2.6 利用三角函数测高 课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）（2012）九年级数学上册

2.6 利用三角函数测高 1.测量倾斜角 测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成，如图①所示. 知识点 利用三角函数测高 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下: （1）把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. （2）转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数. 使用测倾器测量倾斜角的步骤如下: （1）把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. （2）转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数. 测倾器测量倾斜角的原理： 如图②③所示，分别表示用测倾器测量观测目标P的仰角和俯角，铅垂线指的度数分别为α，β，由“同角的余角相等”知观测目标P的仰角和俯角分别为α，β.所以在用测倾器测量倾斜角时，铅垂线所指的度数即为所测的仰角或俯角的度数. 2.利用三角函数测高 测量物体的高度也是三角函数的实际应用，分为两种情况: （1）测量底部可以到达的物体的高度，此种情况类似于“三角函数的应用”中的单直角三角形问题. （2）测量底部不可以到达的物体的高度，此种情况类似于“三角函数的应用”中的双直角三角形问题中的情形，具体步骤如下:   温馨提示 为了提高测量的准确度，同学们可以多次测量，取平均值如果几次测量的误差较大，可能是以下原因所致: （1）仪器没有放平； （2）风吹抖动； （3）测量点的距离太近，角度差别不明显； （4）测量点与被测物体的底端所在的点不在同一条直线上等为减少误差，要尽可能减少客观因素带来的影响，并且要养成认真细致的学习态度. 例 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6m.   （2）∵“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m， ∴本次测量结果的误差为12.6-12.3＝0.3m. 减小误差的合理化建议: 为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法（答案不唯一）. 经典例题 01   题型一 三角函数测高的应用   方法归纳 此题的解答主要分为两步： 第一步是发现Rt△AEC与Rt△BEC是具有公共直角边的双直角三角形，通过线段间的和差关系或锐角三角函数列方程可求得公共直角边； 第二步是解Rt△DAE.通过这两步，问题便转化为我们熟知的问题，从而顺利获解.   题型二 三角函数测距离的应用   方法归纳 解答此类题的关键是添加辅助线，构造直角三角形此题的解答主要分为两步，一是添加辅助线CM，构造具有公共直角边的双直角三角形，通过线段的和差关系列方程求得公共直角边；第二步是添加辅助线DN，构造单直角三角形，进而解决问题. $