2026年中考数学复习之小题决胜演练锐角三角函数

2026年中考数学复习之小题决胜演练 锐角三角函数 一．选择题 1．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（　　） A．1 B． C． D． 2．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝132°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　） A．m sin66° B．m cos66° C．2m sin66° D．2m cos66° 3．如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 4．如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 5．如图，AD是△ABC的中线，AD＝5，，S△ADC＝15，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米． A． B． C． D． 7．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥，被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该桥主塔上某位置A的高度，站在B处看点A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看点A，仰角为30°，则A点的高度是（　　） A．160米 B．米 C．200米 D．米 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，学校“量子幻影”小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点B垂直起飞到点A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度是（　　）米． A． B． C． D． 10．在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 二．填空题 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是　 　 ． 12．将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点D，E落在斜边AB上，若小正方形的边长为1，则BC的长为　 　 ． 13．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向处，C点在A点的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离　 　 ． 14．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接AB、BC，则tanB的值为　 　 ． 15．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为　 　 cm． 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanB＝2，BC＝2，那么AC＝ 　 　 ． 17．某公园计划在圆形花坛（圆心为点O）外围安装景观照明系统．如图，工程师从花坛外一点P引出两条灯带PA和PB，分别与花坛相切于点A、B，使两条灯带在点P处形成60°的夹角（即∠APB＝60°）．已知花坛半径OA＝4米，则单条灯带PA的长度等于　 　 米．（结果保留根号） 18．我们把对角互补，且只有一组邻边相等的四边形叫做“补邻四边形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，cosB，点M、N分别在边AC、BC上．如果四边形ABNM是“补邻四边形”，那么四边形ABNM的面积是 　 　 ． 19．如图，一个高BE为米的长方体木箱沿坡比为1：的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝4米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为 　 　 米． 20．校园安全体现在每个方面，校园安全无小事．校内相关部门提醒校内行车司机：为了安全请勿超速，并在进一步完善各类监测系统．如图，在校内某直线路段MN内限速16米/秒，为了检测车辆是否超速，在路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了14秒钟，已知tan∠CAN，BC＝260米，则此车 　 　 （“有”或者“没有”）超速． 三．解答题 21．计算： （1）cos230°•tan60°﹣4sin30°+tan45°； （2）． 22．在△ABC中，AB＝6，∠B为锐角且，．求BC的长． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，，点D在边AB上，，过D作DE⊥DC，交CB延长线于点E． （1）求∠BDE的正弦值； （2）求的值． 24．☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝10cm，∠ABC＝35°． （1）图（2）中，∠BCD＝　 　 °． （2）靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，如图（3），杯托E处凹陷深度为0.7cm，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）． ①∠ACD＝　 　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：tan35°≈0.70，tan55°≈1.43，sin35°≈0.57，sin55°≈0.82） 25．新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为AB的中点，每个正六边形的边长均为2dm． （1）连接OF，求OF的长； （2）求该置物架所占用墙面的宽度d． 26．根据以下材料，完成问题解决． 利用光的反射定律测量建筑物的高度 背景 如图，当光线入射到平面镜表面时，反射角等于入射角，这是光的反射定律．该定律作为光学领域基础理论，在生活中有着广泛应用．某校实践小组利用此定律及相关数学知识，巧妙测量建筑物的高度，将抽象的理论转化为解决生活问题的有效工具． 工具 激光发射器、平面镜、皮尺、测角仪 步骤 如图，实践小组操作如下： （1）在地面某处放置一个激光发射器，在山坡AB的中点C处放一面镜子； （2）从激光发射器向C处发射一束激光，使得反射光线照射到建筑物EF的顶端E处，记此时激光发射器的位置为点D； （3）测量山坡底部点A到点D的距离、光线CD与地面AD的夹角． 数据 已知数据：山坡AB的坡度i＝1，山坡上面的平地BF∥AD，BF＝9米； 测量数据：AD＝4米，∠CDA＝37°； 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75． 问题解决 问题一 求从点C观测点E的仰角． 问题二 求在建筑物的高度EF． 27．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 28．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 29．综合与实践： 小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）BC的长为　 　 ； （2）求B，D之间的距离（结果精确到1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 30．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．通过前面的学习，我们掌握了30°，45°和60°角的三角函数值，下面一起探究15°角的正切值吧! 方法一：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°． 操作步骤 用含30°角的直角三角形构造15°角； 找到含15°角的直角三角形，并表示出15°角的对边与邻边； 计算15°角的正切值． 具体过程 如图，延长CB至点D．使BD＝BA，连接AD，可以找到15°的角有2个； 在Rt△ABC中，设AC＝m，则，所以； 所以tan15°＝　 　 方法二：已知在等腰三角形EFG中，EF＝EG，∠FEG＝30°． 操作步骤 在顶角为30°角的等腰三角形中构造15°角； 找到含15°角的直角三角形，并表示出15°角的对边与邻边； 计算15°角的正切值． 具体过程 如图，过点E作EH⊥FG于点H，过点G作GP⊥EF于点P，可以找到的15°角有　 　 个； 在Rt△EGP中，设PG＝m……（请将具体过程补充完整） 所以tan15°＝　 　 【特例探究】请在表格内填空，并将方法二的具体过程补充完整； 【类比研究】根据15°角正切值的探索学习，请从22.5°角的正切值、36°角的余弦值中，任意选择一个进行求解． 【延伸拓展】进一步探索，已知任意锐角α（0°＜α＜45°）的正切值，请根据前面的探究过程，尝试用含有tanα的式子表示tan2α． 参考答案 一．选择题 1．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】在Rt△ACD中利用正切函数的定义即可求解． 【解答】解：如图，在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝6， 则． 故选：B． 【点评】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键． 2．我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角∠BAC＝132°，点D在伞柄AP上，AE＝AF＝DE＝DF＝m，则AD的长度可表示为（　　） A．m sin66° B．m cos66° C．2m sin66° D．2m cos66° 【分析】连接EF交AD于点G，根据已知易得四边形AEDF是菱形，然后利用菱形的性质可得AD⊥EF，AD＝2AG，AD平分∠BAC，从而可得∠EAG＝66°，最后在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，即可解答． 【解答】解：连接EF交AD于点G， ∵AE＝AF＝DE＝DF＝m， ∴四边形AEDF是菱形， ∴AD⊥EF，AD＝2AG，AD平分∠BAC， ∴∠EAG∠EAF＝66°， 在Rt△AEG中，AG＝AE•cos66°＝m cos66°， ∴AD＝2AG＝2m cos66°， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝120米，∠A＝10°， ∵sinA， ∴BC＝AB•sinA＝120sin10°（米）， 故选：D． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，BC＝10米，AC＝30米， ∴sinA． 故选：D． 【点评】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键． 5．如图，AD是△ABC的中线，AD＝5，，S△ADC＝15，则BC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】通过作高，构造出直角三角形，利用中线的性质、三角形的面积公式、锐角三角函数和勾股定理，在不同的直角三角形中求出相应的边即可． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E． 在Rt△ADE中，∵AD＝5，tan∠BAD， ∴设DE＝3x，则AE＝4x， ∴（3x）2+（4x）2＝52，解得x＝1， ∴DE＝3，AE＝4． 又∵AD是△ABC的中线， ∴S△ADC＝S△ABD＝15AB•DE， ∴AB×3＝15， ∴AB＝10，BE＝AB﹣AE＝10﹣4＝6， 在Rt△BDE中，BD3， ∴BC＝2BD＝6． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形，三角形中线的性质、三角形的面积公式、锐角三角函数和勾股定理，解题的关键是通过作高构造直角三角形是解决问题常用的方法． 6．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（　　）米． A． B． C． D． 【分析】如图，根据矩形的性质得到DE＝CF，得到AE＝DE2（米），求得CF＝2米，得到BF＝4米，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图， ∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE＝CF， ∵扶梯AD的坡比为1：1， ∴1， ∴AE＝DE2（米）， ∴CF＝2米， ∵滑梯BC的坡比为1：2， ∴， ∴BF＝4米， ∴BC2（米）， 答：滑梯CB的长为2米． 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答中涉及勾股定理，理解题意，掌握坡度的含义，熟练运用勾股定理是解题的关键． 7．如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥，被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该桥主塔上某位置A的高度，站在B处看点A，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），到达C处，此时看点A，仰角为30°，则A点的高度是（　　） A．160米 B．米 C．200米 D．米 【分析】过点A作AD⊥CB，垂足为D，先根据三角形的外角性质可得∠BAC＝∠ACD＝30°，从而可得AB＝BC＝160米，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D， ∵∠ABD是△ABC的一个外角，∠ABD＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠BAC＝∠ABD﹣∠ACD＝30°， ∴∠BAC＝∠ACD＝30°， ∴AB＝BC＝160米， 在Rt△ABD中，AD＝AB•sin60°＝16080（米）， ∴该A的高度是米， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝3，点D在BC的延长线上，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，连接AE，则sin∠CAE的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，延长BA到M，过点A作AH⊥BC于点H．证明∠EAC＝∠ACB，求出sin∠ACB可得结论． 【解答】解：如图，延长BA到M，过点A作AH⊥BC于点H． ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝HCBC， ∴AH， ∴sin∠ACB， ∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点E， ∴AE平分∠MAC， ∴∠MAE＝∠EAC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠MAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴sin∠EAC＝sin∠ACB． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 9．如图，学校“量子幻影”小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点B垂直起飞到点A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度是（　　）米． A． B． C． D． 【分析】过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点F作FH⊥AB，垂足为H，根据题意可得：CD＝18米，∠AEG＝60°，∠AFH＝45°，EC＝BG＝20米，BH＝DF，FH＝BD，再根据线段的中点定义可得CB＝BD＝9米，从而可得EG＝CB＝9米，FH＝BD＝9米，然后分别在Rt△AEG中和Rt△AFH中，利用锐角三角函数的定义求出AG和AH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点F作FH⊥AB，垂足为H， 由题意得：CD＝18米，∠AEG＝60°，∠AFH＝45°，EC＝BG＝20米，BH＝DF，FH＝BD， ∵点B是CD的中点， ∴CB＝BDCD＝9（米）， ∴EG＝CB＝9米，FH＝BD＝9米， 在Rt△AEG中，AG＝EG•tan60°＝927（米）， 在Rt△AFH中，AH＝FH•tan45°＝9（米）， ∴DF＝BH＝AG+BG﹣AH＝27+20﹣9（47﹣9）米， ∴2号楼的高度是（47﹣9）米， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 10．在△ABC中，若∠A，∠B满足，且∠A，∠B均为锐角，则∠C的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．105° 【分析】根据非负数的性质列出算式，根据特殊角的三角函数值分别求出∠A，∠B，再根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：由题意得：cosA0，1﹣tanB＝0， ∴cosA，tanB＝1， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°， 故选：D． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 二．填空题 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是　　 ． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，可设b＝12k，a＝5k， ∴c13k， ∴sinA， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及互余两角的三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义以及互余两角的三角函数的关系是正确解答的关键． 12．将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点D，E落在斜边AB上，若小正方形的边长为1，则BC的长为　7　 ． 【分析】根据平行线的性质证得∠BEN＝∠BDM，进而证得tan∠BEN＝tan∠BDM＝2，然后在Rt△BEN中求出BN即可解答． 【解答】解：如图所示， ∵DM∥EN， ∴∠BEN＝∠BDM， ∴tan∠BEN＝tan∠BDM＝2， 在Rt△BEN中， tan∠BEN， ∴BN＝4， ∴BC＝CN+BN＝3+4＝7． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用以及平行线的性质，解题的关键是巧妙利用平行线． 13．某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向处，C点在A点的北偏东80°方向，∠ABC＝45°．则检查点B和C之间的距离　　 ． 【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，由等角对等边得出AD＝BD，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠BAD＝∠ABD＝90°﹣45°＝45°． ∴AD＝BD， 由三角函数可知，， ∴． ∴BD＝AD＝3（km）， 由三角函数可知，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据正弦函数及正切函数解答． 14．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，连接AB、BC，则tanB的值为　　 ． 【分析】先利用格点和勾股定理计算AB、AC、BC，再判断△ABC的形状，最后求出tanB． 【解答】解：连接AC， 则AB＝2， AC， BC， ∵AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是∠A为直角的直角三角形． ∴tanB， 故答案为：． 【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用；求网格问题中锐角的三角函数值，掌握利用网格构造直角三角形、正切的定义是解决此题的关键． 15．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为　　 cm． 【分析】连接AC，过B作BD⊥AC于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出AC＝2AD，∠A＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，即可求解． 【解答】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D， 由条件可知AC＝2AD，∠A＝∠C＝30°， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形相关性质求出对应边的长度． 16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tanB＝2，BC＝2，那么AC＝ 　4　 ． 【分析】利用正切的定义计算即可． 【解答】解：∵tanB2， ∴AC＝2BC， ∵BC＝2， ∴AC＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数的定义是解题的关键． 17．某公园计划在圆形花坛（圆心为点O）外围安装景观照明系统．如图，工程师从花坛外一点P引出两条灯带PA和PB，分别与花坛相切于点A、B，使两条灯带在点P处形成60°的夹角（即∠APB＝60°）．已知花坛半径OA＝4米，则单条灯带PA的长度等于　4　 米．（结果保留根号） 【分析】根据切线的性质可得OA⊥AP，∠APO∠APB＝30°，然后根据勾股定理计算即可． 【解答】解：∵PA和PB分别与花坛相切于点A、B，∠APB＝60°， ∴OA⊥AP，∠APO∠APB＝30°， ∴PO＝2OA＝8（米）， ∴PA（米）， 故答案为：4． 【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 18．我们把对角互补，且只有一组邻边相等的四边形叫做“补邻四边形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，cosB，点M、N分别在边AC、BC上．如果四边形ABNM是“补邻四边形”，那么四边形ABNM的面积是 　或　 ． 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形性质得BD＝CD，解Rt△ABD得BD＝2，AD，进而得BC＝4，S△ABCBC•AD，根据AB＝AC＝5，BC＝4，点M、N分别在边AC、BC上得BN＜AB，AM＜AB，再根据“补邻四边形”的定义得当四边形ABNM是“补邻四边形”时，有以下两种情况：①当BN＝MN时，过点N作NH⊥AC于点H，先证明∠B＝∠NMC＝∠C得MN＝CN，CH＝MH，此时点N为BC的中点，则BN＝CNBC＝2，解Rt△NCH得CH，NH，进而得CM，由此得S△NCMM•NH，据此即可得出四边形ABNM的面积；②当MN＝MA时，过点N作NK⊥AC于点K，同①证明∠B＝∠NMC＝∠C得MN＝CN，CK＝MK，则MN＝MA＝CN，设CK＝MK＝a，则CM＝2a，MN＝MA＝CN＝5﹣2a，解Rt△NCK得a，则CK＝a，CM＝2a，MN＝MA＝CN＝5﹣2a，由勾股定理得NK，则S△NCMCM•NK，据此即可得出四边形ABNM的面积，综上所述即可得出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示： ∴△ABD是直角三角形， 在△ABC中，AB＝AC＝5，cosB， ∴∠C＝∠B， ∴cosC＝cosB， ∵AD⊥BC于点D， ∴BD＝CD， ∴在Rt△ABD中，cosB， ∴， ∴BD＝2， 由勾股定理得：AD， ∵BD＝CD， ∴BC＝BD+CD＝2BD＝4， ∴S△ABCBC•AD， ∵AB＝AC＝5，BC＝4，点M、N分别在边AC、BC上， ∴BN＜AB，AM＜AB， 根据“补邻四边形”的定义得：当四边形ABNM是“补邻四边形”时， 有以下两种情况： ①当BN＝MN时，过点N作NH⊥AC于点H，如图2所示： ∵四边形ABNM是“补邻四边形”， ∴∠B+∠AMN＝180°， ∵∠NMC+∠AMN＝180°， ∴∠B＝∠NMC， 又∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠NMC＝∠C， ∴MN＝CN，CH＝MH， ∴BN＝MN＝CN，此时点N为BC的中点， ∴BN＝CNBC＝2， 在Rt△NCH中，cosC2/5， ∴， ∴CH， 由勾股定理得：NH， ∵CH＝MH， ∴CM＝CH+MH＝2CH， ∴S△NCMCM•NH， ∴四边形ABNM为：S△ABC﹣S△NCM； ②当MN＝MA时，过点N作NK⊥AC于点K，如图3所示： 同①证明：∠B＝∠NMC＝∠C， ∴MN＝CN，CK＝MK， ∴MN＝MA＝CN， 设CK＝MK＝a，则CM＝2a， ∴MA＝AC﹣CM＝5﹣2a， ∴MN＝MA＝CN＝5﹣2a， 在Rt△NCK中，cosC， ∴， 解得：a， ∴CK＝a，CM＝2a，MN＝MA＝CN＝5﹣2a， 由勾股定理得：NK， ∴S△NCMCM•NK， ∴四边形ABNM为：S△ABC﹣S△NCM， 综上所述：四边形ABNM的面积为或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形的面积公式是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 19．如图，一个高BE为米的长方体木箱沿坡比为1：的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝4米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为 　　 米． 【分析】根据坡度的概念、锐角三角函数的定义得到∠A＝30°，解直角三角形得到答案． 【解答】解：设AB与EF交于点D， ∵斜坡的坡度为1：， ∴tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠EDB＝∠ADF＝60°， ∵tan∠EDB，sin∠EDB， ∴BD1（米），DE2（米）， ∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3（米）， ∵sinA， ∴DF＝AD•sinA＝3（米）， ∴EF＝DE+DF＝2（米）， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 20．校园安全体现在每个方面，校园安全无小事．校内相关部门提醒校内行车司机：为了安全请勿超速，并在进一步完善各类监测系统．如图，在校内某直线路段MN内限速16米/秒，为了检测车辆是否超速，在路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了14秒钟，已知tan∠CAN，BC＝260米，则此车 　没有　 （“有”或者“没有”）超速． 【分析】过点C作CH⊥MN于点H，在Rt△BCH中，根据tan∠CBN，设CH＝12a，BH＝5a，由勾股定理得BC＝13a＝260，由此得a＝20，则CH＝12a＝240米，BH＝5a＝100米，在Rt△ACH中，根据tan∠CAN得AHCH＝280米，进而得AB＝180米据此得该小车在AB路段行驶的速度为180÷1416，由此即可得出答案． 【解答】解：过点C作CH⊥MN于点H，如图所示： ∴△BCH和△ACH都是直角三角形， 在Rt△BCH中，BC＝260米，tan∠CBN， ∴tan∠CBN， ∴设CH＝12a，BH＝5a， 由勾股定理得：BC13a＝260， ∴a＝20， ∴CH＝12a＝240（米），BH＝5a＝100（米）， 在Rt△ACH中，tan∠CAN， ∴tan∠CAN， ∴AHCH280（米）， ∴AB＝AH﹣BH＝280﹣100＝180（米）， ∵从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了14秒钟， ∴该小车在AB路段行驶的速度为：180÷14（米/秒）， ∴， ∴该小车在AB路段行驶时没有超速． 故答案为：没有． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确地添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解决问题的关键． 三．解答题 21．计算： （1）cos230°•tan60°﹣4sin30°+tan45°； （2）． 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）原式＝（）241 2+1 1； （2）原式＝（）212﹣（）2 1+1﹣3 ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 22．在△ABC中，AB＝6，∠B为锐角且，．求BC的长． 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于点H．解直角三角形求出BH，AH，CH可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H． 在Rt△ABH中，cosB， ∵AB＝6， ∴BH＝3， ∴AH3 在Rt△ACH中，tanC3， ∴CH＝1， ∴BC＝BH+CH＝3+1＝4． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，，点D在边AB上，，过D作DE⊥DC，交CB延长线于点E． （1）求∠BDE的正弦值； （2）求的值． 【分析】（1）通过作辅助线 CF⊥AB 构造直角三角形，利用三角函数、勾股定理求出相关线段长度，再借助角的互余关系将∠BDE 转化为可求的∠FCD，进而利用正弦定义求解． （2）通过作 CF⊥AB、DG⊥BC、BM⊥DE 等辅助线，结合三角形面积公式、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，推导 CE 与 BC 的比值． 【解答】解：（1）过C作CF⊥AB于F，设CF＝3k．在△ABC中，AB＝AC，，点D在边AB上，， ∵， ∴AF＝4k， ∵CF⊥AB， ∴， ∵，AB＝5k， ∴AD＝2k，BD＝3k， ∴DF＝AF﹣AD＝4k﹣2k＝2k， ， ∵∠BDE+∠FDC＝90°，∠FCD+∠FDC＝90°， ∴∠BDE＝∠FCD， ∴； （2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥BC于点G，过点B作BM⊥DE于点M． 设CF＝3k，由（1）知AB＝5k，BD＝3k，AF＝4k，AD＝2k，， ∴BF＝AB﹣AF＝k， ∴， ， 即， ∴． ∴， ∴． ∵∠EDB＝∠FCD，∠DMB＝∠CFD＝90°， ∴△DMB∽△CFD． ∴，即 ， 解得 ． 又∵∠E＝∠E，∠EMB＝∠EDC＝90°， ∴△EMB∽△EDC． ∴， 设 CE＝x，则 ，， ∴， 解得， ∴． 【点评】本题主要考查了三角函数的定义、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握这些知识点并灵活作辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 24．☆新情境高铁座椅靠背及小桌板图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（2），支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得CE＝10cm，∠ABC＝35°． （1）图（2）中，∠BCD＝　125　 °． （2）靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，如图（3），杯托E处凹陷深度为0.7cm，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E）． ①∠ACD＝　55　 °； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：tan35°≈0.70，tan55°≈1.43，sin35°≈0.57，sin55°≈0.82） 【分析】（1）过点B作BF∥CD，由平行线的性质得出∠BCD+∠CBF＝180°，由已知条件得出∠CBF＝55°，进而可求出∠BCD． （2）①根据题意可知∠ACD＝180°﹣∠BCD代入计算即可． ②过点E作CD的垂线交AB于点F，通过解Rt△CEF，求出EF，再加上0.7cm即可求出答案． 【解答】解：（1）过点B作BF∥CD， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∵∠ABC＝35°， ∴∠CBF＝55°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBF＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125； （2）①当靠背AB可以绕点 B 旋转至与小桌板支架CB重合的位置， 由（1）知∠BCD＝125°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BCD＝55°， 故答案为：55； ②如图，过点E作EF⊥CD，交AB于点F， 在Rt△CEF中，， ∴EF＝tan∠FCE•CE＝tan55°×10≈1.43×10＝14.3（cm）， ∴乘客水杯的最大高度约为14.3+0.7＝15（cm）． 答：乘客水杯的最大高度约为15cm． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识，掌握解直角三角形是解题的关键． 25．新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为AB的中点，每个正六边形的边长均为2dm． （1）连接OF，求OF的长； （2）求该置物架所占用墙面的宽度d． 【分析】（1）连接FD并延长交AB的延长线于点 G，作ER⊥DF于点R．先求出∠EFD＝∠EDF＝30°，，过点C作CH⊥BG，垂足为H，证明四边形CDGH为矩形，得出，再根据勾股定理求出结论； （2）由题意得：M，M1，M2，M3，M4，M5，M6共线，连接MM6，过点Q作QN⊥MM6，垂足为N，则MM1＝M2M3＝M4M5，M1M2＝M3M4＝M5M6＝2，求出M6N＝1，在求出MM1＝2×2＝4，即可求出结论． 【解答】解：（1）连接FD并延长交AB的延长线于点 G，作ER⊥DF于点R． ∵EF＝ED， ∴△EFD是等腰三角形， ∵∠CDE＝∠DEF＝6﹣2×180°6＝120°， ∴， ∴， ∴， ∵∠BCD＝360°﹣120°﹣120°＝120°＝∠ABC， ∴AB∥CD， ∴∠G＝∠CDF＝90°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠CBG＝60°． 过点C作CH⊥BG，垂足为H， 由三角函数可知，， ∵∠CHG＝∠G＝∠CDG＝90°， ∴四边形CDGH为矩形， ∴， ∴， ∴OF2＝OG2+FG2＝42+（3）2＝43（dm）， ∴OF（dm）； （2）如图3，由题意得：M，M1，M2，M3，M4，M5，M6共线，连接MM6， 过点Q作QN⊥MM6，垂足为N， 则 MM1＝M2M3＝M4M5，M1M2＝M3M4＝M5M6＝2dm， ∴∠NM6Q＝180°﹣120°＝60°，M6Q＝2dm， ∴（dm）， 设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接OW， 则， ∴△OMW是等边三角形， ∴OM＝OM1＝MW＝2dm， ∴MM1＝2×2＝4（dm）， ∴MN＝3MM1+3M1M2+M6N＝3×4+3×2+1＝19（dm）， 答：该置物架所占用墙面的宽度 d为19dm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解题的关键． 26．根据以下材料，完成问题解决． 利用光的反射定律测量建筑物的高度 背景 如图，当光线入射到平面镜表面时，反射角等于入射角，这是光的反射定律．该定律作为光学领域基础理论，在生活中有着广泛应用．某校实践小组利用此定律及相关数学知识，巧妙测量建筑物的高度，将抽象的理论转化为解决生活问题的有效工具． 工具 激光发射器、平面镜、皮尺、测角仪 步骤 如图，实践小组操作如下： （1）在地面某处放置一个激光发射器，在山坡AB的中点C处放一面镜子； （2）从激光发射器向C处发射一束激光，使得反射光线照射到建筑物EF的顶端E处，记此时激光发射器的位置为点D； （3）测量山坡底部点A到点D的距离、光线CD与地面AD的夹角． 数据 已知数据：山坡AB的坡度i＝1，山坡上面的平地BF∥AD，BF＝9米； 测量数据：AD＝4米，∠CDA＝37°； 参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75． 问题解决 问题一 求从点C观测点E的仰角． 问题二 求在建筑物的高度EF． 【分析】（1）作BM⊥AD于点M，作CG∥AD，延长EF交CG于点N，根据山坡AB的坡度可得∠BAM＝45°，那么可得∠DCA的度数，即可求得∠ECB的度数，易得∠BCH的度数，加上∠ECB的度数即为从点C观测点E的仰角； （2）作CP⊥DM于点P，根据37°的正切值可得PC的长，也就是HM的长度，根据平行线分线段成比例定理可得BH的长度，进而可得CH的长度，加上BF的长度即为CN的长度，则根据37°的正切值可得EN的长度，减去BH的长度即为EF的长度． 【解答】解：问题一：作BM⊥AD于点M，作CG∥AD，延长EF交CG于点N，则∠AMB＝90°， ∵山坡AB的坡度i＝1， ∴1， ∴BM＝AM， ∴∠BAM＝45°， ∵∠CDA＝37°， ∴∠DCA＝45°﹣37°＝8°， ∴∠ECB＝8°， ∵CG∥AD， ∴∠BCG＝∠BAM＝45°， ∴∠ECG＝8°+45°＝53°， 答：从点C观测点E的仰角为53°； 问题二：作CP⊥DM于点P， ∴∠CPD＝90°， 设PC长x米，则AP＝x米， ∵PC＝DP•tan37°，AD＝4米， ∴x＝（x+4）0.75， 解得：x＝12， ∴PC＝12米， ∴HM＝12米， ∵点C为AB的中点，CG∥AM， ∴BH＝HM＝12米， ∵∠BCG＝45°， ∴CH＝12米， 由题意得：HN＝BF＝9米， ∴CN＝9+12＝21米， 由题意得：∠ECG＝53°，∠CNE＝90°， ∴∠CEF＝90°﹣53°＝37°， ∴EN28米， ∴EF＝28﹣12＝16（米）． 答：建筑物的高度EF为16米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．充分利用所给条件，把所求的线段或所给线段合理整理到直角三角形中进行求解是解决本题的关键． 27．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 【分析】（1）过点B作BE⊥AD于E，根据正弦的定义求出BE； （2）过点B作BF⊥CD于F，根据矩形的性质求出DF，进而求出CF，再根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于E， 在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米， 则BE＝AB•sinA≈200×0.28＝56（m）， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m； （2）如图，过点B作BF⊥CD于F， 则四边形BEDF为矩形， ∴DF＝BE＝56m， ∵CD＝296m， ∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m）， 在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°， 则BC400（m）， 答：车的行驶路线BC的长约为400m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 28．小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠1的度数，大楼底部点A的俯角∠2的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1＝45°，∠2＝52°，∠3＝65°，CD＝10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）． 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1． 【分析】过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH＝CD＝10m，CG＝DH，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝AG，设CG＝AG＝DH＝xm，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H， 则四边形CDHG是矩形， ∴GH＝CD＝10m，CG＝DH， ∵∠1＝45°， ∴CG＝BG， 设AH＝xm， ∴AG＝（x+10）， 在Rt△ACG中， ∵∠2＝52°， ∴CGm， ∴BG＝CGm， ∴BH＝BG+GH＝（10）m， 在Rt△BDH中，∠3＝65°， ∴tan65°2.1， ∴x≈1.8，AH≈1.8，BH≈19.1， ∴AB＝BH+AH≈21（m）． 答：大楼的高度AB约为21m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地添加辅助线是解题的关键． 29．综合与实践： 小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）BC的长为　20cm ； （2）求B，D之间的距离（结果精确到1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可； （2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm， 故答案为：20cm； （2）由题可知ON＝ECAC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8≈4cm． ∴B，D之间的距离为4cm． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 30．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．通过前面的学习，我们掌握了30°，45°和60°角的三角函数值，下面一起探究15°角的正切值吧! 方法一：已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°． 操作步骤 用含30°角的直角三角形构造15°角； 找到含15°角的直角三角形，并表示出15°角的对边与邻边； 计算15°角的正切值． 具体过程 如图，延长CB至点D．使BD＝BA，连接AD，可以找到15°的角有2个； 在Rt△ABC中，设AC＝m，则，所以； 所以tan15°＝　2　 方法二：已知在等腰三角形EFG中，EF＝EG，∠FEG＝30°． 操作步骤 在顶角为30°角的等腰三角形中构造15°角； 找到含15°角的直角三角形，并表示出15°角的对边与邻边； 计算15°角的正切值． 具体过程 如图，过点E作EH⊥FG于点H，过点G作GP⊥EF于点P，可以找到的15°角有　2　 个； 在Rt△EGP中，设PG＝m……（请将具体过程补充完整） 所以tan15°＝　2　 【特例探究】请在表格内填空，并将方法二的具体过程补充完整； 【类比研究】根据15°角正切值的探索学习，请从22.5°角的正切值、36°角的余弦值中，任意选择一个进行求解． 【延伸拓展】进一步探索，已知任意锐角α（0°＜α＜45°）的正切值，请根据前面的探究过程，尝试用含有tanα的式子表示tan2α． 【分析】【特例探究】根据正切函数的定义求解即可； 【类比研究】构造含22.5°，36°的直角三角形，利用正切函数的定义求解； 【延伸拓展】如图，在Rt△ABC中，延长BC至点D使CD＝CB，过点D作DN⊥AB于点N，设∠BAC＝∠α，AC＝b，CB＝a，则．再根据可得结论． 【解答】解：【特例探索】方法一：tan15°2； 方法二：图中，∠DFEH＝∠PCF＝15°． 在Rt△EGP中，设PG＝m， 则， ∴， ∴tan15°2； 故答案为：2，2，2； 【类比研究】 ①若求tan22.5°， 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，延长CB到点D，使BD＝BA，连接AD； ∴∠D＝∠BAD，∠ABC＝∠BAC＝45°， ∵∠ABC＝∠D+∠BAD＝45°， ∴∠D＝∠BAD＝22.5°， 在Rt△ABC中，设AC＝m， 则， ∴， 在Rt△ADC中，， ∴． ②若求cos36°． 如图，在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， 在AC上取一点D，使AD＝BD， 则∠A＝∠ABD＝36°， ∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°＝∠A， ∵∠C＝∠C， ∴△CBD∞△CBA， ∴AD2＝BD2＝AC•CD， 即点D是AC的黄金分割点， ∴， ∴， 过点B作BH⊥AC于点H，则， ∴， ∴； 【延伸拓展】如图，在Rt△ABC中，延长BC至点D使CD＝CB，过点D作DN⊥AB于点N，设∠BAC＝∠α，AC＝b，CB＝a，则． 在Rt△ABC中， ， ∴， 即， ∴， 在Rt△AND中， ， ∴． 【点评】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，规律型﹣图形的变化，勾股定理，含30度的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 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