专题05 统计和概率（期末真题汇编，江西专用）高二数学上学期

专题05 统计和概率 7大高频考点概览 考点01 变量间的相关关系 考点02 独立性检验及回归分析 考点03 古典概型 考点04 随机事件的概率 考点05 离散型随机变量及其分布列 考点06 正态分布 考点07 二项分布及其应用 地 城 考点01 变量间的相关关系 1．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)经过对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 4 6 8 10 识图能力 3 5 6 8 由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为，则可预测其识图能力为（    ） A．8 B．6 C．2 D．1.9 【答案】D 【分析】求出，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令，代入求解即可. 【详解】由表中数据可得，，， 又线性回归方程为，则，解得， 故，当时，. 故选：D 2．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ）（残差=观察值－估计值） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵， ∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 3．(24-25高二上·江西南昌·期末)（多选）由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（   ） A．直线至少经过点中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 【答案】BCD 【分析】根据回归直线性质、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案. 【详解】回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确. 样本相关系数为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；样本相关系数为负时， 两个变量为负相关，回归系数为负.故样本相关系数与回归系数同号，C正确. 样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确. 故选：BCD. 4．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D．对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 【答案】ABD 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】因为，所以第百分位数为，A正确； 若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 若线性相关系数越接近， 则两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，样本点的中心为， 所以，， 因为此时线性回归方程为， 所以，所以，D正确. 故选：ABD 5．(24-25高二上·江西·期末)根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则 ． x 1 2 3 4 y 1 4 5 8 【答案】1 【分析】根据给定的数表求出样本的中心点，再利用回归直线方程求出的值. 【详解】， 所以，解得． 故答案为：1 6．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率. 【答案】(1)，186元. (2) 【分析】（1）利用公式求线性回归方程，代入数据即可得到结果. （2）利用条件概率公式求解可得结果. 【详解】（1）依题意可得， ， ， 当时，（元）， 即每天售出8箱水的预计收益是186元. （2）设事件为“学生甲获得奖学金”，事件为“学生甲获得一等奖学金”， 则，，所以， 即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为. 7．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 【答案】(1)，相关程度较高 (2)；投入至少亿元 【分析】（1）直接通过计算相关系数来进行判断； （2）先计算回归直线方程，然后再做出预测. 【详解】（1）， ， ， ， 所以，所以相关程度较高； （2）由（1）得，， 所以，， 所以，令， 得，所以研发投入至少亿元. 地 城 考点02 独立性检验及回归分析 1．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ）（残差=观察值－估计值） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵， ∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 2．(24-25高二上·江西南昌·期末) （多选）由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（   ） A．直线至少经过点中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 【答案】BCD 【分析】根据回归直线性质、相关系数、回归系数的概念逐项分析可得答案. 【详解】回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确. 样本相关系数为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；样本相关系数为负时， 两个变量为负相关，回归系数为负.故样本相关系数与回归系数同号，C正确. 样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确. 故选：BCD. 3．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D．对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 【答案】ABD 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】因为，所以第百分位数为，A正确； 若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 若线性相关系数越接近， 则两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，样本点的中心为， 所以，， 因为此时线性回归方程为， 所以，所以，D正确. 故选：ABD 4．(24-25高二上·江西南昌·期末)为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效 (2)，. 【分析】（1）利用的性质进行比较. （2）利用条件概率，分析情况得到答案. 【详解】（1）由已知得， 所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效. （2）由题意可得，， ，. ， 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. (1)根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； (2)学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关 (2) 【分析】（1）根据题意列出列联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验的基本思想判定即可； （2）先利用分层抽样原理计算抽取男女生人数，再利用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由题意可得列联表： 男 女 合计 十分关注 比较关注 合计 ， 没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关. （2）由题意知，8人中男生人，女生人. 记“人中至少有1名男生”为事件， 则. 6．(24-25高二上·江西九江·期末)“甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 (1)完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； (2)已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）补充列联表，根据的计算公式判断是否与性别有关即可； （2）依题意，得，利用古典概型的概率公式求出概率得到分布列，再利用数学期望的计算公式求出期望即可. 【详解】（1）列联表补充如下 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 又， 故可判断该市市民对本次龙舟赛喜爱程度是与性别有关. （2）依题意，得， ，， ，， 则的分布列如下： 0 1 2 3 则. 7．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以(H1N1)pdm09亚型为主.为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表： 药物 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 (1)记未服用新药的个体患甲流的概率为，给出的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效? 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 【答案】(1) (2)能认为药物对预防甲流有效 【分析】（1）用频率估计概率，计算即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【详解】（1）由题意可得列联表， 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 180 服用 150 70 220 合计 250 150 400 未服用药物的个体有， 所以未服用药物的个体患甲流的频率为， 所以未服用药物的个体患甲流的概率的估计值为； （2）零假设为：药物对预防甲流无效， 由列联表得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物对预防甲流有效，该推断犯错误的概率不超过， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防甲流有效. 8．(24-25高二上·江西·期末)对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 不经常喝 18 52 合计 100 (1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联； (2)证明； (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出与临界值比较即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求证； （3）由样本数据得到，再由条件概率公式代入计算即可； 【详解】（1）解：完善列联表如下． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 32 48 不经常喝 34 18 52 合计 50 50 100 根据列联表数据可得 所以有的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝＂肥宅快乐水＂有关联． （2）证明：由， ， 左，右两边展开相同，故得证． （3）由样本数据可得，又， 故． 9．(23-24高二上·江西萍乡·期末)2023年，5月18日至19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码 1 2 3 4 5 产值（亿元） 16 20 23 31 40 (1)求电动汽车产值（亿元）关于（月份）的线性回归方程； (2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人.请问是否有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下） 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 ①；②；③. 【答案】(1) (2)有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关. 【分析】（1）根据回归直线方程的求解公式，可得答案； （2）根据独立性检验的解题步骤，可得答案. 【详解】（1）设所求回归直线方程为， 则，， ， ， ， 故所求回归直线方程为. （2）根据题意，得2×2列联表如下： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 合计 男性 45 5 50 女性 35 15 50 合计 80 20 100 ， 故有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关. 10．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 【答案】(1)，相关程度较高 (2)；投入至少亿元 【分析】（1）直接通过计算相关系数来进行判断； （2）先计算回归直线方程，然后再做出预测. 【详解】（1）， ， ， ， 所以，所以相关程度较高； （2）由（1）得，， 所以，， 所以，令， 得，所以研发投入至少亿元. 地 城 考点03 古典概型 1．(23-24高二上·江西赣州·期末)古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到此次调研的基本事件的总数为种，再由题设条件，分为两类求得恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的种数，集合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门， 共有种不同的调研方法， 其中恰好在同一个周日调研百盛门和建春门，可得分为： ①其中一个周日只调研百盛门和建春门，另一个周日调研其他三门，有种方法； ②其中一个周日调研百盛门、建春门和其中另一个门，另一个周日调研剩余的两门， 有种方法，共有种不同的调研方法， 所以恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为. 故选：A. 2．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用计数方法结合古典概型求解. 【详解】4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个的方法总数为种， 恰有1位学生摸到写有自己名字的小球，可以先从4人中选出1人摸到写有自己名字的小球，另外三人摸到的都不是写有自己名字的小球共种， 所以恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为. 故选：B 3．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解. 【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法； 若人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法； 所以共有种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为. 故选：C. 4．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将符合题意的两位数列举出来，然后根据古典概型概率公式计算即可. 【详解】由题从1，2，3，4，5这5个数中任取2个 共有，10种， 满足这2个数字之积大于5的有，共有6种， 则由古典型概率可知其所求概率为. 故选：C 5．(23-24高二上·江西九江六校·期末)现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的名都是女志愿者的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合计数可求基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率. 【详解】现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者， 随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务， 基本事件总数， 抽出的名都是女志愿者包含的基本事件个数， 则抽出的名都是女志愿者的概率是． 故选：B． 6．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所有实验结果有种，列举出每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件之和为，即可求出概率. 【详解】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次，共有种不同的结果， 其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有种， 数字1、1、4组成的结果有种，数字2、2、2组成的结果有种. 故所求概率为. 故选：B. 7．(24-25高二上·江西南昌·期末)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得1分的概率为 ，甲的总得分为1的概率为 . 【答案】 【分析】①设“甲在第一轮比赛中得1分”为事件，求得，，利用古典概型的概率公式运算即可.②甲的总得分可能为0，1，2，分别求甲的总得分为0，2的概率，即得“甲的总得分为1的概率”. 【详解】设样本空间为，甲在第一轮比赛中得1分为事件A， 在第一轮比赛中，甲、乙两人所选卡片上的数字可能为（1，2），（1，4），（3，2），（3，4），即 只有一种情况（3，2）满足甲在第一轮比赛中得1分，即， 所以甲在第一轮比赛中得1分的概率为. 甲的总得分可能为0，1，2.由于对称性，不妨固定乙四轮所选卡片上的数字依次为（2，2，4，4），甲四轮所选卡片上的数字有种排序方法. 若甲的总得分为0，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（1，1，3，3）； 若甲的总得分为2，则甲四轮所选卡片上的数字依次为（3，3，1，1）. 故甲的总得分为0，2的概率均为，甲的总得分为1的概率为. 故答案为：；. 8．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为 . 【答案】 【分析】写出基本事件空间，利用古典概型公式求概率. 【详解】从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所有可能情况为，，，，，，共6种情况，两个数之和不小于5的情况有，，，，共4种，所以概率为. 故答案为：. 9．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是 （结果用数值表示）． 【答案】. 【分析】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是，3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选 3对夫妻出来，有种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有种，再算出所求概率. 【详解】从4对夫妇中随机抽取3人,故总数是 , 3人中任何两人都不是夫妻可先从4对夫妇中选3对夫妻出来， 有种选择，再从每对夫妻2人中选1人,有种，即有 种，故所求概率 . 故答案为： 【点睛】本题是组合与古典概型的综合题，属于基础题. 10．(24-25高二上·江西·)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 11．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. (1)根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； (2)学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关 (2) 【分析】（1）根据题意列出列联表，并根据卡方公式计算卡方，由独立性检验的基本思想判定即可； （2）先利用分层抽样原理计算抽取男女生人数，再利用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由题意可得列联表： 男 女 合计 十分关注 比较关注 合计 ， 没有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关. （2）由题意知，8人中男生人，女生人. 记“人中至少有1名男生”为事件， 则. 12．(24-25高二上·江西·期末)现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量． (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的点数中大的点数与小的点数的差，连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能， 其中得到的点数中点数之差为0的可能情况有6种， 故． 其中得到的点数中大的点数与小的点数的差为1的可能情况有10种， ， 故． （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5， 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种， 所以， ， 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P 故． 13．(24-25高二上·江西新余·期末)某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动.将传递的信息编码分别用“”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“”四种字符被破解情况如下： 传递信息字符 破解后信息字符 （每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符”等可能被破解为“”） (1)若破解后信息字符为“”，求破解正确的概率； (2)现已知连续三次传递信息字符均为“”，设被破解后信息字符正确的个数为，求的分布列和数学期望； (3)若连续三次传递信息，被破解后信息字符均为“”，设传递信息字符只有一种的概率为，传递信息字符只有两种的概率为，传递信息字符有三种的概率为，请比较的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析，1 (3)，证明见解析 【分析】（1）设出事件，利用条件概率求解公式进行求解； （2）写出所有可能的取值和对应的概率，得到分布列，计算出期望值； （3）设出事件，结合（1）的结论，计算出三种情况下的条件概率，得到. 【详解】（1）记破解后信息字符为为事件，传递信息字符为为事件， 由于传递信息字符为时，均有的可能破解后信息字符为， 则，， 所以， 所以； （2）由（1）可知，若传递信息字符为，则被破解正确的概率为， 所有可能的取值为， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . （3）记“传递信息字符只有一种”为事件A，“传递信息字符只有两种”为事件， “传递信息字符有三种”为事件，“被破解后信息字符均为''”为事件， 事件A中，由（1）可知，传递信息字符为中的某一个， 故，， 所以， 事件B中，传递信息字符为中的某两个，且有1个字符被传递了2次，顺序有种， 故，， 故， 事件C中，传递信息字符中各一次，顺序不定， ，， ， 则， ， ， 所以. 地 城 考点04 随机事件的概率 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④. 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 2．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况： ①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中排序，共有种选择，故概率为， ②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可能为一次中，也可能是三次中，有以下情况： 中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为， ③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中（不中）中中，满足要求，则概率为， 综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为. 故选：B. 3．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末) （多选）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确. 【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确； 对于B，由可得， 又为互斥事件，则，又，即B错误； 对于C，若相互独立，则, 所以，即C正确； 对于D，若，所以； 可得，即D正确. 故选：ACD 4．(24-25高二上·江西九江·期末) （多选）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 对于A：由全概率公式可得 ，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于CD：，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD. 5．(24-25高二上·江西上饶·期末) （多选）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的计算公式，以及概率的加法公式，可得答案. 【详解】由，解得，故A正确； 由，则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 6．(24-25高二上·江西·期末) （多选）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 【答案】ABD 【分析】根据独立事件乘法公式计算判断A，应用全概率公式结合对立事件概率计算判断B，应用乘法原理结合组合公式计算判断C，先求所有排序情况减去小明和小刚相邻时的排法判断D. 【详解】对于A，若小明第一次评定为不合格，则小明获得0.4学分的概率为，故A正确； 对于B，设事件“第i次评定为合格”， 由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为 ，故B正确； 对于C，先排小明，有种方式，再排小刚，有种方式，最后排其余所有人，有种方式， 则一共有种方式，故C错误； 对于D，无限制时，排序方式有种方式， 小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其余人排序，有种方式， 所以一共有种方式，故D正确． 故选：ABD． 7．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末) （多选）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率，全概率公式，互斥事件和相互独立事件的概念逐一分析判断即可. 【详解】由题意知，不可能同时发生，所以互斥，故A正确； ，，故C正确； 所以，， 所以， 则， 所以事件与事件B不相互独立，故B错误，D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 8．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末) （多选）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，表示事件“从甲罐取出的球是红球”， 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（    ） A． 、为对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据对立事件的定义，结合条件概率的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为甲罐除了红球就是白球， 所以、为对立事件,因此本选项结论正确； B：因为， 所以本选项结论正确； C：因为发生时，乙罐中有4个红球，7个白球， 所以， 因为发生时，乙罐中有3个红球，8个白球， 所以，显然不成立，故本选项结论不正确； D：由上可知本选项结论正确， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：型清条件概率的定义是解题的关键. 9．(24-25高二上·江西乐平中学·期末) （多选）已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么， C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】CD 【分析】古典概型、条件概率、互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式的运用。 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ,选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 所以选项D正确。 故选：CD 10．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为    【答案】0.752/ 【分析】系统能正常工作，由至少有1个能正常工作且能正常工作求解. 【详解】由题意，系统能正常工作的概率为． 故答案为：0.752． 11．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 . 【答案】 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得到至少有一天淋雨的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”. 连续上班两天，上班、下班的次数共4次. （1）次均不下雨，概率为：. （2）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：. （3）有次下雨但不被淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：. （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：. （5）次均下雨：. 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为： . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查概率问题，具体思路如下： （1）至少有一天淋雨的概率不易分析，则计算两天都不淋雨的概率. （2）从下雨次数入手分类讨论：次均不下雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；次均下雨.计算概率求和. （3）利用对立事件概率的性质即可得到至少有一天淋雨的概率. 12．(24-25高二上·江西·期末)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 13．(24-25高二上·江西九江·期末)“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 14．(24-25高二上·江西南昌·期末)甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． (1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． (2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用频率求出两人投中的概率，然后根据两人的投中概率可求答案； （2）①先明确甲投了第3次后停止比赛的所有情况，结合互斥事件的概率求解；②乙投了第4次后停止比赛，说明乙比甲多投中2次，按照轮次情况，分类求解概率即可. 【详解】（1）甲同学的投篮命中率为， 乙同学的投篮命中率为． 从甲、乙中随机选择1人投篮1次，投中的概率为． （2）①甲投了3次，则乙投了2次． 由题意可得甲比乙多投中2次，有2种情况． 第一种情况：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，第二次投篮没投中，其概率为． 第二种情况：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投篮投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，乙每次投篮都没投中，其概率为， 故所求概率为． ②乙投了4次，则甲投了4次． 记甲、乙各投1次为一轮，则甲、乙共投了四轮． 在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多1次，即乙投中，甲没投中，其概率， 记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率， 记事件为乙投中的次数比甲少1次，即乙没投中，甲投中，其概率． 投了第四次后停止比赛，即投了四轮后乙投中的次数比甲多2次，有2种情况． 第一种情况：四轮比赛中，事件各发生2次，即第一至四轮依次为或，或，其概率为． 第二种情况：四轮比赛中，事件发生3次，事件发生1次，即第一至四轮依次为，或，其概率为． 所求概率为． 15．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以(H1N1)pdm09亚型为主.为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表： 药物 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 (1)记未服用新药的个体患甲流的概率为，给出的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效? 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 【答案】(1) (2)能认为药物对预防甲流有效 【分析】（1）用频率估计概率，计算即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【详解】（1）由题意可得列联表， 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 180 服用 150 70 220 合计 250 150 400 未服用药物的个体有， 所以未服用药物的个体患甲流的频率为， 所以未服用药物的个体患甲流的概率的估计值为； （2）零假设为：药物对预防甲流无效， 由列联表得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物对预防甲流有效，该推断犯错误的概率不超过， 所以根据小概率值的独立性检验，能认为药物对预防甲流有效. 16．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列； （2）所求事件可表示为事件得分，得分，得分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 该选手初赛中答对题目数量的期望. （2）甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种情况： 得分（抢到次且答对次，答错次），得分（抢到次且答对次，次没抢到）， 得分（抢到次且答对次）， 设甲每轮抢到题目且答对为事件， 抢到题目且答错的概率为事件，， 没抢到题目为事件， 得分的概率， 得分的概率， 得分的概率， 甲在决赛中总得分大于分的概率 17．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束． (1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率； (2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）分甲乙全胜两种情况相加得结果； （2）利用分布列步骤求解并求得期望. 【详解】（1）甲3局全胜的概率为, 乙3局全胜的概率为， 进行3局比赛决出冠亚军的概率为 （2）的可能取值为1，2， ， ， 故的分布列为： 1 2 故． 地 城 考点05 离散型随机变量及其分布 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④. 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末) （多选）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量满足，，，，则 【答案】BC 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从两点分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故不正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从两点分布，且，则，故正确； D.由随机变量满足随机变量满足，，，， 则， 所以，故不正确； 故选：BC. 3．(24-25高二上·江西赣州·期末) （多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质列方程求，由期望和方差的定义求，再由期望和方差的性质求，由此确定正确选项. 【详解】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 4．(23-24高二上·江西部分学校·期末) （多选）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用分布列的性质求得，从而利用期望与方差公式与性质即可得解. 【详解】由分布列的性质知，则， 故，故A正确； ，故C错误； 则，故B正确； 所以，故D正确． 故选：ABD． 5．(24-25高二上·江西·期末)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）写出X可能取值和对应的概率，得到分布列； （2）在（1）基础上，记其前n轮的累计得分为，求出，，相加得到概率. 【详解】（1）由题意得，随机变量X可取的值为2，3，4， 易知，，， 则随机变量X的分布列如下： X 2 3 4 P （2）由（1）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为，，， 记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为， 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则； 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“”，“”的情形， 则； 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“”，“”的情形， 则. 记“甲能够领取纪念品”为事件A， 则. 6．(24-25高二上·江西上饶·期末)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2) 【分析】（1）可取2,3，按独立事件概率求解，写出分布列，可求数学期望；分乙两局或三局获胜求解. （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【详解】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故. 7．(24-25高二上·江西·期末)现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量． (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的点数中大的点数与小的点数的差，连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能， 其中得到的点数中点数之差为0的可能情况有6种， 故． 其中得到的点数中大的点数与小的点数的差为1的可能情况有10种， ， 故． （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5， 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种， 所以， ， 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P 故． 8．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【分析】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 9．(24-25高二上·江西南昌·期末)袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 10．(24-25高二上·江西九江·期末)“甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 (1)完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； (2)已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）补充列联表，根据的计算公式判断是否与性别有关即可； （2）依题意，得，利用古典概型的概率公式求出概率得到分布列，再利用数学期望的计算公式求出期望即可. 【详解】（1）列联表补充如下 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 又， 故可判断该市市民对本次龙舟赛喜爱程度是与性别有关. （2）依题意，得， ，， ，， 则的分布列如下： 0 1 2 3 则. 11．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列； （2）所求事件可表示为事件得分，得分，得分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 该选手初赛中答对题目数量的期望. （2）甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种情况： 得分（抢到次且答对次，答错次），得分（抢到次且答对次，次没抢到）， 得分（抢到次且答对次）， 设甲每轮抢到题目且答对为事件， 抢到题目且答错的概率为事件，， 没抢到题目为事件， 得分的概率， 得分的概率， 得分的概率， 甲在决赛中总得分大于分的概率 地 城 考点06 正态分布 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④. 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 2．(24-25高二上·江西·期末)已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由，得， 故． 故选：B 3．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)学校有1000名学生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 【答案】A 【分析】由正态分布概率模型求出竞赛成绩在分到分的概率，然后估计人数即可. 【详解】由于竞赛成绩服从正态分布， 所以，， 所以， 故该校1000名学生竞赛成绩在分到分之间的人数约为：， 故选：A 4．(24-25高二上·江西南昌·期末)某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（   ） 附：若，则，，. A．8413 B．9772 C．9974 D．9987 【答案】D 【分析】由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于150g的概率，即可得解. 【详解】由可知，，， 则， 故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987. 故选：D 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末) （多选）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量满足，，，，则 【答案】BC 【分析】A.由随机变量服从二项分布求解；B.由随机变量服从正态分布求解；C.由随机变量服从两点分布求解；D.由随机变量服从超几何分布求解； 【详解】A.若随机变量，则，故不正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从两点分布，且，则，故正确； D.由随机变量满足随机变量满足，，，， 则， 所以，故不正确； 故选：BC. 6．(24-25高二上·江西九江·期末) （多选）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】掌握正态分布中的含义，结合正态曲线的对称性求解即可. 【详解】对于选项A，由正态曲线的对称性知，故A正确； 对于选项B，因为 ，所以， 故B错误； 对于选项C，因为， 故C错误； 对于选项D，，故D正确． 故选：AD. 7．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D．对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 【答案】ABD 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】因为，所以第百分位数为，A正确； 若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 若线性相关系数越接近， 则两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，样本点的中心为， 所以，， 因为此时线性回归方程为， 所以，所以，D正确. 故选：ABD 8．(24-25高二上·江西·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】/ 【分析】由正态曲线的对称性计算即可得. 【详解】由正态曲线的对称性可知， 所以. 故答案为：. 9．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知随机变量，则的值为 . 【答案】0.35/ 【分析】根据题意，由求解. 【详解】解：因为随机变量， 所以， 故答案为：0.35 地 城 考点07 二项分布及其应用 1．(24-25高二上·江西九江·期末)如图所示，5颗串珠用一根竹签串起．现将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，两颗☆☆串珠被连着取下的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法逐个情况都列出来即可求得结果. 【详解】 列举法：依次将标识符号为：-1-2-3-4-5-，将它们依次取出， 一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，所有的可能结果如下： （1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3），（1，2，5，3，4）， （1，5，2，3，4），（1，5，2，4，3），（1，5，4，2，3），（1，5，4，3，2）， （5，4，1，2，3），（5，4，1，3，2），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1）， （5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3），（5，1，4，2，3），（5，1，4，3，2）共16种可能． 其中1，2连在一起有（1，2，3，4，5），（1，2，3，5，4），（1，2，5，4，3）， （1，2，5，3，4），（5，4，1，2，3），（5，4，3，1，2），（5，4，3，2，1）， （5，1，2，3，4），（5，1，2，4，3）9种可能．， 故选：D． 2．(24-25高二上·江西赣州·期末)某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（   ） A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【答案】C 【分析】利用全概率公式求解. 【详解】设“从甲车间中随机取出一件产品”，“从乙车间中随机取出一件产品”， “从车间中随机取出一件产品是合格品”， 则， 所以， 故选：C 3．(24-25高二上·江西·期末)托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为， 从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B， 由题意：①，； ②，； ③，. 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球， 则从甲袋中取出的是2个红球的概率为： . 故选：A. 4．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知事件，相互独立，且，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助相互独立事件的性质可得. 【详解】由事件，相互独立，则. 故选：A. 5．(24-25高二上·江西上饶·期末) （多选）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的计算公式，以及概率的加法公式，可得答案. 【详解】由，解得，故A正确； 由，则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 6．(24-25高二上·江西·期末) （多选）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 【答案】ABD 【分析】根据独立事件乘法公式计算判断A，应用全概率公式结合对立事件概率计算判断B，应用乘法原理结合组合公式计算判断C，先求所有排序情况减去小明和小刚相邻时的排法判断D. 【详解】对于A，若小明第一次评定为不合格，则小明获得0.4学分的概率为，故A正确； 对于B，设事件“第i次评定为合格”， 由全概率公式可得小刚第三次合格的概率为 ，故B正确； 对于C，先排小明，有种方式，再排小刚，有种方式，最后排其余所有人，有种方式， 则一共有种方式，故C错误； 对于D，无限制时，排序方式有种方式， 小明和小刚相邻时，将小明和小刚视为一组，有2种方式，与其余人排序，有种方式， 所以一共有种方式，故D正确． 故选：ABD． 7．(24-25高二上·江西九江·期末) （多选）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：利用全概率求；对于B：利用对立事件概率公式求；对于CD：根据条件概率公式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 对于A：由全概率公式可得 ，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于CD：，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD. 8．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末) （多选）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确. 【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确； 对于B，由可得， 又为互斥事件，则，又，即B错误； 对于C，若相互独立，则, 所以，即C正确； 对于D，若，所以； 可得，即D正确. 故选：ACD 9．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 【答案】 【分析】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且，，两两互斥．求出，，，以及，，，由全概率公式得，“求次品为第1台车床所加工的概率”，由贝叶斯公式计算即可. 【详解】设事件A为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得：，，，， ，.由全概率公式得： ， “如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”， 所以由贝叶斯公式得：. 故答案为：. 10．(24-25高二上·江西九江·期末)“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）完成一局比赛即为甲、乙、丙各出一次石头剪刀布，再分析其中甲得0分的各种情况，即可得解； （2）利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）甲在一局比赛中得0分包含以下情况： ①三人出现三种手势：有种情况 ②三人出现两种手势且甲为输者：有种情况 故所求概率为 （2）在一局比赛中，设三人出现三种手势，即每人各得0分为事件，可知； 设三人出现同一种手势，即每人各得1分为事件，可知； 设三人出现两种手势，即有人得4分为事件，可知 设游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）为事件，第一局比赛中三人均得0分为事件为． 事件包含以下情况： ①第一局为时，概率 ②第一局为或，第二局为时，概率 ③第一局为或，第二局为或，第三局为时，概率 ④第一局为，第二局为，第三局为时，概率 则 又事件包含以下情况： ①第一局为，第二局为时，概率， ②第一局为，第二局为或，第三局为时，概率 则 故 【点睛】关键点点睛：本题关键在于需要分类讨论游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的各种情况，利用互斥事件、相互独立事件同时发生的概率公式求出概率，再求出第一局比赛中三人均得0分且游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分）事件的概率，再利用条件概率公式求解. 11．(24-25高二上·江西南昌·期末)为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效 (2)，. 【分析】（1）利用的性质进行比较. （2）利用条件概率，分析情况得到答案. 【详解】（1）由已知得， 所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效. （2）由题意可得，， ，. ， 12．(24-25高二上·江西上饶·期末)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2) 【分析】（1）可取2,3，按独立事件概率求解，写出分布列，可求数学期望；分乙两局或三局获胜求解. （2）分别求出“甲最终获胜”和“甲经历5局获胜”的概率，再按条件概率求解即可. 【详解】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故. 13．(24-25高二上·江西·期末)对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 不经常喝 18 52 合计 100 (1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联； (2)证明； (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出与临界值比较即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求证； （3）由样本数据得到，再由条件概率公式代入计算即可； 【详解】（1）解：完善列联表如下． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 32 48 不经常喝 34 18 52 合计 50 50 100 根据列联表数据可得 所以有的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝＂肥宅快乐水＂有关联． （2）证明：由， ， 左，右两边展开相同，故得证． （3）由样本数据可得，又， 故． 14．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【分析】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 15．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，375元 【分析】（1）根据题意利用全概率公式求解； （2）根据二项分布求分布列及期望即可. 【详解】（1）设新匠人第一件作品是精品为事件，第二件作品是精品为事件， 由题意. （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为, 由题意，，， 所以, ， ， ， 所以分布列为： 300 500 700 900 （元）. 16．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由条件确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列； （2）所求事件可表示为事件得分，得分，得分的和，再求每轮比赛抢到题目答对，抢到题目答错，没抢到题目的概率，结合概率乘法公式概率加法公式求结论. 【详解】（1）设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为 ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 该选手初赛中答对题目数量的期望. （2）甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种情况： 得分（抢到次且答对次，答错次），得分（抢到次且答对次，次没抢到）， 得分（抢到次且答对次）， 设甲每轮抢到题目且答对为事件， 抢到题目且答错的概率为事件，， 没抢到题目为事件， 得分的概率， 得分的概率， 得分的概率， 甲在决赛中总得分大于分的概率 17．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率. 【答案】(1)，186元. (2) 【分析】（1）利用公式求线性回归方程，代入数据即可得到结果. （2）利用条件概率公式求解可得结果. 【详解】（1）依题意可得， ， ， 当时，（元）， 即每天售出8箱水的预计收益是186元. （2）设事件为“学生甲获得奖学金”，事件为“学生甲获得一等奖学金”， 则，，所以， 即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为. 试卷第1页，共3页 66 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 统计和概率 7大高频考点概览 考点01 变量间的相关关系 考点02 独立性检验及回归分析 考点03 古典概型 考点04 随机事件的概率 考点05 离散型随机变量及其分布列 考点06 正态分布 考点07 二项分布及其应用 地 城 考点01 变量间的相关关系 1．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)经过对中学生记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据： 记忆能力 4 6 8 10 识图能力 3 5 6 8 由表中数据，求得线性回归方程为，若小明同学的记忆能力为，则可预测其识图能力为（    ） A．8 B．6 C．2 D．1.9 2．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ）（残差=观察值－估计值） A．2 B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌·期末)（多选）由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（   ） A．直线至少经过点中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 4．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D．对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 5．(24-25高二上·江西·期末)根据下表数据得到y关于x的线性回归方程，则 ． x 1 2 3 4 y 1 4 5 8 6．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率. 7．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 地 城 考点02 独立性检验及回归分析 1．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（ ）（残差=观察值－估计值） A．2 B． C． D． 2．(24-25高二上·江西南昌·期末) （多选）由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是（   ） A．直线至少经过点中的一个点 B．直线必经过点 C．样本相关系数与回归系数同号 D．对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强 3．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D．对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 4．(24-25高二上·江西南昌·期末)为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. (1)根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； (2)学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 男 女 合计 十分关注 比较关注 合计 6．(24-25高二上·江西九江·期末)“甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 (1)完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； (2)已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 0 1 2 3 7．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以(H1N1)pdm09亚型为主.为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表： 药物 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 (1)记未服用新药的个体患甲流的概率为，给出的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效? 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 180 服用 150 70 220 合计 250 150 400 8．(24-25高二上·江西·期末)对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 不经常喝 18 52 合计 100 (1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联； (2)证明； (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 32 48 不经常喝 34 18 52 合计 50 50 100 9．(23-24高二上·江西萍乡·期末)2023年，5月18日至19日，中国－中亚峰会在陕西省西安市举办.多家外媒积极评价，认为这次峰会非常重要，中亚国家正在深化合作，共同致力于实现各国人民和平与繁荣.报道中指出“中国－中亚峰会致力于发展新能源绿色经济，符合中亚国家共同利益.”新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，得到表格如下： 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码 1 2 3 4 5 产值（亿元） 16 20 23 31 40 (1)求电动汽车产值（亿元）关于（月份）的线性回归方程； (2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人.请问是否有95％的把握认为是否购买电动汽车与性别有关.（参考公式如下） 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 ①；②；③. 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 合计 男性 45 5 50 女性 35 15 50 合计 80 20 100 10．(23-24高二上·江西南昌第十九中学·期末)新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下： 研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 (1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高） (2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过50（亿元）则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数） 参考数据：； 附：相关系数公式：； 回归直线方程的斜率. 地 城 考点03 古典概型 1．(23-24高二上·江西赣州·期末)古城赣州最早有五大城门，分别为镇南门、百盛门、涌金门、建春门和西津门，赣州某学校历史兴趣小组决定利用两个周日的时间对五大城门的地理位置及历史意义进行调研．若约定：每个城门只调研一次，且每个周日只调研五大城门中的两大城门或三大城门，则恰好在同一个周日调研百盛门和建春门的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)在形状、大小完全相同的4个小球上分别写上4位学生的名字，放入袋子中，现在4位学生从袋子中依次抽取球，每次不放回随机取出一个，则恰有1位学生摸到写有自己名字的小球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·江西九江六校·期末)现有名北京冬奥会志愿者，其中名女志愿者，名男志愿者随机从中一次抽出名志愿者参与花样滑冰项目的志愿服务则抽出的名都是女志愿者的概率是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·江西南昌·期末)甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，1，3，3，乙的卡片上分别标有数字2，2，4，4，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则甲在第一轮比赛中得1分的概率为 ，甲的总得分为1的概率为 . 8．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末)从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和不小于5的概率为 . 9．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末)从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是 （结果用数值表示）． 10．(24-25高二上·江西·)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. X 2 3 4 P 11．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)我国探月工程亦称“嫦娥工程”，年月日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并在月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），学校随机抽取男生和女生各名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”. (1)根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关； (2)学校为提升同学们对探月工程的关注度，在以上“比较关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取8人进行科普类培训，再从这8人中随机抽取人进行重点培训，求这人中至少有1名男生的概率. 附：，其中. 男 女 合计 十分关注 比较关注 合计 12．(24-25高二上·江西·期末)现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量． (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望． X 0 1 2 3 4 5 P 13．(24-25高二上·江西新余·期末)某学校信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”的一项“微课题”，进行了一次探究活动.将传递的信息编码分别用“”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发送过程中，“”四种字符被破解情况如下： 传递信息字符 破解后信息字符 （每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符”等可能被破解为“”） (1)若破解后信息字符为“”，求破解正确的概率； (2)现已知连续三次传递信息字符均为“”，设被破解后信息字符正确的个数为，求的分布列和数学期望； (3)若连续三次传递信息，被破解后信息字符均为“”，设传递信息字符只有一种的概率为，传递信息字符只有两种的概率为，传递信息字符有三种的概率为，请比较的大小，并说明理由. 0 1 2 3 地 城 考点04 随机事件的概率 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末) （多选）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 4．(24-25高二上·江西九江·期末) （多选）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西上饶·期末) （多选）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江西·期末) （多选）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 7．(24-25高二上·江西南昌江西师范大学附属中学·期末) （多选）某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏．甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生；再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件B相互独立 C． D． 8．(23-24高二上·江西宜春丰城第九中学·期末) （多选）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，表示事件“从甲罐取出的球是红球”， 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是（    ） A． 、为对立事件 B． C． D． 9．(24-25高二上·江西乐平中学·期末) （多选）已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么， C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 10．(24-25高二上·江西南昌第十五中学·期末)如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件，至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为    11．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为 . 12．(24-25高二上·江西·期末)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. X 2 3 4 P 13．(24-25高二上·江西九江·期末)“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 14．(24-25高二上·江西南昌·期末)甲、乙2名同学最近100次的投篮情况如下： 甲 乙 投中 50 60 未投中 50 40 用频率估计概率，解答下列问题． (1)若从甲、乙2人中随机选择1人投篮1次，求投中的概率． (2)设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投．规定：若其中一人比另一个人多投中2次，则停止比赛（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次），投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了5次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局．甲、乙每次投中与否相互独立． ①求甲投了第3次后停止比赛的概率； ②求乙投了第4次后停止比赛的概率． 15．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)近期，流感病毒阳性率正快速上升，其中99%以上为甲流，流行株以(H1N1)pdm09亚型为主.为考察某新药A预防甲流的效果，进行了个体（单位：例）试验，得到如下列联表： 药物 未患病 患病 未服用 100 80 服用 150 70 (1)记未服用新药的个体患甲流的概率为，给出的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为新药对预防甲流有效? 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：， 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 180 服用 150 70 220 合计 250 150 400 16．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 0 1 2 3 17．(24-25高二上·江西乐平中学·期末)某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束． (1)求进行3局比赛决出冠亚军的概率； (2)若甲以领先乙时，记表示比赛结束时还需要进行的局数，求的分布列及数学期望． 1 2 地 城 考点05 离散型随机变量及其分布 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二上·江西南昌中学·期末) （多选）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量满足，，，，则 3．(24-25高二上·江西赣州·期末) （多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 4．(23-24高二上·江西部分学校·期末) （多选）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西·期末)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率. X 2 3 4 P 6．(24-25高二上·江西上饶·期末)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 2 3 7．(24-25高二上·江西·期末)现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量． (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望． X 0 1 2 3 4 5 P 8．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 9．(24-25高二上·江西南昌·期末)袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球. (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 0 1 2 10．(24-25高二上·江西九江·期末)“甲辰龙腾、盛世中华”．2024年5月25至26日，九江银行•“庐山杯”长江经济带龙舟邀请赛在九江市浔阳区南门湖隆重举行，本次赛事共邀请了来自长江经济带11个沿江省市、江西省11个地市和九江市16个县（市、区）共计37支代表队参赛．赛后，某网络直播平台对我市市民发起了本次龙舟赛喜爱程度的调查，现随机抽取100份进行调查统计，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男 20 60 女 15 40 合计 45 (1)完成列联表，并根据小概率值，判断我市市民对本次龙舟赛喜爱程度是否与性别有关； (2)已知在地方组500米直道赛比赛中，闯入决赛的有4支市区代表队：浔阳区，经开区、濂溪区、八里湖新区和4支县区代表队：共青城市、武宁县、湖口县、修水县．假设决赛中各支队伍的实力相当，设随机变量表示决赛后前3名中市区代表队的队数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 15 25 40 合计 55 45 100 0 1 2 3 11．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 0 1 2 3 地 城 考点06 正态分布 1．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二上·江西·期末)已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)学校有1000名学生参加了“希望杯”数学竞赛，此次竞赛成绩服从正态分布，估计竞赛成绩在分到分之间的人数约为（    ）人. （参考数据，，） A． B． C．954 D．477 4．(24-25高二上·江西南昌·期末)某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（   ） 附：若，则，，. A．8413 B．9772 C．9974 D．9987 5．(24-25高二上·江西南昌中学·期末) （多选）下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量满足，，，，则 6．(24-25高二上·江西九江·期末) （多选）已知随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 7．(23-24高二上·江西上饶余干县私立蓝天中学·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为15 B．若随机变量X服从正态分布，且，则 C．两个变量的线性相关性越强，则线性相关系数r越接近1 D．对具有线性相关关系得变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 8．(24-25高二上·江西·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则 . 9．(24-25高二上·江西赣州·期末)已知随机变量，则的值为 . 地 城 考点07 二项分布及其应用 1．(24-25高二上·江西九江·期末)如图所示，5颗串珠用一根竹签串起．现将它们依次取出，一次取一颗，则在不剪断珠子中间竹签的条件下，两颗☆☆串珠被连着取下的概率是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江西赣州·期末)某工厂有甲，乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为0.9，乙车间生产的产品合格率为0.85，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为（   ） A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 3．(24-25高二上·江西·期末)托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)已知事件，相互独立，且，，那么（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江西上饶·期末) （多选）对于随机事件，若，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江西·期末) （多选）已知某高校开展一项课外研学活动，参与活动并提交研学论文可以获得学分，且该高校对论文的评定分为两个等级：合格，不合格．评定为合格可以获得0.2学分，评定为不合格不能获得学分．若评定为不合格，则下一次评定为合格的概率为，若评定为合格，则下一次评定为合格的概率为．已知包括小明与小刚在内共名同学均参加了3次研学活动，且每次研学活动结束后，这名同学排队依次提交研学论文，则（   ） A．若小明第一次评定为不合格，则小明最终获得0.4学分的概率为 B．若小刚第一次评定为合格，则小刚第三次评定为合格的概率为 C．若在某一次研学活动中，小明和小刚既不是最先也不是最后提交研学论文，则有种提交顺序 D．若在某一次研学活动中，小明和小刚提交研学论文的顺序不相邻，则有种提交顺序 7．(24-25高二上·江西九江·期末) （多选）现有编号依次为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子装有1个红球和3个白球，2号盒子装有2个红球和2个白球，3号盒子装有4个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三个盒子中任取一盒，再从中任意摸出一球，记事件表示“取得红球”，事件表示“取得白球”，事件表示“球取自号盒子”，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末) （多选）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则 C．若相互独立，则 D．若，则 9．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式贝叶斯定理，其中称为的全概率现有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第台车床加工的概率是 . 10．(24-25高二上·江西九江·期末)“石头、剪刀、布”是一个猜拳游戏，古老而简单．游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头．现甲、乙、丙三人玩“石头剪刀布”游戏，规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得4分，输者得0分；③三人出现三种手势均得0分．当有人累计得3分以上（包含3分）或游戏进行了3局时，游戏结束．三人之间及每局游戏互不影响，且每人每局出石头、剪刀、布的概率都是． (1)求甲在一局比赛中得0分的概率； (2)已知游戏结束时有人得分为3分以上（包含3分），求第一局比赛中三人均得0分的概率． 11．(24-25高二上·江西南昌·期末)为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）： 患病情况 服用情况 患病 不患病 服用中药预防方 10 90 不服用中药预防方 50 50 (1)该中药预防方对预防该种疾病是否有效? (2)从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”.利用该调查数据，求，的值. 附：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 12．(24-25高二上·江西上饶·期末)甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 2 3 13．(24-25高二上·江西·期末)对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 不经常喝 18 52 合计 100 (1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联； (2)证明； (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 32 48 不经常喝 34 18 52 合计 50 50 100 14．(24-25高二上·江西南昌中学·期末)为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 15．(24-25高二上·江西南昌东湖区南昌第二中学·期末)南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 300 500 700 900 16．(24-25高二上·江西赣州·期末)2024年10月30日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础．为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行．初赛环节规则如下：每位选手从10道题中随机抽取3道题作答，3道题全部答对的选手晋级决赛．决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得10分，抢到题目但回答错误扣5分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰. (1)若某选手对于初赛环节中的10道题目，只有4道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望； (2)已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于10分的概率. 0 1 2 3 17．(24-25高二上·江西宜春第一中学·期末)某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量（单位：箱） 7 6 6 5 6 收益（单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益关于售出水量的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ 附： (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201~500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生不获得奖学金.学生甲获一等奖学金的概率为，获二等奖学金的概率为，不获得奖学金的概率为.求在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率. 试卷第1页，共3页 32 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $