第二章 6 利用三角函数测高-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

6利用三角函数测高（答案P13) 通基》999999%99 4.(2023·泰安岱岳区期末)如图所示，楼房BD 的前方竖立着旗杆AC.小亮在B处观察旗杆 知识点1测量倾斜角 顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C 1.如图新示，在量角器的圆心O 的俯角为30°，楼高BD为20米.求旗杆AC 处下挂一铅锤，制作了一个简 的高度 易测倾仪.量角器的0刻度线 D 30L AB对准楼顶时，铅垂线对应 量角器上的读数是50°，则此 铅锤 时观察楼顶的仰角度数是( 45⊙ A.40° B.50° C.130° D.140 知识点2测量两地的距离 2.(2023·烟台莱州期中)如图所示，一架水平飞 行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的 俯角为a,tana=2,无人机沿水平线AF方向 继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小 明测得其仰角为30°.无人机距地面的垂直高 度用AM表示，点M,C,D在同一条直线上， 其中MC=100米，则河流的宽度CD 为() A.200米 B.200√3米 知识点4测量底部不可以到达的物体的高度 C.(200√3-20)米 D.(200√3+80)米 (或宽度) B 家0 5.某校兴趣小组同学为测量校外某小区的一栋 电梯高楼AB的楼高，从学校前广场的C处测 得该座建筑物顶点A的仰角为45°，沿着C向 第2题图 第3题图 上走到30√5米处的D点，再测得顶点A的仰 知识点3”测量底部可以到达的物体的高度 角为22°，如图所示.已知CD的坡比为1：2， (或宽度) A,B,C,D在同一平面内，则高楼AB的高度 3.(2023·泰安泰山区模拟)数学兴趣小组利用 为( )(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈ 无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行 0.93,tan22°≈0.40) 高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是 45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的 高度约为 米.（结果精确到1米，参考 数据：2≈1.41，√5≈1.73) A.60米 B.70米C.80米 D.90米 一优学案·课时通 45 6.如图所示，某物业楼上竖立一块广告牌，高 通能力 >>>>>>>>>>>>2>>>>>>>>>>>>>>>> CD=3m,小亮和小伟要测量广告牌底部D 到水平地面AH的距离，小亮在水平地面A 8.(2023·烟台芝罘区期中)某校数学社团开展 处安置测倾器，测得广告牌底部D的仰角为 “探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋 22°，小伟在水平地面B处安置测倾器，测得广 大楼BC的高度.如图所示，其中观景平台斜 告牌顶部C的仰角为45°，两人合作量得测倾 坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE底 器的高度AE=BF=1.2m,测点A和测点B 部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地 之间的距离AB=9m,请根据以上信息，求广 面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶 告牌底部D到水平地面AH的距离.（参考数 B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.1°.求 据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) 大楼BC的高度， 参考数据：sin37°≈ 5,cos37°≈ 5tan37≈3 D口 45°.- 00c0s42.1°≈37 sin42.1°≈6 9 ≈50tan42.1≈ 42.1 易错适解直角三角形时审题不清，解错三角形 7.(2023·烟台福山区期中) P 450y221 如图所示，无人机从A处测 得某建筑物顶点P的俯角 为22°，继续水平前行18米 0 到达B处，测得点P的俯角为45°，已知无人 机的飞行高度为45米，则这座建筑物的高度 约为 米.（参考数据：sim22°≈3 , 15 2 cos22°≈16tan22°≈ 46 九年级上册数学·鲁教版 9.(2023·烟台招远期中)如图所示，为了测量一 通素第》沙999 教学楼AB的高度，某数学兴趣小组从教学楼 底部B出发，沿楼前的平路前进10米至点C, 10.模型观念》如图所示是一座房屋的侧面示意 然后沿坡比为1：2.4的斜坡向下走3.9米到 图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 达点D,再沿平路继续前行6米至点E(平路 AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地 ED平行于平路BC),在E处操作无人勘测 面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地 机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点 面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰 F时，测得点D的俯角为30°，楼顶A的仰角 好共线，继续向房屋方向走8m到达点D 为27°，点A,B,C,D,E,F在同一平面内，则 时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶 教学楼AB的高度约为多少米？（结果精确到 层横梁EF=12m,EF∥CB,AB交EF于点 G(点C,D,B在同一水平线上).（参考数据： 0.1米，参考数据：√3≈1.73，sin27°≈0.45， cos27°≈0.89，tan27°≈0.51) sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7， √3≈1.7) (1)求屋顶到横梁的距离AG: (2)求房屋AB的高.（结果精确到1m) D 3560° D 一优学案·课时通 479.解：(1)如图①所示，过点B作BD⊥AC于点D. 北 AB=24 cm,BE-3AB, .∴.BE=8cm,AE=16cm. C R A DP N ① 在Rt△AEG中，AE=16cm,∠AEG=10°， 由题意得∠BAC=15°+45°=60°，AB=200米，AC=300米 ∴.EG=cos10°·AE≈0.98×16≈15.7(cm)=CD, 在△AD中，如60-裙-职-号as60-铝 答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7cm, AB (2)如图所示，过点B分别作BH⊥DE,BP⊥FC,垂足分别 200=2,解得BD=1003米，AD=100米， AD 1 为点H,P,在Rt△BEH中，BE=8cm,∠EBH=l0°， ∴.HE=sin10°·EB≈1.36(cm),BH=cosl0°·EB≈ ∴.CD=AC-AD=200米， 7.84(cm), ∴.由勾股定理得BC=√/CD2+BD2=100√7≈265米 ∴.HD=DE-HE=27.36-1.36=26(cm)=BP B,C两地的距离约为265米. ,∠ABF=145°， ∴.∠PBF=145°-90°-10°=45°， (2)该条航道会被这片浅滩区域影响，长度为100米.理由 ∴.BP=PF=HD=26cm. 如下： 如图②所示，过点B作航道的垂线BE」 ,MN⊥CF,∠NMF=45°，MN=8cm, .MN=NF=8 cm, 北 ..DN=DP+PF-NF= ·东 7.84+26-8≈25.8(cm). 答：线段DN的长度约为25.8cm. 8.解：如图所示. A F E CD B 由题意得AB=200米，∠BAE=45°， 由题意得DF=号AB=0,15(米). BE BE瓦 在Rt△ABE中，sim45°-AB-202, 斜坡AC的技比为1：2…公记-名05- 解得BE=100√2≈141米. ∴.BC=2AB=1.5米，CD=2DF=0.3米. .141<150, .ED=2.55米， ∴，该条航道会被这片浅滩区域影响。 ∴.EB=ED十BC-CD=2.55+1.5-0.3=3.75(米) 设BF=150米，在Rt△BEF中，EF=√JBF2-BE2= 在Rt△AEB中，tan∠AEB=A5=0.75=1 EB3.75=5,查表可得 √1502一(100√2)2=50（米），根据对称性可知，被影响的航 ∠AEB≈11.310°， 道长度为100米. ∴.为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度. 第3课时利用坡度、坡角解决问题 6利用三角函数测高 1.B2.C3.(2+3) 1.A2.C3.14 4.解：(1)在Rt△DEM中，EM=0.9m,∠EMD=30°， 4.解：过点C作CE⊥BD,垂足为点E,如图所示. 血30-品-器-号解符DB-045a, D 30 ∴.此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.45m. (2)由(1)得DE=0.45m, ∴.GE=GD-ED=1.05-0.45=0.6(m). EF∥AB, ∴.∠GEF=∠EDB=90° 452 B 在Rt△GEF中，∠GFE=53°，GE=0.6m,tan53°= EG EF 由题意，得AC=BE,∠DCE=30°，∠BCE=45°.设AC= BE=x米，在Rt△BCE中，CE=BE·tan45°=x米. 8号m3-器-8 在Rt△DcE中，DE=CE·an30°=z米. 解得EF=0.45m,GF=0.75m, .GF+EF+DE=0.75+0.45+0.45=1.65(m). .BD=20米，BE+DE=20, 答：此运动员的身高为1.65m. x+ +3x=20,解得x=30-10V3, 5.A6.20.62 7.解：(1)如图所示，过点E作EG⊥AC于点G. .AC=BE=(30-103)米， 易知四边形CDEG是矩形，∴.CD=GE. ∴.旗杆AC的高度为(30-10√3)米。 13 5.D ∴.AG=FG·tan∠AFG=19.6×tan27°≈19.6×0.51= 6.解：如图所示，延长EF交CH于点G,则FG⊥CH,得矩形 9.996(米). AEFB,矩形BFGH,矩形AEGH,.EF=AB=9m,AE= EF BF=GH=1.2 m. 在R△FDE中，tan∠FDE-DE, :G0=Ep=DE·tan∠FDE=6Xtan30=6X3=23为 3.46(米)， ∴.AB=AG+G0-OB=9.996+3.46-1.5≈12.0（米）. 459 即教学楼AB的高度约为12.0米. 10.解：(1)：房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房 ∠CFG=45°， 屋的高AB所在的直线，EF∥BC, ∴.∠FCG=45°，∴.FG=CG, AG⊥EP,EG=EP,∠AEG=∠ACB=35. ..GD=CG-CD=(CG-3)m. 在Rt△EDG中，∠EGD=90°，∠DEG=22°，EG=EF+ 在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°， FG=(9+FG)m.DG=EG·tan22°，.CG-3≈(9+ an∠ABG=mS-8 ,EG=6 m, CG)×0.40,∴.CG=11m,.DG=CG-3=8m, ∴.DH=DG+GH=8+1.2=9.2(m). ∴.AG≈6X0.7=4.2(m). 答：广告牌底部D到水平地面AH的距离为9.2m. 答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2m. 7.33 (2)过点E作EH⊥CB于点H,如图所示. 8.解：如图所示，延长AE交CD延长线于点M,过点A作 AN⊥BC于点N,则四边形AMCN是矩形，∴.NC=AM, AN-MC. B 42.16 -35° 460 设EH=xm, 在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60° E N---------- :ian∠EDH DH..DH=- tan 60 Q 37 DM 在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°. 在Rt△EMD中，∠EDM=37°. tan∠ECH-H,cH 'sin∠EDM ED,cos∠EDM=DM, E tan 35. ED· .CH-DH=CD=8 m, EM=EDXn37≈20X号-12（米），DM=EDXs37 2 x an35an60=8, 解得x≈9.52， 20×音=16（米）. ∴.AB=AG+BG=4.2+9.52=13.72≈14(m) ∴.AN=MC=CD+DM=74+16=90(米). 答：房屋的高AB约为14m. 在Rt△ANB中，∠BAN=42.1°， 专题三构造基本图形解决 9 tan∠BAN=8N,BN=AN X tan42.1°≈90X7g 直角三角形的实际问题 1.C 81(米)，∴.BC=BN+AE+EM=81+3+12=96(米). 答：大楼BC的高度约为96米. 2.解：如图所示，过点B作BD⊥AC交北 9.解：如图所示，过点F作FG⊥AB于点G,延长ED,AB交于 于点D, 点O,过点C作CH⊥OE于点H,则CB=10米，CD= 由题意可知∠FAC=60°，∠EBC= 3.9米，DE=6米，EF=GO,FG=EO,OB=CH,∠AFG= 30°，∠ABH=75°， D 27°，∠DFG=∠FDE=30° ∴.∠GAB=∠GBA=15°， ∴.AG=GB,∠DGB=30°， ∴.∠GBD=60°， .∠DBE=30° .'∠EBC=30°， ∴.∠DBC=60°， EDH 0 ∴.∠C=30°. 斜坡CD的坡比为1：2.4，.CH:DH=1:2.4=5:12, 设DB=xkm,则BC=2xkm,CD=√3xkm. .设CH=5x米，则DH=12x米. 在Rt△CDH中，由勾股定理得CD2=CH2+DH,即 在Rt△DBG中，GB=2BD=2xkm,GD=√3xkm. 3.92=(5x)2+(12x)2,解得x=0.3,即CH=5x=1.5米， "AC=60√2km, DH=12x=3.6米， .602=2x十3x十√5x, .E0=ED+DH+H0=6+3.6+10=19.6(米)， 解得x=15(6-√2)， .FG=E0=19.6米. AG .BC=2x=30(√6-√2)≈31.05(km),AB= 在Rt△AFG中，tan∠AFG-FG' W√/AD2+BD2=60(km), 14