4.6线段的垂直平分线 自主学习同步练习题 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

2025-2026学年湘教版八年级数学上册《4.6线段的垂直平分线》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（   ） A．B．C．D． 2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为13，，则的周长为（    ） A．7 B．14 C．17 D．20 4．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知线段与线段外一点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧分别交于点，，连接，，，，，若，四边形的面积为65，则的长为（    ） A．6.5 B．10 C．13 D．26 6．如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，边长为4的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，，，给出如下结论：①；②；③；④的周长最小值为6；⑤当周长最小时，；⑥的大小随着点的移动而变化；上述结论中正确的有（   ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 8．如图，中，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接．则等于 ． 9．亮亮最近学习尺规作图，他在中练习作图，痕迹如下图所示，若，，请问的度数为 ． 10．如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为 ． 11．如图，在中，，直线，分别是、的垂直平分线，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 12．如图，为内一点，过点的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，则的度数为 13．如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则 ． 14．如图，的边，的垂直平分线，相交于点O．若，则 ． 三、解答题 15．如图，已知在中，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若的周长为，的长为，则的周长是多少． 16．如图，为的角平分线，点E，F分别在，上，且，连接交于点O． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 17．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为19，求的长度； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 18．如图，在与中，，，，过点C作，交于E，交于F，连接，交于H． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：平分． (3)若，，求的长． 19．【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点． 求证：． 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为中点． 【类比深探】 （3）在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），，连接． 如图3，当点在点上方，若，请直接写出____________（用含的代数式表示） 20．依据情境，解决问题． 【情景一】 小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个，分别作边的垂直平分线相交于点，如图1所示，经过测量后，得到，根据上述条件，能不能得到的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：是边的垂直平分线， ． 可得．同理可得， 则 解得． 【情景二】 小明继续对上述问题进行探究发现：若改变形状，边的垂直平分线，相交于内部一点，如图2，则与之间也存在一定的数量关系． 【解决问题】 (1)【情景一】中得到“”的理由是___________； (2)在图1的情况下，若的度数为，求（用含的代数式表示）； (3)写出【情景二】中与之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据作图方法结合垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：此线作法为，得不到，故A错误； B：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C: 此线作法为，得不到，故C错误； D：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故D错误； 故选：B． 2．A 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——角平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据操作得出相等的线段，利用判定，即可得出结论． 【详解】解：由画图操作可得， ∴， ∴， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得． 【详解】解：由题意知是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为：， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据作图痕迹分析出是角平分线且，再结合全等三角形逐一分析选项． 先根据尺规作图痕迹确定是的角平分线且，然后通过证明，结合直角三角形的性质对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：从作图痕迹可知，是的角平分线， （因为在上，且作图痕迹显示是到的垂线， 在中，， ． 又 ， ． 根据“同角的余角相等”，可得， 选项正确． 平分， ； 又 ，且， ． 由全等三角形的性质，可得， 选项B正确． 由可得， 选项C正确． 要使，需是的垂直平分线，但从作图和已知条件中，无法推出这一结论． ， 选项D错误． 故选D． 5．C 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，解决此题的关键是正确的计算；先根据题意得到垂直平分，再根据四边形的面积可以看成两个三角形的面积和进行计算即可； 【详解】解：如下图，设与交于点， 由题可知：， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，四边形的面积为65， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、根据线段垂直平分线的性质可知，根据两点之间线段最短可知当点、、三点共线时，的值最小，根据等腰三角形的三线合一性质可知是边上的高，利用三角形面积求出的长，即可得到的周长的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 点为边的中点， ， 当的值最小时，的周长的最小， 当点、、三点共线时，的值最小， ，点是的中点， ， ， ， 的周长最小值为． 故选：C． 7．B 【分析】根据三线合一定理即可判断①；证明是线段的垂直平分线，得到，再由等边三角形的性质证明，即可判断②③；根据点到直线的距离垂线段最短可知当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，即可判断④；证明，得到即可判断⑥；则即点E在射线（射线）上运动，如图所示，作点A关于直线的对称点M，连接，推出当三点共线，即点E与点重合 时，最小，即的周长最小，证明是等边三角形，推出，即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形，F是边的中点， ∴，故①正确； ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∴，故②正确； ∵D在线段上， ∴当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小， ∵等边三角形的边长为4，F是边的中点， ∴， ∴的周长的最小值为，故④正确； ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑥错误； ∴，即点E在射线（射线）上运动， 如图所示，作点A关于直线的对称点M，连接， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线，即点E与点重合 时，最小，即的周长最小， ∵点A与点M关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 又∵F是边的中点， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的一共有4个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，确定点E的运动轨迹是解题的关键． 8．/30度 【分析】运用等腰三角形的性质求解。 此题考查了垂直平分线和等腰三角形的性质．值得注意，解答此题要两次运用等腰三角形两底角相等的性质。 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于D，E两点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 9． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的定义及其尺规作图，三角形内角和定理，等边对等角，由作图方法可得垂直平分，平分，由等边对等角得到，再由三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．/50度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据线段垂直平分线得出，推出，根据角平分线得出，根据三角形外角性质得到，结合，即可得到． 【详解】解：的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 平分， ， ，， ． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，连接，设，交于点，根据题意得出，设，则，进而得出 ，根据得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设，交于点 ∵， ∴， ∵直线，分别是、的垂直平分线 ∴ ∴ ∴ ∴，即 设，则 ∴，则 ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 12． 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．三角形的内角和定理求出，垂直平分线的性质结合等边对等角以及三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数，再根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别在、的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．6 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理求出，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，则是的垂直平分线，连接，则，根据等边对等角求出，进而求出，根据等角对等边得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又点为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， 连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：6． 14． 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，的垂直平分线，相交于点， ，， ∴， ，， ， ， 故答案为：． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长，再根据题意求得即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为，的长为， ∴， ∴， ∴的周长是． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）角平分线得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知：， ∴， ∴垂直平分． 17．(1) (2)点在边的垂直平分线上，证明见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为19， ， ， ， ， ； （2）点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、，如图 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 18．(1)是等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）先证明是等边三角形，可得，由平行线的性质可得，可得结论； （2）根据，，推出直线是线段的垂直平分线，再根据等腰三角形的性质即可得证； （3）由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵，， ∴是的垂直平分线，即， ∵， ∴平分； （3）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 19．（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N，证得，进而得．在中、、，同理∶；进而得，在中，由，得，再根据等量代换即可解答． 【详解】（1）证明∶∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明∶∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3）解：如图，过F作于M，过点F作交延长线于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴ ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中， ∴ ∴， 同理∶， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴，即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质、30度直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键． 20．(1)线段垂直平分线的性质 (2)； (3)；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角． （1）利用线段垂直平分线的性质可得到； （2）利用，，可得答案； （3）证得，，结合，，，可得答案； 【详解】（1）解：是边的垂直平分线， （线段垂直平分线的性质）． 故答案为：线段垂直平分线的性质； （2）解：由（1）知，， 同理可得，， ，， ； （3）解：； 理由： 是的垂直平分线， ， ， ， 同理可得，， ，， ，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $