专题5 导数及其应用(课件PPT)-【零起点考大学】2026年高考数学高效备考方案

04 专题五 导数及其应用 考点1 导数的集合意义与常见函数的导数 考点2 利用导数解、证不等式问题 考点3 利用导数研究函数零点问题 1 历年真题大数据 导数的几何意义、利用导数解证不等式和研究零点个数是每年全国卷的必考内容，一般以一道客观题和一道主观题的形式考察，其中主观题是压轴题，难度较大，客观题难度不一.学生了解基础知识即可. 年份 考点 考查内容 2025 全国Ⅰ卷 导数的几何意义 利用导数求函数的切线 导数的应用 利用导数求函数的最值 全国Ⅱ卷 导数的应用 利用导数求函数的极值 导数的应用 利用导数求函数的极值点 导数的应用 利用导数求函数的单调性 导数的应用 利用导数研究函数零点问题 2024 新课标Ⅰ卷 导数的性质 利用导数研究函数单调性,求参数范围问题 新课标Ⅱ卷 导数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值,求参数范围问题 全国甲卷 导数的几何意义 利用导数研究函数的单调性、极值,求参数范围问题 导数的性质 利用导数研究函数单调性,求参数范围问题 2023 新高考Ⅰ卷 导数的性质 利用导数研究函数单调性,求参数范围问题 新高考Ⅱ卷 导数的性质 利用导数研究函数单调性,求参数范围问题 导数的性质 利用导数求函数的极值 全国甲卷 导数的几何意义 利用导数的几何意义求曲线的切线 利用导数研究函数单调性,求参数范围问题 导数的性质 全国乙卷 考点1：导数的几何意义与常见函数的导数 应考核心知识 1. 平均变化率 一般地，对于函数ƒ(x), , 是定义域内的两个不同的点，那么函数的变频率可用式子 表示，这个式子称为函数ƒ(x)从到的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率=. 知识点一：导数的几何意义与常见函数的导数 2. 导数 一般地,对于函数ƒ(x)在x =处瞬时变化率是=,称为函数ƒ(x)在x=处的导数,记作ƒ'(x)(),即ƒ'(x )( ) ==. 应考核心知识 3. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝ln x 4. 导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x); (3) . 5. 复合函数求导 设函数u =φ(x)在点x处有导数u′x =φ′( x) ,函数y =f( x)在点 x 处的对应点U处有导数 y′u=f′(u),则复合函数y=f(φ( x) )在点x处有导数,且y′x = y′u u′x,或写作f′x(φ(x)) =f′(u)φ′(x). (1)函数的单调性与导数 一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a,b)内， ①如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增； ②在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 6.导数在研究函数中的应用 （2）函数的极值与导数. 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数的极值的方法： ①如果在 附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么是极大值； ②如果在 附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么是极小值. 6.导数在研究函数中的应用 （3）函数的最大(小)值与导数. 求函数f(x)在(a，b)上的最大值与最小值的步骤: ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 6.导数在研究函数中的应用 （4）导数的几何意义. 函数f(x)在x=处的导数的几何意义:曲线ƒ(x)在过点(,ƒ())处切线的斜率. 二阶导数的几何意义:设ƒ(x)在[a ,b]上连续,在(a ,b)内具有一阶和二阶导数,那么: ① 若在(a ,b )内ƒ''(x)>0 ,则ƒ(x )在[a ,b]上的图形是凹的; ② 若在(a ,b )内ƒ''(x)<0 ,则ƒ(x )在[a ,b]上的图形是凸的. 6.导数在研究函数中的应用 （5）函数的切线与导数. 求函数f(x)在点(a ,b)的切线： ①求出函数 ② 写出过点(a ,b )且斜率为步骤一所求导数的直线方程.. 6.导数在研究函数中的应用 应考基础训练 B A 应考基础训练 A 应考基础训练 巩固训练 A 应考基础训练 C 应考基础训练 应考基础训练 A 应考基础训练 应考基础训练 考点2：利用导数解、证不等式问题 应考核心知识 用导数证明不等式问题一般要通过构造函数，利用函数单调性来证明， 基本方法有： (1)把证明转化为证明; (2)把证明转化为证明; (3) 把证明转化为证明>; (4)把证明转化为证明 (5)改编不等式结构,重新构造函数证明不等式. 考点2：利用导数解、证不等式问题 应考基础训练 1. 已知函数= (1)讨论的单调性； (2)当 时,证明： 考点2：利用导数解、证不等式问题 【解析】(1) 函数= 的定义域为,且f ′(x)=. 当时,∀x∈，f ′(x)=恒成立, 所以在区间上单调递增； 当 时,令f ′(x)= , 当时，f ′(x),在区间上单调递增， 当时，f ′(x)<0在区间上单调递减. 综上所述, 当时, 在区间单调递增; 当 时,在区间上单调递增,在区间上单调递减； 考点2：利用导数解、证不等式问题 【解析】(2)当时,因为,所以要证 即可, 即要证等价于(). 令, 在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增， 所以 所以()成立，当且仅当又 所以存在2+=0成立.综上所述,原不等式成立. 考点2：利用导数解、证不等式问题 应考基础训练 2. 已知函数= (1)在 (2)证明： 考点2：利用导数解、证不等式问题 【解析】(1) = f ′(x)= f ′(1)= 所以函数在 考点2：利用导数解、证不等式问题 【解析】(2)= f ′(x)= 令可h′(x)=在， 所以 综上所述,. 考点3：利用导数研究函数零点问题 应考核心知识 1. 函数的零点 研究方程的根或曲线的交点个数问题，可通过构造函数，转化为研究函数的零点个数问题. 也可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，来画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数. 即的图象与轴没有公共点有两种可能，一是恒成立，二是恒成立. 考点3：利用导数研究函数零点问题 2. 含参数函数单调性的讨论 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时,一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f ′(x)=0是否有根； ②若f ′(x)=0有根,求出根后判断其是否在定义域内； ③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f ′(x)=3 f ′(x)=0在 考点3：利用导数研究函数零点问题 应考基础训练 1. 已知函数= (1) (2)若函数在上仅有2个零点，求 【答案】(1) 减区间是 (2) $