24.1.1&24.1.2 圆 垂直于弦的直径【八大考点+八大题型】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

24.1.1&24.1.2 圆 垂直于弦的直径 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01 圆的基础知识 （1）圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.此外，圆心为0，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.如图中的AB，CD。 (3)直径：经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB。 (4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，筒称弧.以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB” 圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，如图中的；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的，。 (5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. (6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点二：垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD，则CD⊥AB，且 。 【题型探究】 题型一：圆的基本概念 【例1】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列命题：正确的是（    ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【变式2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：弦的条数及最长的弦问题 【例2】．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【变式12】．（23-24九年级下·全国）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 题型三：垂径定理 【例3】．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为 ． 【变式1】．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为 ． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 ． 题型四：垂径定理求平行弦问题 【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ． 【变式1】．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【变式2】．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 题型五：垂径定理的推论的理解 【例5】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 【变式1】．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 题型六：垂径定理的推论应用 【例6】．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是 ． 【变式2】．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为半圆的直径，为弦的中点，为的中点，连接．若，则的长为 ． 题型七：垂径定理的实际应用问题 【例7】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为 ． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为 ． 【变式2】．（25-26九年级上·广东惠州·期中）白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新桥”（旧称“苏公桥”）． (1)小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度为6.4米，拱顶高出水面1.6米，如图，请你帮助小明求出此圆弧形拱桥的半径； (2)微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞?说说你的理由． 题型八：垂径定理综合问题 【例8】．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】．（17-18九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 【变式2】．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在等腰中,交于两点，半径于H． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 2．（25-26九年级上·北京·月考）下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，是的一条弦，直径,  垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，半径长为10，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 8．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点，，垂足为点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在半径为4的中，弦的长为6，则圆心到的距离为 ． 11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是 ． 12．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 13．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，且，垂足为D．若，，则的半径为______． 14．（25-26九年级上·北京·月考）如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为 ． 三、解答题 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，于B，圆心O在上，，D为的中点．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，内接于，是的直径，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的半径． 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架． (1)圆弧桥拱所在圆的半径． (2)若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长． 18．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 19．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点，，． (1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； (2)若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． (3)请在图中作弦（在左侧），求证：． 20．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，在中，，且，垂足为点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，求的长度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1.1&24.1.2 圆 垂直于弦的直径 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点01 圆的基础知识 （1）圆的定义：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点0为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.此外，圆心为0，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.如图中的AB，CD。 (3)直径：经过圆心的弦叫做直径.如图中的AB。 (4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，筒称弧.以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB” 圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，如图中的；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的，。 (5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. (6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 知识点二：垂径定理及其推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.如下图，AB是直径且CP=PD，则CD⊥AB，且 。 【题型探究】 题型一：圆的基本概念 【例1】．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列命题：正确的是（    ） ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧．③能够完全重合的两条圆弧是等弧．④长度相等的弧所对的弦相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，涉及弦、弧的关系及等弧的定义。需逐项判断命题的正确性。 【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，因为非直径的弦对的弧有优弧和劣弧之分，本选项不符合题意； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分所对的弧，本选项符合题意； ③能够完全重合的两条圆弧是等弧，本选项符合题意； ④长度相等的弧所对的弦不一定相等，本选项不符合题意； ∴正确命题为②和③， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 【变式2】．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法：①直径是圆中最长的弦，弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，解决本题的关键是掌握相关的概念．先回忆弦、直径、弧、半圆、等弧等相关的概念，然后根据相关概念来逐个判断即可． 【详解】①直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，错误； ②半径相等的两个半圆是等弧，正确； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确； ④在等圆或同圆中，长度相等的两条弧是等弧，错误； ⑤如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，错误； 综上，正确的有：②③，共2个， 故选：B． 题型二：弦的条数及最长的弦问题 【例2】．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 【变式1】．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式12】．（23-24九年级下·全国）如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 题型三：垂径定理 【例3】．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的弦，半径于点，若，，则半径的长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．连接，先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，在中利用勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的弦，半径， ∴， 设的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得， 故的半径的长为17． 故答案为：17． 【变式1】．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，在中，直径于点E，，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【变式2】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，掌握数形结合、分类讨论的方法是解题关键．根据题意画出图形，分两种情况讨论，由垂径定理和勾股定理先求出的长，从而得到的长，再结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：分两种情况讨论， 第一种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 第二种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 题型四：垂径定理求平行弦问题 【例4】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【变式1】．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知的半径为，弦平行于弦和之间的距离是 ． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，分当的圆心O位于、之间时，当的圆心O不在两平行弦、之间时，两种情况分别利用勾股定理和垂径定理求出点O到和的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图，当的圆心O位于、之间时，作于点E，并延长，交于F点．分别连接、． ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴和之间的距离为17； 如图所示，当的圆心O不在两平行弦、之间（即弦、在圆心O的同侧）时， 同理可得：， ∴， ∴和之间的距离为7； 综上所述，和之间的距离为7或17． 故答案为：7或17． 【变式2】．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 题型五：垂径定理的推论的理解 【例5】．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及其推论． 根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧． 【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确； C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误； D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误； 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）下列说法不正确的是（   ） ①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直平分弦的直线必定经过圆心；④平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． A．③④ B．②④ C．①② D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理及其推论． 根据垂径定理及其推论判断各说法的正误，注意弦为直径时的特殊情况． 【详解】解：∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不垂直于弦， ①错误； ∵ 当弦为直径时，平分弦的直径可能不平分弦所对的弧， ②错误； ∵ 垂直平分弦的直线必过圆心（垂径定理推论），③正确； ∵ 平分弧的直径必垂直平分弧所对的弦（垂径定理逆定理）， ④正确． ∴ 不正确的是①②， 故选C 【变式2】．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理， 根据垂径定理及其逆定理逐项判断即可. 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确； 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确； 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确； 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B. 题型六：垂径定理的推论应用 【例6】．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，勾股定理，根据题意可知，，从而得到，，得，得到，得，设圆的半径为R，连接，根据勾股定理，得到，计算的值即可． 【详解】解：点D是弧的中点， ， 为的直径，， ， ，， ， ， ， 设圆的半径为R，连接， 根据勾股定理，得到， 解得， 故答案为：15． 【变式1】．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，过的中点作，垂足为，，，则所在圆的半径长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握垂径定理的推论及勾股定理是解题的关键． 由“点是的中点，”，根据垂径定理的推论可知，所在圆的圆心在所在的直线上，延长到圆心，连接，设所在圆的半径长为，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出所在圆的半径长． 【详解】解：如图，延长到圆心，连接， 设所在圆的半径长为，则， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 解得：， 所在圆的半径长为， 故答案为：． 【变式2】．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为半圆的直径，为弦的中点，为的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，矩形的性质与判定，勾股定理，连接与交于点M，则四边形是矩形．设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程得出，进而得出，，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：连接与交于点M， ∵是直径， ∴，， ∵分别为的中点， ∴， ∴ ∵为的中点，为半径， ∴ ∴四边形是矩形． 设，则， 在中， 解得：（舍去）， ， ∴在中，． 故答案为：． 题型七：垂径定理的实际应用问题 【例7】．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，中国空间站采用新型球形燃料储罐，其截面圆的半径为，罐内液体已经过半， 燃料液面弦长为，则液面最大深度为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 由题意可得，根据垂径定理得，再由勾股定理得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式1】．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．若种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理的应用，如图，作交于点，交于点，连接，设的半径为，利用垂径定理得出，利用勾股定理求出即可．根据垂径定理正确地利用辅助线构造出直角三角形解决问题是关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接 在中， ∴ ∵，， ， 设的半径为，则：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， 故的半径为 故答案为：10． 【变式2】．（25-26九年级上·广东惠州·期中）白马西风塞上，杏花烟雨江南，江南之瑰丽，在水与桥．据张守仁《惠州西湖志》中统计，民国时期，惠州有桥20座，建国后，又新添了各种各样的景观桥，桥横南北水路，水通天下济渠，如今的惠州西湖仍保留了六座圆弧形古桥．今天天气晴朗，秋高气爽，小明来到西湖第一桥“西新桥”（旧称“苏公桥”）． (1)小明站在桥上，测得桥下中间最大的桥洞水面宽度为6.4米，拱顶高出水面1.6米，如图，请你帮助小明求出此圆弧形拱桥的半径； (2)微风徐来，小明乘着船，微动涟漪，徐徐开到桥洞前，已知小明所乘的船宽4.8米，船舱顶部为矩形并高出水面1.2米，请你判断一下，此游船能否顺利通过该桥洞?说说你的理由． 【答案】(1)此圆弧形拱桥的半径为4米 (2)游船不能顺利通过该桥洞，理由见解析 【分析】此题考查了垂径定理的应用．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）根据垂径定理和勾股定理求解； （2）方法（一）：连接，利用垂径定理得米，利用勾股定理得米，进而求出，与1.2米比较即可得出结论； 方法（二）：由勾股定理求出，则，再与4.8米比较即可得出结论． 【详解】（1）解：连接 ， 为中点， （米）， （米）， 又∵（米）， 设（米），则（米）， 在中，根据勾股定理得： 即：， 解得， 答：此圆弧形拱桥的半径为4米； （2）解：方法（一）：游船不能顺利通过该桥洞，理由如下： 如图，米，，交于， 则（米）， 连接， 在中，根据勾股定理得：， （米）， 又∵（米）， ， 游船不能顺利通过该桥洞； 方法（二）：， 船舱顶部为长方形并高出水面米， （米）， 在中，根据勾股定理得：， （米）， （米）， 又∵， ， 游船不能顺利通过该桥洞． 题型八：垂径定理综合问题 【例8】．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知、、为上的点，且，为的直径，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理： （1）连接并延长交于点，根据垂径定理可得，，再证明可得，由此即可得到结论； （2）设的半径为，在中根据勾股定理列出方程求出R，在中，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）解：设的半径为则， ∵，， ∴， 在中，， 解得， ， ， ． 【变式1】．（17-18九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度，拱高．    (1)求圆弧所在圆的半径的长； (2)当水位上涨至跨度只有时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶，即，此时是否需采取紧急措施？ 【答案】(1)圆弧所在圆的半径的长为； (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． （1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【详解】（1）解：连接，设圆弧所在圆的半径为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 解得； 答：圆弧所在圆的半径的长为； （2）解：连接，   ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． ． ， 不需要采取紧急措施． 【变式2】．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图，在等腰中,交于两点，半径于H． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得； （2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径． 【详解】（1）证明：在中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·月考）下列命题中正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 C．直径是一个圆中最长的弦 D．同圆中两条等弦所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本性质． 根据圆的基本性质逐一分析即可． 【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误； B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误； C．直径是一个圆中最长的弦，正确； D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误； 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，是的弦，于点，连接．若，，则的半径的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，连接，由垂径定理得到，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，于是得到的半径的长为． 【详解】解：连接， ∵直径于点E， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的半径的长为． 故选：D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，包括圆的定义、等弧的条件、圆心角与弧的关系以及垂径定理的逆命题．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ① 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，这是圆的定义，正确； ∵ ② 半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故能重合，是等弧，正确； ∵ ③ 相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定，错误； ∵ ④ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，但弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ∴ 正确的有①和②，共2个． 故选：B． 5．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，先证明，设半径为，在中列方程求出即可． 【详解】解：连接， ∵点是的弦的中点， ， 设半径为，则， ∵，， ∴， 在中，， ， 解得：， 则的半径为， 故选：C． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，是的一条弦，直径,  垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，准确分析判断是解题的关键． 根据圆的垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理分析判断即可； 【详解】直径， ，，， ，， 选项、、结论成立； 与的关系不能确定，故选项的结论不一定成立； 故选：． 7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，半径长为10，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由圆心O到弦AB的距离，得于点E，则，，而，求得，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查点的直线的距离、垂径定理、勾股定理等知识，推导出，是解题的关键 【详解】解：在中，圆心O到弦的距离， 于点E， ，， 半径长为10， ， ， ， 故选：C． 8．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造垂径是解题的关键． 如图：连接，设该圆的半径为r，则，由题意可得：，然后代入得到关于r的方程求解，进而求得圆的直径． 【详解】解：如图：连接，设该圆的半径为r，则， 由题意可得：， ∴，解得：， ∴圆形拱门的直径是米． 故选D． 9．（2025·陕西汉中·二模）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点，，垂足为点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理，连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是， 故选：D． 二、填空题 10．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在半径为4的中，弦的长为6，则圆心到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．根据题意画出图形，过点作于点，连接，再根据垂径定理和勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，过点作于点，则为圆心到弦距离，连结， ∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即圆心到弦距离为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是 ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 如图：连接交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得，然后求出的长即可． 【详解】解：如图：连接交于D， 由题意得：（米），， ∴（米），， 在中，（米）， 米，即点C到弦所在直线的距离是米． 故答案为米． 12．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出的长是解此题的关键．根据垂径定理即可求得的长，然后利用勾股定理即可求得的长，即可得出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， 故答案为：2． 13．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，且，垂足为D．若，，则的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理、角平分线性质、圆周角定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 过点O作的垂线交于点E，交于点F，连接，得出是的平分线，进而得到，假设的半径为，将用来表示，根据勾股定理进行解题即可． 【详解】解：如图，过点O作的垂线交于点E，交于点F，连接． ，， ，， ， 是的平分线 设的半径为，则 在中利用勾股定理得 即 解得． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·北京·月考）如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的推论、三角形中位线等知识点，由题意得点是的中点，推出是的中位线，得出当最大时，线段取得最大，此时为的直径；即可求解； 【详解】解：∵为的弦，且， ∴点是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴，即当最大时，线段取得最大，此时为的直径； 如图所示： ∵点M坐标为，点A坐标为，垂直平分， ∴； ∵点M是的中点， ∴； ∵点D是的中点，，； ∴， 故答案为： 三、解答题 15．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，于B，圆心O在上，，D为的中点．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【详解】（1）证明：∵于B， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴； （2）证明：连接交于点M， ∵D是的中点， ∴垂直平分． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 16．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，内接于，是的直径，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为． 17．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某座古代石拱桥的桥拱是圆弧形，其跨度为米，拱高为米．为保护桥梁，现需在桥拱下方安装防护支架． (1)圆弧桥拱所在圆的半径． (2)若在的中点处竖立一根垂直于的立柱，求的长． 【详解】（1）解：如图，的半径为r，连接， ∵为16米，为4米，， ∴米，，米， ∴在中， 解得米． （2）解：连接，过点F作于点H． ∵，， ∴四边形为矩形， ∵E是的中点， ∴米， ∴在中，， ∴米． 18．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，求的直径； (2)若，求的度数． 【详解】（1）解：是的直径，弦于点， ，， 设，则， ， ， 解得：， 的直径为20； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 19．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点，，． (1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； (2)若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． (3)请在图中作弦（在左侧），求证：． 【详解】（1）解：如图，点为所作： （2）解：连接、，交于点，如图， ， ， 垂直平分， ，， 在中，，， ， 设的半径为，则，， 在中，， 解得， 即该圆板的半径为； （3）证明：如图，作弦， ， ， ， ， ， ， 同理当在下方时，可得， 即可得到． 20．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)若，求的度数． (2)若，求长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴． （2）解：∵，且为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，且为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，在中，，且，垂足为点E． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，求的长度． 【详解】（1）证明：如图1，过点O作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴，∴四边形是矩形， 又∵，，，∴，， ∴四边形是正方形，∴， ∴， 即． （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $