专题04 椭圆的标准方程及性质5大考点（期末真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期人教A版

专题04 椭圆的标准方程及性质 5大高频考点概览 考点01 椭圆的标准方程 考点02 椭圆的焦点三角形 考点03 椭圆的离心率 考点04 与椭圆有关的最值 考点05 直线与椭圆 地 城 考点01 椭圆的标准方程 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线上的点到其焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（    ） A． B．3 C．4 D． 4．(23-24高二上·宁夏固原·期末)如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 5．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 6．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知直线经过椭圆的两个顶点，则椭圆的一个焦点为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 三、填空题 9．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)椭圆上一点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为 . 10．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 地 城 考点02 椭圆的焦点三角形 一、单选题 1．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 2．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)若点为椭圆上的点，、为其左右焦点，且，则的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 4．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 5．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 三、填空题 6．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为 . 四、解答题 7．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 地 城 考点03 椭圆的离心率 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)椭圆的左、右焦点分别为，是上两点，，，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则 ． 地 城 考点04 与椭圆有关的最值 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为 B．当最大时， C．椭圆离心率为 D．面积最大值为 3．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．当最大时， C．离心率为 D．的最小值为3 三、填空题 4．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知椭圆，点为椭圆的左顶点，若点在椭圆上，点为椭圆上任意一点，则面积的最大值是 ． 四、解答题 5．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知椭圆：过点 ，且短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆上点到直线：的最短距离 地 城 考点05 直线与椭圆 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 二、解答题 3．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知椭圆，点，在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)求椭圆C上点到直线距离的最大值； (3)过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求（O为原点）面积的最大值． 6．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程，并求出最大面积. 7．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知椭圆的离心率为，点在上，为坐标原点． (1)求的方程； (2)已知直线与有两个交点，线段的中点为． ①证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值． ②若，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 8．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知椭圆的离心率为，其中左焦点． （1）求椭圆的方程． （2）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值． 9．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程 10．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值． 11．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 12．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，且右焦点F到直线：的距离为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆C上的任一点，从原点O向圆M：引两条切线，设两条切线的斜率分别为，（），求证：为定值； (3)在（2）的条件下，当两条切线分别交椭圆于P，Q时，求的最大值． 13．(23-24高二上·宁夏固原·期末)椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． 14．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 15．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆：是等差椭圆，求的值； (2)对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 椭圆的标准方程及性质 5大高频考点概览 考点01 椭圆的标准方程 考点02 椭圆的焦点三角形 考点03 椭圆的离心率 考点04 与椭圆有关的最值 考点05 直线与椭圆 地 城 考点01 椭圆的标准方程 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，化简椭圆的方程为，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由椭圆，可化为， 可得，则， 又由椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：C. 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线上的点到其焦点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆方程可求得右焦点坐标，即抛物线的焦点，从而求得抛物线方程，进而利用抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】对于椭圆，， 则，则椭圆的右焦点为， 即抛物线的焦点为，故， 所以抛物线上的点到其焦点的距离为. 故选：C. 3．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】由方程得出的坐标，再由距离公式求解即可 【详解】因为椭圆的左顶点为A，上顶点为B， 所以，， 所以． 故选：D 4．(23-24高二上·宁夏固原·期末)如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【答案】A 【分析】对给定式子研究几何意义，结合椭圆定义即可证明. 【详解】观察给定式子，， 表示到，的距离之和为， 结合椭圆定义可得的轨迹是椭圆. 故选：A 5．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可. 【详解】设，，则， 将A，B的坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形为， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 6．(23-24高二上·宁夏育才中学·期末)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，，且的周长为8．则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为的周长为8， 所以， 由椭圆的定义可知： 所以， 由题意可得：，解得， 因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为． 故选：C 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 7．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知直线经过椭圆的两个顶点，则椭圆的一个焦点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线与坐标轴的交点即得椭圆的两顶点，从而可得焦点坐标. 【详解】解：由已知与坐标轴的交点为， 所以椭圆的两个顶点分别为， 故椭圆， 焦点在y轴上，一个焦点为. 故选：A. 二、多选题 8．(24-25高二上·宁夏六盘山高级中学·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 三、填空题 9．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)椭圆上一点到左焦点的距离为6，则到右焦点的距离为 . 【答案】2 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由可得，所以， 由椭圆的定义可得， 所以， 故答案为：. 10．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为方程所表示的曲线是椭圆， 所以满足，解得或, 因此的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点02 椭圆的焦点三角形 一、单选题 1．(24-25高二上·青海海南州部分学校·期末)椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，所以，故的周长为． 故选：C 2．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果. 【详解】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 故选：D 3．(23-24高二上·宁夏固原·期末)若点为椭圆上的点，、为其左右焦点，且，则的面积为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求得，再根据余弦定理、同角三角函数的基本关系式和三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】依题意， 根据椭圆的定义有，解得或， 所以，所以是钝角， 所以， 所以. 故选：B 二、多选题 4．(23-24高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】由椭圆C：，得，则， 所以， 因为点P是椭圆上的一个动点，所以， 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得， ， 即，则， 所以， 所以的面积为，故B正确； 对于C，当点位于椭圆得上下顶点时，最大， 当点位于椭圆得上下顶点时，， 此时为等边三角形，故的最大值为， 所以椭圆C上不存点，使得，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 经检验符合题意，所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 5．(23-24高二上·青海西宁部分学校·期末)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为6 C．的周长为10 D．存在点P，使得为等边三角形 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的方程确定a、b、c，即可判断选项A、B、C；当点P在短轴端点时有，判断与是否相等，即可判断选项D. 【详解】由椭圆C：，可得，，则， 对于选项A，椭圆C的离心率，故A正确； 对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得，故B正确； 对于选项C，的周长为，故C错误； 对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得，，此时为等边三角形，故D正确． 故选：ABD 三、填空题 6．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)设，是椭圆：的两个焦点，为椭圆上的点，当时，的面积为 . 【答案】4 【分析】根据椭圆的方程求得c，得到，设出，，利用勾股定理以及椭圆的定义，可求得的值，即可求出三角形面积． 【详解】∵，；∴，因为，所以， 设，， 则①，②， 由①2﹣②得， ∴． 故答案为：4． 四、解答题 7．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡第一中学·期末)已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦距求出，再根据在椭圆上，求出，可得，由，求出，得到椭圆的标准方程； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【详解】（1）由是椭圆的焦点， 且，则， 因为点在椭圆上，所以 则 由，则由， 所以椭圆的标准方程： （2）在中，，， 由余弦定理得， 即， 又由椭圆的定义，可得， 两边平方得， 即，解得， 所以的面积. 地 城 考点03 椭圆的离心率 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)椭圆的左、右焦点分别为，是上两点，，，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由条件，设 ，则，在中有 ， 整理有: ，即 ，即，在 中有，， 将代入得： ，即，即，即 . 考点：1.椭圆的标准方程与性质；2.勾股定理. 2．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知椭圆的左，右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得A、C两点纵坐标之间的关系，进而得到椭圆之间的关系. 【详解】由，可得，则 令，则，代入椭圆方程可得 ，整理得 可化为，则，或（舍） 故椭圆的离心率为 故选：A 3．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，依题意可得，结合即可求得椭圆的离心率. 【详解】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为， 则，且， 所以，，， 依题意为等腰三角形，， 所以，化简得，又， 所以，即， 解得，又，所以， 即椭圆的离心率为. 故选：B    三、填空题 4．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则 ． 【答案】2 【分析】解法一：由离心率得，，设，，结合椭圆定义及题干求得，，然后利用等比三角形面积列式求得，即可得解； 解法二：由离心率得，，设，，，结合椭圆定义及题干，利用余弦定理得，利用面积公式列式求解即可. 【详解】解法一：由题得，所以，，设，， 则，由题知， 将代入，得，解得，故， 所以是等边三角形，故，得，得． 解法二：由题得，所以，，设，，， 则，， 由余弦定理得， 故，得． 故答案为：2 地 城 考点04 与椭圆有关的最值 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 二、多选题 2．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的短轴长为 B．当最大时， C．椭圆离心率为 D．面积最大值为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义得到，进而判断当轴时，最小，此时最大，进而求出b,c,即可判断A,B,C.设出直线AB并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D. 【详解】由题意：，根据椭圆的定义可知，，则的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当轴时，最小，此时最大，如图： 将代入椭圆方程得：，则. 所以短轴长为，A错误；此时，B正确；，C正确； 对D，设，，代入椭圆方程得：，则， 所以，记，于是，由对勾函数的图象和性质可知：函数在上是增函数，则函数在上是减函数.于是，当u=1，即t=0时，面积最大值为.故D错误. 故选：BC. 【点睛】本题答案D的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到；在处理最好采用换元法，这样可以简化运算. 3．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．当最大时， C．离心率为 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误. 【详解】由题意知，所以． 因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确． 当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确． 由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得， 所以椭圆的短轴长为，故A正确． 易得，所以，故C错误． 故选：ABD. 三、填空题 4．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知椭圆，点为椭圆的左顶点，若点在椭圆上，点为椭圆上任意一点，则面积的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】首先求出直线的方程，设与直线平行的直线方程为，当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值，联立直线与椭圆方程，消元由，求出的值，找到与距离比较远的直线方程，利用平行线间的距离公式求出高，再求出，即可得解． 【详解】因为为上一点， 所以，解得：，所以 由题意可知，直线的方程为， 设与直线平行的直线方程为， 当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值． 将代入椭圆方程，消去整理得， ，解得或4． 所以直线方程为或 与距离比较远的直线方程是， 两平行线之间的距离， 又， 的面积的最大值是． 故答案为： 四、解答题 5．(23-24高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期末)已知椭圆：过点 ，且短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆上点到直线：的最短距离 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意得，椭圆且过点，从而求解. （2）设出直线的平行线与椭圆相切时即可求出最小值，从而求解. 【详解】（1）由题意知，得，又点在椭圆上，所以， 所以椭圆的方程为. （2） 不妨设与直线：平行的直线与椭圆相切， 联立，消去并整理得， 因为，解得， 当时，直线与直线的距离； 当时，直线与直线的距离， 因为，所以符合题意，故距离的最小值为. 【点睛】方法点睛：求椭圆上到直线：的最小距离可转化为与直线平行且与椭圆相切的直线，然后利用直线与椭圆的位置关系即可求解. 地 城 考点05 直线与椭圆 一、单选题 1．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法求解得，再根据点斜式求解即可得答案. 【详解】设，则 所以，整理得， 因为为弦的中点， 所以， 所以， 所以弦所在直线的方程为，即. 故选：A. 2．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 二、解答题 3．(24-25高二上·青海西宁大通县·期末)已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据定义先求出，然后利用圆上的点到圆心的距离为半径求出，最后求出和椭圆方程； （2）先联立得到的取值范围，然后得到面积的解析式，根据函数性质求得面积最大值，最后判断是否符合要求即可. 【详解】（1）因为，所以， 又且以为圆心的圆与直线相切，所以， 又圆过点，所以，解得， 所以， 故椭圆方程为； （2）如图所示，    不妨令直线，， 联立，得， 所以，解得， 又， 且点到直线的距离为， ， 所以， 当且仅当时取到最大值，此时满足， 所以. 【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解决解析几何的基本功，需要大量的训练和练习. 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期末)已知椭圆，点，在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)求椭圆C上点到直线距离的最大值； (3)过椭圆C右焦点F的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所过点得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用三角换元法，结合点线距离公式与三角函数恒等变化即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合题设条件得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得，， 故椭圆的方程为. （2）因为点在椭圆上，不妨设， 则点到直线距离为 ，其中， 所以当，即时，取得最大值，为， 即椭圆C上点到直线距离的最大值为. （3）假设存在，由于， 当直线斜率为0时，l方程为，点P在x轴上任意点都符合题意， 当直线斜率不为0时，可设直线l方程为，，， 联立方程组，得， 易知，则，故， 则， 即， 则，即， 所以，因此， 此时，显然直线斜率为0时也符合题意， 即存在点使得． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 5．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)已知椭圆的长轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求（O为原点）面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出，，从而求出，从而求出椭圆方程； （2）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立后得到两根之和，两根之积，表达出弦长和面积，结合基本不等式求出最值. 【详解】（1）根据题意，知，即． 又离心率，所以， 可得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由题意，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为． 由，得． 由，得． 设，， 则，， 所以 ． 点到直线AB的距离， 所以． 令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时，所以的面积的最大值为． 6．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第一中学·期末)椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)设直线过点，且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程，并求出最大面积. 【答案】(1)； (2)直线方程为，. 【分析】（1）由离心率及长轴长求椭圆参数，即可得方程； （2）设，直线为，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式可得，应用换元法及对勾函数性质求面积最大值，并确定对应k值，即可得直线方程. 【详解】（1）由题意，解得，则，椭圆的方程为：. （2）由题意，直线斜率必存在，设，直线为，    联立，得，. 则，， 又， 令，则， 又在单调递增， 当，即，即时，面积最大， 此时直线为，且. 7．(23-24高二上·宁夏固原·期末)已知椭圆的离心率为，点在上，为坐标原点． (1)求的方程； (2)已知直线与有两个交点，线段的中点为． ①证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值． ②若，求面积的最大值，并求此时直线的方程． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②，或 【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点联立方程求出得解； （2）①联立直线与椭圆方程，求出，计算斜率即可得证；②求出弦长及点到直线的距离，得出三角形面积，由均值不等式求最大值，由等号成立条件求直线方程. 【详解】（1）依题意有， 所以， 所以的方程为 （2）如图， 设， ①由得，， 由可得， 所以，故， 则，则， 所以（定值） ②当，所以， 由得，， 由得， 又， 所以， 因为，所以到距离， 所以 ，当且仅当，即时， 等号成立，此时直线方程为或． 8．(23-24高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知椭圆的离心率为，其中左焦点． （1）求椭圆的方程． （2）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】(1)根据条件列出关于，求解方程组，即可得到椭圆的方程； (2)联立直线方程与椭圆方程，根据中点坐标公式以及韦达定理求得中点的横纵坐标关于的表达式,代入圆方程解得的值,注意要检验满足判别式大于0的条件. 【详解】（1）由题意，得,解得，∴椭圆的方程为； （2）设点、的坐标分别为，，线段的中点为， 由消得， ，（*）， ， ∵点在圆上， ， ，满足（*）， . 【点睛】本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程,考查基本分析转化求解能力,属中档题.关键是要熟练利用韦达定理和中点坐标公式,并注意检验是否满足判别式大于0的条件. 9．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期末)已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，其离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求直线的方程 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案. （2）首先设出直线方程，与椭圆联立，利用根系关系和弦长公式即可得到方程，再解方程即可得到答案. 【详解】（1）由题意知 解得，. 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，得， 其判别式. 设点，坐标分别为，，则，. 所以， 整理得，解得或， 所以或. 综上，直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的弦长问题，本题中将直线方程代入椭圆的标准方程，再利根系关系和弦长公式得到所求的等量关系为解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题. 10．(23-24高二上·宁夏银川贺兰县第二高级中学·期末)已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算，并代入韦达定理，可求得实数的值. 【详解】（1）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为， 所以， 又椭圆的离心率为，即， 所以，可得，，所以， 椭圆的方程为； （2）由，消去得， 设、，则有，，①. 因为以为直径的圆过点，所以． 由，，得． 将，代入上式， 得． 将①代入上式，可得， 整理可得，解得或． 11．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)已知椭圆的左焦点为F，离心率为，且C经过点. (1)求C的方程； (2)已知是椭圆内一点，过点M任做一条直线与椭圆交于两点，求以M为中点的弦所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率的定义并将已知点代入椭圆求出椭圆的标准方程；（2）根据已知条件求出直线斜率，用点斜式写出直线方程. 【详解】（1）依题意可得，解得，所以椭圆方程为； （2）若弦所在直线斜率不存在，根据椭圆的对称性，中点的纵坐标一定是， 同理，若斜率为，则中点的横坐标一定是，与已知矛盾， 故所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为. 因为M在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，设两个交点为， 将两个点代入椭圆，有：，，两式作差得， 由于是的中点，故，代入上式化简可得， 得到，求出， 所以中点弦的方程为，整理得到：. 故以为中点的弦所在直线方程为：. 12．(24-25高二上·宁夏银川第二中学·期末)在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，且右焦点F到直线：的距离为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆C上的任一点，从原点O向圆M：引两条切线，设两条切线的斜率分别为，（），求证：为定值； (3)在（2）的条件下，当两条切线分别交椭圆于P，Q时，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】（1）分别求出a、b的值即可. （2）设出切线方程，由圆与直线相切列式可得，是方程的两个不相等的实数根，结合韦达定理及点在椭圆上即可求得结果. （3）设出设，，由可得，再结合点P、Q在椭圆上即可得、的值，进而可求得的值，再结合重要不等式即可求得结果. 【详解】（1）依题意，，解得，，， 所以椭圆C的方程为； （2）依题意，两条切线方程分别为，， 由，化简得， 同理． 所以，是方程的两个不相等的实数根， 则． 又因为，所以， 所以. （3）由（2）得，，设，，则，即， 因为，所以， 得，即， 解得， 所以， 所以． 所以．当且仅当时，取等号． 【点睛】圆锥曲线中的定值问题的方法点睛： （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． （3）求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 13．(23-24高二上·宁夏固原·期末)椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合椭圆垂直于长轴的弦长公式进行求解即可； （2）根据直线是否存在斜率，结合平面向量的坐标运算公式、一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有， 在方程中，令，解得， 因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1， 所以有，由可得：， 所以椭圆的方程为； （2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意； 当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为， 于是有， 因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有， 化简，得， 设，于是有， 因为， 所以， 代入中，得， 于是有， 化简，得，代入中，得. 【点睛】关键点睛：本题的关键是由向量等式得到. 14．(23-24高二上·青海海南州贵德高级中学·期末)已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可. 【详解】（1）由椭圆的定义知，，∴， 又∵椭圆的离心率，∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. （2）∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点， 设，，当时，不合题意，故， ∵为线段的中点，∴，∴， 又∵，均在椭圆上，∴， 两式相减，得，即， ∴，∴，即， ∴直线的方程为，即． 15．(24-25高二上·宁夏吴忠青铜峡宁朔中学·期末)焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆：是等差椭圆，求的值； (2)对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】（1）由新定义得出的关系，结合可求得； （2）由题意求出椭圆的方程，联立直线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简即可得解. 【详解】（1）因为椭圆是等差椭圆，所以， 所以，又， 所以， 化简得. （2）由且可知，，. 所以椭圆方程为，如图， 联立直线得， ，，设，， 则，， ，， ，，， 把，代入，得， 所以存在实数，使得. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $