．若的周长为18，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：是边的垂直平分线，， ， 的周长为18， ， ， ． 16. 如图，在和中，，，，连接，，当点，，在同一条直线上时，请判断线段和的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】 结论：且； 理由如下： ， ． ． 在和中 ， ≌（SAS） ，， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】先判断出△DAB≌△EAC，得出BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，进一步利用角之间的关系即可得出结论． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形性质、三角形的内角和定理等知识，判断出△DAB≌△EAC是解本题的关键． 17. 如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． （1）如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． （2）如图②，过点P作直线，使得． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，在中，是边上的中线，和的周长之差为2，且与的和为14． （1）求、的长； （2）若，E是的中点，如图2，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线．熟练掌握三角形的中线的性质，三角形周长公式，三角形面积公式，是解题的关键． （ 1）根据三角形中线的定义，．所以和的周长之差也就是与的差，然后联立关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （ 2）先求得的面积，根据，计算即可． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴． ∴的周长的周长 ． 即①． 又②， 得．， 解得． ∴． ∴和的长分别为：． 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵是边上的中线，E为的中点， ∴． ∴． 19. 如图，在中，，为中点，点是延长线上一点，点是上一点，连接并延长交于点，且． （1）若．求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明：∵为中点，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠C=50°，可求得∠BAC=80°，再根据外角的性质、等边对等角得∠AFE=∠AEF=40°； （2）由等腰三角形三线合一得∠BAD =40°=∠AEF，从而AD//EG． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 20. 如图，在中，，是边上的一点，过点作交于点，，连接交于点． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，且， ， 在和中 ， ， ， ， ∴是等腰三角形， ， ∴垂直平分； （2）6 【解析】 【分析】（1）先证，即可得出是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据：，得出，结合，求出，根据垂直平分，得出，再在，根据直角三角形的性质求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定与等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握直角三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 我们规定：两组边相等及其夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形，如图，在和中，，，，． （1）和 兄弟三角形；（填“是”或“不是”） （2）取的中点P，连接，求证：，小林同学根据求证的结论，想起了老师上课讲的“中线倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题，试帮小林同学完成证明过程． 【答案】（1）是 （2） 证明：延长至E，使， 由条件可知， 在和中，， ∴（）， ∴， ∴， ∴， 由条件可知， ∵，， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）证明（），由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 解：由条件可知， 又∵，， ∴和是兄弟三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 22. 【问题】如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则；若，则． 【探究】（1）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （2）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 【答案】【问题】（1）；（2）； 【探究】（1）； （2）解：． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解． 【详解】问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：； 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）略 六、（本大题共12分） 23. 【基础回顾】 （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，分别从点B、C向直线l作垂线，垂足分别为D、E．求证：； 【变式探究】 （2）如图②，在中，，直线l经过点A，点D、E分别在直线l上，如果，猜想DE、BD、CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边、为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点H，若点D到直线的距离为2，则点E到直线的距离为______． 【答案】 （1）证明：在中，，， ， ， ， ， 在和中， ； （2）， 证明：，， ， 在和中， ， ，， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点E作于点M，作，交的延长线于点N，利用全等三角形的判定和性质得出，，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点E作于点M，作，交的延长线于点N， ， ， ， 在和中， ， 同理可得，在和中， ， ，， ， 点D到直线的距离为2， ， 点E到直线的距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $