3.3 二次函数y=ax^2的图象与性质 课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件围绕二次函数y=ax²的图象与性质展开，从y=±x²的描点法入手，详细演示列表对称取值、描点连线步骤，结合对比表格呈现开口方向等性质，逐步过渡到y=ax²（a≠0）的一般规律，构建从特殊到一般的学习支架。 其特色在于突出数学眼光中的几何直观，通过描点操作让学生直观感受图象特征，用结构化表格对比不同函数性质培养抽象能力。例题注重数学思维的推理意识，如画草图比较函数值、分a正负讨论图象综合题，帮助学生形成“以形定数”思维。学生能深化理解，教师可借助清晰结构和典型例题提升教学效率。

3.3 二次函数y=a的图象与性质 汇报人：WPS 1.二次函数y＝x2的图象的画法 画二次函数y＝x2的图象，一般采用描点法，分为列表、描点、连线三步具体如下: （1）列表:考虑到x可以取任意实数，所以先取x＝0，然后在左右两侧对称地选取x的值，再计算y的值.为计算方便，x一般取整数，x取值的个数为5或7较合适. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … 知识点一 二次函数y＝±的图象与性质 （2）描点:如图①所示. （3）连线:如图②所示，用平滑曲线顺次（自变量的取值由小到大或由大到小）连接各点，连线时注意平滑，两边要顺势伸展出去一部分.由于画出的图象是近似的，因此点选取得越多图象越精确. 2.二次函数y＝-x2的图象的画法 二次函数y＝-x2的图象的画法与二次函数y＝x2的图象的画法类似，只是图象的开口向下. 3.二次函数y＝±x2的图象与性质   y＝x2 y＝-x2 图象 示意图     开口方向 向上，顶点是最低点 向下，顶点是最高点 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0，0） （0，0） 性质 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x＝0时，y最小值＝0 当x＝0时，y最大值＝0       知识点二 二次函数y＝ax2（a≠0）的图象与性质 一般地，二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是抛物线.我们把二次函数y＝ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2（a≠0）. 抛物线y＝ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点. 具体如下表所示: y＝ax2的性质 开口方向 对称轴 顶点 坐标 x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大 x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小 a＞0 向上 y轴 (0,0) x＞0 x＜0 a＜0 向下 x＜0 x＞0 温馨提示 对于抛物线y＝ax2（a≠0）要注意从对称轴、顶点坐标、开口方向三个方面把握. 温馨提示 对于抛物线y＝ax2（a≠0）要注意从对称轴、顶点坐标、开口方向三个方面把握. 规律总结 抛物线y＝ax2（a≠0）的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大.要注意是|a|的大小，而不是a本身的大小. 例2 已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是___________________.（请用“＞”连接排序） 解析 抛物线y＝a1x2与y＝a2x2的开口向上，其中前者开口小，所以a1＞a2＞0. 抛物线y＝a3x2与y＝a4x2的开口向下，其中后者开口小，所以a4＜a3＜0， 所以a1＞a2＞a3＞a4 . 经典例题 01 题型一 利用抛物线y＝ax2（a≠0）比较函数值的大小 例1 已知a＜-1，若点A（a-1，y1）、B（a，y2）、C（a＋1，y3）都在函数y＝-2x2的图象上，则（ ） A.y3＜y2＜y1 B.y1＜y3＜y2 C.y1＜y2＜y3 D.y2＜y1＜y3 题型一 利用抛物线y＝ax2（a≠0）比较函数值的大小 例1 已知a＜-1，若点A（a-1，y1）、B（a，y2）、C（a＋1，y3）都在函数y＝-2x2的图象上，则（ ） A.y3＜y2＜y1 B.y1＜y3＜y2 C.y1＜y2＜y3 D.y2＜y1＜y3 解析 ∵a＜-1，∴a-1＜a＜a＋1＜0. ∵函数y＝-2x2的图象开口向下，顶点坐标为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2＜y3 . 题型一 利用抛物线y＝ax2（a≠0）比较函数值的大小 例1 已知a＜-1，若点A（a-1，y1）、B（a，y2）、C（a＋1，y3）都在函数y＝-2x2的图象上，则（ C ） A.y3＜y2＜y1 B.y1＜y3＜y2 C.y1＜y2＜y3 D.y2＜y1＜y3 解析 ∵a＜-1，∴a-1＜a＜a＋1＜0. ∵函数y＝-2x2的图象开口向下，顶点坐标为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大，∴y1＜y2＜y3 . 方法归纳 利用抛物线比较函数值的大小，先根据顶点坐标、对称轴、开口方向画出草图，明确顶点左右两侧抛物线的增减性，然后根据各点的横坐标在抛物线上大致描出各点，根据各点的位置判断纵坐标，即函数值的大小此法以形定数，避免了死记硬背二次函数的性质所导致的错误. 题型二 二次函数y＝ax2（a≠0）与其他函数的图象综合题 例2 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） 解析 由一次函数y＝ax＋a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），排除A，B项. 当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过第一、二、三象限，D项符合. 当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象经过第二、三、四象限，排除C项. 故答案选D. 解析 由一次函数y＝ax＋a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），排除A，B项. 当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过第一、二、三象限，D项符合. 当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数的图象经过第二、三、四象限，排除C项. 故答案选D. 点拨 解此类题除了逐项判断外，较简捷的方法是按照字母系数的正负分情况讨论，直接选出符合某种情况的图象. $