专题02 二项式定理的八大热点题型（高效培优专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

学 专题02 二项式定理的八大热点题型 题型一：求二项展开式 1 题型二：二项展开式的特定项问题 1 题型三：三项展开式的特定项问题 2 题型四：因式之积展开式的特定项问题 3 题型五：展开式最大（小）项问题 3 题型六：二项式系数和、系数和问题 4 题型七：整除或余数、近似值问题 5 题型八：杨辉三角问题 6 题型一：求二项展开式 1．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京东城·二模）已知，则实数 4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）的值为 ． 5．（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 题型二：二项展开式的特定项问题 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 7．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 8．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 9．（25-26高三上·四川成都·期中）的展开式的中间项为 ． 10．（2025高二·全国·专题练习）已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 11．（25-26高二·全国·假期作业）已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 题型三：三项展开式的特定项问题 12．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 13．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 14．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 15．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为 .（用数值作答） 16．（2025高二·全国·专题练习）（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 题型四：因式之积展开式的特定项问题 17．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 18．（25-26高三上·云南曲靖·月考）的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 19．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．3 D．8 20．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中常数项是 ． 21．（25-26高三上·江苏南通·期中）若的展开式中，的系数为-50，则 . 题型五：展开式最大（小）项问题 22．（2025高三·全国·专题练习）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为 ，系数最大值为 ． 24．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 25．（2025高三·全国·专题练习）已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求； (2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项． 26．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. (1)求n的值； (2)展开式中的整式项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 题型六：二项式系数和、系数和问题 27．（24-25高二下·河北·期末）设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 28.（多选）（25-26高三上·河北·开学考试）设，则下列说法正确的有（    ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 29．(多选)（24-25高二下·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 30．（24-25高二下·福建三明·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 31．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）若，求： (1)展开式中各项的二项式系数之和； (2)求的值； (3)的值． 题型七：整除或余数、近似值问题 32．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高三上·广东江门·月考）设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（    ） A．1 B． C． D． 34．（24-25高二下·江苏南通·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（   ） A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 35．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 36．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 37．（23-24高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 题型八：杨辉三角问题 38．（2026高三·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 39．（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 40．(多选)（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 41．（多选）（2025高三·全国·专题练习）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 42．（多选）（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 43．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则 .    44．（2025高三·全国·专题练习）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《解析九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； 45．（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《解析九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 46．（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《解析九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学 专题02 二项式定理的八大热点题型 题型一：求二项展开式 1 题型二：二项展开式的特定项问题 2 题型三：三项展开式的特定项问题 5 题型四：因式之积展开式的特定项问题 7 题型五：展开式最大（小）项问题 8 题型六：二项式系数和、系数和问题 11 题型七：整除或余数、近似值问题 14 题型八：杨辉三角问题 16 题型一：求二项展开式 1．（2025高二·全国·专题练习）若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【解析】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 2．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 3．（2025·北京东城·二模）已知，则实数 【答案】 【解析】因为 ， 所以， 故. 4．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）的值为 ． 【答案】0 【解析】． 5．（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 【答案】 【解析】 . 题型二：二项展开式的特定项问题 6．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 【答案】B 【解析】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 7．（2025·全国·模拟预测）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 【答案】B 【解析】因为的展开式的二项式系数和为64，即，解得， 则的展开式通项为， 令得，所以的常数项为. 故选：B． 8．（2025·湖南长沙·三模）二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【解析】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 9．（25-26高三上·四川成都·期中）的展开式的中间项为 ． 【答案】 【解析】由二项式定理可知，展开式共项， 所以的展开式的中间项为第项， 所以，由二项式定理展开的通项公式得： 所以的展开式的中间项为 10．（2025高二·全国·专题练习）已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【解析】（1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 11．（25-26高二·全国·假期作业）已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比是. (1)求； (2)求展开式中所有的有理项. 【解析】（1）依题意有，即， 整理可得，解得或（不合题意，舍去），所以的值为. （2）展开式通项为， 由题意得，则， 所以第项、第项与第项为有理项，它们分别为，，. 题型三：三项展开式的特定项问题 12．（25-26高三上·四川成都·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【解析】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 13．（2026高三·全国·专题练习）的展开式中的系数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】的通项公式， 令，则，所以的系数为 故选：B 14．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 【答案】C 【解析】因为， 所以的展开式中项的系数为. 故选：C. 15．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为 .（用数值作答） 【答案】 【解析】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 16．（2025高二·全国·专题练习）（1）在的展开式中，含的项为 ． （2）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 30 【解析】（1）解法1：， 二项式的通项为， 令，则，可求得含的项为. 解法2：， 则通项为， 令，即时，可求得含的项为． 解法3：表示4个相乘，每个相乘时有三种选择， 选x或或． 设选a个， b个，则选的有个，其中， 相乘后x的次数为， 由，解得或， 即在4个相乘时，选2个x、2个，或选3个x、1个， 故含的项为． （2）解法1：，含的项为， 其中，中含的项为，所以的系数为． 解法2：为5个相乘，每个相乘时有三种选择， 选或x或y． 设选a个，选b个，则选y的有个，其中， 根据次数关系可知，解得， 即选的有2个，选的有1个，则选y的有2个，所以的系数为． 题型四：因式之积展开式的特定项问题 17．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中的系数为（   ） A．－60 B．－80 C．100 D．120 【答案】A 【解析】若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得； 若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得， 故的展开式中的系数为20－80＝－60, 故选： A． 18．（25-26高三上·云南曲靖·月考）的展开式中，的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【解析】设， 令得：； 令得：； 两式作差得：，即，解得：. 故选：A. 19．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．3 D．8 【答案】B 【解析】因为含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，所以的系数为.故选：B． 20．（24-25高三下·福建厦门·期末）的展开式中常数项是 ． 【答案】61 【解析】对于，展开式通项为，， 令，可得，此时， 令，可得，此时， 所以原式的展开式中常数项为. 故答案为： 21．（25-26高三上·江苏南通·期中）若的展开式中，的系数为-50，则 . 【答案】3 【解析】根据二项式定理，所以项的系数为，解得. 题型五：展开式最大（小）项问题 22．（2025高三·全国·专题练习）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，展开式的二项式系数为， 当时，取得最大值，展开式的系数为， 当满足，时，系数最大． 即即，解得． 又，时，系数的最大值为． 则，所以，其最小正周期为， 故选：B． 23．（2025高三·全国·专题练习）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数的最大值为 ，系数最大值为 ． 【答案】 70 7 【解析】二项式通项公式为： ， 所以第一项的系数为：，第二项的系数为：， 第三项的系数为： ， 由于前三项的系数成等差数列， 所以，解得，或， 因为至少有前三项，所以（舍），故， 所以二项式系数的最大值为. 二项式通项公式为：， 设第项的系数最大，故， 即，即， 解得， 因为，所以或， 故系数最大的项为或. 故系数最大值为7. 24．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【解析】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 25．（2025高三·全国·专题练习）已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求； (2)求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项． 【解析】（1）因为二项式展开式中间项的二项式系数最大，而只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共有11项，得． （2）展开式的通项是， 系数的绝对值为，若它最大，则，整理得． 因为，所以．故系数绝对值最大的项是第4项，即． 系数最大的项应在项数为奇数的项之中，即当取偶数0，2，4，6，8，10时， 相应各项系数分别为． 故系数最大的项是第5项为. 26．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知的展开式的第2项与第4项的二项式系数之比是. (1)求n的值； (2)展开式中的整式项共有几项？ (3)展开式中系数最大的项和最小的项分别是第几项？ 【解析】（1）由题设，则， 整理得，故（负值舍）. （2）由（1）知二项式为，展开式通项为，， 所以时，均为整式项，共有7项； （3）由在上单调递减， 当时，当时，则， 故在上先增后减，且， 故系数最大项为第6项，系数最小项为第21项. 题型六：二项式系数和、系数和问题 27．（24-25高二下·河北·期末）设，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】令，则可得. 又，则． 故选：D． 28.（多选）（25-26高三上·河北·开学考试）设，则下列说法正确的有（    ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确； B选项，中，令得，B正确； C选项，中，令得 ①， 令得②， 两式①+②得， 即，C正确； D选项，， 由二项式定理得， 故，， 令得，D错误. 故选：ABC 29．(多选)（24-25高二下·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 【答案】ABD 【解析】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 30．（24-25高二下·福建三明·期中）已知，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【解析】（1）令，则； （2）令，则， 又因为，所以； （3）因为， 令，得①， 令，得②， 两式相加得，所以， 两式相减得，所以， 所以 ． 31．（24-25高二下·陕西咸阳·期中）若，求： (1)展开式中各项的二项式系数之和； (2)求的值； (3)的值． 【解析】（1）展开式中各项的二项式系数之和为. （2）令，则， 故 （3）令有， 令有， 即， 两式相加除以，有. 题型七：整除或余数、近似值问题 32．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 33．（25-26高三上·广东江门·月考）设多项式有因式x，被除后的余式为，若被除后的余式为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】有因式x，， 又被除后的余式为，当，即或时， ，， 被除后的余式为，当时，余式等于的值： 当时，， 当时，， 当时，， ，解得， ． 故选：D 34．（24-25高二下·江苏南通·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．若，，则的值可以是（   ） A．2019 B．2021 C．2023 D．2025 【答案】A 【解析】由二项式定理得， 又 因为是整数，所以被除得余数为9. 即，因，即，而其它选项均不具备此结论，故的可能值为9. 故选：A. 35．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【解析】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 36．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 37．（23-24高二下·山东临沂·期中）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（    ） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【答案】C 【解析】． 故选：C． 题型八：杨辉三角问题 38．（2026高三·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【解析】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 39．（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【解析】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 40．(多选)（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 【答案】ACD 【解析】对A：第48行的所有数字之和为， 由， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确； 对B：第20行第7个数为，第8个数为， ，故B错误； 对C：第行的第4个数字为，由， 则 ，故C正确； 对D：第行所有数的平方和为， 第行最中间的数为， 由 ， 则的展开式中的系数为， 又对，有，则其展开式中的系数为， 即有，故D正确. 故选：ACD. 41．（多选）（2025高三·全国·专题练习）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】ABC 【解析】根据题意，由“杨辉三角”可得，第行的第个数为， 对于A，根据， 则，故A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，故B错误； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为， 则两个数的比为，故D正确. 故选：ABC. 42．（多选）（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《解析九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【分析】根据由杨辉三角的规律直接写出第6、7行可判断AD；利用性质化简可判断B；由二项式系数性质可判断C. 【解析】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 43．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则 .    【答案】 【解析】由题意，根据二项展开式的性质，可得， 则. 44．（2025高三·全国·专题练习）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《解析九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； 【解析】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； 45．（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《解析九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【解析】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； （3）的展开式中，含项的系数为 46．（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《解析九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【解析】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $