专题04 计数原理（期末真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题04 计数原理 4大高频考点概览 考点01 加法原理与乘法原理 考点02 排列问题 考点03 组合问题 考点04 二项式定理 地 城 考点01 加法原理与乘法原理 1．(24-25高二上·江西吉安·期末)春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 【答案】C 【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果. 【详解】根据题意先将五人分成四组，共有种， 再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片， 共有种， 因此所有不同的选法种数为种. 故选：C 2．(24-25高二上·江西·期末)5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即可. 【详解】每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为. 故选：D 3．(24-25高二上·江西南昌·期末)某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．42种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】7本不同的历史书任取1本历史书有7种取法； 6本不同的地理书任取1本地理书有6种取法， 从这些书中任取1本历史书和1本地理书， 根据分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42种. 故选：B. 4．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期末)某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（    ） A．60 B．180 C．240 D．300 【答案】C 【分析】由不平均分组法或者直接由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】方法一（不平均分组）：由题意这五天中有一人值了两天班，即四人的值班天数为， 故所求为， 方法二：从五天中选两天分配给其中一人，再将剩下的三人、三天进行全排列， 故所求为. 故选：C. 5．(24-25高二上·江西抚州·期末)在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】五名同学分三个小组， 若按2人，2人，1人来分有种， 若按3人，1人，1人来分有种， 再把这三个小组排列到三个服务站去共有种， 所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种， 故选：B. 6．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 【答案】C 【分析】若甲去点则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点，按照分组分配的方法计算可得，同理求出甲去点的安排方法，再由分类加法计数原理计算可得. 【详解】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点. 当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或， 此时的分配方法有； 当剩余4人分为3组去，，3个点时， 先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有， 综上可得，甲去点，不同的安排方法数是. 同理，甲去点，不同的安排方法数也是， 所以，不同的安排方法数是. 故选：C. 7．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有(    )种 A．540 B．360 C．300 D．420 【答案】D 【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可. 【详解】分两种情况讨论即可： (i)②和④涂同种颜色时， 从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法； (ii)②和④涂不同种颜色时， 从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法； ∴总共有180＋240＝420种涂色方法． 故选：D﹒ 8．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 【答案】A 【分析】利用相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法求解即可. 【详解】先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成一个整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中，有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种. 故选：A. 9．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)为了迎接学校即将到来的某项活动，某班组织学生进行卫生大扫除，班主任将班级中的9名同学平均分配到三个包干区（编号1、2、3）进行卫生打扫，其中甲同学必须打扫1号包干区，则不同的分配方法有（    ） A．560种 B．280种 C．840种 D．1120种 【答案】A 【分析】现将9名同学平均分成3组，再将含有甲的分组打扫1号包干区，其他两组分别负责2、3号包干区，最后结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，将9名同学平均分成3组，共有种分法； 第二步，含有甲的分组打扫1号包干区，其他两组分别负责2、3号包干区，共有种分法； 由分步乘法计数原理可知，所有分配方法共种. 故选：A. 10．(23-24高二上·江西部分学校·期末)某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：C． 11．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)某电视台的一个综艺栏目对含甲､乙在内的六个不同节目排演出顺序，第一个节目只能排甲或乙，最后一个节目不能排甲，则不同的排法共有（    ） A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 【答案】B 【分析】分第一个节目为甲和乙两种情况求解即可 【详解】①第一个节目为甲，则共有种排法； ②第一个节目为乙，则共有种排法 故共有种排法 故选：B 12．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案) 【答案】72 【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论. 【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是35，24，1，此时的涂法有种， 若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是2，4，35，1或24，3，5，1，此时的涂法有种， 所以总的涂色方法有. 故答案为：. 13．(24-25高二上·江西九江·期末)“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市濂溪区芳兰湖畔，一经开业便引得广大市民游客争相打卡．为了更好的服务招亲广场、电音舞台、篝火广场、水系舞台这四个网红打卡点，主管单位向我市征集了5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红点，则电音舞台恰好安排两人的方法有 种． 【答案】60 【分析】根据题意，利用排列组合知识结合分步乘法计数原理求解. 【详解】第1步：电音舞台先安排2人有种方法； 第2步：将剩余3人分给其余的3个网红点，有种方法． 故电音舞台恰好安排两人的方法有种． 故答案为：60 14．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 种. 【答案】72 【分析】对于本题共4种不同形状的风铃，要求是使用同一种风铃，其余各棱的两个顶点挂不同形状的风铃，可以理解相邻顶点挂不同形状的风铃，通过分析使用3种或4种风铃满足条件. 【详解】①使用3种形状风铃，只能同，同，同.此时共有：种挂法， ②使用4种形状风铃，此时有两种情况； 1）同，不同：直接将4种风铃挂到四个点上， 全排列有：种， 2）不同，同：此时与1）相同，共有种， 综上，共有24+24+24=72种， 故答案为：72 【点睛】涂色问题解决问题的关键是在判定使用颜色数量，合理分类，合理分步，熟练分类加法及分步乘法原则. 15．(24-25高二上·江西吉安·期末)现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题． (1)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ (2)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 【答案】(1)96； (2)60. 【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； 【详解】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； （2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 所以用这5个数字能够组成组成个无重复数字的五位偶数； 16．(24-25高二上·江西·期末)已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求得结果； （2）分两种情况讨论：（i）测试次找到所有次品；（ii）测试次找到所有的次品.求出两种情况下不同的测试情况种数，相加即可. 【详解】（1）若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品， 则第一、三、四次抽到的都是正品， 由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为种. （2）分以下两种情况讨论： （i）测试次找到所有次品，不同的测试情况种数为种； （ii）测试次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到正品， 则不同的测试情况种数为种. 综上所述，不同的测试情况种数为种. 地 城 考点02 排列问题 1．(24-25高二上·江西南昌·期末)小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用插空法可求得结果. 【详解】先将一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄进行排序， 然后将两颗圣女果插入一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄所形成的空位中， 从个空位中抽取个空位进行排序， 由插空法可知，不同的串法有种. 故选：C. 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由捆绑法及全排列即可求解； 【详解】将甲、乙两位同学捆绑，再和另外4位同学全排列，即. 故选：B 3．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所有实验结果有种，列举出每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件之和为，即可求出概率. 【详解】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，共有种不同的结果， 其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有种， 数字1、1、4组成的结果有种，数字2、2、2组成的结果有种. 故所求概率为. 故选：B. 4．(24-25高二上·江西鹰潭·期末)加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（    ）种加工方法． A．24 B．32 C．48 D．64 【答案】A 【分析】考察排列组合的捆绑与插空的方法 【详解】工序A，B必须相邻，可看作一个整体，工序C，D不能相邻，所以先对AB，E工序进行排序，有种方法，AB内部排序，有种方法，排好之后有三个空可以把工序C，D插入，共种情况，所以一共有种可能性 故选：A 5．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 【答案】B 【分析】直接利用插空法计算即可得到答案. 【详解】分两步： 第一步：先对除1以外的3位数字进行全排列，有种方法； 第二步：将两个1选两个空插进去有， 由分步计数原理可得：小明可以设置的不同密码有种， 故选： 6．(24-25高二上·江西上饶·期末)是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 【答案】B 【分析】根据倍缩法可得. 【详解】6位数字2，7，1，8，2，8中有2个2，2个8， 故所组成的六位数密码有种情况， 故选：B 7．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 【答案】D 【分析】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可. 【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法： 如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种， 若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种． 则不同的安排方案共有(种)． 故选：D． 8．(24-25高二上·江西·期末)（多选）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 【答案】ABD 【分析】根据独立事件乘法公式计算判断A，应用全概率公式结合对立事件概率计算判断B，应用乘法原理结合组合公式计算判断C，先求所有排序情况减去小明和小刚相邻时的排法判断D. 【详解】对于A，若小明第一次评定为不合格，则小明获得0.4学分的概率为，故A正确； 对于B，设事件“第i次评定为合格”， 由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为 ，故B正确； 对于C，先排小明，有种方式，再排小刚，有种方式，最后排其余所有人，有种方式， 则一共有种方式，故C错误； 对于D，无限制时，排序方式有种方式， 小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其余人排序，有种方式， 所以一共有种方式，故D正确． 故选：ABD． 9．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末) （多选）现将5个不同的小球全部放入标有编号1､2､3､4､5的五个盒子中（    ） A．若有一个盒子有3个球，有两个盒子各有1个球，则不同的放球方法种数为 B．若恰有一个盒子没有小球，则不同的放球方法种数为 C．若恰有两个盒子没有小球，则装有小球的盒子的编号之和恰为11的不同放法种数为150 D．若这5个小球的编号分别为1~5号，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为45 【答案】BCD 【分析】对于A，从5个球中选3个看成整体，再和剩下的2个球全排列放到3个不同的盒子中去即可；对于B，从5个球中选2个看成整体，再和剩下的3个球全排列放到4个不同的盒子中去中；对于C，由于5个盒子的编号的和为15，则2个盒子无小球的和为4，只有1，3满足要求，则5个球放到编号为2､4､5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放1个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个或各放3个，1个，1个，从而可求得答案；对于D，恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰有1个编号相同，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，然后其它的错位排即可 【详解】对于A，不同的放球方法种数为，故A错误. 对于B，不同的放球方法种数为，故B正确. 对于C，5个球放到编号为2､4､5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放1个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有种；各放3个，1个，1个的方法有种.共有150种，故C正确. 对于D，恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰有1个编号相同，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，其余4个球的放法为，，，，，，，，，共9种，故恰好有1个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为种，故D正确. 故选:BCD. 10．(24-25高二上·江西·期末)0．现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 【答案】 1728 3840 【分析】依题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，先排红球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法计数原理计算可得；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题， 若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端， 先排红球和黑球共有种方法，再排其中1个白球有种方法， 最后排剩余的3个白球有种方法，所以共有 种不同的放法． 若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，有种方法， 又2个红球的放法有种， 再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列有种， 所以共有种不同的放法． 故答案为：； 11．(23-24高二上·江西九江六校·期末)2．从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示 【答案】 【分析】先根据条件知道，再根据计算原理计算即可． 【详解】解：若直线方程经过坐标原点，则， 那么，任意取两个即可，有. 故答案为：． 12．(24-25高二上·江西新余·期末)3．将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解. 【详解】由题意，可分为三种情况： 当甲单独参加A项活动，则有种安排方法； 当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法； 当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法， 所以不同的分配方法有种不同的安排方法. 故答案为：. 13．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末)4．求下列问题的排列数： (1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； (2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； (3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 【答案】(1)720(种) (2)1440(种) (3)1440(种) 【分析】（1）利用捆绑法进行排列计算可得结果； （2）利用插空法先排男生，再将女生插空排列计算可得结果； （3）根据特殊元素排法将两端排上男生再进行全排列即可得结果. 【详解】（1）根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列， 共有(种)不同的安排方法. （2）根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上， 共有(种)不同的排列方法. （3）先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上， 共有(种)不同的排列方法. 地 城 考点03 组合问题 1．(23-24高二上·江西赣州·期末)古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到此次调研的基本事件的总数为种，再由题设条件，分为两类求得恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的种数，集合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门， 共有种不同的调研方法， 其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门，可得分为： ①其中一个周日只调研百盛门和建春门，另一个周日调研其他三门，有种方法； ②其中一个周日调研百盛门、建春门和其中另一个门，另一个周日调研剩余的两门， 有种方法，共有种不同的调研方法， 所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为. 故选：A. 2．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用计数方法结合古典概型求解. 【详解】4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个的方法总数为种， 恰有1位学生摸到写有自己名字的小球，可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共种， 所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为. 故选：B 3．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌二中·期末)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C. 4．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将符合题意的两位数列举出来，然后根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】由题从1，2，3，4，5这5个数中任取2个 共有，10种， 满足这2个数字之积大于5的有，共有6种， 则由古典型概率可知其所求概率为. 故选：C 5．(23-24高二上·江西九江六校·期末)现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的名都是女志愿者的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合计数可求基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率. 【详解】现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者， 随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务， 基本事件总数， 抽出的名都是女志愿者包含的基本事件个数， 则抽出的名都是女志愿者的概率是． 故选：B． 6．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 【答案】C 【分析】若甲去点则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点，按照分组分配的方法计算可得，同理求出甲去点的安排方法，再由分类加法计数原理计算可得. 【详解】若甲去点，则剩余4人，可只去、两个点，也可分为3组去，，3个点. 当剩余4人只去、两个点时，人员分配为或， 此时的分配方法有； 当剩余4人分为3组去，，3个点时， 先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有， 综上可得，甲去点，不同的安排方法数是. 同理，甲去点，不同的安排方法数也是， 所以，不同的安排方法数是. 故选：C. 7．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（   ） A．540 B．450 C．360 D．180 【答案】B 【分析】根据给定条件，将6名志愿者按和分成3组，再安排三个站点即可. 【详解】将6名志愿者按和分成3组，不同分组方法种数为， 再将每一种分法的3组安排到三个站点有种， 则不同安排的方法数为（种）. 故选：B. 8．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)2024年4月22日至23日，习近平总书记在重庆市考察调研，某街道办派甲、乙等6名志愿者到三个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口两位引导员，若甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为（    ） A．108种 B．54种 C．36种 D．72种 【答案】D 【分析】利用间接法，先将志愿者安排出去，再排除甲和乙去同一路口的情况，结合组合数运算求解. 【详解】将志愿者安排出去，不同的安排方案总数为种， 甲和乙去同一路口，不同的安排方案总数为种， 所以甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为种. 故选：D. 9．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末)元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 10．(24-25高二上·江西·期末)“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得 ．（结果用组合数表示） 【答案】 【分析】由二项式定理展开式的系数结合题意计算即可. 【详解】因为，因此是展开式中项的系数，而的展开式中项的系数为， 所以． 故答案为：. 11．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 【答案】（1）495；（2）3或4 【分析】（1）根据组合数性质运算求解； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【详解】（1）由题意可知： ； （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 12．(24-25高二上·江西上饶·期末)（1）解方程：     （2）计算． 【答案】（1）10；（2）252 【分析】根据排列数公式、组合数公式，结合组合数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得． （2）法一： . 法二：原式. 地 城 考点04 二项式定理 1．(24-25高二上·江西九江·期末)若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出展开式的通项，令的指数等于零，进而可得出答案. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 则，解得. 故选：A． 2．(24-25高二上·江西抚州·期末)若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，展开式中项的系数为，B错误； 对于C，二项式展开式中各项系数均为正，取， 得，C正确； 对于D，取，得，取，得， 联立解得，因此，D错误. 故选：C 3．(24-25高二上·江西·期末)二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由二项式展开式的通项公式求出通项，然后由指数为整数得到的取值，得出结果. 【详解】二项式展开式的通项为． 其中当k的值分别为0，2，4时，为有理项，共有3项． 故选：B． 4．(23-24高二上·江西九江六校·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用二项式的展开式求出结果． 【详解】根据二项式展开式：，； 故当时，展开式中的系数为， 故． 故选：D． 5．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末) （多选）关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有3项 【答案】AC 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数，第四项的二项式系数, 第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为， 当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D错误. 故选：AC. 6．(24-25高二上·江西·期末) （多选）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算判断AC；利用二项式定理求出项的系数判断BD. 【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确； 对于B，展开式中项的系数为，B正确： 对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确： 对于D，展开式中项的系数为，D错误. 故选：ABC 7．(24-25高二上·江西鹰潭·期末) （多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 【答案】BD 【分析】赋值法判断A；应用二项式的展开式的性质判断B、C、D. 【详解】A：令，则，A错； 由，， 当时，二项式系数最大，B对； 当时，，C错； 当时，常数项为，D对. 故选：BD. 8．(24-25高二上·江西·期末) （多选）记，则（   ） A．若S的展开式中存在常数项，则n是7的倍数 B．若S的展开式中存在常数项，则n是6的倍数 C．若n是奇数，则第项一定是S的展开式中系数最大的项 D．若n是偶数，则第项是S的展开式中二项式系数最大的项 【答案】AD 【分析】利用二项展开式的通项公式写出的展开式的通项，再研究常数项，及当是奇数和偶数时的情况即可. 【详解】易得该二项展开式的通项为， 对于A，B选项，若S的展开式中存在常数项，则是常数，即， 因为r，n为正整数，故n是7的倍数，故A正确，B错误； 对于C选项，因为n是奇数，设 ，则， 所以第项为，其系数为，不能确定正负，故C错误； 对于D选项，因为n是偶数，设，则， 所以第项为，其二项式系数最大，故D正确． 故选：AD. 9．(24-25高二上·江西新余·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．被8除的余数为1 D．的展开式中含项的系数为5292 【答案】BD 【分析】根据二项式系数的性质判断A的真假；利用“赋值法”判断B的真假；利用二项式定理判断C的真假；求的系数，判断D的真假. 【详解】对A：若第2,3项的二项式系数相等且最大，则；若只有第3项的二项式系数最大，则； 若第3,4项的二项式系数相等且最大，则.故A错误； 对B：令可得；令可得， 所以，故B正确； 对C：因为 ， 所以被8除的余数为7，故C错误； 对D：因为 . 所以的系数为，故D正确. 故选：BD 10．(24-25高二上·江西吉安·期末) （多选）已知展开式中二项式系数之和为64，则（    ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为240 【答案】BCD 【分析】根据二项式系数之和得到，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误. 【详解】A，由题设，二项式系数之和，A错； B，所以时各项系数之和为，B对； C，由组合数的性质知，，即时二项式系数最大，C对； D，对于，则，， 令，则常数项为，D对. 故选：BCD 11．(24-25高二上·江西南昌中学·期末) （多选）关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为 C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1 【答案】AC 【分析】令代入二项式，可得各项系数之和，判断A正确；由展开式的二项式系数之和为，可求B错；根据展开式中共有项，可判断C正确；利用二项展开式的通项公式，可判断D错. 【详解】令，则各项系数的和为，故A正确； 展开式的二项式系数的和为，故B错； 展开式中共有2026项，故C正确； 展开式中的第项为， 因为，且，所以，因此展开式中无常数项，故D错； 故选：AC 12．(24-25高二上·江西上饶·期末)的展开式中常数项为 ． 【答案】80 【分析】由题意的展开式通项为，求其展开式中含项的系数即可. 【详解】求的展开式中常数项即求的展开式中含项的系数， 的展开式通项为， 令，得，， 故答案为：80 13．(24-25高二上·江西鹰潭·期末)若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】令确定对应的系数，得到，再应用二项式的展开式求的系数，列方程求参数. 【详解】当时，，则的系数，不符合， 所以，则的系数，可得. 故答案为：2 14．(24-25高二上·江西南昌·期末)展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】根据二项式定理通项公式法计算即可。 【详解】根据二项式定理通项公式，知道展开式中的系数为. 故答案为：. 15．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二项式系数和，得出，再应用通项公式计算即可得出系数； （2）根据通项公式列不等式组计算求出，再结合，则最后计算即可. 【详解】（1）次二项式的展开式中各项的二项式系数和， 由题意，得，即， 由二项式通项公式，得， 即，令，得 展开式中项的系数为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则有， 化简得，即为， 解得， ，则， 展开式中项的系数最大的项为. 16．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)（1）若，求的值； （2）在的展开式中，求二项式系数最大的项 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用赋值法，分别令，求解； （2）利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】（1）由， 令，得； 令，得， 所以； （2）在的展开式中，二项式系数最大的项是第5项， 则. 试卷第1页，共3页 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 计数原理 4大高频考点概览 考点01 加法原理与乘法原理 考点02 排列问题 考点03 组合问题 考点04 二项式定理 地 城 考点01 加法原理与乘法原理 1．(24-25高二上·江西吉安·期末)春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为（   ） A．72 B．96 C．180 D．288 2．(24-25高二上·江西·期末)5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌·期末)某书架的第一层放有7本不同的历史书，第二层放有6本不同的地理书.从这些书中任取1本历史书和1本地理书，不同的取法有（   ） A．13种 B．42种 C．种 D．种 4．(24-25高二上·江西南昌新民外语学校·期末)某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天，每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（    ） A．60 B．180 C．240 D．300 5．(24-25高二上·江西抚州·期末)在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 6．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 7．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有(    )种 A．540 B．360 C．300 D．420 8．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（    ）种． A．144 B．72 C．36 D．24 9．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)为了迎接学校即将到来的某项活动，某班组织学生进行卫生大扫除，班主任将班级中的9名同学平均分配到三个包干区（编号1、2、3）进行卫生打扫，其中甲同学必须打扫1号包干区，则不同的分配方法有（    ） A．560种 B．280种 C．840种 D．1120种 10．(23-24高二上·江西部分学校·期末)某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（    ） A．90种 B．30种 C．14种 D．11种 11．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)某电视台的一个综艺栏目对含甲､乙在内的六个不同节目排演出顺序，第一个节目只能排甲或乙，最后一个节目不能排甲，则不同的排法共有（    ） A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 12．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)如图所示，相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则涂满所有区域的不同的着色方法共有 种(用数字填写答案) 13．(24-25高二上·江西九江·期末)“九江之夜”文旅街区是我市重点引进的文旅项目，它坐落在我市濂溪区芳兰湖畔，一经开业便引得广大市民游客争相打卡．为了更好的服务招亲广场、电音舞台、篝火广场、水系舞台这四个网红打卡点，主管单位向我市征集了5名志愿者，若要求每个网红点至少安排一名志愿者，每名志愿者只服务一个网红点，则电音舞台恰好安排两人的方法有 种． 14．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)中国古建筑闻名于世，源远流长.如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体.现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求E，F处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有 种. 15．(24-25高二上·江西吉安·期末)现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题． (1)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？ (2)用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？ 16．(24-25高二上·江西·期末)已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 地 城 考点02 排列问题 1．(24-25高二上·江西南昌·期末)小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)现有6位同学站成一排照相，其中甲、乙两位同学相邻的排法种数为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西鹰潭·期末)加工某种产品需要5道工序，分别为A，B，C，D，E，其中工序A，B必须相邻，工序C，D不能相邻，那么有（    ）种加工方法． A．24 B．32 C．48 D．64 5．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前5位数字3，1，4，1，5进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ） A．24个 B．36个 C．72个 D．60个 6．(24-25高二上·江西上饶·期末)是自然对数函数的底数，被称为自然常数或者欧拉数．最初由雅各布·伯努利在研究复利时发现，后由莱昂哈德·欧拉证明其为无理数，大约为．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行排列得到一个六位数密码，那么小明可以设置（   ）个不同密码． A．240 B．180 C．120 D．72 7．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（   ） A．1440种 B．1360种 C．1282种 D．1128种 8．(24-25高二上·江西·期末)（多选）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 9．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末) （多选）现将5个不同的小球全部放入标有编号1､2､3､4､5的五个盒子中（    ） A．若有一个盒子有3个球，有两个盒子各有1个球，则不同的放球方法种数为 B．若恰有一个盒子没有小球，则不同的放球方法种数为 C．若恰有两个盒子没有小球，则装有小球的盒子的编号之和恰为11的不同放法种数为150 D．若这5个小球的编号分别为1~5号，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为45 10．(24-25高二上·江西·期末)0．现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法． 11．(23-24高二上·江西九江六校·期末)2．从集合中任取个元素分别作为直线方程中的、、，所得的经过坐标原点的直线有 条用数值表示 12．(24-25高二上·江西新余·期末)3．将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有 种．（用数字作答） 13．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末)4．求下列问题的排列数： (1)4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； (2)4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； (3)4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 地 城 考点03 组合问题 1．(23-24高二上·江西赣州·期末)古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌二中·期末)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·江西九江六校·期末)现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的名都是女志愿者的概率是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往，，等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去，两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是（    ） A．72 B．84 C．100 D．120 7．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年是红军长征出发九十周年，习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场2024于都红色半程马拉松比赛．某单位6名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有1名且最多有3名志愿者，则不同安排的方法数为（   ） A．540 B．450 C．360 D．180 8．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)2024年4月22日至23日，习近平总书记在重庆市考察调研，某街道办派甲、乙等6名志愿者到三个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口两位引导员，若甲和乙不能去同一个路口，则不同的安排方案总数为（    ） A．108种 B．54种 C．36种 D．72种 9．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末)元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 10．(24-25高二上·江西·期末)“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G. Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”．由等式，，，利用“算两次”原理可得 ．（结果用组合数表示） 11．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 12．(24-25高二上·江西上饶·期末)（1）解方程：     （2）计算． 地 城 考点04 二项式定理 1．(24-25高二上·江西九江·期末)若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．(24-25高二上·江西抚州·期末)若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西·期末)二项式的展开式中有理项的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．(23-24高二上·江西九江六校·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西南昌第十九中学·期末) （多选）关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A．各项系数之和为1 B．第二项与第四项的二项式系数相等 C．常数项为60 D．有理项共有3项 6．(24-25高二上·江西·期末) （多选）关于，下列结论正确的是（   ） A．展开式中的常数项为1 B．展开式中项的系数为 C．展开式中所有项的系数和为 D．展开式中项的系数为392 7．(24-25高二上·江西鹰潭·期末) （多选）关于二项式的展开式，下列说法正确的是（   ） A．展开式的所有项系数和为64 B．展开式的第4项二项式系数最大 C．展开式中不含项 D．展开式的常数项为240 8．(24-25高二上·江西·期末) （多选）记，则（   ） A．若S的展开式中存在常数项，则n是7的倍数 B．若S的展开式中存在常数项，则n是6的倍数 C．若n是奇数，则第项一定是S的展开式中系数最大的项 D．若n是偶数，则第项是S的展开式中二项式系数最大的项 9．(24-25高二上·江西新余·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 B．若，则 C．被8除的余数为1 D．的展开式中含项的系数为5292 10．(24-25高二上·江西吉安·期末) （多选）已知展开式中二项式系数之和为64，则（    ） A． B．展开式的各项系数之和是1 C．展开式中第4项的二项式系数最大 D．展开式中常数项为240 11．(24-25高二上·江西南昌中学·期末) （多选）关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为 C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1 12．(24-25高二上·江西上饶·期末)的展开式中常数项为 ． 13．(24-25高二上·江西鹰潭·期末)若的展开式中的系数为，则a的值为 ． 14．(24-25高二上·江西南昌·期末)展开式中的系数为 . 15．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中项的系数； (2)求展开式中项的系数最大的项. 16．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)（1）若，求的值； （2）在的展开式中，求二项式系数最大的项 试卷第1页，共3页 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $