3.5 确定二次函数的表达式 课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件围绕“确定二次函数的表达式”展开，系统讲解一般式、顶点式、交点式三种形式及待定系数法的应用。通过实际问题或几何图形情境导入，衔接二次函数基本概念，以知识点解析、例题示范、方法归纳为支架，帮助学生逐步构建表达式确定的思路与步骤。 其特色在于突出多种解法对比与方法优化，如例3通过一般式与交点式求解对比，引导学生根据条件选择简捷方法，培养运算能力与推理意识。结合表格数据、坐标图形等实例，强化几何直观与抽象能力，易错点提醒助力精准理解。学生能提升问题解决灵活性，教师可直接利用系统内容提升教学效率。

3.5 确定二次函数的表达式 知识点一 设一般式确定二次函数的表达式 二次函数的表达式是二次函数的三种表示方式中最重要的方式. 求表达式可以根据实际问题中的数量关系或几何图形的性质、数量关系等，直接列出函数表达式若题中没有给出表示自变量、因变量的字母，则需要自己设定，如同设未知数列方程一样. 求表达式最常用的方法是待定系数法在具体问题中，可以根据问题的实际情况设定不同的表达式，以简化运算. 如果条件给出自变量与函数的三对对应值或函数图象上三个点的坐标，可设二次函数的表达式为y＝ax²＋bx＋c（a≠0），即一般式. 温馨提示 若问题涉及抛物线，要先建立适当的直角坐标系，确定关键点的坐标，再利用待定系数法求表达式一般地，利用待定系数法求二次函数表达式的步骤如下: ①先建立适当的直角坐标系； ②设出二次函数（抛物线）的表达式； ③写出相关点的坐标； ④将相关点的坐标代入表达式，列出关于待定系数的方程（组）； ⑤解方程（组），求出待定系数； ⑥写出二次函数的表达式. 例1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： （1）当ax2＋bx＋c＝3时，则x＝_____________； （2）求该二次函数的表达式； （3）将该函数的图象向上（下）平移，使图象与直线y＝3只有一个公共点，直接写出平移后的函数表达式. X … -1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 -1 0 … 解析 （1）由题表中的数据知抛物线的对称轴为x＝2且当x＝0时，y＝3， ∴由抛物线的对称性可知当x＝4时，y＝3.   （3）∵抛物线平移之后与直线y＝3只有一个交点， ∴平移后抛物线的表达式为y＝（x-2）2-1＋4＝x2-4x＋7. 方法归纳 此题以表格形式给出几对抛物线经过的点的坐标，明确表格中纵坐标相同的点是关于抛物线对称轴对称的点是解题的关键，此外，通过描点画出抛物线的大致形状，更有利于此类题的解决. 知识点二 设顶点式确定二次函数的表达式 如果条件涉及顶点坐标，最值或对称轴，可设二次函数的表达式为y＝a（x-h）2＋k（a≠0），即顶点式. 还可以有更简便的设法，如:若顶点在原点，可直接设二次函数的表达式为y＝ax2（a≠0）；若顶点在x轴上，可直接设二次函数的表达式为y＝a（x-h）2（a≠0）；若顶点在y轴上，可直接设二次函数的表达式为y＝ax2＋k（a≠0）. 例2 已知一个二次函数有最大值4，且x＞5时，y随x的增大而减小，x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点（2，1），求该函数的解析式.     知识点三 设交点式确定二次函数的表达式 如果条件涉及二次函数的图象与x轴的两交点，可设次函数的表达式为y＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0）（其中x1、x2为抛物线与x轴两交点的横坐标），即交点式（或两根式）. 例3 已知一抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8），求该抛物线的表达式.   解法二: 由于抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（1，0）， 所以可设该抛物线的表达式为y＝a（x＋2）（x-1）（a≠0）. 由抛物线经过点C（2，8），得8＝a（2＋2）×（2-1），解得a＝2. 所以该抛物线的表达式为y＝2（x＋2）（x-1）＝2x2＋2x-4. 方法技巧 此题给出抛物线上三个点的坐标，因此可设一般式，并列出三元一次方程组求得待定系数注意到题目给出的是抛物线与x轴的两交点坐标，因此也可设交点式对比两种方法，显然解法二较为简捷. 经典例题 01 例 如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C. （1）求抛物线的表达式； （2）若点E为第二象限抛物线上一动点， 连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值， 并求此时E点的坐标. 题型 二次函数表达式的求解与应用     方法归纳 （1）抛物线的表达式的求解也可设两点式求解. （2）解题的思路是将不规则四边形BOCE的面积通过作辅助线转化为三角形及梯形的面积和.解题的关键是利用抛物线的表达式设点E的坐标，并利用各点坐标表示有关线段的长，进而利用有关面积公式表示出四边形BOCE的面积，即列出二次函数的表达式，进而利用二次函数的图象及性质解决问题. 易错易混 02 易错点 对顶点式、交点式理解不透，将负号、减号混为一谈 二次函数的顶点式为y＝a（x-h）2＋k（a≠0），若二次函数的图象的顶点的横坐标为负数，注意不要将负号与表达式中的减号混为一谈，导致错误. 二次函数的交点式为y＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0），若二次函数的图象与x轴的一个或两个交点的横坐标为负数，注意不要将负号与表达式中的减号混为一谈，导致错误. 例 已知某抛物线的顶点坐标为（-3，2），且经过点（-1，0），求抛物线的表达式.     $