专题12 数列(课件PPT)-【零起点考大学】2026年高考数学高效备考方案

11 专题十二 数列 考点2 等比数列 考点1 等差数列 考点3 等差数列与等比数列的综合问题 1 历年真题大数据 1.本章在高考中一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分 2.主要是考查等差数列或等比数列的通项公式和求和公式. 年份与卷别 考点 考查内容 2025 全国Ⅰ卷 等比数列 等比数列前n项和 等差数列 由递推关系证明等差数列 等差数列与等比数列的综合问题 错位相减法求和 全国Ⅱ卷 等差数列 等差数列前n项和公式 等比数列 等比数列前n项和 2024 新课标Ⅰ卷 等差数列与等比数列的综合问题 数列的新定义 新课标Ⅱ卷 等差数列 等差数列前 n 项和 等差数列与等比数列的综合问题 数列的新定义 全国甲卷 等差数列 等差数列前 n 项和 等比数列 等比数列通项公式 等差数列与等比数列的综合问题 错位相减法的应用 2023 新高考Ⅰ卷 等差数列 等差数列通项公式、前 n 项和公式 等差数列 等差数列通项公式、前 n 项和公式 等差数列 新高考Ⅱ卷 等差数列通项公式、前 n 项和公式 等差数列与等比数列的综合问题 数列前 n 项求和 全国甲卷 等差数列 等差数列证明 等比数列 等比数列通项公式、前 n 项和公式 等差数列的证明及其通项公式 等差数列 全国乙卷 等差数列与等比数列的综合问题 等比数列通项公式,数列前 n 项求和 数列的概念 1. 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 考点1：等差数列 1.等差数列 (1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(nN*),d为常数. (2)等差中项：数列a,A,b成等差数列的充要条件是A= 其中A叫做a,b的等差中项. 应考核心知识 2. 等差数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1+(n-1)d. (2)前n项和公式：Sn=na1+d= 3.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a>0,d<0,则Sn存在最大值：若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 考点1：等差数列 应考核心知识 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n,mN*). (2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+a1(m,n,p,qN*). (3)若{an}是等差数列,公差为d，则ak,ak+2m,ak+2m,…(k,mN*)是公差为md的等差数列. (4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(mN*)也是等差数列,公差为m2d. (5)若{an}是等差数列,则{}也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的. 4.等差数列的常用性质 (6)若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn;等差数列{bn}的公差为d’,前n项和为Tn,则 ①{kan+lbn}(k,l为常数)为等差数列. ②=. ③=. ④==. 巩固训练 C 应考基础训练 巩固训练 C 应考基础训练 巩固训练 D 应考基础训练 巩固训练 D 应考基础训练 考点2：等比数列 1.等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为=q(nN*，q为非零常数). (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项→a，G，b成等比数列→G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：=qn-1=qn-m. (2)前n项和公式：Sn= 3.常用结论 (1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则am·an=ap·aq=am. (2)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ0),{},{},{an·bn}， {}仍然是等比数列. 巩固训练 A 应考基础训练 巩固训练 A 应考基础训练 巩固训练 A 应考基础训练 巩固训练 D 应考基础训练 巩固训练 B 应考基础训练 巩固训练 D 应考基础训练 考点3：等差数列与等比数列的综合问题 1.公式法求和 (1)数列求和的一般思路 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，则先求通项，然后通过对通项的变形，转化为等差或等比数列或可求前n项和的数列来求. (2)一些特殊数列的前n项和公式 1+2+3+…+n=n(n+1)； 1+3+5+…+(2n-1)=n2: 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1); 13+23+33+…+n3=n²(n+1)². (3)几类可使用公式求和的数列 第一类，等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解. 第二类，奇数项和偶数项分别构成等差数列和等比数列的，以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列和等比数列. 第三类，等差数列各项加上绝对值或等差数列乘以(-1)n. 2.错位相减法求和 (1)错位相减法求和适用的条件 如果一个数列的各项由一个等差数列的各项和一个等比数列的对应项乘积组成(即求数列{an·bn}的前n项和，其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列)，那么这个数列的前n项和可用此法来求. (2)错位相减法求和法关注点 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“错位对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式. (3)错位相减法求和的具体步骤 第一步，写出Sn=c1+c2+…+cn; 第二步，等式两边同乘以等比数列的公比q，即qSn=qc1+qc2+…+qcn. 第三步，两式错位相减转化为等比数列求和. 第四步，两步同除以1-q，求出Sn,同时注意对q是否为1进行讨论. 3.裂项相消求和 (1)原理：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (2)注意问题：在相加抵消过程中，有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性. (3)一般地，若为等差数列，则求数列{}的前n项时可尝试此方法，事实上，=(-)(d). (4) 常见的裂项方法 第一类，对于数列{}(nN*,k)：有=(-). 第二类，对于数列{}(nN*)：有=(-). 第三类，对于数列{}(nN*)：有=-. 第四类，对于数列{}(a>0，且a1):有= 巩固训练 应考基础训练 巩固训练 应考基础训练 $