4.2 图形的旋转 课件2025-2026学年 鲁教版（五四制）八年级数学上册

4.2 图形的旋转 旋转 旋转角 知识点一 旋转的定义 旋转 在平面内，将一个图形绕一个定点按某一个方向（逆时针方向或顺时针方向）转动一定的角度，图形的这种变化叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，这个角叫做旋转角.旋转前图形上的点与旋转后所到达的点叫做对应点. 旋转三要素:旋转中心，旋转角，旋转方向 旋转角 知识点一 旋转的定义 旋转 在平面内，将一个图形绕一个定点按某一个方向（逆时针方向或顺时针方向）转动一定的角度，图形的这种变化叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，这个角叫做旋转角.旋转前图形上的点与旋转后所到达的点叫做对应点. 旋转三要素:旋转中心，旋转角，旋转方向 旋转角 转动的角叫做旋转角，且任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角 知识点一 旋转的定义 例1 如图所示，将等腰直角△ABC按顺时针方向旋转后得到△AB′C′，指出哪一点是旋转中心，并写出旋转角的度数. 解析 观察图形发现，点A是旋转过程中不动的点，故点A为旋转中心，△ABC绕点A按顺时针方向旋转后，AC与AC′重合，AB与AB′重合，故∠CAC′为旋转角.又因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠CAC′＝45°，所以旋转角的度数为45°. 解析 观察图形发现，点A是旋转过程中不动的点，故点A为旋转中心，△ABC绕点A按顺时针方向旋转后，AC与AC′重合，AB与AB′重合，故∠CAC′为旋转角.又因为△ABC是等腰直角三角形，所以∠CAC′＝45°，所以旋转角的度数为45°. 点拨 一个图形由一个位置旋转到另一个位置，如果有固定不动的点，那么这个点就是旋转中心，此时对应边的夹角等于旋转角. 知识点二 旋转的性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. 例2 如图所示，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，则下列结论一定正确的是（ ） A.∠ABD＝∠E B.∠CBE＝∠C C.AD∥BC D.AD＝BC 解析 ∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠DAB＝∠CBE∴AD∥BC，故选C. 解析 ∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°，∴∠DAB＝∠CBE∴AD∥BC，故选C. 点拨 旋转变化是全等变化，因此在旋转问题中有相等的线段和相等的角，从而可以出现等腰三角形. 旋转作图 的依据 作图要素 作图步骤 知识点三 旋转作图 旋转作图 的依据 （1）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等 作图要素 作图步骤 知识点三 旋转作图 旋转作图 的依据 （1）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等 作图要素 （1）原图形；（2）旋转中心；（3）旋转方向；（4）旋转角；（5）一组对应点 作图步骤 知识点三 旋转作图 旋转作图 的依据 （1）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等 作图要素 （1）原图形；（2）旋转中心；（3）旋转方向；（4）旋转角；（5）一组对应点 作图步骤 （1）连:连接原图形中一个关键点与旋转中心； （2）转:根据旋转方向与旋转角，以（1）中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角； （3）截:在该旋转角的另一边上，从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度，得到该点的对应点，依次得到各个对应点； （4）接:按原图形顺次连接所得到的各对应点. 知识点三 旋转作图 旋转作图 的依据 （1）任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角； （2）对应点到旋转中心的距离相等 作图要素 （1）原图形；（2）旋转中心；（3）旋转方向；（4）旋转角；（5）一组对应点 作图步骤 （1）连:连接原图形中一个关键点与旋转中心； （2）转:根据旋转方向与旋转角，以（1）中关键点与旋转中心的连线为一边作一个旋转角； （3）截:在该旋转角的另一边上，从旋转中心开始截取此关键点到旋转中心的长度，得到该点的对应点，依次得到各个对应点； （4）接:按原图形顺次连接所得到的各对应点. 注意:为了避免作图时的混乱，以上连、转、截这三步每个点独立完成后，再进行下一个点的旋转 知识点三 旋转作图 例3 如图所示，将△ABC绕O点旋转，已知D点是△ABC旋转后A点的对应点，请作出旋转后的△DMN. 解析 （1）连接AO，DO（找到旋转角）； （2）连接OB，OC，按顺时针方向分别作∠BOE＝∠AOD∠COF＝∠AOD（找到关键点的对应点所在的射线）； （3）分别在OE，OF上截取OM＝OB，ON＝OC（截取相等线段，利用对应点到旋转中心的距离相等找到旋转后关键点的对应点）；（4）连接DM，MN，ND（连接关键点的对应点）； （5）如图所示，△DMN即为所求作的图形. 经典例题 01 例1 如图所示，点P是正方形ABCD的边CD上一点，连接AP，∠BAP的平分线交BC于点Q，试说明AP＝DP＋BQ. 题型一 旋转性质的应用 题型一 旋转性质的应用 分析 如何把线段DP与BQ转移到一条直线上作和是解决本题的关键.将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，根据旋转的性质只需说明AP＝PE即可. 证明 如图所示，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADE， 则∠EAQ＝90°，DE＝BQ，∠1＝∠2，∠ADE＝∠B＝90°. 又∵∠ADC＝90°，∴∠ADE＋∠ADC＝180°， ∴点E，D，C共.线∵AQ平分∠PAB，∴∠3＝∠2. 在Rt△ADE中，∵∠E＋∠1＝90°， ∴∠E＝90°-∠1＝90°-∠2. 又∵∠PAE＋∠3＝90°，∴∠PAE＝90°-∠3＝90°-∠2， ∴∠E＝∠PAE，∴EP＝AP. ∵EP＝DP＋DE＝DP＋BQ，∴AP＝DP＋BQ. 题型一 旋转性质的应用 例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F. （1）如图①，若点F与点A重合，求证:AC＝BC； （2）如图②，若点F在线段CA的延长线上∠DAF＝∠DBA，请判断线段AF与BE的数量关系，并说明理由. 题型二 旋转的概念与性质的综合应用 分析 （1）由旋转的性质可得∠BAC＝∠BAD，结合垂直的性质易得∠ABC＝∠CAB＝45°，可得AC＝BC. （2）由“AAS”可证△AFD≌△BED，由此可得AF＝BE. 解析 （1）证明:由旋转得∠BAC＝∠BAD，∵DF⊥AC， ∴∠CAD＝90°，∴∠BAC＝∠BAD＝45°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∴AC＝BC. （2）AF＝BE.理由:由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB. ∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB，∴AF∥BD， ∴∠BAC＝∠ABD，由旋转得∠BAC＝∠BAD， ∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝×180°＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD， 在△AFD和△BED中，∴△AFD≌△BED（AAS）， ∴AF＝BE. $