专题03 绝对值的5大应用（期末真题汇编，福建专用）七年级数学上学期

专题03 绝对值的5大应用 5大高频考点概览 考点01 求绝对值 考点02 利用绝对值的非负性求最值 考点03 含字母的绝对值化简 考点04 型问题 考点05 绝对值与数轴综合 地 城 考点01 求绝对值 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）如果，那么的值是（） A．或2 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，掌握知识点是解题的关键． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示该数到原点的距离，因此绝对值相等的数有两个，互为相反数． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 故选：A． 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建三明·期末）如果与互为相反数，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查相反数和绝对值，根据相反数的定义，求出A的值，再代入绝对值计算即可． 【详解】解：因为 A 与互为相反数， 所以， 故； 故答案为：3． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若，则 ． 【答案】 【详解】此题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质求解即可． 【分析】解：若，则． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义．由于圆周率，因此，故绝对值等于其本身． 【详解】解： 故答案为：． 地 城 考点02 利用绝对值的非负性求最值 一、填空题 1．（24-25七年级上·福建莆田·期末）式子取最小值时，等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，，因此当时，取最小值，解方程，即可求出x的值． 【详解】解：因为， 所以当时，取最小值． 解方程，得． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）如果x为一个有理数，式子的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值，灵活运用绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性得到，进而求出式子的最大值． 【详解】解：， ， ， 则式子的最大值是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）当 时，有最大值，最大值为 ． 【答案】 1 10 【分析】本题主要考查绝对值的非负性质，由，可得到，进而即可求解． 【详解】由，则， 所以， 故当时，有最大值，最大值为10． 故答案为：1，10． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键． 根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，存在最大值， 即当时，的最大值为2025， 故答案为：2025． 地 城 考点03 含字母的绝对值化简 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）若，则x的值等于（    ） A．30或 B．或31 C．或31 D．29或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴或， 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数，正数的绝对值是其本身．由于 ，可确定 的符号，从而化简绝对值表达式． 【详解】解： ， ， ， 又 ， ． 故选： A． 二、填空题 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据数轴判断出式子正负是解题关键．根据数轴可知，，，进而得出，，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 则，， ， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）若，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值，数轴上两点之间的距离等知识点，利用数轴上两点之间的距离来化简绝对值是解题的关键． 表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离为，表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离为，则表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离，画出图形，即可形象直观地得出答案． 【详解】解：表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离为， 表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离为， 如图所示： 则表示数轴上表示数与表示数的点之间的距离， 或， 故答案为：或． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若，那么化简结果是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了化简绝对值，根据绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ 故答案为：1 6．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果有理数满足条件：，则 . 【答案】11或3. 【分析】先根据式子算出x,y的值,再根据限制条件进一步得出准确的值,代入最后的式子解出即可. 【详解】∵|x-2|=5,|y|=2; ∴x=7或-3,y=±2; ∵|x-y|=x-y; ∴x>y; ∴x=7,y=±2; ∴x+2y=11或3. 故答案为:11或3. 【点睛】本题考查绝对值的相关计算,关键在于理解绝对值的定义,对正负数的影响. 2、 解答题 7．（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0， 0． (2)化简下面的代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值的性质、有理数的乘法．先利用数形结合思想可以直观的比较有理数的大小，再利用绝对值的性质即可巧妙的化简含有绝对值的式子．正确去掉绝对值是解本题的关键所在． （1）由数轴知，，从而得出； （2）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ． 地 城 考点04 型问题 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据题意分两种情况求解：若a、b、c中有一个正数，两个负数；若a、b、c中有两个正数，一个负数，根据绝对值的意义分别求解即可． 【详解】解：， ，，， ， 若a、b、c中有一个正数，两个负数，不妨设，，， ； 若a、b、c中有两个正数，一个负数，不妨设，，， ， 的值为， 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若，则的值为（    ） A．或3 B．1或 C．1或 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查了化简绝对值，根据即可求解．分类讨论，两种情况即可． 【详解】解：若，则； 若，则； 故选：A 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，两数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴可得：，从而得出，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：， ，， ， 故选：A． 2、 填空题 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了化简绝对值，绝对值的意义，结合绝对值的性质判断①④；根据绝对值的意义判断②，运用分类讨论思想逐个分析化简绝对值，即可判断③，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，故①正确； ∵数轴上到原点距离相等的两个点； ∴这两个点对应的数的绝对值相等， ∴数轴上到某点距离相等的两个点对应的数不一定相等；故②错误； ③∵， ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； ∴当时，则； 则或，故③正确； ∵， ∴数到数的距离等于数到数的距离， 则当时，．故④错误； 故答案为：①③． 3、 解答题 5．（24-25七年级上·福建宁德·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）、、在数轴上的位置如图所示，则：        (1)用“”填空：a_______0， b_______0， c_______0，   0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由所给数轴即可判断； （2），据此即可化简． 【详解】（1）解：由数轴可知： ∵ ∴ 故答案为： （2）解： 【点睛】本题考查了化简绝对值、由数轴判断式子的正负．注意掌握相关结论． 地 城 考点05 绝对值与数轴综合 一、填空题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴性质及绝对值运算，根据题意，分四种情况分类讨论，作出数轴，取绝对值运算验证即可得到答案，熟记数轴性质及绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：由题意，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，分四种情况： 当表示的数是原点，由，如图所示： 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，，即时成立； 当表示的数是原点，由，如图所示： 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，，即此时不成立； 当表示的数是原点，由，如图所示： 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，，即此时不成立； 当表示的数是原点，由，如图所示： 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，，即时成立； 综上所述，若，则原点可能是或， 故答案为：或． 三、解答题 2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 【答案】(1)①6；② (2)小，2 (3)C，18 (4)最小值，最大值9，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的化简，分类讨论，是解答此题的关键． （1）①根据两点间距离的求法直接求解即可；②根据两点间距离的求法直接写出即可；（2）当时，；当时，；当时，；可判断有最小值2； （3）以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列，根据绝对值的几何意义，数轴上点的特点可知，当时，有最小值18； （4）分，，三种情况，对绝对值进行运算，再求最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：6； ②； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时， ； ∴有最小值2； 故答案为：小，2； （3）解：以C点为原点，3米为一个单位长度，A、B、C、D、E、依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为0，D点表示的数为3，E点表示的数为6， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， 由（2）知，当时， ，有最小值18， ∴配件箱应该放在工作台C处，最短路程为18米， 故答案为：C，18； （4）解：有最小值，最大值9，理由： 当时， ； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； 故有最小值，最大值9． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是多少？数轴上表示3和的两点之间的距离是多少？ 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为？ （3）试用数轴探究：当时，求m的值？ 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？（注意：请画出数轴结合数轴来作答） 【答案】（1）4，4；（2）；（3）4或；（4）最小值为3，x可取整数2，3，4，5 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：点在1的左边；点在1的右边；分别列式计算便可； （4）表示数轴上和2两点之间的距离，表示数轴上和5两点之间的距离， 设表示数x的点为P，表示数2和5的点为A，B，分类讨论即可． 【详解】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是为，表示3和的两点之间的距离为； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离为：； （3）表示数与1的距离为3， ∴当表示数m的点在1左侧，则， 当表示数m的点在1右侧，则， ∴m的值为4或； （4）表示数轴上和2两点之间的距离，表示数轴上和5两点之间的距离， 设表示数x的点为P，表示数2和5的点为A，B 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： ∴当且仅当时，表示数x的点到表示2和5的点的距离之和最小，此时距离为， 可取的整数有： 2，3，4，5． 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03绝对值的5大应用 5大高频考点概览 考点01 求绝对值 考点02 利用绝对值的非负性求最值 考点03 含字母的绝对值化简 考点04 型问题 考点05 绝对值与数轴综合 地 城 考点01 求绝对值 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）如果，那么的值是（） A．或2 B． C．2 D． 2、 填空题 2．（24-25七年级上·福建三明·期末）如果与互为相反数，那么 ． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若，则 ． 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）化简： ． 地 城 考点02 利用绝对值的非负性求最值 一、填空题 1．（24-25七年级上·福建莆田·期末）式子取最小值时，等于 ． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）如果x为一个有理数，式子的最大值是 ． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）当 时，有最大值，最大值为 ． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如果为有理数，式子存在最大值，这个最大值是 ． 地 城 考点03 含字母的绝对值化简 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）若，则x的值等于（    ） A．30或 B．或31 C．或31 D．29或 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25七年级上·福建南平·期末）若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）若，，则 ． 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）若，那么化简结果是 ． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果有理数满足条件：，则 . 2、 解答题 7．（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0， 0． (2)化简下面的代数式． 地 城 考点04 型问题 1、 单选题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知a、b、c为非零有理数，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．或 2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）若，则的值为（    ） A．或3 B．1或 C．1或 D．1或3 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，两数在数轴上的位置如图所示，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2、 填空题 4．（24-25七年级上·福建厦门·期末）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）． 3、 解答题 5．（24-25七年级上·福建宁德·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 6．（24-25七年级上·福建福州·期末）、、在数轴上的位置如图所示，则：        (1)用“”填空：a_______0， b_______0， c_______0，   0； (2)化简：． 地 城 考点05 绝对值与数轴综合 一、填空题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是 ． 三、解答题 2．（24-25七年级上·福建莆田·期末）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，． 当A、B两点都不在原点时， ①如图2，点A、B都在原点的右边； ②如图3，点A、B都在原点的左边； ③如图4，点A、B在原点的两边； 综上，数轴上A、B两点之间的距离． (1)回答下列问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)探索规律： 式子有最 （填“大”或“小”）值是 ． (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔3米排着5个工作台A、B、C、D、E，一只配件箱应该放在工作台 处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，所走的最短路程是 米． (4)知识迁移 式子有最值（最大值或最小值）吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值；如果没有，请说明你的理由． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是多少？数轴上表示3和的两点之间的距离是多少？ 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为？ （3）试用数轴探究：当时，求m的值？ 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？（注意：请画出数轴结合数轴来作答） 试卷第1页，共3页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $