数学好玩《密铺》（课件）-2025-2026学年四年级数学北师大版下册

该小学数学课件以“密铺”为核心，通过小丑图导入，结合墙面、棋盘、蜂巢等生活实例引出“没有空隙、不重叠”的密铺概念，再分类探究三角形、四边形、五边形的密铺情况，搭建从具体实例到抽象原理的学习支架。 其亮点在于融合情境创设与实践探究，借助小丑图、生活实例培养几何直观（数学眼光），通过AI工具合作拼图实验发展创新意识（数学思维），结合正五边形内角计算（108°无法整除360°）深化推理意识（数学思维），助力学生发展空间观念，也为教师提供结构化、生活化的教学支持。

《密铺》跨学科教学设计 大连经济技术开发区松林小学 郑贺 一、学情分析 《密铺》这节课是北师大版数学四年级下册内容，对应义务教育小学中高年级阶段，通常为10-11岁学生。该阶段学生已具备一定的数学逻辑思维与课堂协作能力，能够跟随教师引导完成“猜想-验证-总结”的探究流程，同时对图形拼接、多媒体工具操作有天然兴趣，契合《密铺》一课“图形特征观察+动手实践”的教学需求，也能适配“睿智云交互式教学工具”“元美名片云展厅”等AI辅助教学形式的操作难度。 1.数学知识与技能基础 （1）已有知识储备：学生已掌握三角形、长方形、正方形、正五边形等基本图形的特征，能准确识别图形类别；理解“角的度数”概念，知道平角（180°）、周角（360°）的含义，为后续探究“密铺时拼接点处角的和为360°”奠定核心知识基础。 （2）能力起点：具备初步的观察、比较与归纳能力，能通过直观图形发现“无空隙、不重叠”的特点；课堂中可完成小组合作任务（如分工使用工具拼摆图形），但对“从具体现象推导数学规律”（如从密铺现象推导角的度数关系）的逻辑思维仍需引导。 2.人工智能相关知识与技能起点 （1）知识认知：对“人工智能工具”的认知处于直观体验阶段，此前可能接触过简单的多媒体教学工具（如课件动画、在线答题平台），但未系统学习“AI工具如何辅助数学探究”；对“交互式工具”“线上云展厅”的认知停留在“能操作、能展示”的表层，不要求理解工具背后的技术原理，仅需通过工具功能实现“图形拼摆验证”“作品分享”即可。 （2）技能操作：具备基础的电脑/平板操作能力，能完成“点击图标打开工具”“拖拽图形拼摆”“截图上传作品”等简单操作；对于“睿智云工具中图形拼摆、角度数据查看”“元美名片云展厅上传作品、浏览他人作品”等操作，可快速上手，无明显操作门槛；暂无需掌握复杂的AI工具设置或代码相关技能，符合小学中年级“轻量化AI应用”的教学原则。 二、所涉及的学科领域、单元 本课例核心聚焦数学学科，具体对应小学数学“图形与几何”领域，融合“人工智能技术应用”与“艺术审美”相关内容，形成“数学+AI+美育”的跨学科教学形态： 1.数学学科：是案例的核心载体，围绕 “图形密铺” 展开，核心探究 “基本图形的特征”“角的度数计算与应用”“图形拼接规律”等知识，属于数学学科中 “空间与图形” 模块的重要内容，培养学生的空间观念、逻辑推理与归纳总结能力。 2.人工智能技术应用：作为教学辅助工具融入，通过“睿智云交互式教学工具”实现图形拼摆验证、角度关系探究，通过“元美名片线上云展厅”实现学生密铺作品的展示与分享，属于“信息技术与数学学科融合”的应用范畴，不涉及复杂 AI 技术原理，仅聚焦工具的教学实用功能。 3.艺术审美：通过展示荷兰艺术家的密铺作品、“飞鸟与鱼”融合的密铺视频，以及引导学生设计个性化密铺作品，渗透“图形对称美”“和谐拼接美”的审美教育，属于“美育”与数学学科的轻度融合，服务于数学密铺知识的理解与应用拓展。 三、核心素养 依托“图形密铺探究”与“AI工具应用”，聚焦培养小学四年级学生的数学核心素养、技术应用素养与综合思维素养，具体指向如下： （一）数学核心素养 1.空间观念：通过观察小丑图形拼接、墙面、棋盘、蜂巢等生活密铺实例，结合AI工具拖拽图形拼摆，引导学生感知“无空隙、不重叠”的空间拼接特点，建立图形与空间的关联认知，提升对图形位置、形态及拼接关系的空间想象能力。 2.推理能力：从“直觉判断图形能否密铺”到“用AI工具验证拼摆结果”，再到推导“拼接点处角的和为 360°”的密铺规律，引导学生经历“猜想-验证-归纳”的推理过程；结合正五边形内角108°的条件，分析其不能密铺的原因，进一步发展逻辑推理与演绎推理能力。 3.应用意识：将密铺知识与生活场景（墙面瓷砖、棋盘布局）、艺术作品（荷兰艺术家密铺创作）结合，引导学生设计个性化密铺作品，让学生体会数学在生活与艺术中的实用价值，培养用数学知识解决实际问题的意识。 （二）技术应用素养 1.工具使用能力：借助“睿智云交互式教学工具”完成图形拼摆、角度探究，通过“元美名片线上云展厅”上传、展示作品，学生在教师指导下掌握工具的基础操作（拖拽、截图、上传），提升对数字化教学工具的应用能力，形成初步的技术应用思维。 2.数字化探究能力：利用AI工具的可视化、可交互特点，替代传统手工拼摆的局限（如快速呈现多种拼法、精准观察角度关系），学生通过工具辅助完成密铺规律探究，培养“用数字化工具支持学习探究”的意识与能力。 （三）综合思维素养 1.创新思维：在“组合密铺”环节引导学生为正五边形找搭档，在“设计个性化密铺作品”环节鼓励学生发挥想象创作，打破单一图形密铺的局限，激发学生的创新想法；结合“飞鸟与鱼”融合的密铺视频，拓展学生对“不同事物通过数学规律融合”的创新认知。 2.合作探究能力：以小组为单位分工使用 AI 工具拼摆图形、上传作品、交流探究结果，学生在合作中明确任务分工、分享观察发现、解决操作难题，培养团队协作意识与沟通表达能力，提升基于合作的探究学习能力。 （四）审美素养 通过欣赏艺术家的密铺作品、“飞鸟与鱼”密铺视频，感受密铺图形的对称美、和谐美；在设计个人作品时，引导学生关注图形色彩、形态搭配的美观性，渗透“数学与艺术融合”的审美教育，培养学生发现美、创造美的能力。 四、教学目标 （一）知识与技能目标 1. 理解密铺的定义，能准确描述“无空隙、不重叠”的核心特征，识别生活中的密铺现象。 2. 借助睿智云交互式教学工具，探究并掌握三角形、四边形、正五边形等基本图形的密铺可能性，明确“任意三角形、任意四边形可密铺，正五边形不可单独密铺”的结论。 3. 推导并理解密铺的核心规律——“拼接点处各角度数和为360°”，能结合正五边形内角108°的条件，解释其不可密铺的原因；初步尝试两种图形的组合密铺。 4. 掌握睿智云工具的基础操作（图形拖拽、拼摆、角度观察）与元美名片云展厅的作品上传方法，能独立完成探究任务与成果展示。 （二）过程与方法目标 1. 经历“情境感知-猜想假设-工具验证-归纳规律-创意应用”的探究流程，提升观察、比较、推理与归纳的数学思维能力。 2. 通过小组合作使用AI工具探究密铺可能性，培养分工协作、沟通表达与数字化探究的能力。 3. 在创意设计密铺作品的过程中，发展空间想象能力与创新思维，学会将数学知识与艺术表达结合。 （三）情感态度与价值观目标 1. 感受密铺在生活、艺术中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣。 2. 通过欣赏艺术家的密铺作品、“飞鸟与鱼”融合密铺视频，感知数学的和谐美、创意美，提升审美素养。 3. 在自主探究、作品展示（云展厅）的过程中，获得学习成就感，增强自信心与主动探究的意识。 五、教学重难点 （一）教学重点 1. 理解密铺“无空隙、不重叠”的定义，识别并判断基本图形（三角形、四边形、正五边形）的密铺可能性。 2. 借助AI工具探究并归纳“拼接点处各角度数和为360°”的密铺核心规律，能运用该规律解释图形能否密铺的原因。 3. 掌握睿智云工具辅助数学探究的方法，能通过工具完成拼摆验证与规律推导。 （二）教学难点 1. 从“图形拼摆的直观现象”抽象到“拼接点处角的度数关系”，推导并理解“360°”这一密铺规律的本质（突破“抽象思维转化”难点）。 2. 结合正五边形内角108°的具体数据，计算并解释“正五边形无法通过单独拼摆使拼接点处角和为360°”（突破“数据应用与逻辑推理结合”难点）。 3. 引导学生在小组合作中合理分工，利用AI工具高效完成探究任务，避免因操作不熟练影响探究进度（突破“技术工具与探究任务融合”难点）。 六、教学环境准备 本课例借助AI 工具辅助数学探究，聚焦核心技术、基础硬件与关键资源，确保“分组-拼摆 - 探究 - 展示”流程顺畅，具体准备如下： （一）核心 AI 与技术工具准备 1.班级小组分类系统 提前用AI编程软件根据班级情况，制作班级小组分类系统网页，提前放置到教学教室的电脑屏幕上。 2.睿智云交互式教学工具（核心探究工具） 功能调试：提前确认 4 大功能可用 —— 图形库（含锐角三角形、正五边形等基础图形，支持旋转 / 复制）、角度标注（自动计算拼接点角度和）、截图上传、教师端展开查看学生上传作品； 账号配置：按小组分配简化账号01-27； 操作保障：准备希沃白板拍照上传学生作品。 3.元美名片线上云展厅（作品展示工具） 预加载：提前设置线上展厅，减少学生端加载时间； （二）关键教学资源准备 数字化素材：工具内嵌入 “小丑拼接动画”“生活密铺图（墙面/棋盘/蜂巢）”； 线下备用：准备纸质拼卡（与工具图形一致），若AI工具故障，可临时切换手工拼摆。 七、任务设计 本课例围绕“密铺知识探究”核心，结合AI工具特性，设计“感知 - 探究 - 应用 - 创造” 四层递进式学习任务，每类任务均匹配明确的目标、操作流程与成果要求，确保学生在动手实践中深化知识理解，同时掌握 AI 工具的应用方法。 （一）情境感知类任务：初识密铺，建立概念认知 1. 任务名称 “小丑图形拼接观察”—— 发现密铺的核心特征 2. 任务目标 通过直观观察与互动，理解密铺 “无空隙、不重叠” 的定义，识别生活中的密铺现象。 3. 任务流程 （1）情境导入：教师展示 “小丑图片复制 - 拼接” 的课件动画，学生观察两次拼接过程（3 个小丑拼接→多次拼接至覆盖屏幕），思考 “拼接过程中图形有什么特点”； （2）特征提炼：学生结合观察结果发言，教师引导总结 “无空隙、不重叠” 两大特点，明确 “密铺” 的数学定义； （3）生活联结：教师出示墙面瓷砖、棋盘、蜂巢的实景图，学生分组讨论 “这些场景是否属于密铺？为什么？”，每组派代表分享判断理由。 4. 任务成果 学生能准确说出密铺 “无空隙、不重叠” 的特征，并举例说明生活中的密铺现象，完成对密铺概念的初步认知。 （二）工具探究类任务：验证猜想，推导密铺规律 1. 任务一：“图形密铺可能性验证”—— 用 AI 工具检验猜想 （1）任务目标 借助睿智云交互式教学工具，自主探究三角形、四边形、正五边形、“房子五边形” 的密铺可能性，初步判断 “哪些图形能单独密铺”。 （2）任务流程 ① 猜想提出：学生回顾已学基本图形（锐角三角形、直角三角形、平行四边形、正五边形、房子五边形），猜想 “能密铺 / 不能密铺”； ② 分组分工：2人小组（按图形类型分工），每组负责 1-2 种图形，通过“睿智云工具”的“图形拼摆”功能，拖拽图形进行多次拼摆（可调整图形方向、数量），观察是否能实现“无空隙、不重叠”拼接； ③ 成果上传：小组完成拼摆后，截图保存拼摆结果（能密铺需展示 “大面积拼接效果”，不能密铺需标注 “空隙位置”），上传至班级共享平台； ④ 集体验证：各小组派代表展示AI拼摆成果，全班共同判断 “锐角三角形、任意四边形能密铺，正五边形不能密铺，房子五边形能密铺”，修正初始猜想。 2. 任务二：“密铺规律推导”—— 用 AI 工具分析角度关系 （1）任务目标 通过 AI 工具标注拼接点角度，推导 “拼接点处角的和为 360°” 的密铺核心规律，解释图形能密铺的本质原因。 （2）任务流程 ① 问题引导：教师提出核心问题 “为什么有的图形能密铺，有的不能？可能和图形的什么特征有关？”，学生大胆猜测（如 “和角的度数有关”）； ② 工具操作：学生再次使用睿智云工具，选择 “能密铺的图形”（如锐角三角形、平行四边形），利用工具的 “角度标注” 功能，标记拼接点处所有角的度数，计算角度总和； ③ 规律归纳：小组汇总多组 “拼接点角度和” 的数据（如三角形拼接点处 3 个角和为 360°，四边形拼接点处 2 个角和为 360°），讨论得出 “密铺的关键：拼接点处角的和为 360°”； ④ 逻辑验证：教师给出 “正五边形内角 108°” 的条件，学生通过计算（108°×3=324°＜360°，108°×4=432°＞360°），解释 “正五边形无法密铺” 的原因，深化对规律的理解。 （三）知识应用类任务：拓展思维，尝试组合密铺 1. 任务名称 “正五边形的‘搭档’寻找”—— 设计组合密铺方案 2. 任务目标 应用密铺规律，为 “不能单独密铺的正五边形” 寻找合适的 “搭档图形”，实现组合密铺，拓展对密铺形式的认知。 3. 任务流程 （1）问题驱动：教师提出 “正五边形不能单独密铺，那它和其他图形组合，能不能实现密铺？”，学生思考 “哪些图形的内角能和 108° 搭配，使拼接点处角和为 360°”； （2）小组设计：小组讨论并选择 “搭档图形”（如正三角形、正方形），通过睿智云工具模拟 “正五边形 + 搭档图形” 的拼摆，调整两种图形的数量与位置，验证是否满足 “无空隙、不重叠”； （3）方案展示：各小组在班级展示组合密铺方案，全班评价方案的合理性。 （四）创意创造类任务：融合审美，设计密铺作品 1. 任务名称 “我的‘天衣无缝’密铺作品”—— 创作与展示个性化密铺设计 2. 任务目标 结合数学密铺规律与艺术审美，自主设计密铺作品，并通过线上云展厅分享，实现知识应用与创意表达的结合。 3. 任务流程 （1）灵感启发：教师展示荷兰艺术家的密铺作品、“飞鸟与鱼”融合密铺的视频，引导学生思考 “如何将基本图形变形（如把三角形变成小鱼、小鸟），设计有创意的密铺图案”； （2）作品创作：学生自主选择创作，基于“能密铺的图形”（如三角形、四边形）进行变形设计，确保变形后仍满足“无空隙、不重叠”的密铺要求，可以标注作品名称（如 “海底鱼群密铺”“花园花朵密铺”）； （3）线上展示：学生通过“元美名片线上云展厅”上传作品，同伴可以互相浏览与欣赏。 八、教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、情境导入 1. 出示小丑图片和彩色纸 2. 演示复制和拼接过程 3. 提问：还能继续拼吗？能覆盖全屏幕吗？ 4. 引导学生观察特点，引出密铺概念 1. 观察图片和拼接过程 2. 回答教师提问 3. 发现图形拼接的特点：没有空隙、不重叠 通过生动有趣的情境激发学生兴趣，直观感受密铺的特点，自然引出课题。 二、联系生活 1. 出示生活中密铺图片（墙面、棋盘、蜂巢） 2. 引导学生发现长方形、正方形、正六边形可以密铺 3. 引出研究问题 1. 观察图片，联系生活实际 2. 识别不同图形的密铺现象 3. 提出想研究的问题 建立数学与生活的联系，让学生感受到数学无处不在，激发探究欲望。 三、提出猜想 1. 回顾学过的基本图形（三角形、四边形、五边形） 2. 引导学生凭直觉判断哪些图形可以密铺 3. 组织同桌交流猜想 1. 回顾已学图形分类 2. 对各类图形能否密铺进行初步判断 3. 与同桌交流自己的猜想 激活学生已有知识经验，培养直觉思维和猜想能力，为后续验证做准备。 四、合作验证 1. 组织分组，借助AI"班级小组分类系统"随机分组 2. 明确合作要求：拼图、截图上传、观察思考 3. 巡视指导，协助学生使用AI工具 1. 接受分组安排 2. 小组合作，使用AI工具拼图 3. 上传作品到共享平台 4. 观察不同图形的拼接结果 通过合作探究和AI工具辅助，提高学习效率，培养合作精神和动手能力。 五、汇报交流 1. 组织各组汇报验证结果 2. 引导总结：任意三角形、任意四边形可以密铺，正五边形不能密铺等 3. 展示正五边形的不同拼接方法 1. 小组代表汇报探究结果 2. 倾听其他组汇报，对比自己的猜想 3. 思考图形密铺的原因 通过汇报交流，分享探究成果，培养表达能力和倾听习惯，初步得出结论。 六、探究原因 1. 引导学生思考密铺原因 2. 提示关注"角"的因素 3. 组织使用AI工具探究拼接点处角的规律 4. 引导发现：拼接点处各角度数和为360度 1. 思考密铺的内在原因 2. 使用AI工具测量、计算角度 3. 发现拼接点处各角度数和为360度的规律 4. 用此原理解释正五边形不能密铺的原因 深入探究密铺的数学本质，从现象到本质，发展学生的数学思维和推理能力。 七、拓展应用 1. 介绍组合密铺 2. 引导学生为正五边形找搭档进行组合密铺 3. 展示艺术家密铺作品 4. 播放飞鸟与鱼密铺视频，体现数学美 5. 播放制作和平鸽视频，组织学生制作自己的“密铺”作品 6. 利用AI工具，展示“天衣无缝的美”作品展。 1. 尝试组合密铺 2. 欣赏密铺艺术作品 3. 感受数学的和谐之美 4. 激发创作欲望 5. 用彩纸制作密铺作品 拓展学生对密铺的认识，感受数学与艺术的结合，培养审美情趣和创新能力。 八、课堂总结 1. 引用华罗庚名言总结数学的重要性 2. 结束课程 回顾本节课所学知识，感受数学的价值和魅力 强化学习收获，激发学生对数学的持久兴趣。 9、 板书设计 密铺 没有空隙 也不重叠 10、 评价设计（请看下一页） 学科网（北京）股份有限公司 $null 《密铺》跨学科教学反思：在AI赋能中探寻数学本质与融合之美 大连经济技术开发区松林小学 郑贺 《密铺》一课，作为北师大版四年级下册“图形与几何”领域的重要组成部分，其意义远不止于让学生认识一种图形拼接现象。它更是一个绝佳的载体，能够融合数学逻辑、技术应用与艺术审美，培养学生的空间观念、推理能力和创新意识。本次教学，我尝试以“AI工具赋能”与“跨学科融合”为双翼，构建了一节旨在引导学生从“生活感知”走向“规律探究”，最终实现“创意表达”的数学实践课。回顾从构思、设计到实施的全过程，收获与困惑并存，成功与不足交织，现将我的深度反思赘述如下。 一、理念落地：从“知识传递”到“素养生成”的路径探索 本节课的核心教学理念，是让学生在真实的探究活动中自主建构知识，发展核心素养。设计的“情境感知-猜想验证-规律探究-创意应用”教学主线，正是这一理念的具象化体现。在情境导入环节，以“小丑图片”的动态拼接切入，成功点燃了学生的好奇心。这种“魔术”般的效果，将抽象的“密铺”概念转化为直观可视的动态过程，使学生几乎不费力气就抓住了“无空隙、不重叠”的核心特征。这让我深刻认识到，一个精炼而有趣的情境，是激活学生思维、实现高效课堂的“第一推动力”。在猜想与验证环节，我刻意“放手”，让学生先凭直觉判断各类图形能否密铺。这一设计旨在尊重学生的原初认知，哪怕猜想是错误的，其价值也远胜于直接被告知结论。随后的AI工具验证，则将课堂推向第一个高潮。学生不再是知识的被动接受者，而是化身为小小的“数学发现家”，通过亲手拖拽、旋转、拼接，去证实或证伪自己的猜想。当探究锐角三角形的小组兴奋地展示他们铺满屏幕的作品时，我看到的不仅是知识的掌握，更是探究精神与成功感的萌芽。规律探究是本节课思维含金量最高的环节。从“是什么”到“为什么”的跨越，对四年级学生而言是一个挑战。我欣喜地看到，当有学生猜测“可能和角有关”时，探究的方向便被自然而然地引向了数学的本质。AI工具内置的“角度标注”功能在此刻发挥了关键作用，它将原本需要复杂测量与计算的过程简化为一目了然的数据，使学生能够将注意力集中在观察与归纳上，最终自己“发现”了“拼接点处角度和为360°”这一核心规律。这个过程，远比教师直接讲授规律来得深刻，它初步展现了数学从现象中抽象出模型的魅力。最后的创意应用环节，则是素养的综合输出。通过欣赏艺术家的密铺作品和“飞鸟与鱼”的视频，数学与艺术的边界被打破。学生在惊叹中意识到，数学规律不仅是冰冷的公式，更是创造和谐之美的法则。元美名片云展厅的搭建，则为学生的创意提供了展示的舞台，让学习成果突破了教室的物理限制，获得了更广泛的社会性认同，情感态度价值观目标在此刻得以升华。 二、技术融合：AI工具从“演示助手”到“思维伙伴”的角色升华 本节课中，AI技术不再是锦上添花的点缀，而是深度嵌入探究过程的“认知工具”。 睿智云交互式教学工具扮演了“超级学具”的角色。它解决了传统纸质拼卡在数量、精度和可变性上的诸多局限。学生可以无限次地尝试、犯错、调整，这种低成本的试错环境，极大地鼓励了探究的勇气。更重要的是，它的“角度标注”和“拼接点聚焦”功能，充当了学生的“第二副大脑”，帮助他们处理繁琐的数据，从而能聚焦于更高阶的思维活动——寻找规律。这正是技术赋能数学教学的核心价值：它不是替代思考，而是降低认知负荷，让学生能攀登更高的思维高峰。 元美名片线上云展厅则构建了一个“成果展示与交流的社区”。它让每一位学生的作品都被看见、被欣赏、被评价。这种即时的、公开的反馈，极大地激发了学生的创作热情和成就感。技术在这里，成为了连接个体与集体、沟通数学与情感的桥梁。 班级小组分类系统的引入，则体现了技术在教学组织上的巧思。随机分组带来的公平性与趣味性，让合作学习的开启充满了仪式感，也体现了AI在个性化教学管理中的潜力。 三、美育浸润：在逻辑土壤中培育的审美之花 本节课的另一个亮点，是实现了数学逻辑与艺术审美的有机融合。我始终认为，数学教育不应止于逻辑训练，更应引导学生感受数学之美。在展示荷兰艺术家埃舍尔的密铺作品和“飞鸟与鱼”的融合视频时，课堂上一片寂静，随即爆发出阵阵惊叹。这一刻，数学不再是书本上的习题，而是成为一种能够化不可能为可能、创造无限和谐与循环的魔力。学生在设计自己的密铺作品时，不仅考虑如何“铺满”，更开始思考如何“铺得美”。色彩的选择、图形的变形、主题的构思，这些都使得数学活动兼具了艺术创作的质感。华罗庚先生的名言“宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学”在此时得到了最生动的印证——数学，是通往宇宙和谐之美的钥匙。 四、不足与改进：面向未来的优化思考 尽管整体教学效果良好，但静心反思，仍有诸多亟待改进之处。 1. 技术操作的“数字鸿沟”：硬件方面由于网络可能会出现卡顿，部分同学的探究结果截图不能有效的第一时间上传到平台一起展评，需要教师下到小组里用手机拍照收集图片，再利用授课软件助手进行展示。在小组合作中，虽然大部分学生操作流畅，但仍有部分学生因对拖拽、旋转、截图等操作不熟练而落后。这反映出我对学生技术起点的预估过于乐观，工具的前置性指导不足。改进方向：今后将在课前保障网络畅通，可制作简短的“工具操作微课”，并设计一份“操作闯关小任务”，确保学生在课前即掌握基本操作，在课中，可设立“技术小助手”角色，由操作熟练的学生提供即时帮扶。 2. 规律理解的“表象化”风险：部分学生能熟练说出“360°”的规律，并能进行标准计算，但在解释“为什么是360°”时，却难以将其与“周角”和“铺满一个平面”的几何意义相联系。这说明从具体数据到抽象本质的跨越，仍需要更精细的教学设计。改进方向：将在探究环节后，增加一个“实物对照”和“动态演示”环节。例如，用硬纸板剪出图形，让学生亲手拼摆，直观感受当角度之和不足或超过360度时产生的“空隙”或“重叠”。同时，利用AI工具动态演示一个点周围如何用不同个数的角“拼成一个周角”，将静态规律动态化，帮助学生建立更深层的理解。 3. 课堂时间的“博弈之困”：丰富的活动内容与有限的课堂时间形成了尖锐矛盾。为了完成预设环节，“组合密铺”和“创意设计”部分显得有些仓促，部分学生的创意未能充分展开。改进方向：考虑将本课拓展为一个“微项目”，用两课时完成。第一课时聚焦“单一图形密铺的规律探究”，第二课时深入进行“组合密铺的设计与优化”以及“创意作品的精加工与展示”，让每一个环节都能沉下去，保障探究的深度与创作的质量。 4. 评价体系的“精细化不足”：云展厅的互评多集中于“好看与否”，对密铺规律的运用、创意的数学内涵等核心要素关注不足。教师评价也因时间紧张而趋于笼统。改进方向：设计一个多维度的评价量规，引导学生从“密铺的准确性（是否符合规律）”、“设计的创意性（图形变形与主题构思）”、“视觉的美观性（色彩、构图）”三个维度进行互评。教师的评价则应更具针对性，对基础薄弱学生强化规律应用的反馈，对能力较强学生则提出更具挑战性的创意深化建议。 五、结语：在技术与人文的交叉点上迈向未来 《密铺》这一课的教学实践，于我而言是一次深刻的专业洗礼。它让我更加坚定地认识到，未来的数学课堂，必然是技术赋能、学科融合、以学生探究为中心的课堂。AI工具的强大，不在于其技术的炫酷，而在于它如何成为学生思维发展的脚手架，如何让数学的本质变得更加清晰可触。而跨学科的融合，其意义也不在于形式的叠加，而在于如何让学生以一种更完整、更立体的视角理解知识，认识世界。 “数学+AI”的探索之路漫漫，我将继续秉持“以学生为中心”的初心，让技术真正为教学目标和学生发展服务，在逻辑与审美、知识与素养之间，寻找到那条最佳的路径，引导学生在发现数学之美的旅程中，成长为更具创新精神与综合素养的祖国栋梁。 学科网（北京）股份有限公司 $ 小丑图 教学过程 2 教学过程 神奇 教学过程 没有空隙 也不重叠 密 铺 教学过程 墙面图 没有空隙 也不重叠 教学过程 没有空隙 也不重叠 棋盘图 教学过程 没有空隙 也不重叠 蜂巢图 教学过程 长方形能密铺 正方形能密铺 图形的密铺 正六边形能密铺 教学过程 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 平行四边形 梯 形 一般四边形 正五边形 哪些图形可以密铺？ 房子五边形 三角形 四边形 五边形 教学过程 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 平行四边形 梯 形 一般四边形 正五边形 哪些图形可以密铺？ 房子五边形 拼 每组借助AI工具拼一种图形 把作品截图上传到共享平台 哪种图形能密铺 展 看 合作 要求： 教学过程 11 哪些图形可以密铺？ 教学过程 12 哪些图形可以密铺？ 教学过程 13 哪些图形可以密铺？ 直角三角形 （能密铺） 锐角三角形 （能密铺） 钝角三角形 （能密铺） 平行四边形 （能密铺） 梯形 （能密铺） 一般四边形 （能密铺） 正五边形 （不能密铺） 房子五边形 （能密铺） 实验的结果 和 原来的猜想 一样吗？ 教学过程 14 密铺的原因是什么？ 教学过程 15 为什么正五边形不可以密铺？ 108° 108° 108° 教学过程 给正五边形找搭档 教学过程 17 给正五边形找搭档 教学过程 18 M.C.埃舍尔（M. C. Escher，1898~1972），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家。 教学过程 教学过程 教学过程 教学过程 作品创作 教学过程 “天衣无缝的美”作品展 教学过程 $上课起立。师。同学们好，请坐。老师带来了一张小丑图和一张彩色纸，想制作一幅特殊的小丑图，想看吗？先这样复制两张小丑的图片。这两张小丑的图片有什么特点？女孩子跟。前面一张都一样。一模一样。好，请坐，我把小丑图拖到彩色纸上。将它们。拼接起来。好不好，哪里拼起了？对。还能继续拼吗？能，还能试一试。有同学笑了，挺好玩啊，还能拼吗？能。异口同声。那我们再来看看。通过同学们的笑声，我才能知道好不好玩好，还能。贴膜，还能。还能点，再让他贴膜。还有这些品不能不能铺满整个屏幕。看看这一张图片，从图片中你发没发现有什么特点？后面的它每一个都有那种像三角形的那种就是白色。好。这是你的发现，请坐。这张图有什么特点，有什么特点？女孩你仔细看可以看出来，它都是三个在一起，然后摞在一起。摞在一起。他们落座了吗？没有，有重合吗？没有，有没有哪个地方漏着？都没有。所以你看这张图有什么特点？男孩，你说所有的小丑人都是。拼接起来的，有没有空隙？没有，没有空隙，我把这个特点记录下来，没有空隙。这两个小丑。图片他们在拼接的时候，这是什么重重叠，有没有重叠？没有，这也是它的特点。像这样在拼接的过程中没有空隙也不重叠的这种方法，在数学中有一个专门的名字叫做密度。这节课我们就共同来学习密度。其实密度在我们生活中很常见的这是墙面图，墙面图这些墙砖有什么特点？一有什么特点？女孩她们都是密夫在一起，密铺它的特点是什么？没有空隙也不好。请坐再来看一看棋盘图有什么特点，有什么特点？后面的孩这个。棋盘图的特点是没有空隙，也不重叠。你也不重叠。好，请坐。再来看一看还有张草图它的特点是什么？女孩方程的特点是密封，特点是没有空隙。也不重叠。好，请坐。孩子们，我们这节课就从简单的图形入手来研究，力图从平面图中我们知道长方形能力图。从棋盘图当中你能知道些什么？一起说泥土，那么通草土六六是啊。这六条边都。相同都相等，并且各个内角也相同。这种六边形叫做正六边形，他也能密铺。孩子们关于密铺这节课你想研究点什么？上面的老师男孩我。想知道是不是所有图形都能溢出。是不是所有图形都能？其他同学你还想研究点什么，还想研究点什么？男孩不规则的四边形能不能。是也是一个好问题。还有吗？还想研究点什么？你说我还想研究些哪些图形能密铺。哪些图形能密铺，哪些图形不能密铺。你知道能不能溢出？完事之后还需要研究什么？女孩，我想知道他们都是怎样怎样能立铺，也就是他们为什么能立铺，是不是这样？好，我们就带着这些问题走进今天的数学活动。在数学活动进行之前，想问问大家，你们都学过哪几类基本图形的正正正方？你们说了好多，那大致我们可以分为三角形为一大类，四边形为一大类。其中三角形按角分可以分为三，谁来说一说分为什么样的三角形？后面男孩可以，我可以分为等腰三角形，按角分按直角三角形，直角三角形、锐角两还有钝角三角形，同意吗？同意。那四边形可以分为哪几类呢？四边形女孩可以分为梯形。平行四边形和一般四边形。同意吗？同意，回答的很完整。那么五边形我们也找两个正五边形和房子五边形来一起探究。接下来我们来看一看活动要求，找同学来读一读。来男孩大点声。合作要求拼每组借助AI工具拼一种图形展，把作品再截图上传到共享平台，看哪种图形能密。不好请坐。由于我们要探究的图形比较多，一节课的时间关系可能不能研究全部的内容。所以我们有哪种好方法来让大家探究，哪种好方法女孩。可以在哪种里面选一类？比如三角形可以选直角三角形。每组里面选一类。这样我借助我们的班级小组分类系统来给大家安排布置任务，好不好？随机档案我们班级总共20 27个小组，27个小组。接下来随机分配小组，看看自己能分到哪一组。清楚自己的小组要研究哪一种图形了吗？清楚了清都清楚了，清楚了。好，接下来就请同学们借助我们的AI工具，根据自己小组的情况来进行探究。现在开始。操作再来。交给防控才行。好，你们到前面来尝试一下好吗？这两个。其他同学，你们都研究完毕了吗？完毕了，来红哥交流一下。好，不要忘了将你们的探究成果上传到我们的平台上。来我们看看这两位同学的研究成果，你们拼的是什么？跟大家介绍介绍。我们拼的是房子五边形能不能密封，你们接完这个结果能不能预付？能能我们看看蜜蜂的特点，有没有空隙，没有有没有瞅你没有放房子五边形被你们密码成功了，谢谢你们请回。好了，接下来我们来看一看，同学们，这还是房子五边形上传的这个作品。其他同学现在给大家八分钟时间，快速的将你的作品上传到我们的互动平台上。好了。来我们来看一看。通过刚才。我们可以确定防护。五边形可以密布，那其他图形可不可以密布呢？老师刚才在巡视的过程中，拍到了一部分同学的作品，我们一起来看一下。如果我没有拍到你的，不用着急，稍后老师看能不能在台子上，来，所有同学抬头看屏幕。好，我们来看一看锐角0.33元角形可不可以预估。可。这是直角三角形，你们的结论是可以弥补。我的彩集里面没有钝角三角形是吗？好在这儿有个空着，我们先给它标记下来，我们再来看看四边形，这是什么图形？行，可不可以？你说可以不可以？看到同学们的作品了，再来看看什么图形的结论是可以组可以比图4边形里面还有一个一般四边形可以弥补吗？也可以，我们五边形里面正边形可以弥补，不。可以不可以弥补。他们是不是合不到一起去正五边形不能一出。好，我们现在知道了锐角三角形、直角三角形、平行四边形、梯形、一般四边形，还有房子五边形都能立住。但是谁不能密布？正正正边边形。正边形不能密布钝角三角形，老师没采集到，这样我们一起请一位同学到前面来操作一下钝角三角形，看看它是否能做出，好吧？请一位同学上前面来来第二排的。边操作边讲解的拖到了屏幕上。我把钝角三角形拖到了屏幕上，然后再来一个钝角三角形，把它转转半圈拼上，然后拼成了一个平行四边形，再重复上面的流程。还可以拼不？还可以拼。对，有没有尽头？没有尽头。那能不能说一说你的结论是什么？我的结论是钝角三角形，可以，你同意吗？孩子们同意，操作的非常的流畅。请回好孩子们通过刚才大家借助AI工具探究得到了什么？三角形都。可以密铺。也就是任意三角形可以密铺。那还能得到什么结论？正边正正边形可以正五边形。不可以还有吗？平行四边形。四边形、反正五边形都可以秃。也就是任意四边形都可以密铺，并且反射5边形也可以密铺。孩子们这和你们的猜想，和你们之前的猜想一致不一致，一致都一样。你最开始也是这样想的吗？对，有的同学点头，有的同学摇头。好了，我们来看看正五边形不能密夫，但是它有两种拼接的方式。我们一起来看一看。这是一种添加方式。挺有意思。孩子们图形有的图形能密，不有的图形不能密出，那它不能力度和能力部的原因是什么呢？任意三角形可以密图，任意四边形也可以密图，但是正五边形却不容易过，原因。是什么？谁有什么想法吗？男孩，因为。他们的形状不拼图的，拼出来的结果也不。这是他的想法。其他同学形状不同，拼出的结果不同。那为什么有的能力多？你说不是我认为是因为这五边形它是一个对称的，之后和其他的对称。那那其他图形。不是对称的房子五边形是不是对称的长度？按你来说你说我。不同意他的说法？因为不是所有对称图形都不能一波，比如正方形、长方形、正三角形，它们也是对称图。但是他们可以一。好，请坐。那图形能密度的原因到底是什么？你有什么想法吗？男孩。我觉得图形可以密认为一是它有可以一波同行，都是都是有都是有一条线是平行互相平行的。有一条线互相平行的。就是他的想法。你们其他同学你觉得图形密度能跟什么东西有关，跟什么有关？女孩。就是这个数，我觉得就是246 80那样的。他觉得单数不能立功。你们同意他的想法吗？三角形啊不要多说，三角形是三条边的，你来看一看这正五边形不能密箍，也没给你答问题，你觉得跟什么有关跟什么有关，跟什么有关？女孩空隙没有角色的空隙，也就是你觉得跟谁有关呢？角度有关是不是？好，接下来就请同学们继续借助AI工具，帮助我们来研究图形密估的原因。接下来开始客户。但是我想都不你来。三角形能密度的原因是什么？找同学到前面来给大家操作一下来拿好了。首先我们拖动一个三角形到屏幕上，我们这里有一个图标直接快速帮助我们可以。三角形可以密铺的话，可以密铺是因为它的每个角都可以跟它连接起来，它两个角之间都是有空隙的那它的空隙就是一个等边三角形的的距离。你研究的是等边三角形是吗？对，你说的空隙就是指什么？拇指、食指这两这这两个三角形之间的这个饼就这个三角形。为了描述方便，我们把所有的内角都给它进行编号。也就是123角形中间的三个空隙，就是一个等边三角形的控等边三角形的距离。距离跟什么有关呢？你你发现这能密度你你发现这能密度跟什么有关呢？这有几个角一两两个几个角2，两个角二几个角三两个角3，它们合起来是什么？一个周角是什么？周角周角多少度？也就是这个图形的连接各个角的这个点，我们给它起个名字叫做连接点。连接点周围所有的角的度数之和是多少？360等边三角形。是这样，那其他三角形是不是这样随便点一个。可以显示内角度数，大家一起来看一看是不是这样。再来看看锐角三角形，所以三角形能密度的。原因是什么？因为他们的中心的角是周角。也就是拼接点处所有的角度之和是360度。你发现了三角形的密度的原因是四边形浓密度有什么样的？那谁想到前面来试一试？你好。加上是360。好，请回。谁听懂他的回答了？谁能再来说下，听懂他的回答吗？再来说说你，他说用了这些角，他们的颜色和60连接点. 的什么的和连接点处。角的所有角的度数的。和是好。请坐。那现在就把你们的发现跟同桌说一说开始。刚才同学们通过AI工具探索得到了任意三角形和任意四边形都可以密出，并且在连接点处所有角度的和是360度。那么正五边形为什么不能入库呢？如果我告诉大家，正五边形它的每个内角是108度，你能来说一说吗？拿好。因为底边正边形的每个内角都是108度，而3乘108等于324，等于360，4乘108又等于432，又大于360，所以这五边形不可以逆转。回答的很精彩，计算的口算能力也非常强。正五边形单独不可以预估，但是我们可以给它找一个搭档，变成组合图形就可以密估了。给他找个搭档，谁上来指一指，可以帮助他找一个谁？什么图形？找一个菱形可以。你那如果是这样排列的正五边形，就可以找一个等边六边形，也可以进行组合密度。其实密布非常有意思，这是刚才的小丑图，一点也不陌生。其实小丑图是荷兰艺术家埃舍尔所创作的作品。鸟和马人和马人骑马，人骑马神不神奇？神奇其实还有更神奇的了鸟和鱼属于不同的动物。动物。一个生活在水里，一个生活在天天上，虫子不相同，但是在数学的世界当中，觅菰就可以让它们紧密的融合在一起，让我们一起来见证这神奇的时刻。看似不相及的两种事物可以完美的融合合在一起，形成一幅和谐之美。同学们想不想自己也动手错不照不做出的作品呢？我们先来看一个创作。的视频。好玩吗？接下来。我也准备了四张颜色不同的可以密铺的基础图形。接下来先看老师来演示，我把四张图片给它重叠放置，接下来我要随意的剪出一些图案。对。我想从这个图形里剪下来一个三角形好了，现在是两部分。接下来我要把这个三角形剪下来的这两部分，把它移动到对侧进行粘贴。我要移动到对侧随意位置进行粘贴，那我移动到哪里，四张图片都要移动到哪里进行粘贴，那就请小助理帮帮我。把这个涂上，这个也更加好看，同学们稍等一下。好了，看我都把剪下来的三角形给它贴到了对侧，接下来我们来一起见证一下。怎么样？可不可以？蜜蜂可以，你们也想试一试吗？想，那就接下来拿出你手中的材料进行尝试，开始自己的开始。好了，孩子们，老师在学习的过程中，收集到了同学们的一部分的作品，让我们一起来欣赏一下这天衣无缝的蜜蜂的美。稍等一下，我们在布置线上的展厅。同学们。这节课大家通过动手操作以及借助AI工具，共同探究了密沽的道路。著名数学家华罗庚曾经说过，宇宙之大，粒子之微，无处不用的数学。数学不仅是一门学科，更是一个重要的工具。这节课上到这里，下课起立。再见。同学们，再见。 《密铺》跨学科学习成果评价量表 大连经济技术开发区松林小学-数学+A!+美育跨学科教学评价工具 评价说明：本量表采用"星级评价"与"描述性评价“相结合的方式，旨在从多维度评估学生在《密铺》一课中的学习成果。适用于教师评价、学生自评与小组互评。 评价维度 具体观测点与评价标准 自评 师评 具体建议/突出表现 一、数学概念理解与规律应用 1.概念理解：能清晰、准确地描述密铺”无空隙、不重叠"的核心特征， ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ 请输入具体建议或记录突出表 并能列举生活实例。 现 2.规律探究：能通过A工具，主动发现并归纳拼接点处各角度数和为 360°"的密铺规律。 3.原理阐释：能运用该规律，结合具体角度（如正五边形纳角108）， 逻辑清晰地解释图形能否密铺的原因。 二、AI工具操作与数字化探究 1.工具操作：能熟练使用睿智云工具进行图形拖拽、旋转、拼摆及截图 ☆次收☆☆☆★安 请输入具体建议或记录突出表 上传，操作流畅无误。 现 2.数据运用：能主动使用工具的“角度标注“功能收集数据，并以此作为 发现规律、验证猜想的依据。 3.平台展示：能独立或在小组协作下，将探究成果或创意作品上传至元 美名片云展厅】 三、合作探究与沟通表达 1.团队协作：在小组内分工明确，积极承担任务，能与同伴有效协作 ☆☆☆☆☆☆ 请输入具体建议或记录突出表 共同解决问题。 现 2.沟通交流：能清晰地汇报本组的探究过程与发现，并能认真倾听其他 小组的汇报，取长补短。 3.思辨反馈：能对他人的作品或观点提出有根据的、建设性的意见。 四、创新思维与审美表达 1.创意设计：设计的密铺作品主题鲜明，富有想象力，能对基本图形进 请输入具体建议或记录突出表 行创造性变形或组合。 现 2.规律遵循：创意作品严格遵循密铺的数学规律，实现"无空隙、不重 叠”。 3.审美呈现：作品构图美观，色彩协调，具有一定的艺术感染力，体现 了数学与艺术的和谐统一。 学生自评反思 本节课我最大的收获是： 我还需要在 方面继续努力。 教师总评 (基于以上四个维度，给予综合性、激励性的评价与未来学习建议) 保存评价结果 重置评价表 打印评价表 使用建议 简化应用：在实际课堂中，若时间有限，可聚焦其中1-2个核心维度进行重点评价。 学生赋能：在"作品欣赏与互评"环节，引导学生依据评价标准进行互评，将评价过程变为深度学习过程 分层反馈：对基础薄弱学生重点关注维度一和维度二；对能力较强学生则侧重维度四的创意表达。 星级标准：★★（仍需努力）★★★（符合预期）★★★★（超越预期）