3.3函数的应用(一） 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“函数的应用”核心知识点，通过城镇化人口增长、客房租金优化等实际情境导入，衔接函数概念与性质的前期学习，搭建从理论到实践的学习支架，引导学生运用一次函数、二次函数、分段函数及均值不等式等模型解决现实问题。 该资料采用“导悟研评”教学模式，以探究问题驱动（如矩形面积最大化、分段函数日销售额计算），通过小组合作与讲练结合，培养学生用数学眼光发现数量规律，用数学思维推理运算，用数学语言表达模型（如建立日销售额函数关系式）。多样化例题覆盖多类函数模型，助力学生提升建模与应用能力，为教师提供结构化教学流程与核心素养培养路径。

§3.3 函数的应用 授课人： 授课班级：高一 班 课 型：新授课 授课时间： 【课标要求】 理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情景中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 【核心素养】 1. 数学建模：在实际情境中从数学的视角发现问题、分析问题，建立模型，最终解决实际问题。 2. 数学运算：会根据函数 模型的应用的计算求解，求得参数。 3. 数据分析：对所求的结果要进行检验，是否符合实际条件。 【教学重点】 1.由实际生活情景引入不等关系,了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数、均值不等式、几何图形等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用 2.通过分析问题确定函数模型及定义域,利用给定的函数模型或者建立确定的函数模型解决实际问题. 【教学难点】 增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。 3. 教学策略 采用“导，悟，研，评”教学模式，讲练结合 五．教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 导学阶段 悟学阶段 【创设情景】 1. 自学任务一：一次函数模型的应用. 2. 【自学评测】 例2．城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978-2013年，我国城镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿。假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后第t（限定t<40）年的城镇常住人口为f（t）亿.写出f（t）的解析式，并由此估算出我国2017年的城镇常住人口数. 【探究问题一】 阅读课本129页，完成以下内容 例3．某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满。已知每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司把每间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？ 例4.某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 【探究小结一】 学生展示预习成果 学生主动参与，师生共同讨论，解决相关问题. 体会二次函数模型的应用 归纳总结方法 引入新课 一次函数的应用较浅显，通过本题加深印象，掌握方法 让学生体会二次函数应用问题的本质 在解决问题的过程中，培养学生数学抽象，数学建模等核心素养 悟学阶段 悟学阶段 【探究问题二】 探究任务二：均值不等式在实际问题中的应用 阅读课本130页，完成以下内容 例5．已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3000，且当年产量是100时，总成本是6000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）. （1）求f（Q）的解析式； （2）求年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值. 【探究小结二】 学生主动参与，师生共同讨论，解决相关问题 分析问题，选择恰当的函数模型 归纳总结方法 培养学生的思维能力以及发现问题、分析问题、解决问题的能力 悟学阶段 【探究问题三】 探究任务三：分段函数在实际问题中的应用 已知某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是 该商品的日销量Q(件)与时间t(天)的函数关系是 Q=−t+40(0<t≤30,t∈N). (1)写出该种商品的日销售额S(元)与时间t(天)的函数关系式； (2)求日销量额S的最大值. 【探究小结三】 教师提出问题， 学生通过小组合作探究得到答案 练习由学生独立完成，教师巡视、指导，展示部分同学的结果，同学补充，教师点评 在解决问题的过程中，培养学生数学抽象，数学建模等核心素养 评学阶段 评学 阶段 【课堂评价】 1.某区广场车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有4000辆次，其中电动车保管费是每辆一次1元，自行车保管费一次0.5元. (1)若设自行车和电动车停放的辆次依次为x1和x2，保管费收入依次为y1和y2元，试写出y与x的函数关系式. (2)若估计前来停放的4000辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于45%，但不大于60%，试求该车管站这个星期日电动车收入保管费y2的范围 2.大理欧亚牧场蓄养了很多奶牛以满足大理市市民们的奶制品需求.已知欧亚牧场中牛群的最大蓄养量为n只，为保证牛群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率.已知牛群的年增长量y只和实际蓄养量x只与空闲率的乘积成正比，正比系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求牛群年增长量的最大值； 教师提出问题， 学生通过小组合作探究得到答案 教师引导学生总结解题方法、数学思想，研究解题过程 培养学生合作学习的能力与习惯，提高研究问题的效率和效果 评学阶段 课堂小结 【归纳小结】学生归纳小结本节课所学 回顾总结问题的解决过程，学生体会运用数学知识解决实际问题的基本思路，培养学生概括归纳的能力，及时梳理总结的学习习惯 课后巩固 【布置作业】分层布置作业 1. 学案后习题； 2. 课本P131的习题 3—3A；习题3—3B 学生课后认真完成 巩固所学知识 板 书 设 计： 1. 例1 小结： 2. 例2 3. 例3 5 学科网（北京）股份有限公司 $