2026年中考数学复习之小题决胜演练三角形

2026年中考数学复习之小题决胜演练 三角形 一．选择题 1．若三角形三边长分别是2、5、x，则x的取值范围是（　　） A．4≤x＜7 B．3＜x＜7 C．3＜x≤6 D．4≤x≤6 2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BDC＝2∠A，CD＝BD．若∠B＝50°，则∠A 的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．25° 3．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　） A．AB＝6，BC＝3，AC＝9 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝30° C．∠C＝90°，AB＝6，BC＝8 D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 4．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝18米，OB＝12米，则A、B间的距离不可能是（　　） A．5米 B．11米 C．17米 D．25米 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB的平分线为AD，AB＝7，CD＝2，△ABD的面积是（　　） A．7 B．2 C．3.5 D．14 6．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（　　） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 7．如图，△ABC为等边三角形，BC＝4，D为CA延长线上一点，过D作DE⊥BC交BC于点E，交AB于点F．当BE＝1时，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 8．如图，∠CAB＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABE 9．如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知AD：DC＝1：3，EG：GC＝1：2，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若S△ABF+S△CDG＝2，则S△ABC为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 二．填空题 11．如图，Rt△ABC的斜边AC的垂直平分线与AC，AB分别相交于点D，E，∠A＝15°，CE＝6，则△AEC的面积为　 　 ． 12．在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝　 　 ． 13．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　 　 时，△POQ是等腰三角形． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC，D为BC边上的一点，AD＝BD＝AC，则∠BAC的度数为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点D．若M、N分别是BD、AC的中点，则MN的长为　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，有下列四个结论：①线段AD上任意一点到点B，C的距离相等；②线段AD上任意一点到AB的距离与到AC的距离相等；③若Q为AD的三等分点，则△ACQ的面积是△ABC面积的；④若∠B＝60°，则．其中正确的有 　 　 ．（填序号） 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点A的直线交BC于点D，若∠CAD＝∠B，我们称AD是Rt△ABC的形似线，其中∠BAD＝m∠CAD，那么我们称AD是Rt△ABC的m倍形似线．已知直线AD是Rt△ABC的2倍形似线，则∠B＝　 　 度． 18．已知a，b，c为△ABC的三条边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝ 　 　 ． 19．如图，∠ABC＝60°，AB＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t＝　 　 s． 20．如图，已知在△ABC中，AB＝CB，BD是AC边上的中线，CE平分∠ACB，交BD于点E．若∠A＝62°，则∠CBD的度数为　 　 ；若BC＝6，BD＝5，BE：DE＝3：1，则△BCE的面积是　 　 ． 三．解答题 21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，∠C＝2∠D．求证：△ABD是等腰三角形． 22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）请说明AB与EC的大小关系； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 23．如图，△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AD＝5，BD＝2，求BC的长． 24．已知：CD＝BE，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．且BD、CE相交于点F．求证：AF平分∠BAC． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D，DF⊥BC于点F，连接EF，交BD于点H． （1）求∠DBC的度数； （2）求证：BD垂直平分EF． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 27．如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 　 　 厘米，BP的长为 　 　 厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 28．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接CE． （1）若△ABC的周长为26，BC＝10，求△ACE的周长； （2）若∠B＝45°，CE将∠ACB分成两个角，且∠ACE：∠BCE＝2：3，求∠A的度数． 29．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作BF⊥BA，交BA的延长线于点F，已知∠AEF＝55°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝12，AD＝6，CD＝14，且S△ACD＝30，求△ABE的面积． 30．阅读与证明 “三等分任意角”是公元前5世纪古希腊学者提出并致力于研究的三大作图难题之一，其核心要求是仅用圆规和无刻度直尺，将任意给定的角精确分成三个相等的部分．两千多年间，无数数学家为攻克这一难题耗费了大量心血，却始终未能找到通用解法．直到1837年，数学家凡齐尔运用代数方法完成证明，明确了仅靠圆规和直尺无法三等分任意角，这一结论终于让人类走出了这座困扰已久的数学迷宫．不过研究过程中也发现了例外情况：部分特殊度数的角（如直角）仍可用尺规实现三等分；而对于任意角，若借助专门的特殊工具，同样能够完成三等分操作．以下是三种做法，请你认真阅读并完成证明： （1）阿基米德创设的方法是：在图（2）中，点O为直尺的端点，预先在直尺上作一个记号点P，以B为圆心，OP为半径作半圆，与边BA和BC分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边BC的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺恰好经过点N时，过点B画ON的平行线BE．请你依据图（2），完成证明：∠EBC∠ABC； （2）用“有刻度的勾尺”（勾尺的两边互相垂直）的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，MN⊥PR于点Q，PQ＝QR．画直线DE∥BC，并且DE与BC之间的距离等于PQ．移动勾尺到合适位置，使顶点P落在DE上，使勾尺的边MN经过点B，同时让点R落在边BA上，请你依据图（3），完成证明：∠RBQ∠ABC． （3）下面是方圆同学仅仅利用带刻度尺将∠BAC三等分的过程，做法如下： ①将∠BAC放置在边长为0.5cm的正方形网格中，边AB与水平方向的网格线平行，并AC经过格点M，且AM＝1.5cm； ②调整刻度尺的位置，使得刻度尺经过点A，且线段EF（点E、F均在网格线上）的长度为3cm； ③画射线AE，此时∠BAC＝3∠BAE． 方圆同学的方法证明过程如下： 已知：如图，EF＝2AM，∠EMF＝90°，AB∥EM． 求证：∠BAC＝3∠BAE． 作线段ME的垂直平分线，交AE于点D，连接DM．请你根据提示，作出辅助线，并完成证明． 参考答案 一．选择题（共20小题） 1．若三角形三边长分别是2、5、x，则x的取值范围是（　　） A．4≤x＜7 B．3＜x＜7 C．3＜x≤6 D．4≤x≤6 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7． 故选：B． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 2．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BDC＝2∠A，CD＝BD．若∠B＝50°，则∠A 的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．25° 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：∵CD＝BD，∠B＝50°， ∴∠BCD＝∠B＝50°， ∴∠BDC＝80°，∵∠BDC是△ADC的外角，∠BDC＝2∠A， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A， ∴∠A＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 3．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　） A．AB＝6，BC＝3，AC＝9 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝30° C．∠C＝90°，AB＝6，BC＝8 D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 【分析】对于选项A，由于AB＝6，BC＝3，AC＝9，不满足构成三角形的条件，则不能唯一画出△ABC，； 对于选项B，由于AB＝5，BC＝4，∠A＝30°，不满足全等三角形的条件，则不能唯一画出△ABC； 对于选项C，根据∠C＝90°则斜边AB为最大，再根据AB＝6，BC＝8得满足该选项条件的直角三角形不存在，则不能唯一画出△ABC； 对于选项D，由∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，满足全等三角形的条件，则能唯一画出△ABC，综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， ∴AB＝6，BC＝3，AC＝9， ∴AB+BC＝AC，不满足构成三角形的条件， ∴该选项中的条件不能唯一画出△ABC， 故选项A不符合题意； 对于选项B， ∵AB＝5，BC＝4，∠A＝30°不满足全等三角形的条件， ∴该选项中的条件不能唯一画出△ABC， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵∠C＝90°， ∴斜边AB为最大， 又∵AB＝6，BC＝8， ∴满足该选项的直角三角形不存在， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4满足全等三角形的条件， ∴该选项中的条件能唯一画出△ABC， 故选项D符合题意， 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，三角形三边之间的关系，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，三角形三边之间的关系，直角三角形的性质是解决问题的关键． 4．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝18米，OB＝12米，则A、B间的距离不可能是（　　） A．5米 B．11米 C．17米 D．25米 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到6＜AB＜30，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：18﹣12＜AB＜18+12， ∴6＜AB＜30， ∴A、B间的距离不可能是5米． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB的平分线为AD，AB＝7，CD＝2，△ABD的面积是（　　） A．7 B．2 C．3.5 D．14 【分析】作DE⊥AB于点E，由∠ACB＝90°，得CD⊥AC于点C，由∠CAB的平分线为AD，根据角平分线的性质得DE＝CD＝2，而AB＝7，则S△ABDAB•DE＝7，于是得到问题的答案． 【解答】解：作DE⊥AB于点E， ∵∠ACB＝90°， ∴CD⊥AC于点C， ∵∠CAB的平分线为AD，DE⊥AB于点E，CD⊥AC于点C， ∴DE＝CD＝2， ∵AB＝7， ∴S△ABDAB•DE7×2＝7， 故选：A． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 6．把一块质地均匀的三角形木板用一根绳子悬挂起来，若要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形（　　） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【分析】根据三角形的重心的性质判断． 【解答】解：要使木板面呈水平位置，则这个绳子的挂钩应设在三角形的重心，即三条中线的交点处， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念，熟记三角形的重心是三角形的三条中线的交点是解本题的关键． 7．如图，△ABC为等边三角形，BC＝4，D为CA延长线上一点，过D作DE⊥BC交BC于点E，交AB于点F．当BE＝1时，则AD的长为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【分析】根据等边三角形的性质得AC＝BC＝4，∠C＝60°，得到∠D＝30°，则CE＝BC﹣BE＝3，由含30°角的直角三角形的性质得CD＝2CE＝6，利用AD＝CD﹣AC即可求出AD的长． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BC＝4， ∴AC＝BC＝4，∠C＝60°， ∵DE⊥BC， ∴∠D＝30°， ∵BE＝1， ∴CE＝BC﹣BE＝3， ∴CD＝2CE＝6， ∴AD＝CD﹣AC＝6﹣4＝2． 故选：B． 【点评】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质． 8．如图，∠CAB＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（　　） A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABE 【分析】根据全等三角形的判定逐一进行分析． 【解答】解：当添加选项A时，不能说明△ABC≌△ABD，故符合题意； 当添加选项B时，利用SAS证明△ABC≌△ABD，故B不符合题意； 当添加选项C时，利用AAS可说明△ABC≌△ABD； 当添加选项D时，利用ASA证明△ABC≌△ABD． 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，注意SSA不能证明三角形全等． 9．如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③错误，利用等腰三角形的三线合一可判断④正确． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C， ∴ABCBAC＝90°C， ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠OBAABC，∠OABBAC， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝180°﹣（90°C）＝90°C， 故①正确； ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠FBCABC，∠OABBAC， ∵OD⊥BC， ∴∠EOD＝90°﹣∠OED， ∴∠EOD＝90°﹣（∠ABC+∠OAB） ＝90°﹣（∠ABCBAC） ＝90°（∠ABC+∠BAC+∠ABC） CABC C﹣∠FBC，故②正确； 作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，OD＝a， ∴OM＝ON＝OD＝a， ∵AB+BC+CA＝b， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB•OMBC•ODAC•ON （AB+BC+AC）•OD b•a ab， 故③错误； ∵AB＝BC，BF平分∠ABC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质及定义是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知AD：DC＝1：3，EG：GC＝1：2，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若S△ABF+S△CDG＝2，则S△ABC为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【分析】由F为AE中点得AF＝EF，设S△BAF＝S△BEF＝x，S△CAF＝S△CEF＝y，则S△ABE＝2x，S△ACE＝2y，由AD：DC＝1：3得，由EG：GC＝1：2得S△CDG＝y，可得x+y＝2，进而可求出S△ABC的值． 【解答】解：如图，连接DE，CF． ∵F为AE中点， ∴AF＝EF， ∴S△BAF＝S△BEF，S△CAF＝S△CEF 设S△BAF＝S△BEF＝x，S△CAF＝S△CEF＝y， ∴S△ABE＝2x，S△ACE＝2y， ∵AD：DC＝1：3， ∴， ∵EG：GC＝1：2， ∴， ∵S△ABF+S△CDG＝2， ∴x+y＝2， ∴S△ABC＝2x+2y＝4．， 故选：B． 【点评】本题考查了与三角形中线有关的面积问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二．填空题（共20小题） 11．如图，Rt△ABC的斜边AC的垂直平分线与AC，AB分别相交于点D，E，∠A＝15°，CE＝6，则△AEC的面积为　9　 ． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AE＝CE＝6，得到∠ACE＝∠A＝15°，由三角形的外角性质求出∠BEC＝30°，由含30度角的直角三角形的性质推出BCCE＝3，于是得到△AEC的面积AE•BC＝9． 【解答】解：∵DE垂直平分DC， ∴AE＝CE＝6， ∴∠ACE＝∠A＝15°， ∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝30°， ∵∠B＝90°， ∴BCCE＝3， ∴△AEC的面积AE•BC＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由线段垂直平分线的性质推出AE＝CE，由含30度角的直角三角形的性质得到BCCE． 12．在等腰△ABC中，如果过顶角的顶点A的一条直线AD将△ABC分别割成两个等腰三角形，那么∠BAC＝　90°或108°　 ． 【分析】根据题意画出图形，分类讨论，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质可得结论． 【解答】解：①当BD＝CD，CD＝AD时，如图①所示， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 设∠B＝∠C＝x， ∵BD＝CD，CD＝AD， ∴∠BAD＝∠B＝x，∠CAD＝∠C＝x， ∴4x＝180°， ∴x＝45°， ∴∠BAC＝2x＝45°×2＝90°； ②当AD＝BD，AC＝CD时，如图②所示， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C 设∠B＝∠C＝x， ∵AD＝BD，AC＝CD， ∴∠BAD＝∠B＝x，∠CAD， ∴180°﹣2x， 解得：x＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣2x＝180°﹣2×36°＝108°， 故答案为：90°或108°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论，利用三角形的内角和定理是解答此题的关键． 13．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　或10　 时，△POQ是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求． 【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时， 设t时后△POQ是等腰三角形， 有OP＝OC﹣CP＝OQ， 即10﹣2t＝t， 解得，ts； （2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s， 当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°， ∴△POQ是等边三角形， ∴OP＝OQ， 即2（t﹣5）＝t， 解得，t＝10s 故填或10． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC，D为BC边上的一点，AD＝BD＝AC，则∠BAC的度数为 　72°　 ． 【分析】由题意可得△ABC，△ABD，△ACD都是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【解答】解：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠C， ∵AD＝BD＝AC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠ADC＝2∠B， 设∠B＝x，则∠BAC＝2x＝∠C＝∠ADC＝∠BAC， 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°， 即2x+x+2x＝180°，解得x＝36°， ∴∠BAC＝72°， 故答案为：72°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和，设出未知数列出方程是解题关键． 15．如图，在△ABC中，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点D．若M、N分别是BD、AC的中点，则MN的长为　2　 ． 【分析】连接AM，AD，利用等腰三角形的性质得AM⊥BD，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【解答】解：连接AM，AD， ∵以A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点D． ∴AB＝AD， ∵M是BD的中点， ∴AM⊥BD， ∵N是AC的中点，AC＝4， ∴MNAC＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，有下列四个结论：①线段AD上任意一点到点B，C的距离相等；②线段AD上任意一点到AB的距离与到AC的距离相等；③若Q为AD的三等分点，则△ACQ的面积是△ABC面积的；④若∠B＝60°，则．其中正确的有 　①②④　 ．（填序号） 【分析】利用等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【解答】解：①∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴△ABC为等腰三角形， ∴BD＝CD， ∴AD垂直平分线段BC， ∴线段AD上任意一点到点B，C的距离相等，故①正确，符合题意； ②∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴△ABC为等腰三角形， ∴AD平分∠BAC， ∴线段AD上任意一点到AB的距离与到AC的距离相等，故②正确，符合题意； ③若Q为AD的三等分点，则△ACQ的面积是△ABC面积的或，故③错误，不符合题意； ④∵AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∵AD⊥BC， ∴，故④正确，符合题意． 综上，正确的选项为：①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点A的直线交BC于点D，若∠CAD＝∠B，我们称AD是Rt△ABC的形似线，其中∠BAD＝m∠CAD，那么我们称AD是Rt△ABC的m倍形似线．已知直线AD是Rt△ABC的2倍形似线，则∠B＝　22.5　 度． 【分析】设∠CAD＝∠B＝α，根据直线AD是Rt△ABC的2倍形似线，得到∠BAD＝2∠CAD＝2α，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：设∠CAD＝∠B＝α， ∵直线AD是Rt△ABC的2倍形似线， ∴∠BAD＝2∠CAD＝2α， ∵∠C＝90°， ∴∠CAB+∠B＝α+2α+α＝90°， ∴α＝22.5°， ∴∠B＝22.5度． 故答案为：22.5． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，正确地理解新定义是解题的关键． 18．已知a，b，c为△ABC的三条边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝ 　2b﹣2c ． 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边可得a+b＞c，a+c＞b，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＝b﹣（a+c）＜0， ∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c| ＝|a+b﹣c|﹣|b﹣（a+c）| ＝a+b﹣c﹣（a+c﹣b） ＝a+b﹣c﹣a﹣c+b ＝2b﹣2c． 故答案为：2b﹣2c． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 19．如图，∠ABC＝60°，AB＝6，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t＝　3或12　 s． 【分析】分∠APB＝90°、∠BAP′＝90°两种情况，根据含30°的直角三角形的性质解答． 【解答】′解：当∠APB＝90°时， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAP＝30°， ∴BPAB＝3，此时t＝3s， 当∠BAP′＝90°时， ∵∠ABC＝60°， ∴∠AP′B＝30°， ∴BP′＝2AB＝12，此时t＝12s， 综上所述：t的值为3s或12s， 故答案为：3或12． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 20．如图，已知在△ABC中，AB＝CB，BD是AC边上的中线，CE平分∠ACB，交BD于点E．若∠A＝62°，则∠CBD的度数为　28°　 ；若BC＝6，BD＝5，BE：DE＝3：1，则△BCE的面积是　　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质得BD⊥AC，BD平分∠ABC，作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE，根据BE：DE＝3：1求出EF＝DE，然后根据三角形面积公式求得即可． 【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵AB＝CB，BD是AC边上的中线， ∴BD⊥AC，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝90°﹣∠A＝28°； ∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC， ∴EF＝DE， ∵BD＝5，BE：DE＝3：1， ∴EF＝DE， ∴S△BCEBC•EF6， 故答案为：28°，． 【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 三．解答题（共20小题） 21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，∠C＝2∠D．求证：△ABD是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，利用两直线平行内错角相等，推出∠ABD＝∠D，得出AB＝AD． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵AD∥BC， ∴∠D＝∠DBC， ∵∠C＝2∠D， ∴∠ABC＝2∠D， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠D＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∴△ABD是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，注意等边对等角是等腰三角形的性质，等角对等边是等腰三角形的判定． 22．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）请说明AB与EC的大小关系； （2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出EA＝EC，AB＝AE，得到AB＝EC； （2）由△ABC的周长为42cm，得到AB+BC＝26cm，而AB＝EC，BD＝DE，得到2DC＝26cm，求出DC＝13cm． 【解答】解：（1）AB＝EC，理由如下： ∵EF垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵AD⊥BE，BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝42cm，AC＝16cm， ∴AB+BC＝26cm， ∵AB＝EC， ∴EC+BD+DC＝26cm， ∵BD＝DE， ∴EC+DE+DC＝26cm， ∴2DC＝26cm， ∴DC＝13cm． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 23．如图，△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AD＝5，BD＝2，求BC的长． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC， ∴BC＝BD+DC＝BD+AD＝2+5＝7． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，关键掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 24．已知：CD＝BE，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E．且BD、CE相交于点F．求证：AF平分∠BAC． 【分析】根据AAS证明△DFC≌△EFB，可得DF＝EF，即可解答． 【解答】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠CDF＝∠BEF＝90°， ∵∠DFC＝∠EFB，CD＝BE， ∴△DFC≌△EFB（AAS）， ∴DF＝EF， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴AF平分∠BAC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定是解本题的关键． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE是AB的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D，DF⊥BC于点F，连接EF，交BD于点H． （1）求∠DBC的度数； （2）求证：BD垂直平分EF． 【分析】（1）由AB＝AC，∠A＝36°求出∠ABC，再利用垂直平分线的性质得出∠A＝∠ABD＝36°即可求解； （2）证明△BDE≌△BDF得出DE＝DF，BE＝BF即可得证． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C72°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝36°， ∴∠DBC＝36°； （2）证明：∵DE是AB的垂直平分线，DF⊥BC于点F， ∴∠DEB＝∠DFB＝90°， 由（1）知∠DBC＝∠DBE＝36°， 在△BDE和△BDF中， ， ∴△BDE≌△BDF（AAS）， ∴DE＝DF，BE＝BF， ∴BD垂直平分EF． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，现代垂直平分线的性质和判定，熟练运用以上知识是解题关键． 26．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△ECF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△ECF中 ， ∴△DBE≌△ECF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△DBE≌△ECF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B（180°﹣40°）＝70° ∴∠1+∠2＝110° ∴∠3+∠2＝110° ∴∠DEF＝70° 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题． 27．如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 t 厘米，BP的长为 　（6﹣t）　 厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【分析】（1）根据题意、结合图形解答； （2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可； （3）证明△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是60°解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，BQ＝t，BP＝6﹣t， 故答案为：t；（6﹣t）； （2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t， ①当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t， 解得，t＝2， ②当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t）， 解得，t＝4， ∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形； （3）∠CMQ不变，理由如下： 在△ABQ与△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ不会变化． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 28．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接CE． （1）若△ABC的周长为26，BC＝10，求△ACE的周长； （2）若∠B＝45°，CE将∠ACB分成两个角，且∠ACE：∠BCE＝2：3，求∠A的度数． 【分析】（1）由垂直平分线的性质得BE＝CE，根据△ABC的周长为26，BC＝10，可得AB+AC＝16，再根据等量代换即可得出答案； （2）根据BE＝CE，得∠BCE＝∠B＝45°，再根据∠ACE：∠BCE＝2：3，可求出∠ACB＝45°+30°＝75°，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线， ∴BE＝CE， ∵△ABC的周长为26，BC＝10， ∴AB+AC＝26﹣10＝16， ∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝AE+BE+AC＝AB+AC＝16； （2）∵BE＝CE， ∴∠BCE＝∠B＝45°， ∵∠ACE：∠BCE＝2：3， ∴∠ACE∠BCE＝30°， ∴∠ACB＝45°+30°＝75°， ∴∠A＝180°﹣45°﹣75°＝60°． 【点评】本题考查中垂线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 29．如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝110°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作BF⊥BA，交BA的延长线于点F，已知∠AEF＝55°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝12，AD＝6，CD＝14，且S△ACD＝30，求△ABE的面积． 【分析】（1）先根据三角形外角性质计算出∠BAC＝145°，然后计算∠BAC﹣∠BAD即可； （2）过E点作EM⊥AD于M点，EN⊥BC于N点，如图，先计算出∠EAF＝35°得到AE平分∠DAF，根据角平分线的性质得到EF＝EM，EF＝EN，所以EM＝EN，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到AD•EMCD•EN＝30，则可计算出EM＝3，所以EF＝3，然后根据三角形面积公式求解． 【解答】（1）解：∵BF⊥BA， ∴∠AFE＝90°， ∴∠BAC＝90°+∠AEF＝90°+55°＝145°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝145°﹣110°＝35°； （2）证明：过E点作EM⊥AD于M点，EN⊥BC于N点，如图， ∵∠EAF＝90°﹣∠AEF＝35°， 而∠DAC＝35°， ∴∠DAC＝∠EAF， ∴AE平分∠DAF， ∵EF⊥AF，EM⊥AD， ∴EF＝EM， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，EN⊥BC， ∴EF＝EN， ∴EM＝EN， ∴点E在∠ADC的平分线上， 即DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ADE+S△CDE＝S△ADC， ∴AD•EMCD•EN＝30， 而AD＝6，CD＝14，EM＝EN， ∴6×EM14×EM＝30， ∴EM＝3， ∵EF＝EM＝3，AB＝12， ∴△ABE的面积12×3＝18． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． 30．阅读与证明 “三等分任意角”是公元前5世纪古希腊学者提出并致力于研究的三大作图难题之一，其核心要求是仅用圆规和无刻度直尺，将任意给定的角精确分成三个相等的部分．两千多年间，无数数学家为攻克这一难题耗费了大量心血，却始终未能找到通用解法．直到1837年，数学家凡齐尔运用代数方法完成证明，明确了仅靠圆规和直尺无法三等分任意角，这一结论终于让人类走出了这座困扰已久的数学迷宫．不过研究过程中也发现了例外情况：部分特殊度数的角（如直角）仍可用尺规实现三等分；而对于任意角，若借助专门的特殊工具，同样能够完成三等分操作．以下是三种做法，请你认真阅读并完成证明： （1）阿基米德创设的方法是：在图（2）中，点O为直尺的端点，预先在直尺上作一个记号点P，以B为圆心，OP为半径作半圆，与边BA和BC分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边BC的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺恰好经过点N时，过点B画ON的平行线BE．请你依据图（2），完成证明：∠EBC∠ABC； （2）用“有刻度的勾尺”（勾尺的两边互相垂直）的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，MN⊥PR于点Q，PQ＝QR．画直线DE∥BC，并且DE与BC之间的距离等于PQ．移动勾尺到合适位置，使顶点P落在DE上，使勾尺的边MN经过点B，同时让点R落在边BA上，请你依据图（3），完成证明：∠RBQ∠ABC． （3）下面是方圆同学仅仅利用带刻度尺将∠BAC三等分的过程，做法如下： ①将∠BAC放置在边长为0.5cm的正方形网格中，边AB与水平方向的网格线平行，并AC经过格点M，且AM＝1.5cm； ②调整刻度尺的位置，使得刻度尺经过点A，且线段EF（点E、F均在网格线上）的长度为3cm； ③画射线AE，此时∠BAC＝3∠BAE． 方圆同学的方法证明过程如下： 已知：如图，EF＝2AM，∠EMF＝90°，AB∥EM． 求证：∠BAC＝3∠BAE． 作线段ME的垂直平分线，交AE于点D，连接DM．请你根据提示，作出辅助线，并完成证明． 【分析】（1）设∠EBC＝α，依题意得OP＝NP＝BN＝BM，BE∥ON，由此得∠POB＝∠PBO＝∠EBC＝α，∠BNP＝∠BPN＝∠NBE，根据三角形外角性质得∠BPN＝∠POB+∠PBO＝2α，则∠BNP＝∠NBE＝2α，由此∠ABC＝∠NBE+∠CBE＝3α，据此即可得出结论； （2）过点P作PH⊥BC于点H，根据MN⊥PR于点Q，PQ＝QR，得MQ是线段PR的垂直平分线，则BR＝BP，由此得∠RBQ＝∠PBQ，再根据PQ＝PH得BP是∠QBC的平分线，则∠PBQ＝∠PBC，进而得∠RBQ＝∠PBQ＝∠PBC，则∠ABC＝3∠RBQ，据此即可得出结论； （3）作线段ME的垂直平分线，交AE于点D，交ME于点L，连接DM，则DM＝DE，ML＝EL，DL⊥ME，进而得∠DME＝∠E，设∠BAE＝β，依题意得ME∥AB，EF＝3，MF⊥ME，AM＝1.5，则∠E＝∠BAE＝∠DME＝β，根据三角形外角性质得∠MDA＝∠DME+∠E＝2β，证明DL是△MFE的中位线得ED＝DFEF＝1.5得DM＝AM＝1.5，则∠MAD＝∠MDA＝2β，由此得∠BAC＝∠BAE+∠MAD＝3β，据此即可得出结论． 【解答】（1）证明：设∠EBC＝α， 依题意得：OP＝NP＝BN＝BM，BE∥ON， ∴∠POB＝∠PBO，∠BNP＝∠BPN，∠POB＝∠EBC＝α，∠BNP＝∠NBE， ∴∠POB＝∠PBO＝α，∠BNP＝∠NBE， ∵∠BPN是△POB的外角， ∴∠BPN＝∠POB+∠PBO＝2α， ∴∠BNP＝∠NBE＝2α， ∴∠ABC＝∠NBE+∠CBE＝3α， ∴∠EBC∠ABC； （2）证明：过点P作PH⊥BC于点H，如图（3）所示： ∵MN⊥PR于点Q，PQ＝QR， ∴MQ是线段PR的垂直平分线， ∴BR＝BP， ∴△BRP是等腰三角形， ∴∠RBQ＝∠PBQ， ∵MN⊥PR于点Q，DE与BC之间的距离等于PQ， ∴PQ＝PH， ∵点P在∠QBC的内部，且MN⊥PR于点Q，PH⊥BC于点H， ∴点P在∠QBC平分线上， ∴BP是∠QBC的平分线， ∴∠PBQ＝∠PBC， ∴∠RBQ＝∠PBQ＝∠PBC， ∴∠ABC＝∠RBQ+∠PBQ+∠PBC＝3∠RBQ， ∴∠RBQ∠ABC； （3）证明：作线段ME的垂直平分线，交AE于点D，交ME于点L，连接DM，如图（4）所示： ∴DM＝DE，ML＝EL，DL⊥ME， ∴∠DME＝∠E， 设∠BAE＝β， 依题意得：ME∥AB，EF＝3，MF⊥ME，AM＝1.5， ∴∠E＝∠BAE＝β， ∴∠DME＝∠E＝β， ∵∠MDA是△DME的外角， ∴∠MDA＝∠DME+∠E＝2β， ∵DL⊥ME，MF⊥ME， ∴MF∥DL， 又∵ML＝EL， ∴DL是△MFE的中位线， ∴ED＝DFEF＝1.5， ∴DM＝AM＝1.5， ∴∠MAD＝∠MDA＝2β， ∴∠BAC＝∠BAE+∠MAD＝3β， ∴∠BAC＝3∠BAE． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $